第十一章 立体几何初步 章末测试-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

第十一章 立体几何初步章末测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高一下·广东广州·期中）下列命题中正确的是（   ） A．底面是正多边形的棱柱叫做正棱柱 B．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 C．沿直角三角形的一边旋转一周即可得到圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 2．（24-25高一下·福建三明·期中）若，是不相同的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（24-25高一下·湖北·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广东东莞·期中）正四棱台形状的玻璃容器（玻璃厚度忽略不计），其上、下底面边长分别是6和3，高是6，则该容器的容积是（    ） A．108 B．114 C．120 D．126 5．（24-25高二上·北京平谷·期末）长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·河南·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·山东青岛·期中）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，且A在平面上，在平面的同侧，M为BC的中点，若在平面上的射影是以A为直角顶点的，则AM与平面所成角的正弦值的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·浙江·期中）已知圆锥的底面半径为8，母线长为10，则下列说法正确的是（    ） A．其侧面展开图为一扇形，且圆心角为 B．该圆锥表面积为 C．该圆锥的体积为 D．过该圆锥顶点的截面面积的最大值为50 10．（24-25高一下·河北廊坊·阶段练习）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 11．（24-25高一下·湖南·期中）如图，在棱长为2的正方体中，M为的中点，点E和点F分别在线段和上运动（不包含端点），下列说法正确的有（   ） A．正方体被平面截得的截面面积为 B．的最小值为2 C．三棱锥的体积为 D．直线与平面可能垂直 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知一个圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的表面积是 ； 13．（24-25高一下·北京·期中）在所有棱长均为2的正四棱锥中，顶点P到底面的距离为 ． 14．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是．过圆锥的两条母线，SC作一个截面，则截面SBC面积的最大值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在矩形和四分之一的拼接的平面图形中，，，将该图形绕所在直线旋转一周形成的面所围成的旋转体记为． (1)求的体积； (2)求的表面积． 16．（15分）（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 17．（15分）（24-25高一下·河南新乡·期中）如图所示，四棱锥的底面是边长为的菱形，，是的中点，底面，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. 18．（17分）（24-25高一下·广西贵港·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，平面平面，M是的中点． (1)证明：； (2)若与底面所成角的正切值为，求二面角的正弦值． 19．（17分）（24-25高一下·山西太原·阶段练习）如图，直四棱柱中，平面平面，平面与交于点. (1)证明：三线共点； (2)若二面角的大小为， ①求该四棱柱的体积； ②求多面体的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 立体几何初步章末测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高一下·广东广州·期中）下列命题中正确的是（   ） A．底面是正多边形的棱柱叫做正棱柱 B．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 C．沿直角三角形的一边旋转一周即可得到圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【答案】D 【分析】利用棱柱、棱锥、圆锥的结构特征逐项判断即可. 【详解】对于A，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，A错误； 对于B，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体叫做棱柱，B错误； 对于C，沿直角三角形的斜边所在直线旋转一周，得到是共底面的两个圆锥组成的组合体，C错误； 对于D，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，D正确. 故选：D 2．（24-25高一下·福建三明·期中）若，是不相同的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据平面内直线、平面平行的性质判断即可. 【详解】对于A，若，，可能相交，A错误； 对于B，若，，可能异面，B错误； 对于C，若，，可能相交，C错误； 对于D，若，，两个平面平行，一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，D正确. 故选：D. 3．（24-25高一下·湖北·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用几何关系得，利用斜二测画法的规则来还原平面图，根据梯形面积即可求解. 【详解】如图①，过作于E， 由斜二测画法知，，可得是等腰直角三角形， 又是等腰梯形，则，所以， 还原平面图，如下图：为直角梯形， 则， 所以四边形ABCD的面积为． 故选：D 4．（23-24高一下·广东东莞·期中）正四棱台形状的玻璃容器（玻璃厚度忽略不计），其上、下底面边长分别是6和3，高是6，则该容器的容积是（    ） A．108 B．114 C．120 D．126 【答案】D 【分析】根据棱台的体积公式即可求解. 【详解】由题意有，所以， 故选：D. 5．（24-25高二上·北京平谷·期末）长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过平移说明即异面直线与所成角，借助于直角三角形和三角函数定义即可求得. 【详解】 如图所示，因，则即异面直线与所成角. 连接，在中，， 则，即异面直线与所成角为. 故选：C. 6．（24-25高一下·河南·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可. 【详解】连接交于点，连接， 由平面，平面，平面平面， 所以， 因为底面为平行四边形，所以， 又，则，所以. 故选：D. 7．（24-25高一下·山东青岛·期中）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将该三棱锥放入正方体中，借助正方体的外接球求解，即可根据体积公式计算. 【详解】由于两两垂直,将该三棱锥放入正方体中，如图： 故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 故该三棱锥外接球的半径. 所以外接球的体积. 故选：B 8．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，且A在平面上，在平面的同侧，M为BC的中点，若在平面上的射影是以A为直角顶点的，则AM与平面所成角的正弦值的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】推导求出线段，设，得到M到地面的距离为，根据余弦定理可得，表示出AM与平面所成角的正弦值，利用对勾函数可求出正弦值的取值范围. 【详解】 ， M为BC的中点， ∴，故， 设，则点M到地面的距离为， ，， ∵射影是以A为直角顶点的， ∴， 在直角梯形中，， 即，所以, 设AM与平面所成角为， 则, 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·浙江·期中）已知圆锥的底面半径为8，母线长为10，则下列说法正确的是（    ） A．其侧面展开图为一扇形，且圆心角为 B．该圆锥表面积为 C．该圆锥的体积为 D．过该圆锥顶点的截面面积的最大值为50 【答案】ACD 【分析】利用弧长公式、圆锥的表面积公式体积公式计算后可判断ABC的正误，利用余弦定理判断轴截面的顶角为钝角后可求过顶点截面的面积最大值后可判断D的正误. 【详解】对于A，扇形的圆心角的弧度数为，故A正确； 对于B，圆锥表面积为，故B错误； 对于C，圆锥的体积为，故C正确； 对于D，设圆锥轴截面的顶角为，则， 而为三角形内角，故为钝角， 而过该圆锥顶点的截面面积为， 截面等腰三角形的顶角，而， 故面积的最大值为，当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：ACD. 10．（24-25高一下·河北廊坊·阶段练习）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ACD 【分析】由题意易得，进而可证平面判断A；若平面，可得，可判断B；由平面，可判断C；由已知可得平面，进而可判断D. 【详解】对于A，因为垂直于圆所在的平面，又在圆所在的平面内，所以， 又为圆的直径，所以，又，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，若平面，又平面，则， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，这与为圆的直径矛盾， 故平面不成立，故B错误； 对于C，因为垂直于圆所在的平面，即平面， 又平面，所以平面平面，故C正确； 对于D，因为平面，又平面， 所以，又，，又平面， 所以平面，平面，所以平面平面，故D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高一下·湖南·期中）如图，在棱长为2的正方体中，M为的中点，点E和点F分别在线段和上运动（不包含端点），下列说法正确的有（   ） A．正方体被平面截得的截面面积为 B．的最小值为2 C．三棱锥的体积为 D．直线与平面可能垂直 【答案】AC 【分析】对于A，取的中点G，连接，GM，，可证明，得到正方体被平面所截得的截面为四边形，进而求解其面积即可判断；对于B，将平面以为轴旋转展开，与平面在同一个平面内，通过计算可得为直角，可得当E，F都到达时，的值取得最小值，进而判断即可；对于C，由等体积法求解判断即可；对于D，先假设直线与平面垂直，通过推导得出平面平面，产生矛盾，进而判断即可. 【详解】对于A，取的中点G，连接，GM，， 因为M为的中点，所以， 在正方体中，，所以， 则正方体被平面所截得的截面为四边形， 且四边形为等腰梯形，，，， 在等腰梯形中，过点，分别作，垂足为，， 则，所以， 所以等腰梯形的面积为，故A正确； 对于B，计算的最小值，将平面以为轴旋转展开， 与平面在同一个平面内，如图所示， 由于，，，， 则，则， 则为直角，所以当E，F都到达时，的值取得最小值2，但E，F不能取端点，故B错误． 对于C，由，故C正确． 对于D，若直线与平面垂直，则必有，此时E为的中点， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 而平面与平面相交，矛盾， 所以与平面不可能垂直，故D错误． 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知一个圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的表面积是 ； 【答案】 【分析】设圆锥的母线长为，得到，求得，结合圆的面积公式和圆锥的侧面积公式，即可求解. 【详解】设圆锥的母线长为，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，可得，所以， 所以圆锥的表面积为. 故答案为：. 13．（24-25高一下·北京·期中）在所有棱长均为2的正四棱锥中，顶点P到底面的距离为 ． 【答案】 【分析】根据正四棱锥性质求高，即得顶点P到底面的距离. 【详解】如图，设为底面的中心，则底面， 因为平面，所以， 由题意，， 则在正方形中，， 所以， 则顶点P到底面的距离为. 故答案为：. 14．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是．过圆锥的两条母线，SC作一个截面，则截面SBC面积的最大值是 ． 【答案】8 【分析】由已知得、，进而可得，最后由及，即可得最大值. 【详解】由，即，故， 令且，则，即，所以， 由，而， 所以时，最大. 故答案为：8 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在矩形和四分之一的拼接的平面图形中，，，将该图形绕所在直线旋转一周形成的面所围成的旋转体记为． (1)求的体积； (2)求的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据球体与柱体的体积公式直接求解； （2）根据球体与柱体的表面积公式直接求解. 【详解】（1）依题意得，旋转体的上方是一个半球体，下方是一个圆柱，如图所示． ，， ， ， ， 所以的体积为． （2），， ， ， ． 所以的表面积为． 16．（15分）（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）要证平面，根据线面平行的判定定理在平面内找到一条直线与之平行即可； （2）将线线垂直转化为与所在的某个平面垂直即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 则直三棱柱中，四边形为平行四边形， 则为的中点，又为的中点，故， 平面，平面，故平面. （2）取中点为，连接，，为的中点， 故，而底面， 故底面，底面，故； 又为的中点，则，而，即， 故， 而，平面，平面， 故平面， 又平面，故，即. 17．（15分）（24-25高一下·河南新乡·期中）如图所示，四棱锥的底面是边长为的菱形，，是的中点，底面，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）求出、的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离. 【详解】（1）连接，由四边形是边长为的菱形，， 所以，，可知是正三角形. 因为是的中点，所以， 又，所以. 因为底面，平面，所以. 又、平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）因为底面，平面，所以. 又，，所以，. 在正三角形中，，是的中点，所以，且. 因为平面，平面，所以， 所以. 因为，底面， 设点到平面的距离为，所以. 而. 所以，即点到平面的距离为. 18．（17分）（24-25高一下·广西贵港·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，平面平面，M是的中点． (1)证明：； (2)若与底面所成角的正切值为，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依题意可得，再根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，即可得证； （2）取的中点为，连接，根据面面垂直的性质得到平面，连接，即可得到为与底面所成角，令，利用锐角三角函数的定义求出，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可得解. 【详解】（1）在正中，因为为的中点， 所以，因为平面，平面平面，， 所以平面，因为平面， 所以，因为，且平面， 所以平面，平面，所以； （2）如图，取的中点为，连接， 在正中，， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，连接， 则为与底面所成角， 即，不妨取，， 则，， 所以，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设面的一个法向量为， 则由， 令，则，因为面， 取作为面的一个法向量， 设二面角为， 所以， 所以，所以二面角的正弦值为. 19．（17分）（24-25高一下·山西太原·阶段练习）如图，直四棱柱中，平面平面，平面与交于点. (1)证明：三线共点； (2)若二面角的大小为， ①求该四棱柱的体积； ②求多面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）设，根据线面与面面的关系证明即可； （2）①：如图，根据线面垂直的判定定理与性质确定为二面角的平面角，求得，结合柱体的体积公式计算即可求解；②：根据面面平行的性质可得、，利用相似三角形的性质可得，结合锥体的体积公式计算即可求解. 【详解】（1）易知与相交，设， 由平面，平面，平面平面， 知， 所以、三线共点. （2）①：过作，垂足为，连接， 又平面，平面，所以. 又，，、平面， 所以平面，又平面， 所以. 故为二面角的平面角，即， 所以，得. 所以，得. 故四棱柱的体积为. ②：由平面平面，平面平面，平面平面， 得.同理可得， 在四棱柱中，， 所以，则， 得，又，， 所以，则， 所以 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$