第11章 章末整合提升 体系构建 素养提升(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

该高中数学单元复习讲义以直观想象、逻辑推理、数学运算三大核心素养为框架，通过“培优专题+例题解析”系统梳理空间几何知识，将点线面位置关系、平行垂直证明、体积表面积计算等重难点按知识内在逻辑串联，呈现清晰的知识脉络。 讲义亮点在于例题设计兼顾基础与提升，如正方体中点线面位置关系判断（直观想象）、四棱锥平行垂直证明（逻辑推理）、体积与空间角计算（数学运算），解析步骤详尽，帮助学生掌握解题方法，支持分层教学，助力教师精准指导与学生自主复习。

一、直观想象 　　直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程，在本章中，直观想象主要体现在利用空间几何体判断点、线、面的位置关系中. 培优一｜空间中点、线、面的位置关系 【例1】　（1）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（　A　） A.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD B.直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1 C.直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCD D.直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1 解析：连接AD1（图略），则易得点M在AD1上，且AD1⊥A1D.因为AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，所以A1D⊥平面ABD1，所以A1D与BD1异面且垂直.在△ABD1中，由中位线定理可得MN∥AB，所以MN∥平面ABCD.易知直线AB与平面BB1D1D成45°角，所以MN与平面BB1D1D不垂直.所以选项A正确.故选A. （2）〔多选〕已知平面α，β，γ，直线l，m满足：α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m.则下面结论正确的是（　BD　） A.m⊥β　　B.l⊥α　　C.β⊥γ　　D.α⊥β 解析：如图，∵α⊥γ，γ∩α＝m，l⊂γ，l⊥m，∴l⊥α，又l⊂β，∴α⊥β.而γ⊥β不一定成立，故m⊥β，β⊥γ不一定成立. 二、逻辑推理 　　逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质，在本章中，逻辑推理主要体现在线、面位置关系的证明中. 培优二｜空间中的平行与垂直 【例2】　如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证： （1）PA⊥底面ABCD； 证明：因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊂平面PAD，PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD. （2）BE∥平面PAD； 证明：因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD. 又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以BE∥平面PAD. （3）平面BEF⊥平面PCD. 证明：因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由（1）知PA⊥底面ABCD，所以AP⊥CD. 又因为AP∩AD＝A，AP，AD⊂平面PAD， 所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF，所以CD⊥EF. 又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，EF，BE⊂平面BEF， 所以CD⊥平面BEF. 又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD. 【例3】　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠CDA＝90°，PA⊥平面ABCD，Q是PB的中点，PA＝AD＝DC＝1，AB＝2. （1）证明：CQ∥平面PAD； 解：证明：取PA的中点T，连接DT，TQ，CQ. 因为∠BAD＝∠CDA＝90°，所以AB∥DC. 因为T，Q分别是PA，PB中点，得出TQ∥AB，TQ＝AB＝DC， 所以四边形DCQT是平行四边形， 所以DT∥CQ，DT⊂平面PAD，CQ不在平面PAD内， 所以CQ∥平面PAD. （2）证明：平面PAC⊥平面PBC； 解：证明：因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，PA⊥BC. 因为∠BAD＝∠CDA＝90°，所以AB∥DC. 所以AC＝，BC＝. 因为AC2＋BC2＝AB2，所以BC⊥AC， AC∩PA＝A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC， 所以BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC， 所以平面PBC⊥平面PAC. （3）求点D到平面PBC的距离. 解：设点D到平面PBC的距离为d， 因为VD-PBC＝VP-BCD， 所以S△PBC×d＝S△BCD×PA. 在△PAC中，PC＝＝. 又因为PC2＋BC2＝PB2，所以PC⊥BC，所以S△PBC＝BC×PC＝××＝，S△BCD＝×DC×AD＝， 所以××d＝××1，即得d＝.所以点D到平面PBC的距离为. 三、数学运算 　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.数学运算是数学活动的基本形式，是得到数学结果的重要手段.在本章中，数学运算主要表现在计算空间几何体的体积、表面积及空间角等问题中. 培优三｜柱体、锥体、台体的表面积和体积 【例4】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（　B　） A.2π B.3π C.6π D.9π 解析：设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2＝，故r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π.故选B. （2）在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为（　A　） A.1 B. C.2 D.3 解析：取棱AB的中点D，连接PD，CD.∵PA＝PB＝2，CA＝CB＝AB＝2，∴PD＝CD＝.又∵PC＝，∴PC2＝PD2＋CD2，则PD⊥DC.又∵PD⊥AB，DC，AB⊂平面ABC，AB∩DC＝D，∴PD⊥平面ABC，∴VP-ABC＝S△ABC·PD＝××2××＝1.故选A. （3）〔多选〕已知圆台的上、下底面半径分别为1和4，母线长为5，则该圆台的（　ACD　） A.高为4 B.母线与底面所成角为60° C.侧面积为25π D.体积为28π 解析：依题意，圆台轴截面等腰梯形的上、下底边长分别为2r1＝2，2r2＝8，腰长l＝5.对于A，圆台的高即圆台轴截面等腰梯形的高h＝＝4，A正确；对于B，母线与底面所成角即为圆台轴截面等腰梯形的底角θ，cos θ＝＝≠，B错误；对于C，圆台的侧面积S＝π（r1＋r2）l＝25π，C正确；对于D，圆台的体积V＝π（＋r1r2＋）h＝π（1＋1×4＋16）×4＝28π，D正确. 培优四｜空间角的求法 【例5】　如图，正方体的棱长为1，B'C∩BC'＝O，求： （1）AO与A'C'所成角的大小； 解：如图，连接AC，∵A'C'∥AC， ∴AO与A'C'所成的角就是∠OAC. ∵AB⊥平面BCC'B'，OC⊂平面BCC'B'，∴OC⊥AB， 又OC⊥BO，AB∩BO＝B.∴OC⊥平面ABO. 又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA. 在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，sin∠OAC＝＝， ∴∠OAC＝30°.即AO与A'C'所成角的度数为30°. （2）AO与平面ABCD所成角的正切值. 解：如图，作OE⊥BC于E，连接AE. ∵平面BCC'B'⊥平面ABCD，平面BCC'B'∩平面ABCD＝CB， ∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角. 在Rt△OAE中，OE＝， AE＝ ＝，∴tan∠OAE＝＝. 即AO与平面ABCD所成角的正切值为. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $