2025届高考冲刺密押卷第4套数学

2025届高考冲刺密押卷（四)参考答案 1.B由x2-x<6,可得-2<x<3,所以A={x-2<x<3},因为B={xx十1>0}=《x|x>-1},所以 CRB={xx≤-1}，故A∩(CRB)={x|-2<x≤-1}.故选B. 2.C由千；=-2i,得x=-2i+2,设x=a+i(a,bcR),则a+i=2-26-2ai,所以 a=2-2b, b=-2a, 解得a -号6-专所以=V+=5故选C 3B(x-2)(侵-1）'展开式的常数项为C(-1)'+(-2)×C(-1°=-&.故选B 4.A因为a,b是单位向量，所以|3a-b=6√2a·b,两边平方得36(a·b)+3a·b-5=0,即 （3a·b-1)2ab十5)=0.因为3a-b=6/2a·b>0,所以a…b=号os(a,b=}故选A 5.A当x>0时，√x+1十x>1,n(+1+x)>0,f(x)>0,排除B:当x<0时，√x2+1+x -V干->1.0<VF百+<1fx)<0,排除C设g)=,则g(x)=n, 所以g(x)≤g(e)=上<1，所以f(x)<1,排除D.故选A 6.D双曲线C:号-y=1的渐近线为y=士号x,因为OP=5,不失一般性，设P(25W5),因为OA1 AP,所以点A在以OP为直径的圆上，即点A在以Q(W5,号)为圆心，半径为号的圆上，所以圆Q方程为 (x一5)+(-号)广-要.又F(5,0),所以1QF-9所以AF的最小值为35故选D 7.B对于A,正方体中DD⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以AC⊥DD,又AC⊥BD,可得AC⊥平面 BDD,BD,C平面BDD,所以AC⊥BD,同理可得AB⊥BD,所以BD⊥平面ABC,因为PQC平面 ABC,所以BD⊥PQ,A正确： 对于B,连接AB,,由于△B,AC三边都是正方体的面对角线，故△BAC为等边三角形，有∠ACB=60°，连 接BP,易得PQ在△BPC中，CP=E,PB=6,在△BPC中，BC边上的高为CP·sm60-受，所以 <PQ<6,B错误： 对于C,将P点固定在A点处，Q点在B处时，直线PQ与平面ABB1A:所成角的大小为O,当Q从B1向C 运动时，PQ与平面ABB1A所成的角逐渐变大，当Q到达C点处时，所成的角最大，易知此时∠CAB即为 所求角，且∠CAB-,故直线PQ与平面ABB,A所成的角的取值范围为[0，晋]，C正确： 对于D,连接BD交AC于点O,连接OD交BD1于点E,易知OD∥BD,且 D OD=之BD,所以DE是BE.连接BD交AC于点O,设BD,∩OB,=F,同理A 可得BF=号DF,故EF-号BD,=2.易证平面ADG∥平面ABC,所以PQ 3 到平面A,DC的距离即为平面ABC到平面A,DC的距离.由A的分析可知EF ⊥平面ADC,所以EF即为平面AB:C到平面A1DC的距离，所以PQ到平面 A,DG的距离为25，D正确，故选B 第1页（共6页） 8.D因为a=log11>log8=3.a=log:11=logV2i<1ogv12s=子，b=43=(4)>(3g)）-子 c=0.543+loga30.1<1十loga.30.09=3,所以c<a<b.故选D. 9.AB易得A正确：由71.08%+52.66%>120%，可得B正确：图中各类亲子活动占比的中位数为 27.77%十40.14必≈33.96%，C错误；图中10类亲子活动占比的极差为71.08%-13.32%=57,76%，D错 2 误.故选AB. 10.BC甲、乙、丙、丁第n轮的报数个数分别为4n-3,4n一2,4n一1,4n,前n轮共报数个数为1+2十…十4n= 2m(4n+1)=82+2m.当n=35时，8n2+2n=9870<10000:当n=36时，82+2n=10440>10000:故 10000是甲报出的，且甲报了36轮，A错误，C正确； 对于B,当n=15时，8r2+2n=1830;当n=16时，8m2+21=2080,故2024在第16轮报数中，2024> 2080-4×16=2016,故数字2024是丁报的，B正确： 对于D,甲在前四轮所报数字之和为1十(11+…十15)+(37+…+45)+(79十…十91)=1540<1600， D错误.故选BC h.ABD对于Afx)=m2z(am+0)=n2xam+=m2zm+2+ 1-cos x 2cosx≤sin2 rtan+2+2cosx=2sirz+2cosx+2=-2cos2x+2cosx+4=-2(cosx-合）'+号 <号，当x在第一象限且cosx=是时取等号，A正确； 对于B,当cosx≠1且anx有意义，即x≠2x且x≠受+m(k∈ZD时，恒有f(x+2x)=f(x),B正确： 对于C,当xe(-,0）时，f(x)=-2sin2x+2cosx+2=2cos2x+2cosx,f(x)=-4 sin rcos 2sinx=-2sinx(2cosx+1),当x∈（-交，0)时，sinx<0,cosx>0,f(x)>0,f(x)单调递增，C错误： 对于D,当tana≥0时，由f(a)=-2cos2a+2cosa+4=-2(cosa+1)(cosa-2)=0,得cosa=-1:当 tana<0时，由f(x)=2cos2a十2cosa=0,得cosa=0(舍去)或cosa=-1,D正确.故选ABD. 12.1-2公2因为c0s37°=号，所以c0s254°=c0s(180°+74)=-c0s74°-1-2cos237=1-2a2. 13.6+4V2由直线y=kx十2过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F,可得F(0,2),p=4,C的方程为x2= 8y,与y=kx十2联立得x2一8kx-16=0,设A(x1h),B(x,2)(x<x2),则x1x=-16,AB+ BF1=为++p叶+多=+2+6=意+4+6≥2√2+6=42+6，当n=-4拒.= 2⑧时取等号 14.写 由题意，当小球与正四面体的各条棱相切，且大球为正四面体的外接球时， 即可保证小球与大球体积之比最大.如图所示，设此时正四面体的棱长为，小 球半径为r,大球的半径为R,E为△BCD的中心，可得AE⊥平面BCD,因为 CEC平面BCD.则AELCE,且CE=号×号a-号，所以AE-√AC-CE 号a.在R△0CE中，0C=0E+CE,可得R=(停。-R)‘+(停a),解B2 a.过0点作OF⊥AC,垂足为R,在R△OCF中，OF=VOC-CF=√R-(9)= 得R= 13 √R-(受)-，即小球的半径，一。.故小球与大球体积之比的最大值为 3 9 15.解：(1)解法一：，bsin A=√3(c-acos B), 由余弦定理，得bsin A=3c-5a.a2+e-世 …2分 2ac .2 bcsin A=√3(6+c2-a2)=√3X2 bccos A, 第2页（共6页） 又bc≠0，∴.tanA=√3 0<A<心A=子 …6分 解法二：：bsin A=√3(c一acos B), ∴.由正弦定理得sin Bsin A=3sinC-√3 sin Acos B,…1分 又C=π-(A十B), .sin Bsin A=√3sin(A+B)-√3 sin Acos B =√5 sin Acos B+√3 cos Asin B--3 sin Acos B=√3 cos Asin B,…4s分 又sinB≠0，.tanA=√3， 0<A<x,…A=子 …6分 (2)由余弦定理，得a2=十2-2 bccos A=十2-bc,…8分 。8+-c=1-一+e, 由正张定理，得mAC千“料专之 bc 10分 反16≥习-%=分，当且仅当=c时等号成立，……12分 m于nc的最小值为分： sinA …13分 16.(1)证明：因为AB∥CD,AB=4,CD=2,点E为AB的中点， 所以CD∥EB,EB=CD=2,四边形BCDE是平行四边形，所以DE=BC=√2，同理CE=AD=√2. 在△CDE中，CE=DE=2,CD=2,CE+DE=CD, 所以CE⊥DE。……3分 △CDE的面积为2×CEXDE=-1, 所以四边形BCDE的面积为2， 设四校锥P-BCDE的高为，则四棱锥P-BCDE的体积V=子×h×2=2号 3 所以h=√2，即点P到平面BCDE的距离为2， 因为PD=2,所以PD⊥平面BCDE,…6分 因为CEC平面BCDE,所以PD⊥CE, 因为PD∩DE=D,PD,DEC平面PDE,所以CE⊥平面PDE, 因为CEC平面CEP,所以平面CEP⊥平面PDE。 …8分 (2)解：以点D为坐标原点，分别以DC,DP为y轴，z轴，以过点D与 平面PCD垂直的直线为x轴建立空间直角坐标系Dxyz, 则E(1,1,0),C(0,2,0),B(1,3,0),P(0,02),…9分 所以C克=(1，-1,0)，P驼=(1,1，-2)，Pi=(13,-2). m·CE=0, 设平面PCE的法向量为m=(x,y,z),则{ m·PE=0. 即/xy=0. x+y-√2x=0, 取x=1,得m=（1,12).…11分 设平面PBE的法向量为n=(x',y,之')，则 nP成=0即 x'+y-2x'=0, (n.PB=0, x'+3y'-√2x=0, 取2=1，得n=(/2,0,1)；…13分 设平面PBE与平面PCE的夹角为0， 则s0-+甲0+07 1×2+1×0+2×1 3， 所以平面PBE与平面PCE夹角的余弦值为号。 …15分 17.解：(1)y=a·F两边同时取自然对数得lny=ln(a·:)=lna十xnb. 第3页（共6页） 设lny=u,所以v=lna十xlnb, …1分 因为7=3,0=1.602,2x2=55, 所以lnb= x-5x 25.107-5X3X1.602=0.10770.108.3分 55-5×32 =】 把(3,1.602)代人o=na十xnb,得na=1.278,…4分 可得a=e278=3.590,b=e41o8=1.114≈1.11.… …5分 所以y=3.59×1.112, 即y关于x的回归方程为y=3.59×1.115.… …7分 (2)由题意，得X的所有可能取值依次为01,23,4，且X一B(4,号）， …8分 PX=0)=(1-号)六-动P(X=1D=C×号×(1-号)广=景， P(X=2)=G×(号)×(1-号)°-是，PX=3)=C×(号）'×(1-号)-器 P(X=4)=C×(号)广=品 12分 所以X的分布列为 0 3 4 32 81 81 27 81 14分 E(X0=4X号-号 15分 18.解：1D由C的长轴长为4e,得2a=4e,e=受， …1分 由相= a2 44b2=4a2a4。+………+…………… …3分 把A(1,号)代入C的方程得时+品=1，即子十。=1， 解得a2=2,所以4b=4a2-a=4,6=1, 所以C的方程为号+少=1. …6分 (2)解法一：设P(xo,%),M(x1,y),N(x,), 由题意可知，点Q既是OP的中点，又是MN的中点， =十型 2 2 所以 即西=西+， 8分 兰=+丝 （%=为十y2, 2 因为点P在C上，所以》+(n+为)=1， 2 整理得受++号+十五+2为=1， 因为M.N在C上.所以受+=1，登+=1，可得五+2为=一1.…10分 由题意，四边形OMPN是平行四边形，△OPM的面积与△OMN的面积都是平行四边形OMPN面积的一 半，所以△OPM的面积与△OMN的面积相等，…11分 当直线MN的斜率存在时，设MN的方程为y=kx十m(m≠0)， y=kx+m, 联号+= 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0, 第4页（共6页） 十操函动=件录， -4km …13分 所以x1x+2次=x1x2+2(k十m)(kx2十m)=(1+2k2)x2+2km(x+x2)+2m2 =(2+1)·件2录+2m(后0）)+2m=-1, /一4km 整理得4m2=1+2k2,此时△=8(2k2+1-m2)=24m2>0, 又MN1=VF+7引x-a=√R+.81+2五-26m2中五-6五 2k2+1 4m 2 m 点O到直线MN的距离d=m 2+I 所以△OPM的面积S=dMN=号×m告×乎-5 4 …15分 √k+1 当直线MN的斜率不存在时易知石=-号=1为-9或=-号.以==号。 △OPM的面积S=×号×-5 所以△OPM的面积为定值气。 …17分 解法二：设P(xa,%),M(x,为)，N(x2,y), 由题意可知，点Q既是OP的中点，又是MN的中点， =十2 2 所以 2即=五十， …8分 受=边支2，%=+， 2 因为点P在C上，所以西+)+（十）2=1， 2 整理得受+听+受+坊十+2为=1， 因为M.N在C上，所以号+=1，号+娃-1，可得a十2为=-1，…10分 对x1x2十22=一1两边平方，得x号+4听号=1一4x1x212, 又(x号+2y听)(x+2y呢)=4，展开得xix2+4y十2xi十2xi=4, 所以1-4知1x2少为+2x吃+2x=4, 所以号+听-2n=是 2, …12分 所以O亦.O亦-(Oi.O)2=(x+)(+)-(x知n+”)2 =+-2n为=是 小…4分 由题意可得四边形OMPN是平行四边形，△OPM的面积与△OMN的面积都是平行四边形OMPN面积 的一半，所以△OPM的面积S与△OMN的面积相等，… …15分 S-IOMI IONI sin/MON-O ON (1-0 ZMON) =2Va.o-(oM,oNw-2√停-5， 所以△OPM的面积为定值 …17分 第5页（共6页） 19.(1)证明：因为fx)=nx,所以f(x)=1-n …1分 当x∈(0，e)时f(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(e,十o∞)时(x)<0,f(x)单调递减， 所以f(x)≤f(e)=1 5 所以当。>时，对任意re[a,a+]fx)e[a,a+] 故当a>是时，f(x)是区间[a,a+2]上的“出界函数”： …3分 当0<a<是时，[a,a+g]=0,1D, 当xe0.l1D时fx)<0,所以当0<a≤是时，对任意xe[a,a+2]fx)g[a,a+] 故当0<a≤时，fx)是区间[aa+号]上的“出界函数 综上所述，对任意a∈(0，十o∞)，函数f(x)=是区间[a,a十之]上的“出界函数.…4分 (2解：若f(x)=hx-a-3)a+32是[1,2]上的“出界函数”， x十1 即当x∈[1,2]时，f(x)>2或f(x)<1恒成立， 因为f(1)=3,f(x)<1不可能恒成立，所以f(x)>2恒成立， 即h一a骨+1>0恒成立 …5分 因为f(1)=3>2, 所以问题转化为x∈(1,2]时a<+,血r+1D恒成立. x-1 …6分 x-1-21nx-2 i设gx)=中l)+D(1K≤2).则g(x)=x- …7分 x一1 设kx)=x士-2hx-21<≤2，则W(0=1+2-是=(1-）'>0， h(xD在1,2]上单调递增，所以h(x)<h(2)=-号-2h2<0,… …9分 所以g'(x)<0,g(x)在(1,2]上单调递减，g(x)≥g(2)=3十3ln2, 所以a<3+3ln2时，x∈(1,2]恒有f(x)>2, 即f(x)是[1,2]上的“出界函数”，a的取值范围是（一∞，3十3n2).…11分 (3)解：设1=[s,t](s<t),I'={f(x)|x∈I}, 因为y=f(x)十x在区间[s,t]上单调递减，设x,x2∈I,且<x, 则f0n)+>j0)+…所以fC）二f2<-1<0.…12分 T1一x2 f(x)在[s,]上单调递减，I二[f(t),f(s)], 因为y=f(x)在区间[s,]上单调递减， 所以一定存在x∈[s,t门，使得f(xo)≠x, 若f(o)<xo,则x∈[xo,t]时f(s)<s, 此时，取D=[xo,]二I,f(x)是D上的“出界函数”： 若f(xo)>,则x∈[s,xo]时f(t)>t, 此时，取D=[s,xo]二I,f(x)是D上的“出界函数” 所以存在D二I,使得f(x)是D上的“出界函数”。…17分 第6页（共6页）反.已知点P是双曲线C号-y-1渐近线上一点，原点为QOP-5,点A剥足OALAP,点 2025届高考冲刺密押卷（四） F为C的右衡点.则|AF的最小敛为 A.5 我计店 2 C.5 D56 数 学 ,如周，已知正方体AD-AB,G的棱长为2，点P,Q分别在线段 AC,B,C上，则下列说法错误的是 注意事项： ABD⊥PQ 1,本卷高分150分，考线时网1D分钟。多通前，先将自己的姓名，准考证号填可在认题 B若P为战段AC的中点，则EPQ后 春和答避卡上·并将准青证号条形码共后在答题卡上的移定且夏。 2,选年题的件答，每小恩选出答常后，用2B场笔花签题古上对应题日的爹案标号涂累。 CPQ与平面AB站A所成角的取值范围为[0，哥] 写在汽题悬、草码脱和答题十上的◆等期区城均无戴 3,非选择题的作答：期签字笔直接答在答题卡上对应的器通区城内，写在试具春，草篇纸 和答超卡上的非答题区域均无镜。 BO平面A,化的距离为学 4,考欲格象后，请将本就题卷和答通卡一并上交 &.已知a-lcg11.b-43,=0.51+log0.1,则 A. Racrb Ccda D.cCuci 一，选择题：本题共8小，每小顺5分，共0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 二，法择题：本增共3小聪，每小整6分，共18分。在每小整给出的选项中，有多项符合题目要 合籍目要求的。 求。全部远对的得6分，部分选对的得部分分，有选情的得●分。 1.已知集合A={zx一x<6,B=(xx+1>01,则An(CkB 9有关数据量示，年轻一代的父母更加重祝亲子陪作，以 A.[r1<r3 且【x=211} 往"以德子为中心的观念正课步向与孩子玩在一起。 C{x-13 D{x|-1<r<2】 学在一起的方向转变.如圆为2023年中国父母参与过 2已知复数：满足千一2i,则 的各类亲子活动人数在参与调春总人爱中的占比，毅 那该图，下列说法正确的是 AS 且音 c n智 A,在参与国在的总人数中父母参与过的亲子活动最多 的是亲子侧读 品（一2）(}一刂的疑开式中的常数项为 且在参与碍查的总人数中司时参与过亲子阅读与亲子 A.-12 B-8 C2 D.8 运动会的父修不少于2D% C图中各类激子活动占比的巾位数为0,14% 4.若单位向量a,b满是引3a一b=62a·b,则m《ab》- )图巾10英亲子话动占比的酸差为57.0% A号 B是 心吉我-是 D-或 10甲，乙，丙.丁四人玩报数游戏：第一轮，甲推数字1，乙报数字2,3.丙报数字4,5,6，丁报数 字7,8,0,10第二轮，甲报数字11,12,13,14,15，依次循环，直到报出数字10000.爵戏结 5,雨数f)百十卫的大致图象为 束，期 x+1十2 A10000是乙报的 我2024是丁报的 C甲共报了6轮 口甲在藏四轮所报数字之和大于1600 1L.已如质数x一血2（四十》测下列结论正镜的是 Ax)的最大值为号 B.f(r》是周期雨数 Cfx)在（一受，0）上单调递减 D.若f(知)-0，期c0s0--1 第1原共4面) 第2五（共4百） 三，填空题：本题共3小丽，每小竖5分，共15分。 17,《本小题满分15分) 12,设u-s37”,期08254= 随看风内人均消黄水平的是高，居民的运动健身童识不断增强，加之健康与解压需求的增 13.已知功直线y=x+2过抛物线Cx一2y(0)的焦点F,且与C交于A.B两点，则 长，使得健身器材行业发根箱势程劲，下表为20]9一2023年中围健身器材市场规模（单位， AB十BF的最小值为 百亿元》，其中2019年一2023年对应的代码候次为1一5 14,公元前4世纪中叶，中国天文学家有一套测定天体球而坐标的仅非称作浑仅，比古希第早了 年衡代两x 1214 近0年，浑仪是由两个同心圆环构成，整体看上去，近似一个球体它的运行原理可以解释 牛相键身器H市场规根，卡上4.卡44生5在 如下：同心环的大球内安战大根等长的金属登（不计粗细）作为四血体的棱，再在金属丝框 (1由上表数据可知，可用指数型函数预型y=瓢合y与r的美系，请建立y关于x的回 果内成入小球，使小球能够在金属丝根架内任意转动，则小缘与大球体积之比的最大值为 归方程(a,6的简棉确到Q01)1 四，解答题：本题共5小通，共T门分。解答应写出文字识明，正明过程或演算步骤。 (2)数据丛示2023年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为号，用 15,(本小题清分13分) 顿率估计概率，现从203年购买过体育用品类的中国清费者中随机抽取4人，记购买过 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分用为a,b,c,6inA=5(一ac0mB), 运动助护类的消费者人数为X,求X的分布列及数学期里. 1》求角A的大小 参考数据： sinA (②)求8C的最小值 p 含x 罚 1.602 25107 3.50 L.114 参考公式：对于一相数据(“1，山)，(，西)，，(m,花)，其国归直线一a十的斜串和裁 一 距的最小二乘估计公式分别为一 16,(木小慧焉分15分) 如图1.在等腹球形ABCD中，AB∥CD,AB=4.CD=2.AD=反，点E为AB的中点，把 △ADE沿DE折起，使得点A到达点P.如图2，四酸能P-CDE的体积为号 18(本小题满分17分) 已知啊圆C后+景-1(a>6>0)的离心率为e,点A1e)在C上.C的长轴长为“ (1)求C的方程： (2)已知原点为.点P在C上，OP的中点为Q,过点Q的直线与C交于点M,V,且线段 MN恰好被点Q平分，试判断△OPM的面积是香为定值？若为定值，求出该定值：若不 为定值.请说明理出， 图1 (I)求证：平而EP⊥平面PDE: (2)求平面PBE与平面PCE夹角的余弦值. 19,(本小想清分17分》 设的数了(x)的定义城为.用区间D二1，若对任意x∈D,都有f《x)任D,则称f(x)为区 间D上的出界函数” 《1求证对任意a∈0，十四)函数)-日是区何[aa+是]上的出界雨数”： (2)若f-m4一位-3@+3是[1.2]上的出界雨数”，求实敌。的取值粒围 x十1 3)若函数y=f(,)十￥在区间「上单调递减，判断是否程在D三，使得了(r》是D上的 “出界函数“ 第3页（共4置） 第4页（共4页