第16章 二次根式 提优专题 2024～2025学年人教版八年级数学下册

二次根式提优专题 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质； 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、二次根式的相关概念和性质 1.二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 要点诠释： （1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数； 当取非负数时，=. 3.最简二次根式 （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含有分母； （3）分母中不含有根号. 满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 要点诠释： 最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1.乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 要点诠释： （1）当二次根式的前面有“系数”时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释： 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 【典型例题】 类型一、二次根式有意义的条件 例1．使代数式有意义的x的取值范围是（　　） A．x≠﹣2 B．x＜3且x≠﹣2 C．x≤3且x≠2 D．x≤3且x≠﹣2 【分析】先根据二次根式及分式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵代数式有意义， ∴，解得x≤3且x≠﹣2． 故选：D． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键． 例2．若成立，则x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≤3 C．2≤x≤3 D．2＜x＜3 【分析】根据二次根式的运算性质＝•（a≥0，b≥0），即可解答． 【解答】解：根据题意得： 解得：2≤x≤3 故选：C． 【点评】正确理解根式乘法的性质，注意性质运用的条件是解决本题的关键． 【变式】若＝成立，则x的取值范围为（　　） A．x≥2 B．x≤3 C．2≤x≤3 D．2≤x＜3 【分析】利用二次函数的定义（a≥0），进而分析得出即可． 【解答】解：∵＝成立， ∴， 解得：2≤x＜3． 故选：D． 【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键． 例3．若式子有意义，则点P（a，b）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数和分母不为0，对a、b的取值范围进行判断． 【解答】解：要使这个式子有意义，必须有﹣a≥0，ab＞0， ∴a＜0，b＜0， ∴点（a，b）在第三象限． 故选：C． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，以及各象限内点的坐标的符号． 例4．若x、y都是实数，且y＝++24，则x+y的立方根是（　　） A．27 B．0 C．3 D．±3 【分析】根据二次根式有意义条件即可求出x与y的值，然后求出x+y的立方根． 【解答】解：由题意可知：， ∴x＝3， ∴y＝24， ∴x+y＝27， ∴27的立方根为3， 故选：C． 【点评】本题考查平方根与立方根，解题的关键是正确理解平方根与立方根的定义，本题属于基础题型． 【变式1】若a，b为实数，且b＝，则a+b＝　　． 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：由题意得，a2﹣1＝0，1﹣a2＝0，a+1≠0， 解得，a＝1， 则b＝， 则a+b＝， 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【变式2】已知a，b为实数，且+2＝b+4，求a，b的值． 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出a与b的值． 【解答】解：由题意可知： 解得：a＝5， ∴0+0＝b+4， ∴b＝﹣4 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 【变式3】若m满足关系式＝，则m＝　201　． 【分析】依据二次根式有意义的条件，即可得到x+y＝199，3x+5y﹣2﹣m＝0，2x+3y﹣m＝0，解方程组即可得到m的值． 【解答】解：由题可得，， ∴， ∴x+y＝199，① ∴+＝0， ∴3x+5y﹣2﹣m＝0，② 2x+3y﹣m＝0，③ 联立①②③，解得， ∴m的值为201． 故答案为：201． 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件的运用，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 类型二、二次根式的性质与化简求值 例1．k、m、n为三整数，若＝k，＝15，＝6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（　　） A．k＜m＝n B．m＝n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n 【分析】根据二次根式的化简公式得到k，m及n的值，即可作出判断． 【解答】解：＝3，＝15，＝6， 可得：k＝3，m＝2，n＝5， 则m＜k＜n． 故选：D． 【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键． 例2．已知a，b在数轴上的位置如图，化简：＝　1﹣a﹣b　． 【分析】本题利用实数与数轴的关系，判断a+1、2﹣b的符号，利用＝|a|进行计算． 【解答】解：由a，b在数轴上的位置可知：﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3， ∴＝﹣（a+1）+2﹣b＝1﹣a﹣b． 【点评】本题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉算术平方根的意义． 例3．等式|x﹣y|＝中的括号应填入　﹣4xy　． 【分析】本题可将|x﹣y|平方再加上根号，将根号中的数化简，提出（x+y）2即可知道括号内所填的数． 【解答】解：|x﹣y|＝． 故括号应填入﹣4xy． 【点评】本题考查算术平方根、乘法公式及恒等变形． 例4．已知0＜a＜1，化简＝　　． 【分析】因为a＝（）2，＝，又0＜a＜1，所以（）2＜，即＜． 【解答】解：∵0＜a＜1， ∴＜， ∴原式＝﹣ ＝﹣ ＝﹣（）＝2． 【点评】注意当x＜0时，＝﹣x． 【变式】当﹣1＜a＜0时，则＝　2a　． 【分析】根据题意得到a+＜0，a﹣＞0，根据完全平方公式把被开方数变形，根据二次根式的性质计算即可． 【解答】解：∵﹣1＜a＜0， ∴a+＜0，a﹣＞0， 原式＝﹣ ＝a﹣+a+ ＝2a， 故答案为：2a． 【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 例5．化简﹣a2的结果是（　　） A．﹣2a B．﹣2a C．0 D．2a 【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案． 【解答】解：化简﹣a2 ＝﹣a﹣a2• ＝﹣a+a ＝0． 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 例6．把根号外的因式移入根号内，得（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质可知﹣＞0，即a＜0，那么括号外的a移入括号里，要保证不变大小，且被开方数是≥0的． 【解答】解：∵﹣＞0， ∴a＜0， ∴a＝﹣， 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简．解题的关键是利用二次根式的性质，先确定a的取值，再进行移入计算． 【变式】将式子（a﹣1）中根号外的因式移入根号内的为（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 【分析】直接利用二次根式的性质，首先判断根号外的因式符号，进而平方后移入根号内，再化简求出答案． 【解答】解：由题意可得：1﹣a＞0， 则a﹣1＜0， 故（a﹣1） ＝﹣ ＝﹣． 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确判断出二次根式的符号是解题关键． 例7．已知：a+b＝﹣5，ab＝1，则+的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．25 D．5或﹣5 【分析】先把+进行化简，再把a+b＝﹣5，ab＝1代入，即可求出答案． 【解答】解：∵a+b＝﹣5，ab＝1， ∴a＜0，b＜0， +＝﹣﹣＝﹣， 又∵a+b＝﹣5，ab＝1， ∴原式＝﹣＝5； 故选：A． 【点评】此题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是把要求的式子进行化简，再进行计算． 例8．若，则的值是（　　） A．3 B．±3 C． D．± 【分析】先（）2＝x+2+＝7+2＝9，再开平方，可得结论． 【解答】解：∵， ∴（）2＝x+2+＝7+2＝9， ∵＞0， ∴＝3， 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，本题熟练掌握完全平方公式是关键，并注意二次根式的双重非负性． 例9．已知﹣＝2，则+＝　3　． 【分析】利用平方差公式得到（﹣）（+）＝12，然后把﹣＝2代入计算即可． 【解答】解：根据题意得（﹣）（+）＝16﹣x2﹣（4﹣x2）＝12， 而﹣＝2， 所以2（+）＝12， 所以+＝3． 故答案为3． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了二次根式有意义的条件． 【变式1】已知x﹣y＝6，，求的值． 【分析】直接利用已知将原式变形进而得出，再将变形求出答案． 【解答】解：∵x﹣y＝6， ∴， ∴， ∵+ ＝•+• ＝（+） ＝9， ∴， 即， ∴ ＝（﹣） ＝× ＝4． 【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确将已知变形是解题关键． 【变式2】设x＝，y＝，n为正整数，如果2x2+197xy+2y2＝1993成立，那么n的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】由题设得：xy＝1，x+y＝4n+2，由2x2+197xy+2y2＝1993，得2（x+y）2+193xy＝1993．将xy＝1，x+y＝4n+2代入即可求解． 【解答】解：由题设得：xy＝1，x+y＝4n+2， 由2x2+197xy+2y2＝1993，得2（x+y）2+193xy＝1993． 将xy＝1，x+y＝4n+2代入上式得：（4n+2）2＝900， 即4n+2＝30． ∴n＝7． 故选：A． 【点评】此题考查了分式的化简求值，要特别注意观察已知条件和所求代数式的关系，再进行化简． 例10．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得+＝m，＝，那么便有： ＝＝±（a＞b）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12 即+＝7，×＝ ∴＝＝＝2+． 由上述例题的方法化简：． 【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法． 【解答】解：根据，可得m＝13，n＝42， ∵6+7＝13，6×7＝42， ∴＝＝． 【点评】解题关键是把根号内的式子整理为完全平方的形式． 类型三、最简二次根式 例1．设x＝，y＝，则x，y的大小关系是（　　） A．x＞y B．x≥y C．x＜y D．x＝y 【分析】把x的值分母有理化，再比较． 【解答】解：∵x＝＝3﹣＞0，y＝＜0． ∴x＞y， 故选：A． 【点评】化简，判断与两者互为相反数是解决本题的关键． 【变式】设m＝+1，那么的整数部分是　3　． 【分析】计算出的结果后，估算出其大小，从而求出其整数部分． 【解答】解：∵m＝+1， ∴＝＝， ∴＝+1+＝ ∵2＜＜2.5 ∴10＜5＜12.5 ∴13＜5+3＜15.5 ∴3＜＜＜15.5÷4＜4 ∴的整数部分为3． 故答案为：3． 【点评】能根据的大小，逐步估算出一个较复杂的无理数的大小． 例2．观察下列各式：＝﹣1，＝，＝2﹣…请利用你发现的规律计算： （+++…+）×（+）＝　2014　． 【分析】原式第一个因式中各项分母有理化后，再利用平方差公式计算即可得到结果． 【解答】解：原式＝（﹣+2﹣+﹣2+…+﹣）×（+）＝（﹣）×（+）＝2016﹣2＝2014， 故答案为：2014 【点评】此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同． 例3．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（　　） A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：设x＝﹣，且＞， ∴x＜0， ∴x2＝6﹣3﹣2+6+3， ∴x2＝12﹣2×3＝6， ∴x＝， ∵＝5﹣2， ∴原式＝5﹣2﹣ ＝5﹣3， 故选：D． 【点评】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于较难题型． 类型四、二次根式的运算 例1．已化简的和是同类二次根式，则a+b＝　　． 【分析】根据根指数及被开方数分别相同可列出方程，解出后可得出a和b的值，代入可得出答案． 【解答】解：已化简的和是同类二次根式， 可得：， 解得：， 把a＝，b＝代入a+b＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了同类二次根式及的知识，属于基础题，要熟练掌握最简同类二次根式的根指数相同，且被开方数相同． 【变式】已知最简二次根式与2可以合并，则a的值是　2　． 【分析】根据最简二次根式可合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：由最简二次根式与2可以合并，得 7﹣2a＝3． 解得a＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了同类二次根式，利用同类二次根式得出关于a的方程是解题关键． 例2．计算： （1）（2014﹣）0+|（）﹣1﹣|﹣； （2）（+）（3﹣2）﹣（﹣）2． 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义和分母有理化计算； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算． 【解答】解：（1）原式＝1+|3﹣2|﹣2 ＝1+2﹣3﹣2 ＝﹣2； （2）原式＝（3+2）（3﹣2）﹣（3﹣2+2） ＝18﹣12﹣5+2 ＝1+2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 例3．设a＝，求的值． 【分析】直接利用二次根式的性质将已知变形，进而代入原式变形得出答案． 【解答】解：∵a＝， ∴a2＝（）2＝＝﹣+1 ＝1﹣a， ∴a2+a＝1， ∴原式＝ ＝ ＝ ＝﹣ ＝﹣（1+a+a2） ＝﹣（1+1） ＝﹣2． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质，正确将原式变形是解题关键． 类型五、二次根式的应用 例1．如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　） A．（8﹣4）cm2 B．（4﹣2）cm2 C．（16﹣8）cm2 D．（﹣12+8）cm2 【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2， ∴它们的边长分别为＝4cm，＝2cm， ∴AB＝4cm，BC＝（2+4）cm， ∴空白部分的面积＝（2+4）×4﹣12﹣16， ＝8+16﹣12﹣16， ＝（﹣12+8）cm2． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的应用，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长． 【变式】如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，则余下的面积为（　　） A．16cm2 B．40 cm2 C．8cm2 D．（2+4）cm2 【分析】根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，易得大正方形的面积，利用分割法求得余下部分的面积． 【解答】解：从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形， 大正方形的边长是+＝4+2， 留下部分（即阴影部分）的面积是（4+2）2﹣16﹣24＝16+16+24﹣16﹣24＝16（cm2）． 故选：A． 【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出阴影部分面积是解题关键． 例2．阅读材料，请回答下列问题 材料一：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：S＝…①（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积）而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”；S＝……②（其中p＝） 材料二：对于平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），公式逆用可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 例：a2﹣（b+c）2＝（a+b+c）（a﹣b﹣c）． （1）若已知三角形的三边长分别为3、4、5，请试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积； （2）你能否由公式①推导出公式②？请试试． 【分析】（1）根据阅读材料即可求解； （2）根据平方差公式和完全平方公式即可推导． 【解答】解：（1）设a＝3，b＝4，c＝5， ∵32+42＝25，52＝25， ∴a2+b2＝c2， a2b2＝144， ∴S＝＝12＝6； ∵p＝＝＝6， p﹣a＝6﹣3＝3，p﹣b＝6﹣4＝2，p﹣c＝6﹣5＝1， S＝ ＝ ＝6． 答：三角形的面积为6． （2）∵[a2b2﹣（）2] ＝[﹣] ＝[（a+b）2﹣c2][c2﹣（a﹣b）2] ＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a+c﹣b）（b+c﹣a） ＝×2p•（2p﹣2c）（2p﹣2b）（2p﹣2a） ＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c） ∴＝ 【点评】本题考查了二次根式的应用、平方差公式和完全平方公式，解决本题的关键是熟练应用公式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次根式提优专题 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质； 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、二次根式的相关概念和性质 1.二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 要点诠释： （1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数； 当取非负数时，=. 3.最简二次根式 （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含有分母； （3）分母中不含有根号. 满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 要点诠释： 最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1.乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 要点诠释： （1）当二次根式的前面有“系数”时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释： 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 【典型例题】 类型一、二次根式有意义的条件 例1．使代数式有意义的x的取值范围是（　　） A．x≠﹣2 B．x＜3且x≠﹣2 C．x≤3且x≠2 D．x≤3且x≠﹣2 例2．若成立，则x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≤3 C．2≤x≤3 D．2＜x＜3 【变式】若＝成立，则x的取值范围为（　　） A．x≥2 B．x≤3 C．2≤x≤3 D．2≤x＜3 例3．若式子有意义，则点P（a，b）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例4．若x、y都是实数，且y＝++24，则x+y的立方根是（　　） A．27 B．0 C．3 D．±3 【变式1】若a，b为实数，且b＝，则a+b＝ 　． 【变式2】已知a，b为实数，且+2＝b+4，求a，b的值． 【变式3】若m满足关系式＝，则m＝　 　． 类型二、二次根式的性质与化简求值 例1．k、m、n为三整数，若＝k，＝15，＝6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（　　） A．k＜m＝n B．m＝n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n 例2．已知a，b在数轴上的位置如图，化简：＝　 　． 例3．等式|x﹣y|＝中的括号应填入　 　． 例4．已知0＜a＜1，化简＝ 　． 【变式】当﹣1＜a＜0时，则＝　 　． 例5．化简﹣a2的结果是（　　） A．﹣2a B．﹣2a C．0 D．2a 例6．把根号外的因式移入根号内，得（　　） A． B． C． D． 【变式】将式子（a﹣1）中根号外的因式移入根号内的为（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 例7．已知：a+b＝﹣5，ab＝1，则+的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．25 D．5或﹣5 例8．若，则的值是（　　） A．3 B．±3 C． D．± 例9．已知﹣＝2，则+＝ 　． 【变式1】已知x﹣y＝6，，求的值． 【变式2】设x＝，y＝，n为正整数，如果2x2+197xy+2y2＝1993成立，那么n的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 例10．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得+＝m，＝，那么便有： ＝＝±（a＞b）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12 即+＝7，×＝ ∴＝＝＝2+． 由上述例题的方法化简：． 类型三、最简二次根式 例1．设x＝，y＝，则x，y的大小关系是（　　） A．x＞y B．x≥y C．x＜y D．x＝y 【变式】设m＝+1，那么的整数部分是　 　． 例2．观察下列各式：＝﹣1，＝，＝2﹣…请利用你发现的规律计算： （+++…+）×（+）＝　 　． 例3．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（　　） A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3 类型四、二次根式的运算 例1．已化简的和是同类二次根式，则a+b＝ 　． 【变式】已知最简二次根式与2可以合并，则a的值是　 　． 例2．计算： （1）（2014﹣）0+|（）﹣1﹣|﹣； （2）（+）（3﹣2）﹣（﹣）2． 例3．设a＝，求的值． 类型五、二次根式的应用 例1．如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　） A．（8﹣4）cm2 B．（4﹣2）cm2 C．（16﹣8）cm2 D．（﹣12+8）cm2 【变式】如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，则余下的面积为（　　） A．16cm2 B．40 cm2 C．8cm2 D．（2+4）cm2 例2．阅读材料，请回答下列问题 材料一：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：S＝…①（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积）而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”；S＝……②（其中p＝） 材料二：对于平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），公式逆用可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 例：a2﹣（b+c）2＝（a+b+c）（a﹣b﹣c）． （1）若已知三角形的三边长分别为3、4、5，请试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积； （2）你能否由公式①推导出公式②？请试试． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$