第17讲 二次函数压轴题（2个考点12个题型）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（浙江专用）

专题九 解答压轴题 第17讲 二次函数压轴题 （思维导图+2考点+8种题型） 考点一、二次函数性质的综合题 题型01、二次函数图象性质的综合应用 题型02、二次函数线段问题 题型03、二次函数与三角形的综合问题 题型04、二次函数与四边形的综合 题型05、二次函数与相似三角形 题型06、二次函数与圆的综合问题 考点二、二次函数常考问题 题型01、二次函数实际应用问题 题型02、二次函数与图形面积问题 题型03、二次函数临界点问题 题型04、二次函数与角度问题 题型05、二次函数的图象变换问题 题型06、二次函数动点问题 考点一、二次函数性质的综合题 题型01、二次函数图象性质的综合应用 1．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数（为常数）， (1)当二次函数的图象经过点时，求二次函数的表达式； (2)当时，的最小值为1，求的值； (3)当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线过点，且，请求出的取值范围． 2．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图像经过点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)若在范围内二次函数有最大值为，最小值为，求的取值范围． (3)若把二次函数的图像沿轴平移个单位，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求的值． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数 （，为常数，且）的图象经过点． (1)若，求二次函数的解析式； (2)若，当时，的最小值为，求的值； (3)已知是该二次函数图象上的两点．若对于，总有，请直接写出的取值范围． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数（，为常数）， (1)若抛物线与轴正半轴的交点坐标是，对称轴为直线，求抛物线的解析式； (2)若，设函数图像的顶点坐标为，当的值变化时，求与的关系式； (3)已知二次函数图像经过两点，若时，总有，求的取值范围． 5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知二次函数（b，c是常数）． (1)写出一组b，c的值，使函数的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由； (2)若，，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证：； (3)当时，在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求b的值． 6．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）小明在研究某二次函数时，函数值与自变量的部分对应值如表： (1)求该二次函数的表达式． (2)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求的值． (3)已知点是该二次函数图象与轴的交点，把点向下平移（）个单位得到点．若点向左平移（）个单位，将与该二次函数图象上的点重合；若点向右平移个单位，将与该二次函数图象上的点重合，求，的值． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，设二次函数． (1)若，且二次函数过和． ①求二次函数的解析式； ②当时，求的取值范围； (2)现有另一函数，若函数的图象顶点在函数的图象上，函数的图象顶点在函数的图象上，且，求a与d的数量关系； (3)若顶点在上，且顶点坐标为，图象过点，在函数图象上有三个点，，，当时，直接写出m的取值范围为______． 8．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）定义：若抛物线的顶点和与轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时，则称此抛物线为正抛物线． 概念理解： （1）如图，在中， ， 点是的中点． 试证明： 以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线； 问题探究： （2）已知一条抛物线经过轴的两点（在的左边）， 且若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； 应用拓展： （3） 将抛物线 向下平移个单位后得新的抛物线． 抛物线的顶点为，与轴的两个交点分别为（在左侧），把沿轴正半轴无滑动翻滚，当边 与轴重合时记为第次翻滚，当边 与轴重合时记为第次翻滚，依此类推，请求出当第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标． 当时，设抛物线解析式为把点代入得：， 9．（22-23九年级上·浙江舟山·阶段练习）如图，抛物线C：的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴交于点N． (1)点N的坐标为 ； (2)已知抛物线与抛物线C关于y轴对称，且抛物线与x轴交于点A，（点A在点的左边）； ①抛物线的解析式为 ； ②当抛物线和抛物线C上y都随x的增大而增大时，请直接写出此时x的取值范围． (3)若抛物线∁n的解析式为，抛物线的顶点为，与x轴的交点为A，（点A在点的左边）． ①求的值； ②判断抛物线的顶点，，，…，是否在一条直线上，若在，请直接写出该直线的解析式；若不在，请说明理由． 题型02、二次函数线段问题 10．（2024九年级上·浙江·专题练习）已知二次函数的图象经过三点，，． (1)求二次函数的表达式． (2)二次函数的图象上若有两点，且，根据图象直接写出m的取值范围． (3)点D是第一象限内二次函数的图象上的一动点，作轴交于点，作于点F．当D点运动时，求周长的最大值． 11．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图,已知二次函数的图像与轴交于A,B两点,且,抛物线的对称轴为直线,点是直线上的点,连结． (1)求,的值; (2)过点作交于点,若． ①求的长; ②点是抛物线上的点,连,若时,求点的坐标; (3)点在直线上且是点的上方的点,,则的最小值为______（直接写出答案）． 12．（2024·浙江·模拟预测）如图，二次函数的图象经过点，，且与轴交于点． (1)试求此二次函数的解析式； (2)试证明：（其中是原点）； (3)若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图象及轴于、两点，试问：是否存在这样的点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交点C，连接，顶点为M． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)已知点P是抛物线上的一点，连接，若，求点P的坐标； (3)如图2，若D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点E，当的值最大时，求点D的坐标． 14．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，抛物线与轴交于点A和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上的一个动点（不与点A，B重合），过点P作直线轴于点，交直线于点．是否存在点，使？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标． 16．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是点关于轴的对称点． (1)求抛物线的表达式； (2)为直线上方抛物线上一动点，求的面积最大值及的面积最大时点的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点，在上有一动点，且，求的最小值． 题型03、二次函数与三角形的综合问题 17．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）定义：若抛物线的顶点和与轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时，则称此抛物线为正抛物线． (1)概念理解：如图，在中，，是的中点．试证明：以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线； (2)问题探究：已知一条抛物线经过轴的两点（在的左边），且若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； (3)应用拓展：将抛物线向下平移9个单位后得新的抛物线．抛物线的顶点为，与轴的两个交点分别为（在左侧），把沿轴正半轴无滑动翻滚，当边与轴重合时记为1次翻滚，当边与轴重合时记为第2次翻滚，依此类推，请求出当第2025次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标． 19．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，顶点为C的抛物线与x轴交于A、B两点，连结，直线，垂足为E交y轴于点D，且． (1)求A、B两点的坐标及a的值； (2)过点B作x轴的垂线与直线交于点F，把（1）中的抛物线向右平移K个单位，使抛物线与线段有交点，试求K的取值范围； (3)与关于x轴成轴对称，如图2，把沿y轴以每秒1个单位向上平移，当Q点与D点重合时，停止运动，记运动时间为t，设与重叠部分的面积为S，求S与运动时间t的函数关系式．问S是否有最大值，若有，求出S的最大值；若没有，请说明理由． 21．（2021·浙江嘉兴·一模）已知抛物线与轴交于点，它的顶点为点，点，关于原点的对称点分别力，若，，，中任何三点都不在一条直线上，则称四边形为抛物线的伴随四边形，直线为抛物线的伴随直线． (1)如图所示，求抛物线的伴随直线的解析式； (2)如图所示，若抛物线的伴随直线是，伴随四边形的面积为求此抛物线的解析式； (3)如图所示，若抛物线的伴随直线是，且伴随四边形是矩形． ①用含的代数式表示，的值． ②在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标用含的代数式表示；若不存在，请说明理由． 22．（2025·山东济南·一模）已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，点M是抛物线对称轴上的一动点，过点M作轴交抛物线于点C和点D（点C在对称轴的左侧）． (1)如图1，求该抛物线的解析式； (2)作交抛物线于点E，连接． ①如图2，当点E在x轴上时，求点M的坐标； ②若是以为底角的等腰三角形，求点E的坐标． 题型04、二次函数与四边形的综合 23．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C． (1)求的值； (2)若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值； (3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线上，过点C作轴于点，将沿所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点M在抛物线上，点N在直线上，若存在以A、B、M、N为顶点的平行四边形，请直接写出点M的坐标． 25．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）抛物线，，是常数，． (1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； (2)若抛物线与轴两个交点的横坐标为、，求证：； (3)若抛物线的对称轴为直线，函数图象过点，当时，求的最小值． 26．（2024·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是 ； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，求的面积； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 27．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知如图1，二次函数与x轴交于点A，C，且点A在点C的右侧，与y轴交于点B，连结． (1)求点A、B的坐标； (2)如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得，将向左平移个单位得，若与均在抛物线上，求m，n的值； (3)如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结，过P作，与抛物线另一个交点为Q，M，N为上两点，且轴，轴． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②是否存在点P使得与相互平分，若存在，求的长，若不存在，说明理由． 题型05、二次函数与相似三角形 28．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图， 抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点 C，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式及点D 的坐标； (2)连接BC、BD、CD，求的面积： (3)已知点E的坐标为，点P在直线DE上，当与 相似时，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 29．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，抛物线经过点、、，点是抛物线在轴上方图象上一点，动直线分别交轴、轴于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)当以为顶点的三角形面积为6时，求出点的坐标； (3)当，点在抛物线上运动时，是否存在点，使得以为直角顶点的与相似，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 30．（24-25九年级下·甘肃武威·开学考试）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已点B的坐标是，． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点Q，求的最大值及此时P点的坐标； (3)点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点D的坐标． 31．（2025·甘肃·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点三点，其对称轴为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点． ①当时，求的长； ②若，，的面积分别为，且满足，求点的坐标． 题型06、二次函数与圆的综合问题 32．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，交轴于点，以为直径作经过点，连接． (1)求的圆心的坐标； (2)如图1，点是延长线上的一点，的平分线交于点，连接，求直线的解析式． (3)如图2，在（2）的条件下，是上一动点（不与点重合），连接是中点，连接，求的最大值． 33．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标． (3)如图3，连结，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连结，在点P运动过程中，中是否存在一个内角，使其等于，若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 34．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，已知点A的坐标是，点B的坐标是，以为直径作，交y轴的负半轴于点C，连接，过A，B，C三点作抛物线． (1)求点C的坐标及抛物线的解析式； (2)点E是延长线上一点，的平分线交于点D，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 35．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，抛物线交x轴于点、 ，交y轴于点 C，顶点为 D， 以为直径的恰好过点C． (1)求顶点D的坐标（用a的代数式表示）； (2)求抛物线的解析式； (3)抛物线上是否存在点P 使为直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． 36．（2025九年级下·浙江宁波·学业考试）已知：矩形（字母顺序如图）的边长，将此矩形放在平面直角坐标系中，使在x轴正半轴上，而矩形的其他两个顶点在第一象限，且直线经过这两个顶点中的一个． (1)求出矩形的顶点A，B，C，D的坐标． (2)以为直径作，经过A，B两点的抛物线的顶点是点P． ①若点P位于外侧且在矩形内部，求a的取值范围． ②过点C作的切线交于点F，当时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线的上方，还是下方，还是正好落在此直线上，并说明理由． 37．（2025九年级下·浙江·学业考试）已知：如图，抛物线经过轴上的两点和轴上的点的圆心在轴上，且经过，两点．若， (1)求抛物线的解析式． (2)设点在抛物线上，且，两，点关于抛物线的对称轴对称，问直线是否经过圆心，并说明理由． (3)设直线交于另一点，求经过点的的切线的解析式． 38．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标； (3)如图3，连接，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连接，在点P运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．    考点二、二次函数常考问题 题型01、二次函数实际应用问题 39．（24-25九年级上·浙江温州·期中）某企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润与投资金额成正比；乙产品的利润与投资金额成二次函数关系，其关系如图：其中点、、的坐标分别为，，． (1)分别求出甲，乙两种产品的利润与投资之间的关系式； (2)若该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入多少资金才能使企业获利； (3)该企业准备筹集万元投入甲，乙两种产品的生产，且该企业计划两种产品最小利润不低于资金额的，那么该企业至少要筹集到多少资金？ 40．（2024九年级上·浙江·专题练习）根据以下素材，探索完成任务： 素材一 太阳光线与地面的夹角叫做太阳高度角．冬至是北半球各地白昼时间最短、黑夜最长的一天；夏至是北半球各地黑夜时间最短、白昼最长的一天．设冬至这天正午时刻太阳高度角为α，夏至这天正午时刻太阳高度角为β． 素材二 厂家设计了可伸缩抛物线型遮阳棚，其侧面示意图如图1所示．曲线为遮阳棚，为遮阳棚安装在窗户上方的支架，，线段的长度称为遮阳棚的跨度．已知遮阳棚所在的抛物线与抛物线的形状相同． 素材三 如图2，为小明家的朝南窗户，测得，，窗户的高度为1.5米．为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，在安装遮阳棚时，需根据实际计算遮阳棚的跨度（的长）． 素材四 春节前期，小明想在遮阳棚顶部挂一盏高为0.3米的灯笼（如图3）．如图4，灯笼与窗户的水平距离为m米，灯笼的底端（点D）与窗户的上沿（点B）的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点C）与悬挂点（点N）的距离为d米． 解决问题 任务1 求小明家所需的遮阳棚的跨度． 任务2 当时，求m的值． 任务3 现要求且，求d的取值范围． 41．（24-25九年级上·浙江台州·期末）综合实践小组研究某个篮球自由落地和反弹现象． 实验探索：该小组把该篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高度，得到数据如下表： 试次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 下落高度 80 90 100 110 120 反弹高度 40 45 50 56 60 任务1：请选择适当的函数模型描述该篮球反弹高度与下落高度之间的关系，设出变量，求出函数解析式； 解决问题：该小组进一步提出研究篮球各次反弹的最高点出现的时间间隔规律，经查阅资料发现，篮球第一次从高度为（单位：）处落下到达地面的运动过程中，其高度（单位：）与运动时间（单位：s）的函数关系是，其中为重力加速度．第一次自由下落及以后每次反弹再落地的过程中，篮球离地高度都是运动时间的二次函数，且它们的二次项系数相同． 任务2：根据任务1中发现的规律，求篮球从高为（单位：）处下落到第一次反弹到最高点所用的时间（用只含已知量，的式子表示）； 任务3：篮球从处下落，的值取．当篮球反弹高度小于时，下次不再反弹．直接写出篮球反弹的总次数，并用式子表示篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间（用只含反弹次数的式子表示）． 42．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）根据下列素材，完成相应任务 仓储品装容的优化设计 素材1 如图1是某个仓库，图2是其横截面的示意图，已知墙体米，米，水平距离米，其顶部的轮廓为抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系后它可以近似地用函数 表示 素材2 图3是棱长为的立方体仓储品，将四件一样的仓储品如图4所示叠放在处，．当叉车要取货物时，需要将其向上抬升，沿水平方向移动1米后取出． 素材3 如图5，为保证能够用叉车安全顺利地搬运和放置仓储品进出仓库，需设计三条宽度为2米的过道，以及在过道之间设计两块宽度不少于2米的仓储区域． 要求： ①靠近过道的仓储品需从就近过道搬运，其余可从左或右搬运． ②尽可能多的装容仓储品． 问题解决 任务1 确定顶部形状 求仓库离地的最大距离． 任务2 确定摆放高度 当米时，试分别判断叉车能否从左边或右边取出？请说明理由． 任务3 设计最优方案 已知该仓库的长为50米，请你根据素材和要求设计：仓储区 米， 米，仓库最大仓储品容量为 件． x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.33 5 5.53 5.93 6.2 6.33 6.33 6.2 5.93 5.53 5 43．（2020九年级·浙江嘉兴·学业考试）受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格(元/)与周次(是正整数，)的关系可近似用函数刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格(元/)从第5周的6元/下降至第6周的5.6元/，与周次()的关系可近似用函数刻画． (1)求，的值． (2)若前五周该蔬菜的销售量与每周的平均销售价格元之间的关系可近似地用如图所示的函数图象刻画，第周的销售量与第周相同： ①求与的函数表达式； ②在前六周中，哪一周的销售额元最大？最大销售额是多少？ (3)若该蔬菜第7周的销售量是，由于受降雨的影响，此种蔬菜第周的可销售量将比第周减少．为此，公司又紧急从外地调运了此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第周的销售价格比第周仅上涨．若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第周刚好持平，请通过计算估算出的整数值． 44．（21-22九年级上·浙江台州·期末）疫情就是命令，台州新冠疫情防控指挥部安排某中学进行了核酸检测采样演练，演练下午3点开始，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，学生陆续到操场排队，4点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表： 时间x（分） 0 15 30 45 75 90 95 100 110 人数y（个） 60 115 160 195 235 240 180 120 0 小明把记录的数据，在平面直角坐标系里，描成点连成线，发现满足学过的某些函数图象如图，请你解答： (1)求曲线ABC部分的函数解析式； (2)若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？ (3)如果采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，指挥部要求4点15分后，采样可以随到随采，那么至少需新增多少个采样窗口？ (4)疫情防控指挥部按照每个采样窗口与某中学相同采样速度对员工人数为600的某单位进行全员核酸检测，如果采样时间t（分钟）控制在30分钟到60分钟之间（即30≤t≤60），则开设的采样窗口数量n（个）的范围是 ． 45．（23-24九年级上·浙江温州·期中）根据素材回答问题： 素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路，，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，，且与的距离为10米，与的距离为8米．    素材2 现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计． 任务1 任务2 小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．      若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．    项目反思 如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．    46．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知：点的坐标为，，，，，． (1)当抛物线过点，且与轴交于点时，点的坐标为___________，抛物线的解析式为_______________； (2)在（1）的条件下，若点的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网（线段）的长度至少为多少米； (3)设该抛物线的表达式为，若抛射点不变，为保证演员表演时落在平台上（即抛物线与线段有交点），请直接写出的取值范围． 47．（2025·广东深圳·一模）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口位于桌面左上方，桌面的长为，过点作，垂足为，，以点为原点，以直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分，设乒乓球与出球口的水平距离为，到桌面的高度为，在桌面上的落点为，经测试，抛物线的解析式为，且当时，． (1)求出与之间的函数关系式； (2)桌面正中间位置安装的球网的高度为，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？ (3)乒乓球落在点后随即弹起，沿抛物线的路线运动，小明拿球拍与桌面夹角为接球，球拍击球面的中心线长为，下沿在轴上，假设拋物线，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点E在点C右侧），直接写出： ①点为的坐标为__________； ②球拍到桌边的距离的最大值是__________，的最小值是__________． 题型02、二次函数与图形面积问题 48．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点．    (1)直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围． 49．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，经过原点的抛物线交轴正半轴于点A，过点作直线轴于点，交抛物线于点，记点关于抛物线对称轴的对称点为，连结，． (1)用含的代数式表示的长； (2)连结，当为何值时，？ (3)过点作于点，交延长线于点． ①当时，判断点是否落在抛物线上，并说明理由； ②延长交于点，在上取一点，连结，若，且与的面积相等，则的值是______． 50．（2025·山西运城·一模）综合与实线 如图，抛物线与x轴的交点分别为，，与y轴交于点C，连接，P为线段上方的抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，过点P作轴交直线于点当时，求点P的坐标． (3)如图2，连接，在点P运动的过程中，是否存在点P，使得四边形的面积最大？若存在，求出点P的坐标及四边形的面积；若不存在，请说明理由． 51．（24-25九年级下·广东中山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 已知抛物线 与轴交于，两点， 与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为，的长为，求出关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当点在轴右侧的抛物线上时，连接交于点 ，求的最大值． 52．（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中、为常数）的图象经过和两点，点在该抛物线上，其横坐标为，点A在轴上，其横坐标为，以点为对称中心构造矩形，轴． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)当该抛物线的顶点在矩形的边上时，求的值； (3)当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，求的取值范围； (4)当以点、和该抛物线的顶点为顶点的三角形的面积是矩形的面积的时，直接写出此时的值． 题型03、二次函数临界点问题 53．（2025·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，点是抛物线上位于直线下方一动点，过点作轴的平行线交直线于点，点是轴上的一个动点，连接，当线段长度取得最大值时，求的最大值，及此时点的坐标； (3)如图，将抛物线，先向右平移个单位长度，再像上平移个单位长度，得到新抛物线，点是新抛物线上一点，连接，当时，请求出点的坐标． 54．（2025·湖北孝感·一模）已知抛物线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)直接写出点A的坐标为_____________； (2)当时，如图1，直线是抛物线的对称轴，点P为对称轴右侧抛物线上一点，设点P的横坐标为m，连接． ①过点P作，交直线于点Q，若，求m的值； ②连接，若，求m的值； (3)规定：横、纵坐标均为整数的点称为格点，如等．如图2，抛物线与直线相交于两点，若直线与抛物线所围成的部分（不含边界）格点数恰为12个，请直接写出a的取值范围． 55．（2025·江苏扬州·一模）已知抛物线与轴交于两点、，与轴交于点，且为直角三角形． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线上是否存在点，能使点满足，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)将绕平面内一动点旋转后所得，与该抛物线没有公共点，请直接写出m的取值范围_________． 56．（2025·山东泰安·一模）已知，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点． (1)若抛物线经过点； ①点的坐标为______； ②当时，抛物线取得最大值为，求的值； (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围； (3)已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、），请直接写出的取值范围． 57．（2025·辽宁大连·一模）已知，抛物线（），与x轴交于A，B，（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D． (1)抛物线的对称轴为 （用含有a的式子表示）； (2)若当时，函数值y随着x的增大而减小，求a的取值范围； (3)如图1，当时，点为第四象限的抛物线上一点，过点E作轴与抛物线另外一个交点为点F． ①连接，过点E作轴，交于点H，以为邻边构造矩形，当矩形的周长为时，求m的值； ②以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴，请直接写出n的取值范围． 58．（2025·吉林·一模）如图，已知抛物线经过和两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“W”，图象交轴于点． (1)①求抛物线的解析式； ②求二次函数的最小值． (2)①直接写出图象的解析式； ②求当图象所对应的函数随增大而增大时的取值范围． (3)若直线与图象有3个交点时，请结合图象，直接写出的值． 题型04、二次函数与角度问题 59．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 60．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式； (2)若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为，与直线交于点．当时，求点的坐标； (3)若点是轴上的点，且，求点的坐标． 61．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，线段的两个端点，分别在y轴和x轴的正半轴上，现将线段绕点B按顺时针方向旋转得到线段，抛物线经过点D． (1)如图1，若该抛物线经过原点O，且 ①求点D的坐标及该抛物线的解析式； ②在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由； (2)如图2，若该抛物线经过点，点Q在抛物线上，且满足．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围． 62．（2025·青海西宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是轴上一点，点是抛物线上一点，以为边，为另外两个顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标； (3)点是抛物线上的一个动点，满足，求点的坐标． 63．（2025·四川泸州·一模）如图1所示，已知直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最小值． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标； (3)若直线与（1）中所求的抛物线交于M、N两点． ①问：是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； ②猜想当时，请直接写出a的取值范围． 题型05、二次函数的图象变换问题 64．（重庆市清华中学教育集团2024-2025学年下期九年级数学第一阶段定时作业）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，点是轴上的动点，连接、，当的面积取得最大值时，求周长的最小值； (3)点坐标为，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线是否存在点，满足，若存在，直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 65．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）[综合探究]运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘，图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定幼苗叶片的形状 （1）如图3，建立平面直角坐标系，幼苗叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线的图象过原点，且对称轴是直线，求抛物线的解析式； 【探究二】研究幼苗叶片的长度 （2）如图3，在（1）的条件下，已知直线（点P为叶尖，点D为抛物线的顶点）与x轴的夹角为，求幼苗叶片的长度； 【探究三】探究心形叶片的宽度 （3）如图4，小同观察发现心形叶片的下方轮廓线也可以看作是（1）中二次函数图象的一部分，直线与坐标轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于另一点C，点C，是心形叶片上的一对对称点，交直线于点G．求叶片此处的宽度及点的坐标． 66．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点（点在点的左侧）． (1)求该抛物线的解析式及，两点的坐标； (2)如图2，将位于直线上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，请求出线段的最大值． 67．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，抛物线交轴于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在抛物线上，过点D作轴于点F，过点A的直线交y轴于点，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点M，于点N，求的最大值，以及此时点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，点R是新抛物线上一个动点，当时，请直接写出所有符合条件的点R的坐标． 68．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，抛物线与坐标轴分别交于，，三点，其中点坐标为，且． (1)求抛物线解析式； (2)点P是直线AD下方抛物线上的一动点，点Q是x轴上一动点，当四边形的面积最大时，求的最小值； (3)在（2）条件下，将抛物线C沿x轴翻折得到，将沿射线AD方向平移个单位长度得到，点M在抛物线上且满足，写出所有满足条件的点M的坐标并选择其中一个写出必要的过程． 69．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图1，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，连接交于点E，过P作轴于点F，交于点G，若，求点P的坐标； (3)如图2，将抛物线位于x轴下方面的部分不变，位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形，将直线向下平移n个单位，得到直线l，若直线l与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围． 70．（2025·山东济南·一模）如图1，抛物线经过点、，对称轴为直线，直线与x轴所夹锐角为，与y轴交于点E． (1)求抛物线和直线的表达式； (2)将抛物线沿二、四象限的角平分线平移，使得平移后的抛物线与直线恰好只有一个交点，求抛物线平移的距离； (3)如图2，将抛物线沿直线翻折，得到新曲线，与y轴交于M、N两点，请直接写出点坐标． 题型06、二次函数动点问题 71．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图1，过点作直线于点，过点作轴交直线于点．线段的长度称为点到直线的竖直距离． 【探索】 ①如图1，设点的坐标为，则点到直线的竖直距离即为的长度，则_____．（用含的代数式表示） ②当直线与轴不平行时，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，若此时直线，则_____． 【应用】 如图2，公园有一斜坡草坪（可看作线段），其倾斜角为，用喷水枪喷水的路径可看作抛物线，其最远处落在草坪的处．若在山上种一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，树的最高点不能超过喷水路线，同时为了加固树，沿斜坡垂直方向加一根支架，请求出支架的最大值． 【拓展】 如图3，原有斜坡倾斜角不变，通过改造喷水枪使喷水路径可看作圆弧，此时，圆弧与轴相切于点，若，为了保证灌溉山上种植的这棵树（垂直于水平面），即树的最高点不能超过喷水路线，请问树高的最大值是多少？ 72．（2025九年级下·浙江金华·学业考试）若四边形的一条对角线将四边形分割成两个相似的直角三角形，那么我们将这种四边形叫做孪生分割四边形，这条对角线叫做孪生分割线． (1)如图1，请找出一个格点，使以为顶点的四边形为孪生分割四边形． (2)在孪生分割四边形中，，求的长． (3)如图2，为抛物线的顶点，抛物线与轴交于点．在线段上有一个点，在射线上有一个点．两点分别以个单位／秒，5个单位／秒的速度同时从出发，沿方向运动，设运动时间为，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点，使得四边形是以为孪生分割线的孪生分割四边形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 73．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，直线与轴交于点、点、是该抛物线上的两个点．点的横坐标为． (1)该抛物线的顶点坐标为______； (2)当点在轴上，且点是该抛物线的顶点时，______； (3)当点在直线的右侧，点到直线的距离是点的纵坐标时，若点、点之间的部分的图象（包括点、点）的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求的值； (4)过点作于点，过点作于点，连结、，当、、三点共线，且的周长是的周长的4倍时，直接写出的值． 74．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴是直线，与轴交于点．若点，同时从点出发，都以每秒个单位长度的速度分别沿，边运动． (1)求该二次函数的解析式及点的坐标，与轴的另一个交点的坐标． (2)当，运动到秒时，沿翻折，点恰好落在轴上点处，请判定此时四边形的形状，并求出点坐标． (3)当点运动到对称轴与的交点时，点往回运动，同时点则倍的速度继续沿运动，在整个运动过程中，以点，，为顶点的三角形面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 试卷第6页，共240页 43 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题九 解答压轴题 第17讲 二次函数压轴题 （思维导图+2考点+8种题型） 考点一、二次函数性质的综合题 题型01、二次函数图象性质的综合应用 题型02、二次函数线段问题 题型03、二次函数与三角形的综合问题 题型04、二次函数与四边形的综合 题型05、二次函数与相似三角形 题型06、二次函数与圆的综合问题 考点二、二次函数常考问题 题型01、二次函数实际应用问题 题型02、二次函数与图形面积问题 题型03、二次函数临界点问题 题型04、二次函数与角度问题 题型05、二次函数的图象变换问题 题型06、二次函数动点问题 考点一、二次函数性质的综合题 题型01、二次函数图象性质的综合应用 1．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数（为常数）， (1)当二次函数的图象经过点时，求二次函数的表达式； (2)当时，的最小值为1，求的值； (3)当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线过点，且，请求出的取值范围． 【答案】(1) (2)或． (3) 【分析】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数的性质； （1）由二次函数的图象经过点，再建立方程求解即可； （2）分两种情况讨论：如图，当时，此时当时，时，取得最小值，而的最小值为1，当时，如图，当时，此时，函数取得最小值，再建立方程求解即可； （3）先求解平移后的函数解析式为，把代入可得：，可得，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：； ∴二次函数为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，当时，此时当时，时，取得最小值，而的最小值为1， ∴， 解得：， 当时，如图，当时， 此时，函数取得最小值， ∴， 解得：或（舍去） 综上：或． （3）解：当时，抛物线为 把向下平移个单位长度得到新抛物线为， 把代入可得： ， ∴， 当时，的最小值为， ∵， ∴当时，， 当时，， ∵， ∴． 2．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图像经过点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)若在范围内二次函数有最大值为，最小值为，求的取值范围． (3)若把二次函数的图像沿轴平移个单位，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，函数的增减性，平移等，注意分类讨论． （1）将，代入，利用待定系数法求出函数解析式； （2）先求得二次函数的开口向上，顶点坐标为，当时，，由二次函数的对称轴为直线，可得当或时，，求出的取值范围； （3）根据函数的性质，图像向左或向右平移，在自变量的值满足的情况下，对应的函数的最小值求出的值． 【详解】（1）解：将，代入，得： ，解得， 二次函数的表达式为； （2）解：， 二次函数的开口向上，顶点坐标为， 当时，， 二次函数的对称轴为直线， 当或时，， 在范围内二次函数有最大值为，最小值为， ； （3）解：由（2）可得的对称轴为1， 且抛物线在范围内随的增大而增大， 抛物线在时有最小值为， ①向左平移个单位，即当时，存在与其对应的函数值的最小值， ， 将代入得：， 或， 向左平移， ， ； ②向右平移个单位，当平移后对称轴在2左边时，即，函数在处取得最小值， 即， 解得：，都不符合题意； 当平移后对称轴在2到3之间时，在顶点处取到最小值，即最小值； 当平移后对称轴在3右边时，即时，函数在时，存在的最小值， ， 解得：，，（舍去） ， 综上所述，或． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数 （，为常数，且）的图象经过点． (1)若，求二次函数的解析式； (2)若，当时，的最小值为，求的值； (3)已知是该二次函数图象上的两点．若对于，总有，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，二次函数的性质，得出对称轴为直线是解题的关键． （1）先确定二次函数图象与轴的交点坐标为，然后利用抛物线的对称性确定对称轴，进一步求得a的值，从而求得函数的解析式; （2）由（1）可知二次函数图象的对称轴为直线，则,故，由于，所以在中，当时的函数值最小，即，解得 （3）分两种情况，根据二次函数的对称性和增减性得出故的不等式或不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴与轴的交点坐标为， ∵的图象经过点 ∴抛物线的对称轴为直线 ∴ ∵ ∴， ∴二次函数的解析式为， （2）解：由（1）可得抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵，当时，的最小值为， ∴当时，， 解得：， （3）∵抛物线对称轴为直线， ∴关于对称轴对称的点为， ∵， ∴， 当时，二次函数图象开口向上， 若对于，总有， ∴， 解得：， ∴的取值范围为， 当时，二次函数图象开口向下， 若对于，总有， ∴或， 解得：或， ∴的取值范围为， 综上所述，a的取值范围为或． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数（，为常数）， (1)若抛物线与轴正半轴的交点坐标是，对称轴为直线，求抛物线的解析式； (2)若，设函数图像的顶点坐标为，当的值变化时，求与的关系式； (3)已知二次函数图像经过两点，若时，总有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合该抛物线与轴正半轴的交点坐标是，对称轴为直线，可得关于的二元一次方程组，求解即可获得答案； （2）结合，可知该二次函数解析式为，将其整理为顶点式，根据该函数图像的顶点坐标为可得，，消去并整理可得答案； （3）首先确定该函数图像的对称轴，并将点代入二次函数解析式，整理可得，进而可知该二次函数解析式为；令，将函数解析式转化为方程，根据一元二次方程的根与系数的关系求出抛物线与直线的两个交点的横坐标之差为4，再根据二次函数图像的对称性和增减性得出结论即可． 【详解】（1）解：对于二次函数， ∵该抛物线与轴正半轴的交点坐标是，对称轴为直线， ∴可有，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）若，则该二次函数解析式为， 整理可得，， ∵该函数图像的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴， 即与的关系式； （3）∵该二次函数图像经过两点， ∴其对称轴为直线， ∵， ∴该二次函数的图像开口向下， 将点代入， 可得， 整理可得， ∴该二次函数解析式为， ∴其顶点坐标为， 令，整理可得， 则该方程的根满足，， ∴， 即抛物线与直线的两个交点的横坐标之差为4， ∴若，总有， 则的最大值为， 当或时，有最小值，为， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、求二次函数解析式、二次函数最值问题等知识，解题关键是熟练掌握相关知识，运用数形结合的思想分析问题． 5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知二次函数（b，c是常数）． (1)写出一组b，c的值，使函数的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由； (2)若，，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证：； (3)当时，在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求b的值． 【答案】(1)，(答案不唯一)； (2)见解析 (3)b的值或． 【分析】（1）根据，即可求解； （2）由题意得，，计算得到，据此求解即可； （3）将代入得，对称轴为直线，以对称轴的位置分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数的图象与x轴有两个不同的交点， ∴，即， ∴取，则(答案不唯一)； （2）解：将，代入得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 当时，，此时，，不合题意，舍去； ∴； （3）解：将代入得，对称轴为直线， 当即时，如图， 当时，最小值为，即， 解得， ∴b的值； 当即时，如图， 当时，最小值为，即， 解得， ∴b的值； 当即时，如图， 当时，最小值为，即， 解得或(都不符合题意)， 综上：b的值或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点坐标，抛物线上点的坐标的特征，配方法求函数的极值，待定系数法和配方法是解决此类问题常用的方法． 6．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）小明在研究某二次函数时，函数值与自变量的部分对应值如表： (1)求该二次函数的表达式． (2)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求的值． (3)已知点是该二次函数图象与轴的交点，把点向下平移（）个单位得到点．若点向左平移（）个单位，将与该二次函数图象上的点重合；若点向右平移个单位，将与该二次函数图象上的点重合，求，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了二次函数的综合题，二次函数的轴对称的性质，待定系数法求二次函数的解析式，点的平移规律等知识，利用二次函数的轴对称性质是解本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求得抛物线的对称轴和顶点坐标，知当时，该二次函数的最大值为1，根据题意列得方程，据此求解即可； （3）先求得点P的横坐标为，点Q的横坐标为，且两点纵坐标相同，利用抛物线的对称性，列式计算求得；求得点C的坐标为，得到点P的坐标为，据此求解即可． 【详解】（1）解：设该二次函数的表达式为， 由题意得， 解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为，抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴当时，二次函数的值随的增大而增大； 当时，该二次函数的最大值为1， ∵当时，该二次函数的最大值与最小值的差为， ∴，解得或（舍去）， ∴； （3）解：∵点M向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点P重合；若点M向右平移个单位，将与该二次函数图象上的点Q重合， ∴点P的横坐标为，点Q的横坐标为，且两点纵坐标相同， ∴，解得， 当时，， ∴点C的坐标为， ∵点C向下平移个单位得到点M， ∴点M的坐标为， ∴点P的坐标为， 将代入，得， ∴， ∴，． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，设二次函数． (1)若，且二次函数过和． ①求二次函数的解析式； ②当时，求的取值范围； (2)现有另一函数，若函数的图象顶点在函数的图象上，函数的图象顶点在函数的图象上，且，求a与d的数量关系； (3)若顶点在上，且顶点坐标为，图象过点，在函数图象上有三个点，，，当时，直接写出m的取值范围为______． 【答案】(1)①；②当时，求的取值范围为； (2) (3) 【分析】（1）①利用待定系数法求解即可； ②先求得二次函数的最小值，再求得当和时，的值，据此求解即可； （2）先根据顶点坐标公式得到两个函数的顶点坐标，再分别代入对应的解析式表示出来，最后通过化简，根据，即可得到答案； （3）先根据函数图象上有三个点，，，，确定二次函数的开口方向，及对称轴范围，再根据顶点在上，且顶点坐标为，图象过点，利用对称性确定的范围． 【详解】（1）解：①由题意得， ∵二次函数过和， ∴，解得， ∴； ②， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， 当时，， 当时，， ∴当时，求的取值范围为； （2）解：根据题意可得： 二次函数的顶点坐标为：， 二次函数的顶点坐标为：， 函数的图象的顶点在函数的图象上，函数的图象的顶点在函数的图象上， ，， 整理得： ，， ，， 得：， ， ， ， ， ，即 ， （3）解：函数图象上有三个点，，，且， 即在上，随x的增大，先减小后增大， 函数的图象开口向上， 函数图象的顶点在上，且顶点坐标为， 函数图象的对称轴为， ， 函数图象的对称轴在y轴左侧，即， ， ，即， ， 函数的顶点为，即在函数的图象上， ， ，即， ，即， ，即， 函数图象过点，且函数的顶点坐标再y轴左侧， 令函数， 解得：， ，， ，且， ，即， ，即， ，即， ， ， ， 综上，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的图象，二次函数的顶点坐标公式，二次函数与不等式，利用数形结合解决问题是关键． 8．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）定义：若抛物线的顶点和与轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时，则称此抛物线为正抛物线． 概念理解： （1）如图，在中， ， 点是的中点． 试证明： 以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线； 问题探究： （2）已知一条抛物线经过轴的两点（在的左边）， 且若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； 应用拓展： （3） 将抛物线 向下平移个单位后得新的抛物线． 抛物线的顶点为，与轴的两个交点分别为（在左侧），把沿轴正半轴无滑动翻滚，当边 与轴重合时记为第次翻滚，当边 与轴重合时记为第次翻滚，依此类推，请求出当第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标． 【答案】（）见解析；（）或；（）． 【分析】（）由中是斜边的中线可得，由抛物线对称性可得 ，即证得是等边三角形； （）设抛物线顶点为，根据正抛物线定义得是等边三角形，又易求坐标，即能求点坐标，由于不确定点纵坐标的正负号，故需分类讨论，再利用顶点式求抛物线解析式； （）根据题意求出抛物线的解析式，并按题意求出的坐标，得到等边 ，所以即每翻滚次为一个周期，当翻滚次数能被整除时，点纵坐标为，横坐标为，能被整除，代入即能求此时点坐标； 本题考查了二次函数的图象与性质，直角三角形和等边三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：（）证明：∵， 点是的中点， ∴， ∵抛物线以为顶点与轴交于两点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线； （）∵且，点在轴上且在的左边， ∴ ∵一条经过轴的两点的抛物线为正抛物线，设顶点为， ∴是等边三角形， ∴，， 当时，设抛物线解析式为把点代入得：， ∴， ∴， 当时，设抛物线解析式为， 把点代入得： ∴， ∴， 综上所述，这条抛物线的解析式为或 ； （）∵抛物线， ∴向下平移个单位后得抛物线， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴第一次翻滚顶点的坐标变为，第二次翻滚得与 相同，第三次翻滚得 ， 即每翻滚次为一个周期，当翻滚次数能被整除时，点纵坐标为，横坐标为： ， ∵ ∴， ∴第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标． 9．（22-23九年级上·浙江舟山·阶段练习）如图，抛物线C：的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴交于点N． (1)点N的坐标为 ； (2)已知抛物线与抛物线C关于y轴对称，且抛物线与x轴交于点A，（点A在点的左边）； ①抛物线的解析式为 ； ②当抛物线和抛物线C上y都随x的增大而增大时，请直接写出此时x的取值范围． (3)若抛物线∁n的解析式为，抛物线的顶点为，与x轴的交点为A，（点A在点的左边）． ①求的值； ②判断抛物线的顶点，，，…，是否在一条直线上，若在，请直接写出该直线的解析式；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)①5350；②不在；理由见解析 【分析】（1）利用函数的对称性求N点坐标即可； （2）①由题意可得，再将点，代入，可求抛物线C的解析式，再由抛物线的解析式即可； ②分别求出抛物线C和中，y随x值增大而增大时x的取值范围，同时满足条件的x取值范围即为所求； （3）①由题意可得，，，，…，则； ②求出，，，…，，在求出，所在直线解析为，可以判断点不在直线上，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，经过， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将点，代入， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与抛物线C关于y轴对称， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴当时，y随x值的增大而增大， ∵， ∴当时，y随x值的增大而增大， ∵抛物线C1和抛物线C上y都随x的增大而增大， ∴； （3）解：①由题意可得，，，，…， ∴； ②不在一条直线上，理由如下： ∵， ∴，，，…，， 设，所在直线解析为， ∴， ∴， ∴， 将代入，得， ∴点不在直线上， ∴点，，，…，不在一条直线上． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，能够准确求出二次函数关于y轴对称的函数解析式，是解题的关键． 题型02、二次函数线段问题 10．（2024九年级上·浙江·专题练习）已知二次函数的图象经过三点，，． (1)求二次函数的表达式． (2)二次函数的图象上若有两点，且，根据图象直接写出m的取值范围． (3)点D是第一象限内二次函数的图象上的一动点，作轴交于点，作于点F．当D点运动时，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据题意设二次函数表达式为，将带入二次函数得：，求出的值，即可得到答案； （2）直接根据二次函数的图象观察即可得到答案； （3）用待定系数法求出直线的解析式，设，则点，则，当时，，易证，从而得到，将的周长转化为二次函数求最值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意设二次函数表达式为， 把带入二次函数得：， 解得：， 二次函数表达式为； （2）解：由（1）得，二次函数解析式为：， 对称轴为， 关于对称的点为， 二次函数的图象上有两点，且， 由图象可得的取值范围为； （3）解：设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，则点， 则， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴当时，最大为． 11．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图,已知二次函数的图像与轴交于A,B两点,且,抛物线的对称轴为直线,点是直线上的点,连结． (1)求,的值; (2)过点作交于点,若． ①求的长; ②点是抛物线上的点,连,若时,求点的坐标; (3)点在直线上且是点的上方的点,,则的最小值为______（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)①;②点的坐标为, (3) 【分析】（1）利用二次函数对称轴求出,再将代入函数解析式即可求得值; （2）设动点坐标并利用勾股定理即可求出本题结果,利用已知条件及中结论可知,利用等腰三角形性质及一次函数二次函数交点坐标可求出的两个坐标; （3）做,设,根据条件,利用勾股定理表示出,再根据条件用勾股定理表示出,再利用二次函数最值公式,继而本题答案． 【详解】（1）解:∵二次函数的图像与轴交于A、B两点,且,对称轴为直线, ∴,即, ∴二次函数为, ∴将代入中得:, 故答案为:; （2）解:连接,并规定对称轴与轴交点为F, ∵二次函数解析式为, ∴, ∵过点作交于点, ∴, ∵点是直线上的点, ∴设, ∴,, ∴, ∵, ∴, ∵,, ∴, 在中,, ∴,即, ∴, 故答案为:; 解:∵由知, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴是等腰三角形, ∴动点在抛物线顶点处或在直线与抛物线交点处, ∴抛物线顶点为,即, 设直线解析式为, 将,代入中,得: ,解得, ∴, ∴,解得, 故答案为:,． （3）解:作交直线于点,连接, 设:, ∵, ∴, ∵,, ∴,, ∴, ∵,, ∴, ∴, ∴的最小值为, 故答案为:． 【点睛】本题考查二次函数与几何最值,勾股定理,待定系数法求一次函数解析式．分析出动点问题给坐标设未知数是解出本题的关键． 12．（2024·浙江·模拟预测）如图，二次函数的图象经过点，，且与轴交于点． (1)试求此二次函数的解析式； (2)试证明：（其中是原点）； (3)若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图象及轴于、两点，试问：是否存在这样的点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，P1与 【分析】（1）利用待定系数法把坐标代入抛物线解析式即可； （2）根据已知条件求出的正切值，根据正切值相等解答即可； （3）利用待定系数法得到直线的解析式，再根据两点之间的距离公式列方程解方程即可． 【详解】（1）解：∵点与在二次函数图象上， ∴ 解得， ∴二次函数解析式为． （2）解：解：过作轴于点，由（1）得， ∵，， ∴点， ∴，，，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴； （3）解：∵点与， 设直线的解析式为, ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 则 ∵， ∴， ∴， 当时， 解得（舍去）， ∴， 当时 解得（舍去）， ∴， 综上所述，存在满足条件的点，它们是与． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，两点之间的距离公式，二次函数与锐角三角函数，二次函数与一次函数的解析式，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交点C，连接，顶点为M． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)已知点P是抛物线上的一点，连接，若，求点P的坐标； (3)如图2，若D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点E，当的值最大时，求点D的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点的坐标为 (2)当时，点P的坐标为或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，再化为顶点式即可得出顶点M的坐标； （2）分两种情况：当点在上方时，连接；当点在下方时，连接，交轴于；分别求解即可得解； （3）待定系数法求出直线的解析式为，作轴，交于，设，则，求出，证明，得出，结合，得出，再由二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点、两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：在中，当时，，则， 如图，当点在上方时，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴此时； 如图，当点在下方时，连接，交轴于， ， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式为， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：或（不符合题意，舍去） 当时，， ∴此时； 综上所述，当时，点P的坐标为或； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴，交于， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，取得最大值，此时，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—角度问题、相似三角形的判定与性质、求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 14．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，抛物线与轴交于点A和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上的一个动点（不与点A，B重合），过点P作直线轴于点，交直线于点．是否存在点，使？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8 (3)或 【分析】（1）将，代入求解即可； （2）过点P作轴于点Q，交于点M，求出直线解析式为．设，则，可求出，再根据，结合二次函数的性质求解即可； （3）由（2）同理可得，，即可求出，，结合，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴于点Q，交于点M， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为． 设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，最大值为8； （3）解：同（2）可知，， ∴，． ∵， ∴． 当时， 解得：，（舍）， ∴此时点P坐标为； 当时， 解得：，（舍）， ∴此时点P坐标为． 综上可知存在点，使，点的坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 15．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分点Q在下方和上方两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：把，代入中得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴, ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当,即时，有最大值，此时， ∴， ∴，， ∴，， 如图所示，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∵将该抛物线沿射线方向平移得到一个新的抛物线，且， ∴可设新抛物线由向左平移个单位，向下平移个单位得到， ∴新抛物线解析式为， ∵新抛物线经过点D， ∴， 解得或（舍去）， ∴新抛物线解析式为， 联立，解得或， ∴； 同理可得直线解析式为； 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴当点Q    在下方时，满足， ∴可设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵当点Q在上方时，，故此种情形不成立； 综上所述，. 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 16．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是点关于轴的对称点． (1)求抛物线的表达式； (2)为直线上方抛物线上一动点，求的面积最大值及的面积最大时点的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点，在上有一动点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，此时 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图形与性质，轴对称的性质，垂线段，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称求最短距离，垂线段最短，相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）利用二次函数的交点式和待定系数法即可求解； （2）直线的关系式为，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，则，表示出，利用表示出面积，再利用二次函数图象的性质求解即可； （3）作点关于直线的对称点，求出点的坐标，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，此时，根据垂线段最短知，的最小值为的长，过点作轴，交直线于点，求出直线的表达式，则可得点的坐标，再利用，求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， ∴， 设直线的关系式为， 将，代入， 得， 解得：， ∴直线的关系式为， 如图，过点作轴于点，交于点， 由题设点的坐标为， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值， 此时， 则最大值为，此时点的坐标为； （3）解：抛物线的对称轴为直线， 作点关于直线的对称点， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 如图，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点， 此时，根据垂线段最短知，的最小值为的长， 如图，过点作轴，交直线于点， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， 设直线的表达式为， 把代入，得， ∴， ∴直线的表达式为， 则点的坐标为， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的最小值为． 题型03、二次函数与三角形的综合问题 17．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）先求出点，再分类求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∵，故有最大值， 此时，则， 即点； （3）解：存在，理由： 设直线的表达式为， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，，故， 过点作轴交轴于点，则， ， 则， 即直线和关于直线对称，故， 设直线的表达式为， 代入，，得， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：(舍去)或5， 即点； 设点，由的坐标得，， 当时，则， 解得：，即点或； 当或时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或或； 综上，点或或或或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 18．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）定义：若抛物线的顶点和与轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时，则称此抛物线为正抛物线． (1)概念理解：如图，在中，，是的中点．试证明：以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线； (2)问题探究：已知一条抛物线经过轴的两点（在的左边），且若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； (3)应用拓展：将抛物线向下平移9个单位后得新的抛物线．抛物线的顶点为，与轴的两个交点分别为（在左侧），把沿轴正半轴无滑动翻滚，当边与轴重合时记为1次翻滚，当边与轴重合时记为第2次翻滚，依此类推，请求出当第2025次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）由中是斜边的中线可得，由抛物线对称性可得，即证得是等边三角形； （2）设抛物线顶点为，根据正抛物线定义得是等边三角形，又易求坐标，即能求点坐标，由于不确定点纵坐标的正负号，故需分类讨论，再利用顶点式求抛物线解析式； （3）根据题意求出抛物线的解析式，并按题意求出的坐标，得到等边，所以即每翻滚3次为一个周期，当翻滚次数能被3整除时，点纵坐标为3，横坐标为，2025能被3整除，代入即能求此时点坐标． 【详解】（1）证明：∵，点是的中点， ∴， ∵抛物线以为顶点轴交于两点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线； （2）∵且，点在轴上，且在的左边， ∴， ∵一条经轴的两点的抛物线为正抛物线，设顶点为， ∴是等边三角形， ∴，， ①当时，设抛物线解析式为把点代入， 可得， ∴， ∴， ②当时，设抛物线解析式为， 把点代入，可得， ∴， ∴． 综上所述，这条抛物线的解析式为或； （3）∵抛物线， ∴向下平移9个单位后得抛物线， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴第一次翻滚顶点的坐标变为，第二次翻滚得与相同，第三次翻滚得， 即每翻滚3次为一个周期，当翻滚次数能被3整除时，点纵坐标为3，横坐标为：， ∵， ∴， ∴第2025次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、直角三角形和等边三角形的性质、图形规律探索等知识，熟练掌握相关知识点的应用是解题的关键． 19．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为：； (2)； (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则，得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况点为直角顶点；点为直角顶点；点为直角顶点分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：点，， ，， ， ，                                       把和代入二次函数中得： ， 解得：，                                   二次函数的解析式为：； （2）解：如图1， 直线经过点和， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为：，                    二次函数， 设点，则， ，       当时，的最大值为， 点的坐标为， ； （3）解：存在， ， 对称轴为直线，       设，分三种情况： 点为直角顶点时，由勾股定理得：， ， 解得：， ；                  点为直角顶点时，由勾股定理得：， ， 解得：， ；                            点为直角顶点时，由勾股定理得：， ， 解得：或， 或， 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数解析式、二次函数的图象与性质、勾股定理、解二元一次方程、解一元二次方程等知识，熟练掌握待定系数法和分类讨论的思想是解答本题的关键． 20．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，顶点为C的抛物线与x轴交于A、B两点，连结，直线，垂足为E交y轴于点D，且． (1)求A、B两点的坐标及a的值； (2)过点B作x轴的垂线与直线交于点F，把（1）中的抛物线向右平移K个单位，使抛物线与线段有交点，试求K的取值范围； (3)与关于x轴成轴对称，如图2，把沿y轴以每秒1个单位向上平移，当Q点与D点重合时，停止运动，记运动时间为t，设与重叠部分的面积为S，求S与运动时间t的函数关系式．问S是否有最大值，若有，求出S的最大值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)点A、B的坐标分别为：， (2)或； (3)有，S的最大值为 【分析】（1）根据题意得点A、B的坐标分别为：，点，由正切函数得出，确定，即可求解； （2）由（1）知，抛物线的表达式为：，平移后的抛物线表达式为：，根据题意得出，然后得出点，代入函数解析式求解即可； （3）设平移后交于点N，交x轴于点T，交于点M，根据等边三角形确定，由题意得：，则，再结合图形求面积确定函数解析式即可得出结果． 【详解】（1）解：对于，当时，， 令，则， 则点A、B的坐标分别为：，点， 则， ∵，则t， 则， 则， 解得：（经检验是方程的根）； （2）由（1）知，抛物线的表达式为：， 则平移后的抛物线表达式为：， 则点，则， 则， 则，即点， 将点F的坐标代入平移后得抛物线表达式得：， 解得：， 而， 则或； （3）连接，设平移后交于点N，交x轴于点T，交于点M，过点N作， 由（2）知，则， 则为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得：，则， 则，， 则 ， ∴S的最大值为． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 21．（2021·浙江嘉兴·一模）已知抛物线与轴交于点，它的顶点为点，点，关于原点的对称点分别力，若，，，中任何三点都不在一条直线上，则称四边形为抛物线的伴随四边形，直线为抛物线的伴随直线． (1)如图所示，求抛物线的伴随直线的解析式； (2)如图所示，若抛物线的伴随直线是，伴随四边形的面积为求此抛物线的解析式； (3)如图所示，若抛物线的伴随直线是，且伴随四边形是矩形． ①用含的代数式表示，的值． ②在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标用含的代数式表示；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①，；②存在，或或或 【分析】（1）利用抛物线的与y轴交于点，它的顶点为点，求出直线解析式即可； （2）首先得出点A的坐标为以及点C的坐标为，进而求出，得出顶点B的坐标求出解析式即可； （3）①由已知可得A坐标为，C点坐标为，以即点B点的坐标为，利用勾股定理求出；②利用①中B点坐标，以及的长度即可得出P点的坐标． 【详解】（1）解：由抛物线与轴交于点，它的顶点为点， 抛物线的与轴交于点，它的顶点为点， 设所求直线解析式为， ， 解得：， 所求直线解析式为； （2）解：如图，作于点，由题意得四边形是平行四边形，点的坐标为， 点的坐标为， 可得：， 平行四边形的面积为， 即， ， ，即顶点在轴的右侧，且在直线上， 顶点的坐标为， 又抛物线经过点， ， ； （3）解：如图，作轴于点 由已知可得坐标为，点坐标为， 顶点在直线上， ，即点点的坐标为， 在矩形中，． ， ， ， ； 存在． 点坐标为，即， ， ， 当， ， 点的坐标为； 如图，当时， 过点作，于点， 点坐标为， 点坐标为， ，，设， ， ， ， 解得：， ， 此时点坐标为：； 同理可以为或， 故点坐标为：或或或． 【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用以及勾股定理和点的坐标性质，一次函数的性质、二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握． 22．（2025·山东济南·一模）已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，点M是抛物线对称轴上的一动点，过点M作轴交抛物线于点C和点D（点C在对称轴的左侧）． (1)如图1，求该抛物线的解析式； (2)作交抛物线于点E，连接． ①如图2，当点E在x轴上时，求点M的坐标； ②若是以为底角的等腰三角形，求点E的坐标． 【答案】(1)； (2)①或；②点E的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①分两种情况讨论：当在轴上方时和当在轴下方时，结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理确定点的坐标，然后代入函数解析式并求解，进一步即可获得答案； ②分两种情况讨论，当点在的上方时，作于点，设，求得，，利用待定系数法求得；当点在的下方时，点在的垂直平分线上，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴抛物线的解析式为， 把代入，可得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：①分两种情况讨论： 当在轴上方时，如下图，设抛物线的对称轴交x轴于点，过点作于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵轴， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， 将代入， 得， 整理得， 解得或， ∴； 当在轴下方时，如下图，设抛物线的对称轴交x轴于点，过点作于点， 设， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， 将代入， 得， 整理得， 解得或， ∴． 综上所述，点的坐标为或； ②当点在的上方时，，且，如图，作于点， ∴，，，设， ∵抛物线的对称轴为直线，轴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴，， ∴，， ∴，代入得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴，， ∴； 当点在的下方时，，且，如图， ∴点在的垂直平分线上， ∴， 综上，点E的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等，其中（2）要注意分类求解，避免遗漏． 题型04、二次函数与四边形的综合 23．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C． (1)求的值； (2)若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值； (3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，此时 (3)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）方法一：连接，，通过表示出函数关系，利用函数的性质进行求解；方法二：作于Q，交于点D，，求得函数关系式，进行求解即可； （3）分两种情况，当四边形为平行四边形时或当四边形为平行四边形时，利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把点和点代入， 得， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， ∴， 方法一：如图1， 连接， 设点， ∴， ∴ ， ∴当时，，此时； 方法二：如图2， 作于Q，交于点D，设解析式为： ∵，则，解得 ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，此时； （3）解：如图3， 当四边形为平行四边形时，， ∵抛物线对称轴为直线：， ∴点的坐标： 如图4，当四边形为平行四边形时，， 作于G， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 当时，， ∴，， ∴，， 综上所述：或或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数与面积问题，二次函数与特殊的平行四边形，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 24．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线上，过点C作轴于点，将沿所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点M在抛物线上，点N在直线上，若存在以A、B、M、N为顶点的平行四边形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)符合条件的P点坐标是或 (3)或或 【分析】（1）先根据翻折得到E点坐标，然后结合，，运用待定系数法求解即可； （2）先说明是等腰直角三角形，设点P的坐标为，然后分点P在x轴上方和下方两种情况分别解答即可． （3）分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，设，，而，，再利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵沿CD所在直线翻折，点A落在点E处，， ∴， 把A，E两点坐标代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：存在，理由如下： ∵，， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ， ∵点P在抛物线上， ∴设点P的坐标为， ①当点P在x轴上方时记为，过作轴于点M， 在中， ∵， ∴， 即， 解得，（舍去）， 当时，， ∴， ②当点P在x轴下方时记为，过作轴于点N， 在中， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴， 综上，符合条件的P点坐标是或． （3）解：∵以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形， 如图，当为对角线时， 设，，而，， ∴， 解得：， ∴， 当为对角线时，如图， 设，，而，， ∴， 解得：， ∴， 如图，当为对角线时， 设，，而，， ∴， 解得：， ∴， 综上：或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数与几何图形综合等知识点，灵活运用二次函数的性质以及其与几何知识的联系是解答本题的关键． 25．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）抛物线，，是常数，． (1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； (2)若抛物线与轴两个交点的横坐标为、，求证：； (3)若抛物线的对称轴为直线，函数图象过点，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1.5 【分析】（1）由可知图象过，则图象不过点，将点，代入抛物线，即可解答； （2）根据根与系数的关系即可得证； （3）将代入得①，根据抛物线的对称轴为直线，可得，整理得②，由①②得到，整理得到，，根据题意，将，代入得，即可解答． 【详解】（1）解：， 图象过， 图象不过点， 将点，代入抛物线， 得， 解得， ； （2）证明：抛物线与轴两个交点的横坐标为、， ，， ， ， ， ； （3）解：将代入得①， 抛物线的对称轴为直线， ， ②， 由①②得到， ， ， ， ， ． 且， ，， ，，， ， ， 将，代入得， 当时，符合， 有最小值1.5． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查了待定系数法求解析式，一元二次方程根与系数的关系，二次函数图象的性质，最值问题，掌握二次函数的相关性质是解题的关键． 26．（2024·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是 ； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，求的面积； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)12； (3)存在，或． 【分析】（1）根据“梦之点”的定义，确定自变量的范围，函数值的取值范围，判断这几个点是否在矩形的内部或边上； （2）根据“梦之点”的定义可得：，确定，，利用二次函数的顶点式可得抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线，利用分割法计算面积即可求； （3）设，由以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，可得，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形的“梦之点”满足，， ∴点，是矩形 “梦之点”， 故答案为：，． （2）解：∵点A，B是抛物线上的“梦之点”， ∴点A，B是直线上的点， ∴， 解得：，， ∴，， ∵， ∴抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的对称轴交于M，则， ∴， ∴． （3）解：存在，理由如下： 设， ∵以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴ 解得：， 当时，， 当时，， ∴或． 【点睛】本题考查了新定义，方程组求交点，分割法求面积，菱形的性质，两点间距离公式，熟练掌握定义，菱形性质，两点间距离公式是解题的关键． 27．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知如图1，二次函数与x轴交于点A，C，且点A在点C的右侧，与y轴交于点B，连结． (1)求点A、B的坐标； (2)如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得，将向左平移个单位得，若与均在抛物线上，求m，n的值； (3)如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结，过P作，与抛物线另一个交点为Q，M，N为上两点，且轴，轴． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②是否存在点P使得与相互平分，若存在，求的长，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)①或②存在， 【分析】（1）分别令，求解即可； （2）根据平移可得，，坐标，再根据二次函数的对称性求解即可； （3）①先求出直线的表达式，设点，则，分两种情况讨论，当时，，再列方程求解，同理再求当即可； ②连接，过Q作交的延长线与T，则，设点的横坐标为，点的横坐标均为，根据平行四边形的性质和判定可求出，再证明，解方程求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， 令，解得：或， ； （2）解：由题意可知，抛物线对称轴为直线， 则点的坐标为：，点，点， ，解得：， 的横坐标为：， 当时，， ； （3）解：①设直线的表达式为， 把、代入得，， 解得：， 直线的表达式为， 设点，则， ， 点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点， ， ， ， ， 轴， ， 当时， ， ， ， 解得：或（舍）， ； 当时， ， ， ， 过B作于H，则， ， ， ， 或（舍）， ， 综上，点的坐标为：或； ②存在，理由如下： 连接，过Q作交的延长线与T，则， 与相互平分， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是的中点， 设点的横坐标为，点的横坐标均为， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或（舍）， ， 在中，． 【点睛】本题为二次函数综合题，涉及二次函数的对称性，求一次函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，综合运用以上知识解题是解题的关键； 题型05、二次函数与相似三角形 28．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图， 抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点 C，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式及点D 的坐标； (2)连接BC、BD、CD，求的面积： (3)已知点E的坐标为，点P在直线DE上，当与 相似时，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)， (2)3 (3)或或或 【分析】本题主要考查求二次函数解析式、勾股定理逆定理、两点间距离公式、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得，再结合可得、，再根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，最后根据三角形的面积公式计算即可． （3），，，再运用勾股定理逆定理结合已知条件可得，然后求得直线的解析式为；设，则，然后分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：将两点代入可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； ∵， ∴顶点为D为． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且． ∴． （3）解：∵，， ∴，， ， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， 当时，， ∴，解得：或， ∴点P的坐标为或； 当时，， ∴，解得：或， ∴点P的坐标为或． 综上，点P的坐标为或或或． 29．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，抛物线经过点、、，点是抛物线在轴上方图象上一点，动直线分别交轴、轴于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)当以为顶点的三角形面积为6时，求出点的坐标； (3)当，点在抛物线上运动时，是否存在点，使得以为直角顶点的与相似，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或； (3)存在点Q，t的值为或 【分析】题目主要考查待定系数法确定函数解析式，面积问题及相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点，作出相应图形进行分类讨论是解题关键． （1）根据待定系数法代入求解即可确定函数解析式； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，过点P作轴，交于点H，则，结合图形得出，然后计算面积求解即可； （3）根据题意得出，且，再由相似三角形的判定得出，利用性质确定，，继续利用待定系数法确定直线的解析式为，联立两个函数确定交点，，再由两点之间的距离得出，，分两种情况，当时，当时，作出图形，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、、， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）设直线的解析式为， ∴，解得：， 直线的解析式为， 设，过点P作轴，交于点H，则， 如图所示： ∴， ∵， 解得：， ∴点的坐标为或； （3）∵直线分别交轴、轴于点． ∴当时，，当时，， ∴，且， ， ， ， ， ， ∴即， ∴， ∴， 同理得：直线的解析式为， 联立得：， 解得：，， ∴，， ∴， 同理：， 在中，， 当时，如图所示： ∴， ∴即， 解得：或， 经检验：或均是原方程的解， ∵， ∴； 当时， ∴， ∴即， 解得：， 经检验：是原方程的解， 综上可得：存在点Q，t的值为或． 30．（24-25九年级下·甘肃武威·开学考试）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已点B的坐标是，． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点Q，求的最大值及此时P点的坐标； (3)点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点D的坐标． 【答案】(1)直线； (2)最大值为，此时点P的坐标为：； (3)或． 【分析】（1）由抛物线解析式可求得点C的坐标，从而由可求得点A的坐标，再用待定系数法即可求得抛物线的解析式，从而求得抛物线的对称轴； （2）过点Q作轴于点H，易得为等腰直角三角形，则，因而有；求出直线的解析式为，设点P的坐标为，求得，则得关于m的二次函数，利用二次函数的知识即可求解； （3）设点D的坐标为，由题意得，，；分两种情况讨论：①当时，②当时；利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C， 令，得， ∴点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， 即点A的坐标为， ∵点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式是，即； ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：过点Q作轴于点H，如图1所示： ∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为， ∵轴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值，且最大值为， ∴的最大值为，此时点P的坐标为： （3）解：如图2， 设点D的坐标为， ∵， ∴为的锐角三角形，所以也是锐角三角形， ∴点D在点C的上方， ∴， ∴， ∵，，， ①当时， ∴，即， 解得：， 即点， ②当时， ∴，即， 解得：， 即点， 综上所述：符合条件的点D的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，注意分类讨论，灵活运用这些知识是解题的关键． 31．（2025·甘肃·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点三点，其对称轴为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点． ①当时，求的长； ②若，，的面积分别为，且满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）根据点坐标可以求出，根据对称轴直线可以求出； （2）①过作于，根据三角形内角和定理，可以得出，所以可以得出，设直线的表达式，从而得出和的坐标，再根据两点距离公式求解即可； ②过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，根据，可得，即，证明，设，得到直线的解析式，求出点D的坐标，即可得到点的坐标，将点E的坐标代入解方程，即可解答． 【详解】（1）解：令，， ， 抛物线的对称轴直线为：， ， ； （2）解：令，则或， ，， 直线的表达式为：， 设直线的表达式为：， ， 联立直线和的表达式： ， ， ①过作于，如图： ， 又， ， 又， ， 为等腰三角形， ， 即， 解得：，（不符合题意的已舍） ； ②解：如图，过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，   ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，即点D的横坐标为， ， 设的解析式为，将，， 代入得， 解得， 的解析式为， ，即， ， 四边形是矩形， ， ，即， 将代入， 得， 解得，（舍去）， ． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数，二次函数与一元二次方程，两点之间的距离，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 题型06、二次函数与圆的综合问题 32．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，交轴于点，以为直径作经过点，连接． (1)求的圆心的坐标； (2)如图1，点是延长线上的一点，的平分线交于点，连接，求直线的解析式． (3)如图2，在（2）的条件下，是上一动点（不与点重合），连接是中点，连接，求的最大值． 【答案】(1)点的坐标为； (2)； (3)． 【分析】（1）先令，求得点、的坐标分别为：，根据是直径，即可求解； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据题意可得，根据圆周角定理可得，圆的半径为，进而可得点的坐标为，待定系数法求解析式，即可求解． （3）连接，由垂径定理可得，，取中点，则在以为圆心，为半径的圆上运动．当运动到如图点位置时（即经过圆心时），最长，进而勾股定理即可求解． 【详解】（1）解： ，令， 解得：或， 故点、的坐标分别为：， 是的直径，故为的中点， 点的坐标为； （2）连接 是直径 ， ， 的平分线为， ， ，即， 圆的半径为， 故点的坐标为， 又， 设直线的表达式为： 则， 解得：， ∴直线的表达式为：； （3）连接， ∵是的中点， 由垂径定理可得，， 取中点，则在以为圆心，为半径的圆上运动． ∴当运动到如图点位置时（即经过圆心时），最长． 在中，，由勾股定理可得， ． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，圆周角定理，垂径定理，一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 33．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标． (3)如图3，连结，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连结，在点P运动过程中，中是否存在一个内角，使其等于，若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，P的横坐标为：或3或或或5 【分析】（1）点A坐标为代入，得，即可作答． （2）令，得或，再令，则，根据，利用两点距离公式列式计算，即可作答． （3）分类讨论：、和，注意结合图象性质以及灵活作出正确的辅助线，勾股定理、相似三角形、全等三角形的性质与判定等，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，且点A坐标为， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为： （2）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ∴令，即 解得或， 令，则， ∴， 设点D的坐标为，由题可知，， ∴ 解得， ∴ （3）解：存在，理由如下：在中，， 根据题意，中是否存在一个内角，使其等于，需要分以下三种情况： ①当时，如图3-1，过点C作于点E，过点E作轴于点F，过点B作轴交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ 设，则， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵ 设直线的解析式为 把点和点的坐标代入， 得 解得， ∴直线的解析式为：， 令 解得（舍）或； ②当时， 当点P在上方时，如图3-2，此时轴， ∴令 解得； 当点P在x轴下方时，如图3-3，设与x轴交于点H， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得，， 即， 解得 ∴ 设直线的解析式为 把点和点的坐标代入， 得 解得 ∴直线的解析式为： 令 解得（舍）或 ③当时，如图3-4，过点B作交的延长线于点M，过点B作轴，分别过点M，P作x轴的平行线，交于点N，G， ∴ ∴ ∴， ∴ 设点P的横坐标为，则 ∴，， ∴ ∴ 设直线的解析式为 把点和点的坐标代入， 得 解得 ∴直线的解析式为： 将点M的坐标代入上述解析式，可得 整理得， 即， ∴或（因为，舍去）或 综上，符合题意，P的横坐标为：或3或或或5 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合：涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的性质与判定、勾股定理，全等三角形的性质与判定等内容，难度大，综合性强，学会正确作辅助线以及分类讨论是解决（3）的关键． 34．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，已知点A的坐标是，点B的坐标是，以为直径作，交y轴的负半轴于点C，连接，过A，B，C三点作抛物线． (1)求点C的坐标及抛物线的解析式； (2)点E是延长线上一点，的平分线交于点D，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）证明得到，已知A、B两点的坐标即可得出、的长，据此求出的长，即可得出C点的坐标．然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）平分，如果连接，那么根据圆周角定理即可得出，由此可得出D的坐标； （3）分两种情况进行讨论：①过D作，交D点右侧的抛物线于P，此时，可先求出直线的解析式，然后根据及D的坐标求出的解析式，联立直线的解析式和抛物线的解析式即可求出交点坐标，即可得出符合条件的P点；②同①的思路类似，先作与相等的角：在上取一点N，使．可通过证，得出，然后同①的方法一样，先求直线的解析式，进而可求出其与抛物线的交点即P点的坐标． 【详解】（1）解：∵以为直径作，交y轴的正半轴于点， ∴， ， 又， ， 又∵， ， ． 又，， ∴ ， 解得或（舍去）， ， 设抛物线解析式为， ， 解得， 二次函数的解析式为， 即． （2）解：为的直径，且，，， ， ∴， 点E是延长线上一点，的平分线交于点， ， 连接，则，即， ∵， ． （3）解：解：分两种情况： ①当时，此时有， ，． 用待定系数法可求出直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 把代入中可得，，解得， ∴直线的解析式为． 联立， 解得或， 点坐标为，坐标不符合题意，舍去． ②设交于M，在线段上取一点N，使， ∵， ∴， ， ∴射线与抛物线的交点即为所求， 由①知，直线解析式为， 在中，当时，得， ， ， ∴， ， 同理可知直线解析式为． 联立， 解得（舍去）或者， 点的坐标为． 综上所述，符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与圆综合，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 35．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，抛物线交x轴于点、 ，交y轴于点 C，顶点为 D， 以为直径的恰好过点C． (1)求顶点D的坐标（用a的代数式表示）； (2)求抛物线的解析式； (3)抛物线上是否存在点P 使为直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，、、 【分析】（1）根据抛物线交x轴于点、，得出抛物线的对称轴为：直线，求出，把代入得：，求出，把代入得：，即可求出顶点坐标； （2）连接，根据圆的知识得出，先求出点C的坐标为，根据中点坐标得出，根据两点间距离公式得出，，即可得出，求出a的值，即可得出答案； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点、， ∴抛物线的对称轴为：直线， ∴， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， 把代入得：， ∴顶点坐标为：； （2）解：连接，如图所示： ∵为的直径， ∴，， ∴， ∴， 把代入得：， ∴点C的坐标为， 根据中点坐标公式得：，即， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴抛物线的解析式为：； （3）解：存在； 根据解析（2）可知：， ∴当点P在点C处时，，为直角三角形， ∴当点P的坐标为时，符合题意； 当时，过点D作轴，过点B作于点E，过点P作于点F，如图所示： 设点P的坐标为， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点，， ∴，， ∵，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴此时点P的坐标为； 当时，过点B作轴，过点D作于点E，过点P作于点F，如图所示： 设点P的坐标为， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点，， ∴，， ∵，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为：、、． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，中点坐标公式，两点间距离公式，三角形相似的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 36．（2025九年级下·浙江宁波·学业考试）已知：矩形（字母顺序如图）的边长，将此矩形放在平面直角坐标系中，使在x轴正半轴上，而矩形的其他两个顶点在第一象限，且直线经过这两个顶点中的一个． (1)求出矩形的顶点A，B，C，D的坐标． (2)以为直径作，经过A，B两点的抛物线的顶点是点P． ①若点P位于外侧且在矩形内部，求a的取值范围． ②过点C作的切线交于点F，当时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线的上方，还是下方，还是正好落在此直线上，并说明理由． 【答案】(1)，，，； (2)①；②抛物线与y轴的交点Q在直线的下方，见解析 【分析】（1）设出点A的坐标，根据矩形的性质得到点B，C，D的坐标，然后分情况讨论点C，D是否在直线上，进而求得m的值； （2）①根据（1）问的结果用待定系数法求得二次函数的解析式及顶点坐标（用a表示），根据顶点的位置列不等式组求解；②问的关键是要确定a的值，即确定点P的纵坐标，由，我们可退一步考虑确定点F的坐标，因此设的长度为n，根据切线长定理将n转化到中用勾股定理求n的值，进而确定，点F，P的坐标． 【详解】（1）解：设． ∵在矩形中，， ． 若点C过直线，则，解得，与矛盾， ∴点C不在直线上， 若点D在直线，则，解得，符合题意，． （2）解：①以为直径，． ， ∵抛物线过和两点， ， ， ， ∴抛物线顶点． ∵顶点在外侧且在矩形内部， ， ， ②抛物线与y轴的交点Q位于直线的下方．   理由：记切线与相切于点N．设． 均为的切线，， ， ∵在中，， ， 解得， ， ∵， ∴点P的纵坐标为， ， ， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线与y轴的交点为． ∵直线与y轴交点为， ∴抛物线与y轴的交点Q在直线的下方． 【点睛】本题综合考查了矩形的性质、图形与坐标的关系、待定系数法求函数解析式、切线长定理及勾股定理，解题思路较常规，熟练运用数形结合及方程思想是解题的关键． 37．（2025九年级下·浙江·学业考试）已知：如图，抛物线经过轴上的两点和轴上的点的圆心在轴上，且经过，两点．若， (1)求抛物线的解析式． (2)设点在抛物线上，且，两，点关于抛物线的对称轴对称，问直线是否经过圆心，并说明理由． (3)设直线交于另一点，求经过点的的切线的解析式． 【答案】(1) (2)直线经过圆心P，详见解析 (3) 【分析】（1）将代入解析式，令根据根与系数的关系以及，得出的值，进而得出解析式； （2）已知点坐标，可求直线的解析式，连接，设的半径为，求出，的值即可． （3）过点作轴于，可求得，求出点的坐标．然后由相似三角形的性质求得，记经过点的的切线交轴于点，进而得出的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． 【详解】（1）解： ． 又， ∴令 ，， 解得 ， ∴抛物线的解析式是． （2）直线经过圆心P．   理由：由（1）得抛物线的对称轴为直线， 令， 解得 ， 设直线的解析式为 ∴ 解得：, ∴直线的解析式为． 连结．设的半径为R． 在中，， 解得， ∵点P的坐标满足， ∴直线经过圆心P． （3）如图，过，点E作轴于点F，则． ∵ ∴， ． 记经过点的的切线交轴于点，则， 又 ， ， 即， 解得． ∵ 设过点E的的切线为． 将代入， 得 解得 ∴过点E的的切线的解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，一元二次方程根与系数的关系，切线的性质，垂径定理，勾股定理，切线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 38．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标； (3)如图3，连接，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连接，在点P运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为 【分析】（1）代入到抛物线中，得到，即可求出抛物线的解析式； （2）由于经过、两点, 则，设，根据勾股定理得到，利用列出方程求出的值即可得出答案； （3）由题意得，需要分类点在轴上方或下方两种情况讨论，结合图形利用构造出等腰直角三角形，再利用全等三角形的性质与判定求出点的坐标即可解答． 【详解】（1）解：代入到抛物线中， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由（1）得：抛物线的解析式为， 当时，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∵经过、两点， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， ∴点坐标为． （3）解：存在，理由如下： ①当点在轴上方抛物线上时，作于点，作轴于点，于点，如图所示，    由（2）得：，， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， 直线的解析式为， ，， ， ， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，点横坐标为， ∴点坐标为 ， ∵点在抛物线上， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，点坐标为，与点重合，不符合题意，舍去； 当时，点坐标为，不在轴上方的抛物线上，舍去； 故点不存在； ②当点在轴下方时，作，轴，于点，如图所示，   ，， ， ， ， 同理①中的方法可得：， ∴，， 设，， 则，解得：， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点坐标为； ∴综上所述，点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、圆的基本性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用，掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于二次函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决难题的学生． 考点二、二次函数常考问题 题型01、二次函数实际应用问题 39．（24-25九年级上·浙江温州·期中）某企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润与投资金额成正比；乙产品的利润与投资金额成二次函数关系，其关系如图：其中点、、的坐标分别为，，． (1)分别求出甲，乙两种产品的利润与投资之间的关系式； (2)若该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入多少资金才能使企业获利； (3)该企业准备筹集万元投入甲，乙两种产品的生产，且该企业计划两种产品最小利润不低于资金额的，那么该企业至少要筹集到多少资金？ 【答案】(1)； (2)该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入超过12万元资金才能使企业获利 (3)该企业至少要筹集到80万元资金 【分析】本题考查了正比例函数、二次函数的应用； （1）由待定系数法即可求解； （2）当时，解方程，即可求解； （3）设该企业准备筹集万元投入乙两种产品的生产，则投入甲种产品的资金为万元，设总利润为万元，进而求得，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，设甲产品的利润为：， ∵在函数图象上， ∴，解得：， ∴甲产品的利润与投资之间的关系式为； 设乙产品的利润与投资金额的函数关系为： 将代入得， 解得： ∴， （2）当时，， 解得：． ∴该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入超过万元资金才能使企业获利； （3）设该企业准备筹集万元投入乙两种产品的生产，则投入甲种产品的资金为万元，设总利润为万元， ∴ 函数y的对称轴为直线， 当时，， ∴， 解得：， 答：该企业至少要筹集到80万元资金． 40．（2024九年级上·浙江·专题练习）根据以下素材，探索完成任务： 素材一 太阳光线与地面的夹角叫做太阳高度角．冬至是北半球各地白昼时间最短、黑夜最长的一天；夏至是北半球各地黑夜时间最短、白昼最长的一天．设冬至这天正午时刻太阳高度角为α，夏至这天正午时刻太阳高度角为β． 素材二 厂家设计了可伸缩抛物线型遮阳棚，其侧面示意图如图1所示．曲线为遮阳棚，为遮阳棚安装在窗户上方的支架，，线段的长度称为遮阳棚的跨度．已知遮阳棚所在的抛物线与抛物线的形状相同． 素材三 如图2，为小明家的朝南窗户，测得，，窗户的高度为1.5米．为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，在安装遮阳棚时，需根据实际计算遮阳棚的跨度（的长）． 素材四 春节前期，小明想在遮阳棚顶部挂一盏高为0.3米的灯笼（如图3）．如图4，灯笼与窗户的水平距离为m米，灯笼的底端（点D）与窗户的上沿（点B）的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点C）与悬挂点（点N）的距离为d米． 解决问题 任务1 求小明家所需的遮阳棚的跨度． 任务2 当时，求m的值． 任务3 现要求且，求d的取值范围． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【分析】任务1，过点M作垂线交于点E，交于点F，根据的高度为1.5米，，可以得到，即可求出的长度，即遮阳棚的跨度； 任务2，求出点N坐标，根据用待定系数法求出，将点N代入可以求出m的值． 任务3，将点N坐标代入得，，配方求出，解得，当时，可以求出d的取值范围． 【详解】任务1： 过点M作的垂线交于点E，交于点F，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴小明家所需的遮阳棚的跨度长为； 任务2： 以点A为坐标原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图： 由任务1可知，， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∵点N坐标为， ∴， 解得； 任务3： ∵点N坐标为， ∴， 令， ∵， ∴当时，w取最小值，最小值为2.1875， 当时，w取大值，最大值为2.25， ∴w的取值范围， 即， 解得， 当时， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用．熟练掌握题目展示素材，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，函数与方程与不等式，锐角三角函数解三角形，是解决问题的关键． 41．（24-25九年级上·浙江台州·期末）综合实践小组研究某个篮球自由落地和反弹现象． 实验探索：该小组把该篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高度，得到数据如下表： 试次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 下落高度 80 90 100 110 120 反弹高度 40 45 50 56 60 任务1：请选择适当的函数模型描述该篮球反弹高度与下落高度之间的关系，设出变量，求出函数解析式； 解决问题：该小组进一步提出研究篮球各次反弹的最高点出现的时间间隔规律，经查阅资料发现，篮球第一次从高度为（单位：）处落下到达地面的运动过程中，其高度（单位：）与运动时间（单位：s）的函数关系是，其中为重力加速度．第一次自由下落及以后每次反弹再落地的过程中，篮球离地高度都是运动时间的二次函数，且它们的二次项系数相同． 任务2：根据任务1中发现的规律，求篮球从高为（单位：）处下落到第一次反弹到最高点所用的时间（用只含已知量，的式子表示）； 任务3：篮球从处下落，的值取．当篮球反弹高度小于时，下次不再反弹．直接写出篮球反弹的总次数，并用式子表示篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间（用只含反弹次数的式子表示）． 【答案】任务：；任务：所用时间是；任务：篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间为 【分析】任务：由表格可知该篮球反弹高度与下落高度之间的关系满足一次函数关系，再利用待定系数法求解析式即可； 任务：当时和时，求出的值即可； 任务：根据规律求出第次反弹到最高点的时间和第次反弹到最高点的时间即可； 本题考查了一次函数和二次函数的应用，二次根式的运算，找规律，掌握函数的性质及应用是解题的关键． 【详解】解：任务：设下落高度为，反弹高度为， 由表格可知该篮球反弹高度与下落高度之间的关系满足一次函数关系， 设， 当，；，时， ， 得， ∴函数解析式为； 任务：当时，， ∴， 当时，， ∴ ∴所用时间是； 任务：由， 则反弹次， 最开始从最高点到落地的时间， 第次反弹到最高点的时间 ， 第次反弹到最高点的时间 ， 第次反弹到最高点的时间， ∴篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间为 ． 42．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）根据下列素材，完成相应任务 仓储品装容的优化设计 素材1 如图1是某个仓库，图2是其横截面的示意图，已知墙体米，米，水平距离米，其顶部的轮廓为抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系后它可以近似地用函数 表示 素材2 图3是棱长为的立方体仓储品，将四件一样的仓储品如图4所示叠放在处，．当叉车要取货物时，需要将其向上抬升，沿水平方向移动1米后取出． 素材3 如图5，为保证能够用叉车安全顺利地搬运和放置仓储品进出仓库，需设计三条宽度为2米的过道，以及在过道之间设计两块宽度不少于2米的仓储区域． 要求： ①靠近过道的仓储品需从就近过道搬运，其余可从左或右搬运． ②尽可能多的装容仓储品． 问题解决 任务1 确定顶部形状 求仓库离地的最大距离． 任务2 确定摆放高度 当米时，试分别判断叉车能否从左边或右边取出？请说明理由． 任务3 设计最优方案 已知该仓库的长为50米，请你根据素材和要求设计：仓储区 米， 米，仓库最大仓储品容量为 件． 【答案】任务1：仓库离地的最大距离为6.35；任务2：可以从右边取出，理由见解析；任务3：2，4，1520 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用—几何问题；二次函数的实际应用—拱桥问题： 任务一：利用已知条件可得到点A，B的坐标，再把A、B两点的坐标代入二次函数解析式中可得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，可得到函数解析式，再利用二次函数的性质，可求出y的最大值． 任务二：分别将代入函数解析式，分别求出对应的y的值，再比较大小，可作出判断． 任务三：为求仓储区面积最大，故反面则为过道区尽可能小，结合函数对称性及整数位置对应函数值进行高度判断，找出最小的过道布置即可 【详解】解：任务1：∵米，米，水平距离米，其顶部的轮廓为抛物线的一部分 ， ∴点，点， ∵点A，B在函数上， ∴解得：， 所以函数解析式为， ∵抛物线的开口向下， ∴当时． ∴仓库离地的最大距离为6.35． 任务二：∵ ．当叉车要取货物时，需要将其向上抬升，沿水平方向移动1米后取出，； 当时，， ∴无法从左边取出， 当时，， 当时，， ∴可以从右边取出； 任务3：为使得仓储区越大，过道区所占平面应尽可能小，即三块2米的过道，尽可能布设在较小的区域内， 记表示不超过y的最大整数． 由（1）得：， 可计算整数格大致高度，如下， x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.33 5 5.53 5.93 6.2 6.33 6.33 6.2 5.93 5.53 5 在时，由对称可知，结合计算与对称性， 当时与时其对应y值相同，即仓库高度相同；考虑到需要上抬货物10厘米， ∴有，时，层高为4；或时，层高为5；时，层高为6； 故最少的过道占地为： ①第一块过道，即时，根据题意，此时必然是仓储区， 故至少剩余， ②为了尽量增加存储，为过道时，存储量最大，层高为6，层高为5； ③由题意，第为三块过道， 故最后仓储区剩余空间最大，其仓储平面区域为放8件，放18件，放5件． 综上所述，仓储区容量为：(件) 故设计要求为：，最大容量为1550件． 故答案为：2，4，1500 43．（2020九年级·浙江嘉兴·学业考试）受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格(元/)与周次(是正整数，)的关系可近似用函数刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格(元/)从第5周的6元/下降至第6周的5.6元/，与周次()的关系可近似用函数刻画． (1)求，的值． (2)若前五周该蔬菜的销售量与每周的平均销售价格元之间的关系可近似地用如图所示的函数图象刻画，第周的销售量与第周相同： ①求与的函数表达式； ②在前六周中，哪一周的销售额元最大？最大销售额是多少？ (3)若该蔬菜第7周的销售量是，由于受降雨的影响，此种蔬菜第周的可销售量将比第周减少．为此，公司又紧急从外地调运了此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第周的销售价格比第周仅上涨．若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第周刚好持平，请通过计算估算出的整数值． 【答案】(1)， (2)①；②第周或第周销售额最大，最大销售额是元 (3) 【分析】本题考查了一次函数、二次函数的实际应用以及一元二次方程的应用， （1）利用待定系数法即可求解； （2）①利用待定系数法即可求解； ②分和两种情况讨论，利用销售额=销售量销售价格，再运用二次函数的性质求解即可； （3）由题意列一元二次方程计算出的值，再利用估算法即可求解． 【详解】（1）把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故答案为：，； （2）①设函数关系式为： 把，代入得：， 解得：， 与的函数表达式为：； ②当时， ，， ， ， 是正整数， 当或时，有最大值； 当时，，， 当时，，， ， 是正整数，， 当时，有最大值； 综上所得：第周或第周销售额最大，最大销售额是元； （3）由题意得： ， 解得：或(舍去)， ∵， ∴． 44．（21-22九年级上·浙江台州·期末）疫情就是命令，台州新冠疫情防控指挥部安排某中学进行了核酸检测采样演练，演练下午3点开始，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，学生陆续到操场排队，4点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表： 时间x（分） 0 15 30 45 75 90 95 100 110 人数y（个） 60 115 160 195 235 240 180 120 0 小明把记录的数据，在平面直角坐标系里，描成点连成线，发现满足学过的某些函数图象如图，请你解答： (1)求曲线ABC部分的函数解析式； (2)若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？ (3)如果采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，指挥部要求4点15分后，采样可以随到随采，那么至少需新增多少个采样窗口？ (4)疫情防控指挥部按照每个采样窗口与某中学相同采样速度对员工人数为600的某单位进行全员核酸检测，如果采样时间t（分钟）控制在30分钟到60分钟之间（即30≤t≤60），则开设的采样窗口数量n（个）的范围是 ． 【答案】(1) (2)分 (3)至少需新增4个采样窗口 (4) 【分析】（1）将，，三点坐标代入二次函数解析式中即可； （2）利用待定系数法将一次函数解析式求出来，然后将分别代入两个函数求出，相减即可得出答案； （3）首先利用一次函数求出一个窗口每分钟可以采样的人数，然后表示出总窗口数与时间的表达式，按照要求大于当前的人数即可； （4）利用采样窗口数量表示出采样时间，代入要求的时间范围内即可得出答案． 【详解】（1）解：设曲线部分的函数解析式为：， 将，，代入得， ， 解得，，， 曲线部分的函数解析式为：； （2）解：设的解析式为：， 将，代入， ， 解得：，， 的解析式为：， 将代入中， 解得：或（舍去）， 将代入中， 解得：， ， 满负荷状态的时间为分； （3）解：设至少需要新增个窗口， 1个窗口1分钟采样的人数为：， 分时的排队人数为： 将代入中， 解得：， 分至分之间采样的人数为： ， ， 点15分后，采样可以随到随采表示595人需要在30分钟内采样完毕， ， 解得：， 为整数， ， 至少需新增4个采样窗口； （4）解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，一次函数图象与性质的实际应用，解题的关键是正确提取图象信息，正确求解解析式，理解问题中给出的限制条件． 45．（23-24九年级上·浙江温州·期中）根据素材回答问题： 素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路，，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，，且与的距离为10米，与的距离为8米．    素材2 现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计． 任务1 任务2 小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．      若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．    项目反思 如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．    【答案】任务1：花圃的面积为208；任务2：图4方案的最大面积更大，为273；项目反思：图5方案最大面积更大 【分析】任务1：根据矩形面积公式和正方形面积公式求解即可； 任务2：由图3，设，花圃面积为，则，由题意可得花圃面积，结合一次函数的性质计算该方案的最大面积；由图4，设，花圃面积为，则，由题意可得花圃面积，结二次函数的性质计算该方案的最大面积，即可获得答案； 项目反思：延长交于点，过点作于点，易得为矩形，进而可知，设，花圃面积为，则，，，由题意得列出函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：任务1：如图2， 由题意可知，则， 矩形面积为， ()， 答：花圃的面积为208； 任务2：由图3，设，花圃面积为，则， 由题意得：， 因为， ∴当时，有最大值，最大值为()； 由图4，设，花圃面积为， 则， 由题意得：， ∴当时，y有最大值为273， 所以，图4方案的最大面积更大，为273； 项目反思：如下图，    延长交于点，过点作于点， 易得为矩形， ∴， ∵， ， 设，花圃面积为， 则，，， 由题意得：， ∴当时，花圃面积有最大值， ∵， ∴图5方案最大面积更大． 【点睛】本题主要考查了矩形面积公式、一次函数的应用、二次函数的应用等知识，正确的求出函数解析式是解题的关键． 46．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知：点的坐标为，，，，，． (1)当抛物线过点，且与轴交于点时，点的坐标为___________，抛物线的解析式为_______________； (2)在（1）的条件下，若点的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网（线段）的长度至少为多少米； (3)设该抛物线的表达式为，若抛射点不变，为保证演员表演时落在平台上（即抛物线与线段有交点），请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)保护网（线段）的长度至少为9米； (3) 【分析】（1）过点F作轴，过点E作，先求出，，然后用待定系数法即可求解； （2）由平行于x轴，点N的坐标为，得出点M纵坐标为，代入解析即可得解； （3）由发射点F不变，得出抛物线一定经过，然后分再经过，两种情况，讨论即可得解； 【详解】（1）解：过点F作轴于，过点E作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴点F的坐标为， ∵，点A的坐标为， ∴点B的坐标为， ∵抛物线y轴交于点， ∴设抛物线的表达式为， 将点和点代入得： 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵平行于x轴，点N的坐标为， ∴点M纵坐标为， 当时，代入抛物线解析式得， 解得：（舍去），， ∴，即保护网（线段）的长度至少为9米； （3）解：由（1）知：，，， ∵发射点F不变， ∴抛物线一定经过， ∴当抛物线经过，时， 代入得， ∴ ， 当抛物线经过，时， 代入得， ∴ ， ∵抛物线必经过平台， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，理解题意是关键． 47．（2025·广东深圳·一模）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口位于桌面左上方，桌面的长为，过点作，垂足为，，以点为原点，以直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分，设乒乓球与出球口的水平距离为，到桌面的高度为，在桌面上的落点为，经测试，抛物线的解析式为，且当时，． (1)求出与之间的函数关系式； (2)桌面正中间位置安装的球网的高度为，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？ (3)乒乓球落在点后随即弹起，沿抛物线的路线运动，小明拿球拍与桌面夹角为接球，球拍击球面的中心线长为，下沿在轴上，假设拋物线，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点E在点C右侧），直接写出： ①点为的坐标为__________； ②球拍到桌边的距离的最大值是__________，的最小值是__________． 【答案】(1)； (2)乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离为； (3)①，②，． 【分析】本题主要考查二次函数的图象上点的坐标特征，求二次函数关系式，掌握二次函数的图象上点的坐标特征以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． （1）把，代入，然后即可求解与之间的函数关系式； （2）先求得，然后当时，，然后即可求解； （3）①根据与的函数关系式可求出点的坐标； ②根据乒乓球反弹后抛物线的关系式以及解直角三角形可求出的最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：把，代入，解得：； ∴； （2）解：由题意得，， ∴， 当时，． ∴乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为． 答：乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为． （3）解：①当时，即， 解得：，， ∴由题意可得； ②由（1）得：， ∵乒乓球反弹后沿抛物线的路线运动，而， ∴， 解得：． ∴乒乓球反弹后沿抛物线的关系式为：， 当乒乓球反弹后沿抛物线过点时（即此时抛物线与轴的右交点为点）， 当时，，． ∴， 当乒乓球反弹后沿抛物线过点时，过点作轴于，如图： 在中，，， ∴，， 当时，即， 解得：（在上舍去），， 即， ∴， ∴， ∴球拍到桌边的距离的最大值是，的最小值是． 题型02、二次函数与图形面积问题 48．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点．    (1)直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)最大值为，点的坐标为 (3)当或时，线段与抛物线只有一个公共点 【分析】（1）令，由，得点坐标，令，由，得点坐标，将、的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式； （2）连接，设，得到，再根据二次函数的性质求得最大值，便可得点的坐标； （3）根据旋转性质，求得点和点的坐标，令点和点在抛物线上时，求出的最大和最小值便可． 【详解】（1）解：令，得， ∴， 令，由， ∴； 把、两点代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； 令，得， 解得：或， ∴； （2）解：连接，如图，    设， 则 ， ∴当时，四边形面积最大，其最大值为， 此时M的坐标为； （3）解：∵将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，如图，    ∴，， ∴，， 当在抛物线上时，有， 解得，， 当点在抛物线上时，有， 解得，， ∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点． 【点睛】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（3）关键是确定，点的坐标与位置． 49．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，经过原点的抛物线交轴正半轴于点A，过点作直线轴于点，交抛物线于点，记点关于抛物线对称轴的对称点为，连结，． (1)用含的代数式表示的长； (2)连结，当为何值时，？ (3)过点作于点，交延长线于点． ①当时，判断点是否落在抛物线上，并说明理由； ②延长交于点，在上取一点，连结，若，且与的面积相等，则的值是______． 【答案】(1)； (2)为； (3)①在，理由见解析；②． 【分析】先确定和抛物线的对称轴，利用对称性得到，即可用表示的长； 解方程得，再利用两点间的距离公式得到，，，根据勾股定理的逆定理得到，再解方程即可得到的值； 当时，抛物线的解析式为，点坐标为，点坐标为，再利用待定系数法求出直线的解析式为，则可得到，然后根据二次函数图象上点的坐标特征可判断点是否在抛物线上；②作于，利用等腰三角形的性质得，根据，，得到，得到四边形是正方形，根据，推出，根据，推出，根据，求出直线的解析式为，当时，求出，求出，得到，即的值为． 【详解】（1）当时，， ∴， ∵对称轴为直线， ， ； （2）当时，， 解得，， ∴， ∴， ， ， 当，为直角三角形，， 即， 整理得， 解得，舍去， 即当为时，； （3）①在．理由如下： 当时，抛物线的解析式为， ∴点坐标为，点坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， ∵时，， 点在抛物线上； ②过点C作于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形，设边长为z， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 即的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合．熟练掌握一次函数与二次函数的图象和性质，勾股定理的逆定理判定直角三角形，等腰三角形的性质，正方形判定和性质，全等三角形判定和性质，待定系数法求函数解析式，两点之间的距离公式，是解决问题的关键． 50．（2025·山西运城·一模）综合与实线 如图，抛物线与x轴的交点分别为，，与y轴交于点C，连接，P为线段上方的抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，过点P作轴交直线于点当时，求点P的坐标． (3)如图2，连接，在点P运动的过程中，是否存在点P，使得四边形的面积最大？若存在，求出点P的坐标及四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为； (3)存在，点P的坐标为，四边形的面积最大，最大值为 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积公式，勾股定理，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键． 将点和代入解方程组得到结论； 由得点，，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为；设点，得到，根据勾股定理得到，根据题意列方程即可得到结论； 如图2，过点P作轴交直线于G，设点P的坐标为，则，根据点的坐标得到，，，根据三角形的面积公式得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：将点和代入得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由得点，， 设直线的解析式为， 解得， 直线的解析式为； 设点， 轴， ， ， ， ， ， 解得或不合题意，舍去， 当时，， 点P的坐标为； （3）存在． 如图2，过点P作轴交直线于G， 设点P的坐标为，则， ，，， ，，， ， ， 当时．有最大值，最大值为， 点P的坐标为，四边形ABPC的面积最大，最大值为 51．（24-25九年级下·广东中山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 已知抛物线 与轴交于，两点， 与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为，的长为，求出关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当点在轴右侧的抛物线上时，连接交于点 ，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将、两点的坐标代入解析式，即可求解； （2）根据题意得，则，运用待定系数法得到直线的解析式，则，，，由此即可求解； （3）①当在直线的下方时，，过作轴交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，可得，即可求解； ②当与重合时，，此种情况不存在；③当在直线的上方时，，与直线无交点，进而求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， 抛物线解析式为； （2）解：由（1）可得，， 设点的横坐标为， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， ，， ， ； （3）解： ①当在直线的下方时，， 如图所示，过作轴交于， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ，， 当时，的最大值为； ②当与重合时，， 此种情况不存在； ③当在直线的上方时，，连接与直线无交点，此种情况不存在； 综上所述：的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数与线段综合问题，二次函数与三角形面积综合问题，相似三角形的判定及性质，二次函数的性质等；掌握待定系数法，能构建相似三角形进行求解是解题的关键． 52．（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中、为常数）的图象经过和两点，点在该抛物线上，其横坐标为，点A在轴上，其横坐标为，以点为对称中心构造矩形，轴． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)当该抛物线的顶点在矩形的边上时，求的值； (3)当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，求的取值范围； (4)当以点、和该抛物线的顶点为顶点的三角形的面积是矩形的面积的时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据中心对称的性质求出点的坐标，再求出抛物线的顶点坐标，根据点的纵坐标与抛物线顶点的纵坐标相等，建立方程即可求解； （3）先求出抛物线与的交点坐标及当时，抛物线上的点的横坐标，分当时，当时，当时，当时，当时，画出示意图，根据图象解答即可； （4）由（2）知，，求出，，抛物线的顶点坐标为，求出抛物线的顶点到的距离为，分别表示出矩形和以点、和该抛物线的顶点为顶点的三角形的面积，根据题意建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把和分别代入，得 ， 解得：， ∴． （2）解：∵点A在轴上，其横坐标为， ∴ ∵点在该抛物线上，其横坐标为， ∴当时，， ∴ 设 ∵点为对称中心构造矩形， ∴， ∴，， ∴ ∵ ∴抛物线的顶点坐标为， 当该抛物线的顶点在矩形的边上时，点在y轴右侧，则， ∴ 解得：，（舍去）， ∴当该抛物线的顶点在矩形的边上时，的值为． （3）解：∵点P坐标为， ∴令， 解得：，， 令，即， 解得：或， 则抛物线过点， 当，如图①，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大； 当时，如图②，抛物线在矩形内部无图象， 当时，如图③，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大； 当时，如图④，抛物线在矩形内部无图象； 当时，如图⑤，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大先增大后减小； 综上，m的取值范围为或； （4）解：由（2）知，， 则，， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点到的距离为， ∴矩形的面积为：； 以点、和该抛物线的顶点为顶点的三角形的面积为：， ∵以点、和该抛物线的顶点为顶点的三角形的面积是矩形的面积的时， ∴， 整理得：，即或， 当时，即， 解得：或； 当时，即， 解得：或； 综上，或或或． 【点睛】本题属二次函数综合题目，主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，矩形的性质，二次函数与面积的应用，中心对称的坐标特征，二次函数最高点与最低点等知识，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键，注意分类讨论． 题型03、二次函数临界点问题 53．（2025·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，点是抛物线上位于直线下方一动点，过点作轴的平行线交直线于点，点是轴上的一个动点，连接，当线段长度取得最大值时，求的最大值，及此时点的坐标； (3)如图，将抛物线，先向右平移个单位长度，再像上平移个单位长度，得到新抛物线，点是新抛物线上一点，连接，当时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式为．设，则，得出的关系式，进而得出当点，，三点在一条直线上时，取得最大值为，延长，交轴于点，得出为等腰直角三角形，进而得出点的坐标为； （3）根据平移得出新抛物线的解析式，设直线与轴交于点，证明，，根据相似三角形的性质得出的坐标，进而求得直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ， ， 该抛物线的函数表达式为； （2）设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为． 设，则， 点是抛物线上位于直线下方一动点， ， ， 当时，取得最大值为，此时点． 点是轴上的一个动点， ， 当点，，三点在一条直线上时，取得最大值为， 延长，交轴于点，如图， 则轴， ，， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ， ． 当线段长度取得最大值时，的最大值为，此时点的坐标为； （3）， 将抛物线，先向右平移个单位长度，再像上平移个单位长度，得到新抛物线的解析式为 ． 设直线与轴交于点，如图， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为． ， ，． 点的坐标为或 54．（2025·湖北孝感·一模）已知抛物线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)直接写出点A的坐标为_____________； (2)当时，如图1，直线是抛物线的对称轴，点P为对称轴右侧抛物线上一点，设点P的横坐标为m，连接． ①过点P作，交直线于点Q，若，求m的值； ②连接，若，求m的值； (3)规定：横、纵坐标均为整数的点称为格点，如等．如图2，抛物线与直线相交于两点，若直线与抛物线所围成的部分（不含边界）格点数恰为12个，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加合适的辅助线，熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的性质是解题的关键． （1）求出当时的自变量值即可得到答案； （2）①过P作直线轴，交x轴于N，过Q作于M，证明，则，则，求出即可； ②证明，则，得到方程，解方程即可得到答案； （3）求出上的格点应为：，得到，求出线段上的格点应为：，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∵抛物线与x轴相交于点A， ∴点A的坐标为； 故答案为：； （2）解：①当时，抛物线， 过P作直线轴，交x轴于N，过Q作于M， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， （P与A重合，舍去），， ∴； ②令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， 解得：， ∵点P为对称轴右侧抛物线上一点， ∴， ； （3）解：a的取值范围为； 由， 得， ∴， 设由抛物线与直线围成的区域（不含边界）的格点为（均为整数）， ∴或， 设直线交直线交与点G，直线交直线于点F，交于点E，则，， ∴， ∴， ∴与上各有6个格点，且必在线段与上， ∴上的格点应为：， ， ， ， 当时，则， ∴线段上的格点应为：， ， ； ； 综上所述，满足条件的a的取值范围为． 55．（2025·江苏扬州·一模）已知抛物线与轴交于两点、，与轴交于点，且为直角三角形． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线上是否存在点，能使点满足，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)将绕平面内一动点旋转后所得，与该抛物线没有公共点，请直接写出m的取值范围_________． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据题意可证，得，结合已知点的坐标即可求得点C的坐标，设抛物线，将点求得a，即可得到解析式； （2）分情况：当点P位于点B的左侧，过点C作，交抛物线于点P，则点A和点B到线段的距离相等，利用平行线的性质即可求得点；当点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D，作，则，可证明，得，求得点，利用待定系数法求得直线的表达式，联立求得点即可； （3）根据题意可得，，，分类：当点Q位于原点右侧时，旋转后与抛物线相切时，求得直线的解析式，进一步得直线的解析式为，联立求得s，将点代入直线上，即可求得；当点Q位于原点左侧时，旋转后在抛物线上时，将点代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵为直角三角形，， ∴， ∴， ∵、， ∴， 则，解得， 设抛物线， 将点代入得，解得， ∴； （2）解：存在，理由如下， 若点P位于点B的左侧，过点C作，交抛物线于点P，如图， 则点A和点B到线段的距离相等， ∴， 令，则，解得（舍去），， ∴点， 若点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D，作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点， 设直线的表达式为，则 ，解得， 则直线的表达式为， 联立解得（舍去）或， ∴， 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：∵将绕平面内一动点旋转后所得， ∴，，， 当点Q位于原点右侧时，旋转后与抛物线相切时，如图， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， ∵旋转后与抛物线相切， ∴， ∴， 解得， 则直线的解析式为， ∵在直线上， ∴，解得， 则时与抛物线没有公共点； 当点Q位于原点左侧时，旋转后在抛物线上时，如图， 则，解得， ∴当时与抛物线没有公共点， 综上所述，或与抛物线没有公共点． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定和性质、求一次函数的解析式和旋转的性质，解题的关键是熟悉分类讨论思想和二次函数的性质旋转． 56．（2025·山东泰安·一模）已知，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点． (1)若抛物线经过点； ①点的坐标为______； ②当时，抛物线取得最大值为，求的值； (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围； (3)已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、），请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②的值为或 (2) (3)或 【分析】（1）①先求出，当时，即，可解得； ②先由得抛物线开口向下，顶点坐标为，再分两种情况讨论：当时，得；当即时，，分别求解即可； （2）由点，在抛物线上，结合可得，计算求解即可； （3）求出抛物线对称轴为，顶点为，再抛物线与线段有且只有一个交点，分两种情况讨论：当抛物线的顶点在线段上时，即：；当抛物线顶点落在上方时，当时，，当时，，进而得，由抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、），得与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧，进而得，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：①∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴抛物线与轴交于点坐标为， 当时，即， 解得：，， ∴点， 故答案为：； ②∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， 分以下两种情况讨论： Ⅰ．当时，在对称轴左侧，随增大而增大， ∴时，为最大值，即， 解得或（舍）； Ⅱ．当即时，在对称轴右侧，随增大而减小， 时，为最大值，即， 解得或（舍）， 综上所述，的值为或； （2）解：∵点，在抛物线上， ∴，， 当时，即， 即：， 解得：； （3）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为，顶点为， ∵点，，若抛物线与线段有且只有一个交点， 分以下两种情况讨论： Ⅰ．当抛物线的顶点在线段上时， 即：， 解得：； Ⅱ．当抛物线顶点落在上方时， 当时，， 当时，， ∵，对称轴为， ∴， ∵抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、）， ∴与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧， ∴， 解得：， 综上，的取值范围是或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，抛物线与线段的交点，综合性强，正确的求出函数解析式，利用分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 57．（2025·辽宁大连·一模）已知，抛物线（），与x轴交于A，B，（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D． (1)抛物线的对称轴为 （用含有a的式子表示）； (2)若当时，函数值y随着x的增大而减小，求a的取值范围； (3)如图1，当时，点为第四象限的抛物线上一点，过点E作轴与抛物线另外一个交点为点F． ①连接，过点E作轴，交于点H，以为邻边构造矩形，当矩形的周长为时，求m的值； ②以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)①或；② 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）直接利用对称轴的计算公式计算即可； （2）分和，利用二次函数的增减性进行求解即可； （3）①求出的坐标，进而求出的解析式，由题意，求出，，利用矩形的周长公式列出方程进行求解即可； ②求出抛物线的顶点坐标，进而求出翻折后的抛物线的解析式，求出翻折后的抛物线的顶点恰好在轴上，和翻折后的抛物线恰好经过原点两种临近情况的值，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； 故答案为：； （2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，时，随着的增大而减小， ∵当时，函数值y随着x的增大而减小， ∴； 当时，时，随着的增大而减小， ∵当时，函数值y随着x的增大而减小， ∴； 综上：或； （3）①当时，则：，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，，当时，解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∵点为第四象限的抛物线上一点，过点E作轴与抛物线另外一个交点为点F，轴，交于点H， ∴，，，， ∴，， ∴当矩形的周长为时，， ∴， 当，即：时，， 解得：或（舍去）； 当，即：时，， 解得：； 综上：或； ②∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 由题意，得：直线的解析式为， ∴点关于的对称点为：， ∴翻折后的抛物线的解析式为， 当抛物线的顶点恰好在轴上时，则：， ∴， 当抛物线过原点时，则：，解得：， ∵翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴， ∴． 58．（2025·吉林·一模）如图，已知抛物线经过和两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“W”，图象交轴于点． (1)①求抛物线的解析式； ②求二次函数的最小值． (2)①直接写出图象的解析式； ②求当图象所对应的函数随增大而增大时的取值范围． (3)若直线与图象有3个交点时，请结合图象，直接写出的值． 【答案】(1)①；② (2)①；②或 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据题意数形结合是解题的关键． （1）①根据待定系数法直接求解即可；②根据二次函数的图象性质即可求解； （2）①先根据反转的性质求出点坐标，再根据待定系数法求解析式即可；②根据的图象性质求解即可； （3）结合图像，分两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：①∵抛物线经过和两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式， ②， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴二次函数的最小值为． （2）解： ①当时，，由对称性可得， 当时，， 解得，， ，， 设图象的解析式为， 将代入，得， ， ， 图象位于线段上方部分对应的函数关系式为， ∴图象的解析式为； ②对于，对称轴为，时，随增大而增大； 对于，对称轴为，时，随增大而增大， ∴随增大而增大时的取值范围是或． （3）解：如图，直线与图象有个交点时，有两种情况， 一种情况是直线过点，把代入，得，解得； 另一种情况是直线与相切， 联立方程，消去得，即， 令判别式，解得； 综上所述，或． 题型04、二次函数与角度问题 59．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的坐标为或 【分析】（1）根据抛物线过点，对称轴为直线，求出点坐标，点坐标，用待定系数法求解析式即可求解； （2）先证明，根据求出的长，从而确定点坐标，待定系数法求出的解析式，作轴，交直线于点，设，则，根据平行可得，表示出再利用，求出的值，从而得到最后结果； （3）先证明是等腰直角三角形，根据题意可得，以为对角线作正方形，则，进而求得，的坐标，待定系数法求得，的解析式，分别求出当时的值，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴交轴于点， 抛物线对称轴为直线， 抛物线与轴交于点和点， 点与点关于直线对称， ， 抛物线， 当时，， ， 设抛物线的解析式为：，过点， ， ， ； （2）直线轴，， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， 轴， ， ， 设的解析式为：， ，解得：， ， 如图：作轴，交直线于点，    设， ， ， ， ， ， ， ，（舍去）， 当时， ， ； （3），， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）可知， ， ， 如图，以为对角线作正方形，则，    ，， ， ， ， 设，则， 解得：或， 是，两点的坐标， ，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 当，， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 当时，， 综上所述的坐标为或 【点睛】本题是函数的综合题，考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解决问题的关键是转化为解直角三角形问题． 60．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式； (2)若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为，与直线交于点．当时，求点的坐标； (3)若点是轴上的点，且，求点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）令，得，得到，，由待定系数法即可求函数表达式； （2）当时，此时，点是的中点，即可求解； （3）当点在轴正半轴上时，则，得到进而求解；当点在轴负半轴上时，则，得到，进而求解． 【详解】（1）解：令，得：， 解得，， ，， 设直线的解析式为：， 把，代入得： ，解得：， 直线的解析式为：； （2）解：如图，设点的坐标为（其中）， 则，． 当时，此时，点是的中点， 则， 解得：（负值已舍去）， 即点； 当时， 此时，不符合题意，舍去， 综上，； （3）解：直线与轴交于点， 点坐标为． 分两种情况： ①如图，当点在轴正半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为． 在中，， 在中，， ，， ， ． 又，， ， ， ． 连接，点，点为抛物线上的对称点， 轴， ，，， ． ． 点的坐标为； ②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作，垂足为， 在中，， 在中，， ，， ． 又，， ， ， ． 由①可知，． ，， ． ， 点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 61．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，线段的两个端点，分别在y轴和x轴的正半轴上，现将线段绕点B按顺时针方向旋转得到线段，抛物线经过点D． (1)如图1，若该抛物线经过原点O，且 ①求点D的坐标及该抛物线的解析式； ②在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由； (2)如图2，若该抛物线经过点，点Q在抛物线上，且满足．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①，，②存在，点的坐标为或 (2)或 【分析】（1）①过点作轴，证明得出，再利用待定系数法求解即可；②设，分两种情况：当点在轴上方时，作轴于，则，；当点在轴上方时，作轴于，则，，分别利用正切的定义列方程求解即可； （2）待定系数法求出抛物线解析式为，再分两种情况：当抛物线开口向下时，若满足且符合条件的Q点的个数是4个，则点在轴上、下方各有两个；抛物线开口向上时，若满足且符合条件的Q点的个数是4个，则点在轴上、下方各有两个；分别画出图形，利用数形结合的思想求解即可． 【详解】（1）解：①如图：过点作轴， ， ∵，， ，， 由旋转知，，， ， ∵过点作轴， ， ， ， ，， ， ∵抛物线经过点D． ∴把，以及，代入 得 解得 ∴； ②存在， 设， 如图，当点在轴上方时，作轴于，则，， ∵， ∴， 由①可得：，， ∵，， ∴， 解得：， 此时，即； 如图，当点在轴上方时，作轴于，则，， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 此时，即； 综上所述，点的坐标为或； （2）解：将，代入抛物线得， 解得：， ∴抛物线解析式为， 分两种情况： 当抛物线开口向下时，若满足且符合条件的Q点的个数是4个，则点在轴上、下方各有两个， 当点在轴下方时，直线与抛物线有两个交点， ， 当点在轴上方时，要使直线与抛物线线有两个交点，抛物线与轴的交点必须交于轴的正半轴，与轴的交点在轴的负半轴， ， 在中，当时，， 解得：； 抛物线开口向上时，若满足且符合条件的Q点的个数是4个，则点在轴上、下方各有两个， 当点在轴上方时，直线与抛物线有两个交点， ， 当点在轴下方时，要使直线与抛物线有两个交点才能使符合条件的点有两个， ∵， ∴由（1）可得：， ∴直线的解析式为， 要使直线与抛物线有两个交点，则方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 综上所述，的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—角度问题、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 62．（2025·青海西宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是轴上一点，点是抛物线上一点，以为边，为另外两个顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标； (3)点是抛物线上的一个动点，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）利用二次函数的对称性可得点坐标，即得，再根据平行四边形的性质可得，，进而解答即可求解； （）先求出直线的解析式，再分和点关于对称轴对称两种情况，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为 （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∵以为边，为另外两个顶点的四边形为平行四边形， ∴，， ∴点的纵坐标相同， 设点的横坐标为，则， ∴， ∴或； （3）解：把代入，得， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作交抛物线于点，则， 设直线的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 由，解得或， ∴； 当点关于对称轴对称时，可知， ∴， 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 63．（2025·四川泸州·一模）如图1所示，已知直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最小值． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标； (3)若直线与（1）中所求的抛物线交于M、N两点． ①问：是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； ②猜想当时，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式是；直线的解析式是： (2)或 (3)①或②或 【分析】（1）先根据抛物线，当时，y取最小值，得到抛物线的顶点坐标为，可写出抛物线的顶点式，再根据抛物线的解析式求出的坐标，然后将的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是，即，可先求出的长，然后分情况讨论：①当在线段上时，过点作轴，点为垂足．由，根据相似三角形的性质定理求出的长，进而求出点的坐标；②当在的延长线上时，由，根据相似三角形的性质定理求出的长，进而求出点的坐标； （3）联立两函数的解析式，设直线与抛物线的交点为在左侧 ），则是方程的两个根，由一元二次方程根与系数关系得，，进而求出． ①由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的方程，解方程即可求出的值； ②由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的不等式，解不等式即可求出的范围． 【详解】（1）解：∵抛物线，当时，取最小值， ∴抛物线的解析式是：，即； 当时，， 即点坐标是， 当时，， 解得：或2， 即点坐标是点坐标是． 将代入直线的解析式， 得， 解得：， 则直线的解析式是：； （2）解：过点作为垂足， ， ， ， 由勾股定理，得， 当点为线段上一点时，过点作轴，点为垂足， ， ， ， ∴， ， ， ∴点； ②当点在延长线时，作轴，点为垂足， ， ， ， ， ， 解得：， ； 综上，或； （3）解：①存在的值，使得， 设直线与抛物线的交点为在左侧 ）． 则为方程组的解， 由方程组消去整理，得：， ∴是方程的两个根， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， 化简得， ∴， 整理，得， 解得：， ∴存在值，使得，其值为或； ②∵， ∴，即， 化简得， ∴， 整理，得， 解得：或， ∴当时，的取值范围是或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，图形面积的计算方法，相似三角形的性质和判定，函数图象交点，一元二次方程根与系数关系等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法． 题型05、二次函数的图象变换问题 64．（重庆市清华中学教育集团2024-2025学年下期九年级数学第一阶段定时作业）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，点是轴上的动点，连接、，当的面积取得最大值时，求周长的最小值； (3)点坐标为，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线是否存在点，满足，若存在，直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设点的坐标为，点的坐标为，根据题意可知，，进而可得点的坐标为，点的坐标为，再利用待定系数法即可求解； （2）由题意可知点的坐标为，进而利用待定系数法求得直线的解析式为，设点的坐标为，得点的坐标为，则，可知，可得当时，的面积取得最大值，所以，此时点的坐标为，点的坐标为，，的周长，则只需取得最小值即可，作点关于轴对称的点，连接，，可知，当点在直线上时取得等号，利用勾股定理求得的长度即可求解； （3）由题意可知新抛物线，由向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得，可知在新抛物线上，得，，，当点在下方时，连接交轴与，过点作，设，由，得，在、中解直角三角形，求得点的坐标为，得直线的解析式为，进而可得点的坐标；过点作轴交于点，解直角三角形求得点的坐标为，作关于直线的对称点，连接交抛物线于，由对称可知，，则也符合题意，可知为的中点，则点的坐标为，同上即可求得另一点的坐标． 【详解】（1）解： 设点的坐标为，点的坐标为， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 又∵， ∴， 可得：，， 即：点的坐标为，点的坐标为， 将，代入， 得，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）当时，，则点的坐标为， 设直线的解析式为，将，代入， 得，解得：， 即：直线的解析式为， 设点的坐标为， ∵轴，交于点， ∴点的坐标为，则， ∴， 当时，的面积取得最大值， 所以，此时点的坐标为，点的坐标为，， 的周长，则只需取得最小值即可， 作点关于轴对称的点，连接，， 则点的坐标为，， ∴，当点在直线上时取得等号， ∵， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为； （3）∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， 将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线， 即：新抛物线，由向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度， ∴， 当时，，则在新抛物线上， ∵点的坐标为， ∴，，，，， 则，，， 当点在下方时，连接交轴与，过点作， 设， ∵，则， ∴在中，，， 在中，，， ∴，则， ∴，即， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 代入，，可得，解得：， ∴直线的解析式为， 得，解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； 过点作轴交于点，， ，， ∴， ∴点的坐标为， 作关于直线的对称点，连接交抛物线于，由对称可知，，则也符合题意， ∴为的中点，则点的坐标为， 同理，可得直线的解析式为， 得，得：或（舍去）， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，勾股定理，利用轴对称的性质求解，二次函数的平移，解直角三角形等知识点，构造直角三角形，解直角三角形得点的坐标是解决问题的关键． 65．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）[综合探究]运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘，图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定幼苗叶片的形状 （1）如图3，建立平面直角坐标系，幼苗叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线的图象过原点，且对称轴是直线，求抛物线的解析式； 【探究二】研究幼苗叶片的长度 （2）如图3，在（1）的条件下，已知直线（点P为叶尖，点D为抛物线的顶点）与x轴的夹角为，求幼苗叶片的长度； 【探究三】探究心形叶片的宽度 （3）如图4，小同观察发现心形叶片的下方轮廓线也可以看作是（1）中二次函数图象的一部分，直线与坐标轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于另一点C，点C，是心形叶片上的一对对称点，交直线于点G．求叶片此处的宽度及点的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2） （3） 【分析】（1）根据二次函数过原点，对称轴公式，代入计算即可求解； （2）根据二次函数解析式得到，设直线与轴交于点，抛物线对称轴与轴交于点，由等腰直角三角形的性质得到，运用待定系数法可得直线的解析式，联立方程组求解，并根据两点之间的距离公式求解即可； （3）根据题意得到，可证明，得到，即，解得，，则，如图所示，过点作轴于点，过点作延长线于点，可证，得到，由等面积法，勾股定理得到，，由此即可求解． 【详解】解：（1）该抛物线的图象过原点，且对称轴是直线， ∴，， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）， ∴， 已知直线（点P为叶尖，点D为抛物线的顶点）与x轴的夹角为，设直线与轴交于点，抛物线对称轴与轴交于点， ∴， ∴，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， ∴， 解得，或， ∴， ∴； （3）在中，令，则， 解得，， ∴， ∵直线与坐标轴交于A，B两点， ∴令时，，令时，， 解得，， ∴， ∴，则， ∵点C，是心形叶片上的一对对称点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，，， ∴， 如图所示，过点作轴于点，过点作延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求二次函数，一次函数解析式，二次函数对称轴的计算公式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的运用是解题的关键． 66．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点（点在点的左侧）． (1)求该抛物线的解析式及，两点的坐标； (2)如图2，将位于直线上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，请求出线段的最大值． 【答案】(1)，， (2)①；② 【分析】（1）先根据二次函数的对称轴可得，再将点代入二次函数的解析式可得，由此可得二次函数的解析式；然后与直线联立求解可得点的坐标； （2）①设直线分别交轴，轴于点，，交轴于点，过点作轴于点，先得出，再根据菱形的性质可得，，从而可得点的坐标，然后证出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，最后与抛物线的解析式联立求解即可得； ②设直线交轴于点，过点作轴，交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，，再证出是等腰直角三角形，且，然后根据轴对称的性质可得，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 将点代入抛物线得：， ∴该抛物线的解析式． 联立，解得或， ∵抛物线与直线交于，两点（点在点的左侧）， ∴，． （2）解：①如图，设直线分别交轴，轴于点，，交轴于点，过点作轴于点， 对于直线， 当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∵四边形是菱形， ∴，， 由（1）已得：，， ∴，即， ∵轴， ∴， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∵点是上方的抛物线上的一动点，且，， ∴点的横坐标大于，且小于4， ∴点的坐标为． ②如图，设直线交轴于点，过点作轴，交于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， 由（1）可知，， ∵轴， ∴， ，关于直线对称， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 67．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，抛物线交轴于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在抛物线上，过点D作轴于点F，过点A的直线交y轴于点，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点M，于点N，求的最大值，以及此时点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，点R是新抛物线上一个动点，当时，请直接写出所有符合条件的点R的坐标． 【答案】(1) (2)，的最大值为 (3)点R的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）待定系数法求出直线的解析式为，作轴交于，令交于，证明，得出，计算出，从而可得，设，则，，表示出，，从而可得，最后由二次函数的性质即可得解； （3）求出抛物线与轴的另一个交点坐标，由题意可得新抛物线的解析式为，求出新抛物线与轴的交点坐标为或，证明为等腰直角三角形，得到，求出直线的解析式为，联立求解得出新抛物线与直线的交点坐标为，，再分两种情况：当点在上方时，过点作直线，连接，，作于，则，；当点在下方时，作轴于，则，分别解直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴交于， 则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为，此时，即； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线， ∴将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 令， 解得：，， ∴新抛物线与轴的交点坐标为或， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或， ∴新抛物线与直线的交点坐标为，， 如图，当点在上方时，过点作直线，连接，，作于，则，， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， 当时，，此时； 当点在下方时，作轴于，则， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， 当时，，此时， 综上所述，点R的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—线段问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形的应用、求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 68．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，抛物线与坐标轴分别交于，，三点，其中点坐标为，且． (1)求抛物线解析式； (2)点P是直线AD下方抛物线上的一动点，点Q是x轴上一动点，当四边形的面积最大时，求的最小值； (3)在（2）条件下，将抛物线C沿x轴翻折得到，将沿射线AD方向平移个单位长度得到，点M在抛物线上且满足，写出所有满足条件的点M的坐标并选择其中一个写出必要的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，确定二次函数解析式，二次函数和几何图形相结合最值问题，二次函数的翻转平移等知识点，解题的关键是熟悉掌握二次函数的性质. （1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）构造直角三角形，利用解直角三角形，边的转化即可求出线段和的最小值； （3）根据翻转和平移的性质求出最终抛物线的解析式，利用两直线平行内错角相等求出角的数量关系，进而联立抛物线和直线解析式求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线与轴的交点的坐标为， 又∵，且点位于轴的负半轴， ∴点的坐标为， 将， 代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式； （2）解：如图所示， 根据题意可知，当直线与直线平行，且与抛物线相切时的交点即为点， 此时，，四边形的面积最大， 假设直线的函数解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的函数解析式为：， ∵， ∴假设直线的函数表达式为， ∵直线与抛物线相切， ∴， 整理得：， ， 解得：， ∴直线的函数表达式为， 联立和得： ， 解得：， ∴点坐标为， 如上图，在轴上方作，，交轴于点， 当点，，三点共线时，的值最小， 此时，在中，根据勾股定理可得： ， ∴， 即当点，，三点共线时，的值最小， ∵， ∴，， ∴点坐标为， ∴直线的解析式为， 则点坐标可假设为， ∴， 整理，得：， ∴当时，值最小为20， ∴， ∴， 即的最小值为． （3）解： 或 如图所示，过点作直线的平行线，交抛物线于点， ∵，， ∴， ∴， 即， 根据题意得，将抛物线C沿x轴翻折得到， ， ∴抛物线的解析式为：， ∵直线的函数解析式为：， 即， ∴将沿射线AD方向平移个单位长度得到， 即将向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴抛物线的解析式为：， 整理得：， 假设直线的解析式为：，将代入得： ， ， ∴直线的解析式为：， 联立和得： ， 解得： ， （舍去）， ∴当时，， ∴点的坐标为 ． 69．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图1，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，连接交于点E，过P作轴于点F，交于点G，若，求点P的坐标； (3)如图2，将抛物线位于x轴下方面的部分不变，位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形，将直线向下平移n个单位，得到直线l，若直线l与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式，先求得抛物线解析式，即可求解； （2）先得出点，然后待定系数法求一次函数解析式，设 ，则，，得出，是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，建立方程，解方程，即可求解； （3）先求得折叠部分的抛物线解析式为，观察函数图象，可得当经过点时，当与只有一个交点，直线与新的图形有三个不同交点，进而求得的值，根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：依题可得：， 解得：， ∴， （2）解：∵ 令，得，即 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设 ，则，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，解得，舍， ； （3）解：依题意，， 新的图形的顶点坐标为， 则新的抛物线解析式为， 设平移后的直线解析式为， 当经过点时，有3个交点，即， 解得：， 当与只有一个交点， 则， 消去得，， 即， ∴， 解得：， 结合函数图象可得：； 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，判别式的应用，轴对称的性质，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 70．（2025·山东济南·一模）如图1，抛物线经过点、，对称轴为直线，直线与x轴所夹锐角为，与y轴交于点E． (1)求抛物线和直线的表达式； (2)将抛物线沿二、四象限的角平分线平移，使得平移后的抛物线与直线恰好只有一个交点，求抛物线平移的距离； (3)如图2，将抛物线沿直线翻折，得到新曲线，与y轴交于M、N两点，请直接写出点坐标． 【答案】(1)和 (2)若抛物线向右下方平移单位 (3) 【分析】本题考查二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，一元二次方程，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键； （1）根据题意，可得抛物线对称轴为直线，再将，，代入表达式，根据题意，再求解一次函数解析式，即可求解； （2）根据题意，分情况若抛物线向左上方平移，若抛物线向右下方平移分别讨论，即可求解； （3）根据题意，设，进而求解的坐标，将代入，求解即可 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，经过点， ∴抛物线 经过点， 设抛物线表达式为， 将，，代入表达式， ， ∴抛物线为， ∵直线 与轴所夹锐角为， ， ， 设直线表达式为，把，代入， 得， 解得 直线：， ∴抛物线和直线的表达式分别为：和； （2）解：①若抛物线向左上方平移，则抛物线与直线始终有两个交点，不合题意； ②若抛物线向右下方平移， ∵二四象限角平分线表达式：， ∴抛物线向右平移单位的同时向下平移单位， ∵原抛物线 为， ∴其顶点为， ∴平移后顶点为， ∴平移后抛物线表达式为， 令， 若平移后抛物线与直线只有一个交点， 则, ， 平移的距离为； （3）解：设， 则点关于的对称点为， ， 则的横坐标为：， 则的解析式为：， 因为该点在直线上， 则； 将代入， 可得：， 解得：或（舍去）； 点坐标为： 题型06、二次函数动点问题 71．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图1，过点作直线于点，过点作轴交直线于点．线段的长度称为点到直线的竖直距离． 【探索】 ①如图1，设点的坐标为，则点到直线的竖直距离即为的长度，则_____．（用含的代数式表示） ②当直线与轴不平行时，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，若此时直线，则_____． 【应用】 如图2，公园有一斜坡草坪（可看作线段），其倾斜角为，用喷水枪喷水的路径可看作抛物线，其最远处落在草坪的处．若在山上种一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，树的最高点不能超过喷水路线，同时为了加固树，沿斜坡垂直方向加一根支架，请求出支架的最大值． 【拓展】 如图3，原有斜坡倾斜角不变，通过改造喷水枪使喷水路径可看作圆弧，此时，圆弧与轴相切于点，若，为了保证灌溉山上种植的这棵树（垂直于水平面），即树的最高点不能超过喷水路线，请问树高的最大值是多少？ 【答案】探索：①；②；应用：；拓展：4 【分析】本题考查的是二次函数的应用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形等，理解题意，数形结合是解题的关键． 探索：①由题意即可求解； ②设直线l和x轴的夹角为β，由直线l的表达式知，，则，即可求解； 应用：设N横坐标为a，由，即可求解； 拓展：过Q作交圆弧于N，交于T，过N作x轴垂线交于M，此时最大，即最大，即可求解． 【详解】解：探索： ①由题意得：； 故答案为：； ②设直线l和x轴的夹角为， 由直线l的表达式知：， 则， 即， 故答案为：； 应用： ∵草坪倾斜角为， ∴解析式为：， 设N横坐标为a， 则， 当时，最大，； ∵， ∴此时最大，； 拓展： ∵圆弧与y轴相切， ∴圆心在x轴上，记圆心为Q，过Q作交圆弧于N，交于T，过N作x轴垂线交于M， 此时最大，即最大，， 则， 则． 72．（2025九年级下·浙江金华·学业考试）若四边形的一条对角线将四边形分割成两个相似的直角三角形，那么我们将这种四边形叫做孪生分割四边形，这条对角线叫做孪生分割线． (1)如图1，请找出一个格点，使以为顶点的四边形为孪生分割四边形． (2)在孪生分割四边形中，，求的长． (3)如图2，为抛物线的顶点，抛物线与轴交于点．在线段上有一个点，在射线上有一个点．两点分别以个单位／秒，5个单位／秒的速度同时从出发，沿方向运动，设运动时间为，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点，使得四边形是以为孪生分割线的孪生分割四边形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)的长为或 (3)存在．或或或 【分析】（1）根据“孪生分割四边形”的定义，找点，使得对角线形成的两个直角三角形相似，即为符合题意的点； （2）分情况：和讨论即可； （3）由题意先证明是直角三角形，再分两种情况：和讨论即可． 【详解】（1）解：四边形的一条对角线将四边形分割成两个相似的直角三角形，且 如图1，点即为所求． 此时为对角线， （2）在孪生分割四边形中，为孪生分割线， 与相似． ①当时，如图2， ，， ， ． ②当时，如图3， ，， ， ． 综上，的长为或． （3）存在．或或或． 根据题意，得． 易得点，点， ， ， ， ， 四边形是以为孪生分割线的孪生分割四边形， 与相似， 是直角三角形． 当，且与是对应边时，如图4． 过点作于点，过点作于点， 则． ， ， 四边形是平行四边形， ， ． 又， ， ． ， ， ， ， ， ， 点在抛物线上， ， ． 当，且与是对应边时，如图5． 过点作于点，过点作于点， 则． ， ，即， ． ，， ， 又， ， ， ， ， ， 点在抛物线上， ． 当，且与是对应边时，如图6． 过点作于点，则． ， ， ． ， ， 四边形是矩形， ． 同①可得， ， 点在抛物线上， ． ④当，且与是对应边时，如图7． 过点作，过点作于点，延长交于点，过点作于点． ， 又． 在与中，， ． 易得四边形是矩形， ． ，， ， 又， ， ， ． 在中，， 即， ， ， 点在抛物线上， ， ． 综上，或或或． 【点睛】本题考查了新定义、二次函数的综合题、全等三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定，利用数形思想和分类讨论思想解决问题是关键． 73．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，直线与轴交于点、点、是该抛物线上的两个点．点的横坐标为． (1)该抛物线的顶点坐标为______； (2)当点在轴上，且点是该抛物线的顶点时，______； (3)当点在直线的右侧，点到直线的距离是点的纵坐标时，若点、点之间的部分的图象（包括点、点）的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求的值； (4)过点作于点，过点作于点，连结、，当、、三点共线，且的周长是的周长的4倍时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合与分类讨论思想的运用． （1）将抛物线的解析式化成顶点式即可得出结论； （2）令，可得出点Q的坐标，再根据两点间的距离公式可得出最终结论； （3）根据题意可分情况讨论，当时，当时，分别求解即可； （4）根据题意画出图形，由此可得，且相似比为4，由此可用m表达点Q的坐标，分与两种情况，列出关于m的方程，解之即可． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点为； 故答案为：； （2）解：令，则 解得或， 或； ∵点P的坐标为， 当时， 当时，； ； 故答案为：； （3）解：由(1)可知，， 抛物线的对称轴为直线； ①当时， 当最高点为Q，最低点是时， ， (舍)； 当最高点为P时，最低点是时， ， 解得(舍)或； ②当时， P为最高点，Q为最低点时， ， 解得 (舍)或； Q为最高点，P为最低点时， ，方程无解； 综上，m的值为或； （4）解：由(1)可知，，则； 于点B，于点C， ， ∵， ， 的周长是的周长的4倍， ， 即，， 如图1，当时，，， ， ，即， ， ， 点Q在抛物线上， ， 解得：或（舍去）， 如图2，当时，，， ， ，即， ， ， 点Q在抛物线上， ， 解得：（舍去）或， 综上，或． 74．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴是直线，与轴交于点．若点，同时从点出发，都以每秒个单位长度的速度分别沿，边运动． (1)求该二次函数的解析式及点的坐标，与轴的另一个交点的坐标． (2)当，运动到秒时，沿翻折，点恰好落在轴上点处，请判定此时四边形的形状，并求出点坐标． (3)当点运动到对称轴与的交点时，点往回运动，同时点则倍的速度继续沿运动，在整个运动过程中，以点，，为顶点的三角形面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；点坐标为；点的坐标为； (2)为菱形，点的坐标为； (3)最大值； 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，进而求得点C和点A的坐标． （2）先证明为菱形，再由菱形的性质得出，进而证明，利用对应边成比例求出的值，即可求出D的坐标； （3）①当M沿方向运动时，作辅助线证明，利用对应边成比例求线段进而求出面积；②当点M沿方向运动时，同样证明，利用对应边成比例求出线段进而求出面积． 【详解】（1）解：由已知，得， 解得， 所以二次函数的解析式为， 由对称轴以及点的坐标，可得点的坐标为． 将代入抛物线方程，得， 所以点坐标为； （2）解：如图，因为四边形的四条边相等，所以为菱形，所以． ，， 由， 得，即 解得． 又， ， 解得， 点的坐标为； （3）解：①当点沿方向运动时，过作垂直于点，如图． 则， 由，得． 即，， ， 此时当时，面积取最大值； ②当点沿方向运动时，如图设返回时的时间为， 同样， ，， 此时 ， 当时，取得最大值， 综合①②可知，点运动的整个过程，当时间为时，取得最大值． 【点睛】本题考查二次函数与动点问题及相似的综合，相似三角形的判定和性质．关键在于熟练掌握基础，灵活运用相似对应边成比例求出相关值． 试卷第6页，共240页 2 / 235 学科网（北京）股份有限公司 $$