专题01 二次根式（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（人教版）

专题01二次根式 【考点1】二次根式有意义的条件★ 【考点2】利用二次根式的性质化简．★★ 【考点3】最简二次根式的判定★ 【考点4】同类二次根式的相关概念★ 【考点5】二次根式的混合运算．★★ 【考点6】二次根式的化简求值★★ 【考点7】二次根式的实际应用★★ 【考点8】分母有理化★★★ 知识点1：二次根式的相关概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 知识点2：二次根式的性质 （1） 双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 知识点3：二次根式的乘除法法则 1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 知识点4：最简二次根式及化简 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 知识点5： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点6：二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点7：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【考点1】二次根式有意义的条件★ 1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 2．要使二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 3．若实数满足，则的值为 ． 4．若，则 ． 【考点2】利用二次根式的性质化简★★ 1．实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（  ） A．a B． C． D． 2．已知实数在数轴上的对应点如图所示，则（    ） A． B． C． D． 3．实数a，b在数轴上位置如图所示，则化简的结果（   ） A． B． C． D．0 4．先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【考点3】最简二次根式的判定★ 1．下列式子为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点4】同类二次根式的相关概念★ 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式能与进行合并的是（    ） A． B． C． D． 3．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 ． 4．最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【考点5】二次根式的混合运算★★ 1．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算 (1) (2) 4．计算： (1) (2) 【考点6】二次根式的化简求值★★ 1．先化简，再求值：的值，其中． 2．已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 3．已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 4． 先化简， 再求值： ， 其中． 【考点7】二次根式的实际应用★★ 1．如图，长方形内相邻两个正方形的面积分别为2和4，则长方形内阴影部分的面积是（   ） A．2 B． C． D． 2．如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为． (1)求矩形空地的周长； (2)除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为20元/的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 3．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 4．某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【考点8】分母有理化★★★ 1．我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘．如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： (1)化简：_________； (2)比较大小：_________（用“”、“”或“”填空）； (3)已知，求的值； (4)直接写出的值． 2．观察下列等式： ①； ②； ③； 回答下列问题： (1)_______； (2)_______；（n为正整数） (3)利用上面所揭示的规律计算：． 3．“分母有理化”是我们常用的一种方法，如：；． (1)观察上面的解题过程，请直接写出的结果是 ； (2)根据你发现的规律，请计算：． 一、单选题 1．下列的式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．要使二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．估算的结果应在（    ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 5．按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 6．式子成立的条件是（   ） A． B． C．或 D． 二、填空题 7．比较大小： ．（填>，<或=） 三、解答题 8．计算：． 9．已知：，． (1)求的值； (2)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 10．已知，，分别求下列代数式的值： (1) (2) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01二次根式 【考点1】二次根式有意义的条件★ 【考点2】利用二次根式的性质化简．★★ 【考点3】最简二次根式的判定★ 【考点4】同类二次根式的相关概念★ 【考点5】二次根式的混合运算．★★ 【考点6】二次根式的化简求值★★ 【考点7】二次根式的实际应用★★ 【考点8】分母有理化★★★ 知识点1：二次根式的相关概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 知识点2：二次根式的性质 （1） 双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 知识点3：二次根式的乘除法法则 1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 知识点4：最简二次根式及化简 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 知识点5： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点6：二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点7：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【考点1】二次根式有意义的条件★ 1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，同时考虑分母不为0，即可确定的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义， ， 解得，故D正确． 故选：D． 2．要使二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是明确二次根式中被开方数是非负数． 根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于等于零，列出不等式求解． 【详解】对于二次根式，要使其有意义，被开方数需满足． 解不等式，两边同时减去2，得． 所以的取值范围是． 故答案为：． 3．若实数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集，代入求值，掌握二次根式有意义的条件得到的值是解题的关键． 根据题意得到，得到，则，代入计算即可求解． 【详解】解：实数满足， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 4．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据有意义，得出，进而化简已知等式得出，即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴即 ∴ 故答案为：． 【考点2】利用二次根式的性质化简★★ 1．实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（  ） A．a B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．由数轴，得，于是得出，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴，得， ∴， ∴ ， 故选：B． 2．已知实数在数轴上的对应点如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，理解并运用二次根式的性质是解题的关键．根据数轴可得到，，，再根据所给的二次根式的性质即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ； 故选：C． 3．实数a，b在数轴上位置如图所示，则化简的结果（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解题关键是根据a，b在数轴上的位置判断各数的符号以及绝对值的大小．首先结合数轴确定，易得，然后再根据运算法则进行计算，即可获得答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ． 故选：A． 4．先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【答案】(1)④， (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为：； （2）解：原式 ． 【考点3】最简二次根式的判定★ 1．下列式子为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数小于2，判断即可． 【详解】A. ，不为最简二次根式，不符合题意； B. ，不为最简二次根式，不符合题意；     C. 是最简二次根式，符合题意；     D. ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：Ｃ． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，最简二次根式的定义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，被开方数为多项式，无法分解成含完全平方的因式，是最简二次根式，符合题意， D．不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 3．下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，根据被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选D． 4．若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 【考点4】同类二次根式的相关概念★ 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，同类二次根式，含有相同的被开方数的最简二次根式是同类二次根式，根据定义判断． 【详解】解：A、和被开方数不同，不是同类二次根式，选项不符合题意； B、和不是同类二次根式，选项不符合题意； C、和被开方数相同，是同类二次根式，选项符合题意； D、和被开方数不同，不是同类二次根式，选项不符合题意． 故选：C． 2．下列二次根式能与进行合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，能与进行合并； B、，不能与进行合并； C、，不能与进行合并； D、，不能与进行合并； 故选：A 3．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 ． 【答案】5 【分析】此题考查了化简二次根式，同类二次根式，关键是能准确理解同类二次根式：被开方数相同的最简二次根式叫同类二次根式，并能对二次根式进行正确的化简． 先将二次根式化简，再根据同类二次根式的概念进行求解． 【详解】解：， 又∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：5． 4．最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念．由同类二次根式的定义可得：，解方程可得答案． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴． ∴． 故答案为：1． 【考点5】二次根式的混合运算★★ 1．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算． （1）先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先算二次根式的乘除，再算二次根式的加减即可； （3）先根据平方差公式、完全平方公式计算，再合并即可； （4）先根据绝对值的性质、立方根的定义、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用． （1）根据二次根式乘法，分母有理化，零指数幂运算法则，先化简，然后计算加减法即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质化简，零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先根据二次根式的性质化简，计算零指数幂和绝对值，然后计算加减即可； （2）首先计算二次根式的乘法和除法，然后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 4．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的混合计算法则是解题的关键． （1）先利用平方差公式去括号，然后化简二次根式和绝对值，再计算加减法即可得到答案； （2）先化简二次根式，再计算二次根式乘除法，最后计算加法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点6】二次根式的化简求值★★ 1．先化简，再求值：的值，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 2．已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的式子进行变形是解题的关键． （1）先对和进行化简，利用完全平方公式把所求的式子写成的形式，然后代入求解即可； （2）先对所求的式子进行化简，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴ ； （2）解： ， ∵，， ∴原式． 3．已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简与求值，注意利用因式分解，是使得问题能得以简算的关键． （1）先计算、和的值，将原式分解因式，再整体代入计算即可； （2）将原式分解因式，再将和的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ，， ∴； （2）解： ． 4． 先化简， 再求值： ， 其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式除法运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 将 代入得： 原式 ． 【考点7】二次根式的实际应用★★ 1．如图，长方形内相邻两个正方形的面积分别为2和4，则长方形内阴影部分的面积是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算． 【详解】解：∵长方形内相邻两个正方形的面积分别为2和4，， ∴，， ∴阴影部分的面积为． 故选：C． 2．如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为． (1)求矩形空地的周长； (2)除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为20元/的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1)矩形空地的周长为 (2)购买地砖需要花费780元 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解； （2）先求得长方形的面积，根据面积乘以20即可求解． 【详解】（1）解：． 答：矩形空地的周长为； （2）解： ． （元）． 答：购买地砖需要花费780元． 3．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查二次根式的应用； （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【详解】（1）解：长方形的周长 答：长方形的周长是． （2）铺地砖的面积 故购买地砖的花费为(元) 答：购买地砖需要花费元． 4．某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查二次根式运算的实际应用．熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长计算即可； （2）用长方形的面积减去长方形花坛（图中阴影部分）面积差乘以地砖的单价，列式计算即可． 【详解】（1）解：． 长方形的周长是． （2）解： 元． 答：购买地砖需要花费元． 【考点8】分母有理化★★★ 1．我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘．如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： (1)化简：_________； (2)比较大小：_________（用“”、“”或“”填空）； (3)已知，求的值； (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2)> (3)3 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； （2）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解； （3）设，，根据有理化因式的定义计算出的值，根据m的值得出n的值，即是结果． （4）根据有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； 【详解】（1）解： （2）解：∵， ， 而， ∴， ∵和都是大于0的数， ∴， 即 故答案为：>． （3）解：设，， 则， ∵， ∴，即． （4）解： 2．观察下列等式： ①； ②； ③； 回答下列问题： (1)_______； (2)_______；（n为正整数） (3)利用上面所揭示的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题为二次根式规律题，考查了二次根式化简与二次根式的混合计算、分母有理化运算，平方差公式等知识． （1）类比提供的式子，分子分母同乘以，再进行计算即可求解； （2）类比提供的式子，分子分母同乘以，再进行计算即可求解； （3）利用（1）、（2）的结论，将各式进行化简，再进行加减计算即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解： ． 3．“分母有理化”是我们常用的一种方法，如：；． (1)观察上面的解题过程，请直接写出的结果是 ； (2)根据你发现的规律，请计算：． 【答案】(1) (2)2024 【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式，准确计算是解题关键． （1）根据平方差公式，可分母有理化； （2）根据平方差公式，可分母有理化，根据实数的运算，可得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． 一、单选题 1．下列的式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解答本题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不能确定的正负，故A选项不符合题意； B、，二次根式没有意义，故B选项不符合题意； C、是二次根式，故C选项符合题意； D、，二次根式没有意义，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．要使二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可求得的取值范围． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的识别，掌握定义是解题的关键，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定． 【详解】解：，与不是同类二次根式，故A选项不合题意； ，与不是同类二次根式，故B选项不合题意； 与不是同类二次根式，故C选项不合题意； 与是同类二次根式，故D选项符合题意； 故选：D． 4．估算的结果应在（    ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，无理数的估算，先根据二次根式的乘法法则计算，然后利用“夹逼法”求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴， 故选：B． 5．按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数式规律问题，根据题干所给单项式总结规律即可． 【详解】解：第1个单项式为a，即， 第2个单项式为， 第3个单项式为 ．．． 第n个单项式为， 故选：C． 6．式子成立的条件是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式乘法成立的条件：被开方数非负；据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：； 故选：B． 二、填空题 7．比较大小： ．（填>，<或=） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较：对于带根号的无理数的大小比较，可以利用平方法先转化为有理数的大小比较．先比较两个数平方的大小即可得到它们的大小关系． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：． 三、解答题 8．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，先化简二次根式和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 9．已知：，． (1)求的值； (2)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 【答案】(1)17 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，无理数的估算，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）先求出的值，再根据代值计算即可； （2）根据无理数的估算方法分别求出a、b的范围，进而求出m、n的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵m为a整数部分，n为b小数部分， ∴， ∴． 10．已知，，分别求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算及乘法公式，熟练掌握二次根式的运算法则、平方差公式及完全平方公式是解题的关键． （1）先得出，，再利用平方差公式计算即可； （2）先根据平方差公式得出，利用完全平方公式变形，代入和的值即可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$