专题02规律探究（考题猜想，8种热考题型）-2024-2025学年六年级数学下学期期末考点大串讲（人教版2024五四制）

专题02规律探究（考题猜想，8种热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：规律探究——数表规律（共11题） 1．（2022秋•简阳市期中）如图五个正方形中各有四个数，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，可推测出的值为　　 A．0 B．1 C．4 D．8 【分析】观察前四个正方形规律是：左上、左下、右上三个数是连续的三个偶数，右下左上左下右上，可得的值． 【解答】解：由前四个正方形内数的规律可知： 每个正方形左上、左下、右上三个数是连续的三个偶数， 故第五个正方形左下和右上两数分别为：，0． 而每个正方形右下的数左上的数左下的数右上的数， 故． 故选：． 【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 2．（2021秋•泾阳县期末）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2021个格子中的数为　　 2 5 A． B．0 C．2 D．5 【分析】根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出、的值，再根据第9个数是5可得，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，再用2021除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解． 【解答】解：任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ， 解得， ， 解得， 所以，数据从左到右依次为、2、、、2、， 第9个数与第三个数相同，即， 所以，每3个数“、2、5”为一个循环组依次循环， ， 第2021个格子中的整数与第2个格子中的数相同为2． 故选：． 【点评】此题考查数字的变化规律，仔细观察排列规律求出、、的值，从而得到其规律是解题的关键． 3．（2023秋•钟山区期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将9个数填入三阶幻方的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如表是一个未完成的三阶幻方，则表中的值为　　 4 2 8 A．1 B．2 C．4 D．6 【分析】设第1行中间的空格中的数为，利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等的条件求得值，则结论可求． 【解答】解：设第1行中间的空格中的数为，则其余空格的数值如下表： 由题意得：， ． ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，利用已知条件列出一元一次方程是解题的关键． 4．填在下面各个大正方形中的四个数之间都有相同的规律，据此规律回答下列问题： （1）正方形（4）中，　　； （2）正方形中，　　，　　，　　，　　．（用含的代数式表示） 【分析】（1）观察大正方形中的四个数可知：每个正方形右上方和左下方的两个数字乘积减去另一条左上方的的数右下方的数，正方形右上方比左上方的两个数字多4，正方形左上方的数字比左下方数字少2，按照此规律解答即可； （2）观察图形可知：正方形左下角的数字是图形序号的2倍，按照此规律，结合（1）中规律进行解答． 【解答】解：，；，；，， 每个正方形右上方和左下方的两个数字乘积减去另一条左上方的的数右下方的数，正方形右上方比左上方的两个数字多4，正方形左上方的数字比左下方数字少2， 正方形（4）中，左下方的数字为8，右上方的数为10， ， 故答案为：74； （2）观察图形可知：正方形左下角的数字是图形序号的2倍， 第个图形中的，按照（1）中的规律可知：，，， 故答案为：，，，． 【点评】本题主要考查了规律型：图形的变化类，解题关键是观察图形，找出规律． 5．（2023秋•坪山区期末）如表所示每个表格中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定的值为 　　． 3 2 4 5 4 6 10 0 3 14 5 34 第1个 第2个 第3个 第4个 【分析】观察表格中四个数，发现它们之间的关系即可解决问题． 【解答】解：观察表格中的数可知， 右上角的数依次为：3，4，5，6，， 所以第个方格中右上角的数为：． 左上角的数的绝对值依次增加1，且第奇数个格子中左上角数为负数，第偶数个格子中左上角的数为正数， 又因为时， 则， 所以第8个格子中右上角的数为10， 则第8个格子中左上角的数为8，即． 又因为，，，，， 所以． 观察表格可知，左下角与右上角的数字之积加上左上角的数字等于右下角的数字， 所以． 故答案为：98． 【点评】本题考查数字变化的规律，能根据给出的表格中的数，发现它们之间的等量关系是解题的关键． 6．（2023秋•莲池区校级期末）数学活动——探究日历中的数字规律：如图1是2023年11月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． （1）初步分析：计算图1中的结果为 　　； 将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 　　； （2）数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，　　， ， 　　， 　　， 所以，的值均为 　　； （3）拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列，两题中任选一题作答．我选择 　　题． ．在日历中用“型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； ．在日历中用“型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【分析】（1）计算所列式子即可； （2）根据框出数字规律填空即可； （3）：设，则，，，再代入计算即可； ：设，则，，，再代入计算即可． 【解答】解：（1） ； 将的方框移动到图1中的其他位置，总有，，， ； 故答案为：0；0； （2）设，则，，， ， ， ， 所以，的值均为0； 故答案为：；；0；0； （3）． 的值均为0；理由： 设，则，，， ； 的值均为0． ． 的值均为；理由： 设，则，，， ， 的值均为． 故答案为：（或； 【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是能观察得到日历表中框出数字的规律． 7．（2023秋•恩平市期末）如图1，边长为 的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为 ． （1）这个纸盒的底面积是 　 　，高是 　　（用含、的代数式表示）． （2）的部分取值及相应的纸盒容积如表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 72 请通过表格中的数据计算：　　，　　． （3）若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒． ①若为该纸盒制作一长方形盖子，则该长方形的两边长分别是 　　，　　（用含、的代数式表示）； ②已知，，，四个面上分别标有整式，，，6，且该纸盒的相对两个面上的整式的和相等，求的值． 【分析】（1）根据长方形的面积公式结合进行计算即可； （2）利用纸盒的容积的公式求出的值，然后把，代入进行计算即可； （3）①结合图形进行计算即可解答；②结合图形可知与相对，与相对，然后进行即可解答． 【解答】解：（1）这个纸盒的底面积是，高是， 故答案为：，； （2）由题意得： 当时，纸盒的容积为， ， ， ， 当时，， 当时，， 故答案为：16，； （3）①若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是 ，， 故答案为：，； ②由图可知：与相对，与相对， 由题意得： ， ， ， 的值为5． 【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，列代数式，整式的加减，解一元一次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8．（2022秋•青岛期中）如表所示的数中，第个数比第个数大2（其中是正整数）． 第1个数 第2个数 第3个数 第4个数 第5个数 （1）第6个数可表示为 　 　；第7个数可表示为 　　； （2）若第22个数是12，第23个数为61，则　　，　　； （3）第2025个数可表示为 　　． 【分析】（1）根据题意直接求解即可； （2）通过观察发现，每组三个数，后一组的三个数分别比前一组的三个数大2，由此可知第组数是，，，根据题意可得，，求出、的值即可； （3）由（2）的规律，可知第2025个数是． 【解答】解：（1）第6个数比第3个数大2， 第6个数是， 第7个数比第4个数大2， 第7个数是， 故答案为：，； （2）第一组数是、、， 第二组数是，，， 第三组数是，，， 第组数是，，， ， 第22个数是，第23个数是， 第22个数是12，第23个数为61， ，， 故答案为：，47； （3）， 第2025个数是， 故答案为：． 【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出每组数的规律，从而得到一般性结论是解题的关键． 9．（2023秋•盂县期末）阅读下列材料，并完成相应的任务． 书柜中序号的秘密 数学课上，李老师借助教室里书柜上的号码（如图，带领同学们展开活动，探寻数字之间存在的规律． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 33 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 卫生工具 图1 勤奋小组发现：如图2，用阴影任意框出一个“字型”，下面两行数字之和与上面两行数字之和作差可得到一个定值． 若将“字型”中左上角的数字设为，则上面一行右边的数字为，下面一行左边的数字为，右下角的数字为．所以． 智慧小组受到勤奋小组的启发，如图3，用阴影任意框出一个“字型”，发现七个数字之和与中间数字存在着一定的关系． 任务： （1）请写出智慧小组发现的关系，并说明理由． （2）小明同学提出：在图3中，智慧小组框出的七个数字之和可以等于364．他说的正确吗？请说明理由． 【分析】（1）根据表格中的数字上下左右之间的关系即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． 【解答】解：（1）七个数字之和是中间数字的7倍． 设“字型”的中间数字为，则同一行的前一个数字为，后一个数字为，上一行的两个数字分别为和，下一行的两个数字分别为和， 所以． 故七个数字之和是中间数字的7倍． （2）小明同学说的不正确． 因为， 但图中数字52的右下角没有数字， 即智慧小组框出的七个数字之和不可以等于364． 所以小明同学说的不正确． 【点评】本题考查列代数式，能根据所给表格发现数字上下左右之间的关系是解题的关键． 10．（2023秋•湖北期中）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 11 2 （1）可求得　　，　　，　　； （2）第2023个格子中的数为 　　； （3）若前个格子中所填整数之和，则的值为多少？若，的值为多少？ （4）若，则的最小值为 　　． 【分析】（1）根据任意三个相邻格子中所填整数之和都相等即可解决问题． （2）由（1）中发现的规律即可解决问题． （3）由（1）中发现的规律即可解决问题． （3）利用数形结合的思想即可解决问题． 【解答】解：（1）令表格中的前后两个数分别为和， 因为表格中任意三个相邻格子中所填整数之和相等， 所以， 则． 同理可得，，，． 故答案为：2，，11． （2）由（1）可知， 表格中的数按11，，2循环出现， 又因为余1， 所以第2023个格子中的数为11． 故答案为：11． （3）因为， 即表格中每三个连续格子中的整数之和为6， 又因为，且， 所以表格中前333个格子中所填整数之和为666， 故此时． 又因为余11， 且， 所以表格中前1012个格子中所填整数之和为2033， 故此时． （4）由（1）知， ，，， 所以， 则此代数式的值可看成数轴上表示的点到表示2，和11三个点的距离之和， 又因为， 所以当表示的点在表示2的点的位置时，代数式有最小值， 最小值为：． 故答案为：18． 【点评】本题考查绝对值及数字变化的规律，能根据题意得出表格中的数按11，，2循环出现是解题的关键． 11．（2022秋•连平县期末）如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所有整数之和都相等． （1）可求得　　，★　　，☆　　． （2）定义新运算，，例如，若，则　　． （3）数轴上、两点对应数为、（已在前两问求得），点为数轴上一动点，点从原点出发，如果点、点和点分别以速度为1、2、3（单位长度秒）向右运动，经过几秒后，为的中点． 【分析】（1）由题意可得：★☆★☆，从而可确定；进一步可确定★，则可确定☆； （2）把相应的值代入到新定义的运算中计算即可； （3）可设经过秒后为的中点，列出相应的方程解答即可． 【解答】解：（1）由题意得：★☆★☆， ， ★☆☆， ★， ☆； 故答案为：9；；2； （2） ， 故答案为：； （3）设经过秒后，为的中点，依题意得： ， 经过秒后，为的中点． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，列出相应的方程． 题型二：规律探究——数字宝塔（共7题） 1．（2022秋•越秀区期末）我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”，图中两线之间的一列数：1，3，6，10，15，，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，，第个数记为，则值是　　 A．96 B．45 C．76 D．78 【分析】根据前几个数的特点，找到规律．再代入求值． 【解答】解：第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，，第个数记为， ， 故选：． 【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 2．（2021秋•桥西区校级期末）观察下面一列数：，2，，4，，6，，将这列数排成下列形式：照上述规律排下去，则第九行中左边第6个数是　　 A．70 B． C．69 D． 【分析】根据观察，可发现规律：第行数的个数为，第个数是，可得答案． 【解答】解：通过观察，第1行数最后一个数是1， 第2行数最后一个数是负的2的平方， 第8行数最后一个数是8的平方是64， 第9行数的第一个数是，第9行第6个数是70， 故选：． 【点评】本题考查了规律型，发现规律：第行数的个数为，第个数是是解题关键． 3．（2022秋•恩施市期中）将自然数按照下列规律排列成一个数阵根据规律，自然数2021应该排在从上往下数的第行，是该行中从左往右数的第个数，那么　　 A．129 B．130 C．131 D．132 【分析】每行的第一个数是，第行的数字的个数是，所以2021在第45行，45行第一个数字是1936，45行有89个数字，进而得出2021是第86个数据，从而得出答案． 【解答】解：每行的第一个数是， 第行的数字的个数是， 第45行第一个数字为：， 第46行第一个数字为：， 在第45行，共有89个数， ， 在第（位， ，， ． 故选：． 【点评】此题考查了规律型：数字的变化类．解题关键是确定第45行的第一个数字和第46行的第一个数字． 4．（2021秋•荔湾区校级期中）已知一列数：1、、3、、5、、，将这列数排成如图形式： 按照上述规律排列下去，第10行数的第1个数是 　 　． 【分析】观察排列规律得到第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有1个数，，第9行有9个数，则可计算出前9行的数的个数45，而数字的序号为偶数时，数字为负数，于是可判断第10行数的第1个数． 【解答】解：第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有1个数，，第9行有9个数， 所以前9行的数的个数为， 而数字的序号为奇数时，数字为正数，数字的序号为偶数时，数字为负数， 所以第10行数的第1个数为． 故答案为：． 【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，利用数字与序号数的关系解决这类问题． 5．（2021秋•凤山县期末）观察下面一列数：1，，3，，5，，将这列数排成如图形式，第行第列，如，那么　 　． 【分析】先确定第行数字个数，再确定第7行数字个数和前7行数字总个数，最后可确定对应数字． 【解答】解：第行有个数字， 所以第7行有13个数字，前7行共有个数字，且最后一个数字是49， 所以是， 故答案为：． 【点评】本题考查数字规律探索．确定每行数字个数和前行数字总个数是解答关键． 6．（2023秋•梁子湖区期中）将自然数按照下列规律排列成一个数阵，根据规律，自然数2023应该排在从上往下数的第行，是该行中从左往右数的第个数，那么的值是 　　． 【分析】数字的变化类．每行的第一个数是，第行的数字的个数是，在第45行的第一个数字是，第45行里有个数字，进而得出，故2023是第88个数据，从而得出答案．解题关键是确定第45行的第一个数字和第45行的个数． 【解答】解：依题意， 第一行的第一个数是0，，第一行里有1个数，； 第二行的第一个数是1，，第一行里有3个数，； 第三行的第一个数是4，，第一行里有5个数，； ， 每行的第一个数是，第行的数字的个数是， 因为， 即 在第45行， 则第45行的数字的个数是，共有89个数， ， 因为第45行的第一位数是1936， 在第（位， ，， ． 故答案为：133． 【点评】此题考查了代数式，以及已知字母的值求代数式，以及列代数式规律型，发现规律是关键． 7．（2020秋•庐阳区期末）如图数表是由1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答： （1）第8行的最后一个数是　　； （2）第行的第一个数是　　，第行共有　　个数； （3）数字2021排在第几行？从左往右数，第几个？请简要说明理由． 【分析】（1）根据图中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以写出第8行的最后一个数； （2）根据题意和（1）中发现的数字变化特点，可以写出第行的第一个数和第行的数字个数； （3）根据前面发现的数字的变化特点，可以写出数字2021排在第几行，从左往右数，第几个，并说出理由． 【解答】解：（1）由图中的数据可知，第的行的最后一个数据是，每一行中的数据都是按照从小到大排列的，每行的数字个数依次为1，3，5，，是一些连续的奇数， 故第8行的最后一个数是， 故答案为：64； （2）由题意可得， 第行的第一个数是：， 第行共有个数， 故答案为：，； （3）2021是第45行从左往右数第85个数． 理由：， 排在第45行，第45行共有个数， 是第45行从左往右数第89个数， 是第45行从左往右数第85个数． 【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字． 题型三：规律探究——乘方规律（共9题） 1．（2023春•泗县期末）任意大于1的正整数的三次幂均可“分裂”成个连续奇数的和，如：，，，按此规律，若分裂后，其中有一个奇数是2023，则的值是　　 A．46 B．45 C．44 D．43 【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2023的是从3开始的第1011个数，然后确定出1011所在的范围即可得解． 【解答】解：底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数， 分裂成个奇数， 所以，从到的奇数的个数为：， ，， 奇数2023是从3开始的第1011个奇数， ，， 第1011个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个， 即． 故选：． 【点评】本题考查了数字变化规律，有理数的混合运算，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式． 2．（2022秋•岳西县期末）观察等式：；；；已知按一定规律排列的一组数：，，，，，若，用含的式子表示这组数据的和是　　 A． B． C． D． 【分析】将所给数据相加，提取再结合题中所给规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， ， 根据题中所给等式可知， ， 所以原式 ， 又因为， 所以原式． 故选：． 【点评】本题考查数字变化的规律及列代数式，能根据所给等式发现为正整数）是解题的关键． 3．（2023秋•汉川市期末）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：？经过研究，这个问题的一般性结论是，其中是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：？观察几个特殊的等式：，，，将这三个等式的两边相加，可以得到．读完这段材料，请你思考后计算：的值是　　 A．41650 B．44200 C．46852 D．49608 【分析】根据所给等式，求出即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为， ， ， ， ； 将以上等式两边相加得， ， 当时， ． 故选：． 【点评】本题考查数字变化的规律，能根据所给等式得出是解题的关键． 4．（2023秋•凉山州期末）大于1的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，，，则分裂出的奇数中最大是　　 A．165 B．169 C．179 D．181 【分析】根据题中所给等式，发现等式右边连续奇数的个数与左边的底数相同，且等式右边中间两个数的平均数或一个数为左边底数的平方，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 等式右边连续奇数的个数与左边的底数相同， 所以可分裂成连续13个奇数的和． 又因为等式右边最中间一个或两个奇数的平均数为左边底数的平方， 所以所分裂成的13个奇数最中间一个奇数为：， 则， 即分裂出的奇数中最大是181． 故选：． 【点评】本题考查数字变化的规律，能根据所给等式发现所分裂成连续奇数的个数及最中间一个或两个数平均数的大小是解题的关键． 5．（2023秋•德城区期末）观察下列等式：，，，，，，，根据其中的规律可得的结果的个位数字是 　　． 【分析】先根据题目中所给运算结果归纳出尾数的出现规律，再运用该规律进行求解． 【解答】解：，，，，，，， 尾数按1，7，9，3，四次一循环周期的规律出现， 且， ， ， 即的结果的个位数字是0， 故答案为：0． 【点评】此题考查了算式规律的归纳能力，关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解． 6．（2023秋•蒙城县期末）观察下列算式， ；；； ； 根据你发现的规律，用一个含的算式表示：　 　． 【分析】根据所提供的算式，即可分析得出所求规律． 【解答】解：由题所提供的算式得， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了数字算式的规律的探究，弄清所给算式的变化规律是解题关键． 7．（2023秋•历下区期末）【发现问题】 小明在计算过程中有一个有趣的发现： ； ； ； ． 【解决问题】 （1）　　． （2）　　． 【应用新知】 对于自然数和，规定△，如5△． （3）计算1△△△△△2． 【分析】（1）根据题干中的等式总结规律即可求得答案； （2）根据题干中的等式总结规律即可求得答案； （3）根据规定列式后利用所得规律计算即可． 【解答】解：（1）； ； ； ， ； 故答案为：55； （2）， 故答案为：； （3）原式 ． 【点评】本题考查有理数的混合运算及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 8．（2023秋•禹州市期中）已知，且为自然数，对进行如下“分裂”，可分裂成个连续奇数的和，如图： 即如下规律：，，， （1）按上述分裂要求，将5分裂成奇数和的形式：　 　；可分裂的最大奇数为 　　； （2）按上述分裂要求，可分裂成连续奇数和的形式是：　　（填最大奇数，用含的式子表示）； （3）用上面的规律求：． 【分析】（1）根据题意分别写出和的分裂，即可得出答案； （2）根据题意发现规律，进行总结即可； （3）利用（2）中得出的规律，进行计算即可． 【解答】解：（1）由题意得，；，可分裂的最大奇数为19； 故答案为：，19； （2）由题意得，， 故答案为：； （3）由（2）得：， ， ． 【点评】本题考查了数字规律类题意，涉及整式的混合运算，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 9．（2023秋•平舆县期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示． （1）仿照图1，在下面的图中补全67的平方的“竖式”； （2）仿照图1的方法，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图2所示，并且这个两位数某一个数位上的数字也是，则这个两位数为 　 　（用含的代数式表示）． 【分析】（1）观察图象可知，第一行从右向左分别为个位数和十位数字的平方，每个数的平方占两个空，平方是一位数的前面的空用0填补，第二行从左边第2个空开始向右是这个两位数的两个数字的乘积的2倍，然后相加即为这个两位数的平方，根据此规律求解即可； （2）设这个两位数的十位数字为，根据图3，利用十位数字与个位数字的乘积的2倍的关系列出方程用表示出，然后写出即可． 【解答】解：（1）如图2所示： （2）设这个两位数的十位数字为， 由题意得，， 解得， 所以，这个两位数是． 故答案为：． 【点评】本题是对数字变化规律的考查，仔细观察图形，观察出前两行的数与两位数的十位和个位上的数字的关系是解题的关键． 题型四：规律探究——幻方规律（共7题） 1．（2023秋•丹江口市期末） 8 幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则的值为　　 A． B．0 C．1 D．2 【分析】根据幻方的每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【解答】解：根据题意得：， 即， ①②得：， 解得：． 故选：． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．（2023秋•朝阳区期末）对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图1是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15．如图2是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为　　 A．5 B．1 C．0 D． 【分析】由题意推出中间的数，即可得到答案． 【解答】解：同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等， 中间的数， 那正中间的方格中的数字为1． 故选：． 【点评】本题考查有理数的加法，关键是由题意推出中间的数． 3．（2023秋•大冶市期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】如图（见解析），根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等建立方程，解方程即可得． 【解答】解：如图， 由题意得：， 解得：， ， 解得：， ， 解得：， ，即：， 解得：， ，即， 解得：， 则，即， 解得：， 所以，即， 解得：． 故选：． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 4．（2023秋•青岛期末）幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载的龟背图是最早的幻方．如图所示，若将数字填入这个幻方中，恰好能使每一横行，每一竖列以及两条对角线上的数字之和相等，则的值为 　 　． 【分析】根据幻方中每一横行和两条对角线上的数字之和相等，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值． 【解答】解：依题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 5．（2023秋•椒江区校级期末）幻方是科学的结晶与吉祥的象征，发源于中国古代的《洛书》——九宫图．三阶幻方有如下规律：处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和都相等（如图．则图2的九格幻方中的9个数的和为 　　（用含的式子表示） 【分析】根据同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和都相等做出图形，设右下角为，列方程求解， 【解答】解：右下角的数为． 可知左上角为， 所以最中间的格内的数为， 同理可求，第二行左侧格内的数为， 第三行中间格内的数为， 左下角格内的数为， 所以， 整理得， 所以， 所以图2的九宫格幻方中的9个数的和为， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键在于熟练掌握运算法则， 6．（2023秋•高新区期末）将9个数填入幻方的九个格中（如图，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，若将满足条件的另外9个数中的三个数填入了图2，则这9个数的和为 　　（用含的整式表示）． 【分析】根据同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等作出图形，根据题意列出关于与的方程，可得，进一步求出这9个数的和即可． 【解答】解：如图所示： ， 解得， ， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了列代数式，整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．（2023秋•漳州期末）探寻神奇的幻方 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图，将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方． （1）研究发现：三阶幻方最中间的数字与9个数字的和有确定的数量关系．如果设三阶幻方最中间的数字为，9个数字和为，则　　（用含的代数式表示）； （2）图2是一个未完成的三阶幻方，求，的值； （3）图3是一个未完成的三阶幻方，求的值． 【分析】（1）利用三阶幻方的每行，列，每条对角线的三个数字的和是最中间的数字的3倍，可得答案； （2）根据图2，结合（1）得，9个数的和为，先求解，再求解即可； （3）如图3，由每一横行，每一坚列，每条对角线的数字和相等，先求左下角表示的数为2，可得每条对角线的数字和为，求解右列中间数为0，可得左上角表示的数为，再建立方程求解即可． 【解答】解：（1）三阶幻方的每行，每列，每条对角线的三个数字的和是最中间的数字的3倍， ， 故答案为：； （2）如图2，由（1）得，9个数的和为， ， ， ， ， 的值为0，的值为12； （3）如图3，每一横行，每一坚列，每条对角线的数字和相等， 左下角表示的数为， 每条对角线的数字和为， 右列中间数为， 左上角表示的数为， ， 解得， 的值为10． 【点评】本题考查的是三阶幻方的特点，一元一次方程的应用，解题的关键是理解幻方的特点． 题型五：规律探究——幻圆规律（共7题） 1．（2023秋•黄岛区校级期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是　　 A． B． C．8 D．16 【分析】根据：每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，可得：，，据此分别求出，的值各是多少，即可求出的值是多少． 【解答】解：根据题意，可得： ，， ，， 故选：． 【点评】此题主要考查了有理数加法的运算方法，以及幻方的特征和应用，要熟练掌握． 2．（2023秋•锡山区期末）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为　　 A．或 B．或10 C．2或 D．2或 【分析】根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4，再由已经填写的数，确定或，从而求出的值，即可求解． 【解答】解：， 横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4， ， ， ，， ，， 或， 当时，，此时， 当时，，此时． 的值为或10． 故选：． 【点评】本题考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则，能够根据所给的条件推理出、的可能取值是解题的关键． 3．（2023秋•商南县校级期末）爱动脑筋的小青同学设计了一种“幻圆”游戏，将、2、、4、、6、、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4、6、、8这四个数填入了圆圈，则图中的值为　　 A． B．2 C． D． 【分析】根据横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等进行列式计算即可． 【解答】解：，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， 内，外两个圈上的4个数之和都是2，横、竖以的4个数字之和也都是2， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查有理数的加法，读懂题意，理解题意是解题的关键． 4．（2023秋•香洲区期末）爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将1，，，3，4，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4，6，，8这四个数填入了圆圈，则图中的值为 　 　． 【分析】先求出这8个数的和，即可求出横、竖以及内外两圈上的4个数字之和，然后列式计算即可求出、的值． 【解答】解：如图， ， 横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， 这个和为， ，，， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的加法，解题的关键是求出横、竖以及内外两圈上的4个数字之和为5． 5．（2023秋•常德期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将，，，2，3，4，6，7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为 　　． 【分析】先根据题意列出等式，求出的值，然后再利用转化思想求出的值． 【解答】解：如图2， 由题意得，，即， ， 四个三角形的三个顶点上的数字之和减去正方形四个顶点的数字之和为15， 每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ，即． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答此类问题的关键是找准等量关系，列出一元一次方程． 6．（2021秋•南安市期中）现有七个数，，，，，，将它们填入图个圆两两相交分成7个部分）中，使得每个圆内部的4个数之积相等，设这个积为，如图2给出了一种填法，此时，在所有的填法中，的最大值为　 　． 【分析】观察图象，可得这7个数，有的被乘了1次，2次，3次．要使得每个圆内部的4个数之积相等且最大所以，必须放在被乘两次的位置．与，同圆的只能为，，其中放在中心位置，可得 【解答】解：观察图象，可得这7个数，有的被乘了1次，2次，3次．要使得每个圆内部的4个数之积相等且最大所以，必须放在被乘两次的位置．与，同圆的只能为，，其中放在中心位置，如图 【点评】本题考查有理数的乘法，关键是找到两个的位置． 7．（2023秋•光明区期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． （1）根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； （2）改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图，请补全这个新的三阶幻方； （3）如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将、、、、、、2、4、6、8、10、12这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．请直接写出的值． 【分析】（1）第3行上的数字和等于，因此，； （2）根据第（1）问，每行、列和对角线上的数字和都等于15，、、即可求得； （3）因为每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2，易得；将中间的正方形的未知顶点设为，则；从而得到或，所以或11． 【解答】解：（1）第3行上的数字和等于， 因此，； （2）根据题意，每行、列和对角线上的数字和都等于15， 因此，，； （3）根据题意，，解得； 将中间的正方形的未知顶点设为，则，解得； 因此或， 所以或11． 【点评】本题考查的是有理数的加法，注重考查学生的思维能力和运算能力． 题型六：规律探究——特殊结构（共6题） 1．（2022秋•黄石港区期中）对于自然数，将其各位数字之和记为，如，，则　　 A．28144 B．28134 C．28133 D．28131 【分析】根据题意，可以写出这列数的前几项的值，从而可以发现数字的变化特点，即可求得所求式子的值 【解答】解：由题意可得， ， ， ， ， 在千位上出现1000次，在百位上出现200次，在十位上出现210次，个位上出现202次， 2在千位上出现21次，在百位上出现200次，在十位上出现201次，个位上出现202次， 3在百位上出现200次，在十位上出现200次，个位上出现202次， 4在百位上出现200次，在十位上出现200次，个位上出现202次， 9在百位上出现200次，在十位上出现200次，个位上出现202次， ． 故选：． 【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律，解决问题． 2．（2023秋•金台区期末）观察下表三行数的规律，回答下列问题： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 第1行 4 64 第2行 0 6 18 66 第3行 2 8 （1）第1行的第四个数是 　　；第3行的第六个数是 　　； （2）若第1行的某一列的数为，则第2行与它同一列的数为 　　； （3）已知第列的三个数的和为2562，若设第1行第列的数为，试求的值． 【分析】（1）通过观察发现，4，，16，，64，，后面一个数都是前面一个数的倍； （2）比较第二行数字与第一行数字，易得到第二行数字都是由第一行数字的每一个数加上2； （3）比较第三行数字与第一行数字，易得到第三行数字都是由第一行数字的每一个数除以2； 由此规律解决问题即可． 【解答】解：（1）第1行的第四个数是；第3行的第六个数是； 故答案为：16；32． （2）若第1行的某一列的数为，则第2行与它同一列的数为． 故答案为：． （3）解：根据题意，这三个数依次为，，得， ， 解得：． 【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：从一组数字的每个数与这个数字的数位之间的关系发现规律；也可从一组数字的前后两个数之间的关系发现规律． 3．（2022秋•常德期末）阅读理解：给定一列数，把这列数中的第一个数记为， 第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为 为正整数），符号“”表示从这列数的第一个数开始依次加到第个数的和，即，例如：一列数1，3，4，7，9中，，，，，，；． 请解决下面的问题： （1）已知一列数，2，，4，，6，，8，，10，求的值； （2）已知一列数0，，6，，12，，18，，24，，，按照规律可以无限写下去，那么的值是多少？并求的值； （3）在（2）的条件下，是否存在正整数使等式成立，若存在请求出的值，不存在请说明理由． 【分析】（1）按照定义求出数列中前5个数的和即可； （2）根据符号规律和绝对值变化规律可写出第个数的代数式，再令，求出第100个数，然后再按新定义的运算列式相加，利用每两个的和为，即可求出的值； （3）根据（2）的规律，分当为偶数时，和当为奇数时两种情况列方程求出的值即可． 【解答】解：（1）， （2），，6，，12，，18，，24，，，， ， ； （3）存在正整数使成立， 理由如下：当为偶数时，有，， ， 解得； 当为奇数时，有，， ， 解得． 故存在正整数使等式成立，的值为1348或1349． 【点评】本题考查数字变化类规律探究，有理数混合运算，简单的一元一次方程解法，理解题意，发现规律是解题的关键． 4．（2022秋•崂山区校级期末）现场学习：观察一列数：2，4，8，16，，这一列数按规律排列，我们把它叫做一个数列，其中的每个数，叫做这个数列中的项，从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于2，我们把这个数列叫做等比数列，这个常数2叫做这个等比数列的公比． 一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比． 解决问题： （1）已知等比数列3，6，12，，那么它的第八项是 　　． （2）已知一个等比数列的各项都是正数，且第2项是10，第4项是40，则它的公比为 　　． （3）如果等比数列，，，，，公比为，那么有：，，　　．（用与的式子表示，其中为大于1的自然数） 拓展应用： 等比数列3，6，12，，那么它的第项是 　　． 【分析】（1）首先算出等比数列的公比为，第二项为，第三项为，第项为，由此求得第8项即可； （2）设等比数列的公比为，则，则求得； （3）由，，，． 【解答】解：（1）等比数列的公比为， 第二项为， 第三项为， ， 第项为， 第八项． 故答案为：384； （2）设等比数列的公比为，则，则求得； 故答案为：2； （3）， ， ， ． 故答案为：； 拓展应用：根据（1）可知，第项为． 故答案为：． 【点评】此题考查等比数列的意义以及求等比数列的公比和通项公式的方法，掌握相关知识是解题的关键． 5．（2022秋•宛城区期末）（1）观察一列数，，，，，由此我们发现这一列数从第二个数开始，每一个数与前一个数之比是一个常数，这个常数是 　　，根据此规律，如果为正整数）表示这一列数的第个数，那么：　　，　　．（可用幂的形式表示） （2）如果想要求的值，可令①， 将①式两边同乘以2，得　　②， 由②减去①式，得． 　　． （3）若（1）中这一列数共有20个，设，请利用上述规律和方法计算的值． （4）设一列数1，，，，，的和为，则的值为 　　．（提示等式 【分析】（1）根据题意，可得在这个数列中，从第二项开始，每一项与前一项之比是3；由第一个数为3，故可得，的值； （2）根据题中的提示，可得的值，类比可以求出； （3）由（2）的方法，可以求出． 【解答】解：（1）每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是3， 则，； 故答案为：3，，． （2）， ②， ． 设， 则， ， ； 故答案为：，． （3）设， 则 因此； 故答案为：． 【点评】此题考查数字的变化规律，利用类比的方法找出数字之间的运算规律，进一步解决问题． 6．（2020秋•科尔沁区期末）给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为，为正整数），如下面这列数1，3，5，7，9中，，，，，．规定运算．即从这列数的第一个数开始依次加到第个数，如在上面的一列数中，． （1）已知一列数1，，3，，5，，7，，9，，则　　，　　． （2）已知一列有规律的数：，，，，，按照规律，这列数可以无限的写下去． ①求的值； ②是否有正整数满足等式成立？如果有，求的值，如果没有，说明理由． 【分析】（1）根据表示第个数可得，将前10个数相加可得； （2）①根据题意列出算式，先计算乘方，计算加法即可得； ②分为奇数和为偶数两种情况，分别列出方程求解可得． 【解答】解：（1）一列数1，，3，，5，，7，，9，， 则，， 故答案为：3，； （2）①这列数为，2，，4，， ； ②当为奇数时， ， ， 当为偶数时，， （舍， ． 【点评】本题主要考查数字的变化规律，理解题意弄清、所表示的意义及分类讨论思想的运用是解题的关键． 题型七：规律探究——数形规律（共7题） 1．（2023秋•九龙坡区期末）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，，依此规律，第10个图案中的白色圆片个数为　　 A．20个 B．22个 C．24个 D．26个 【分析】根据所给图形，依次求出白色圆片的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 第1个图案中白色圆片的个数为：； 第2个图案中白色圆片的个数为：； 第3个图案中白色圆片的个数为：； ， 所以第个图案中白色圆片的个数为：； 当时， （个， 即第100个图案中白色圆片的个数为22个． 故选：． 【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现白色圆片个数的变化规律是解题的关键． 2．（2023秋•景县期末）如图所示，第1个图中将正方形取上下对边中点连线后，再取右侧长方形的长边中点连线；第2个图中，将第一个图中的右下方正方形继续按第一个图的方式进行操作，，按此规律操作下去，则第为正整数）个图形中正方形的个数是　　 A． B． C． D． 【分析】由第1个图形中正方形的个数，第2个图形中正方形的个数，第3个图形中正方形的个数，据此可得． 【解答】解：第1个图形中正方形的个数， 第2个图形中正方形的个数， 第3个图形中正方形的个数， ， 第个图形中正方形的个数为， 故选：． 【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 3．（2023秋•历城区期末）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，图1中★的个数为，图2中★的个数为，图3中★的个数为，以此类推，第幅图中★的个数为，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据所给图形，依次求出图形中★的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1幅图中★的个数为2，即； 第2幅图中★的个数为6，即； 第3幅图中★的个数为12，即； 第4幅图中★的个数为20，即； ， 所以第幅图中★的个数为； 所以 ． 故选：． 【点评】本题考查图形变化的规律，能用含的代数式表示第幅图形中三角形的个数是解题的关键． 4．（2023秋•西城区校级期中）图1中的1，3，6，10，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是　　 A．15 B．25 C．36 D．49 【分析】图1中求出1、3、6、10，，第个图中点的个数是，即；图2中1、4、9、16，，第个图中点的个数是．然后把下列数分别代入，若解出的是正整数，则说明符合条件就是所求． 【解答】解：根据题意得：三角形数的第个图中点的个数为， 正方形数第个图中点的个数为， 、由无整数解， 不是三角形数； 、由无整数解， 不是三角形数； 、由解得， 是三角形数； 又， 也是正方形数； 、由无整数解， 不是三角形数． 故选：． 【点评】主要考查了数字变化类，解题的关键是通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力． 5．（2022秋•东源县期末）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的数量是　　 A．360 B．363 C．365 D．369 【分析】观察图形可知，黑色与白色的地砖的个数的和是连续奇数的平方，而黑色地砖比白色地砖多1个，求出第个图案中的黑色与白色地砖的和，然后求出黑色地砖的块数，再把代入进行计算即可． 【解答】解：第1个图案只有块黑色地砖， 第2个图案有黑色与白色地砖共，其中黑色的有块， 第3个图案有黑色与白色地砖共，其中黑色的有块， 第个图案有黑色与白色地砖共，其中黑色的有， 当时，黑色地砖的块数有． 故选：． 【点评】本题考查图形的变化规律，观察图形找出黑色与白色地砖的总块数与图案序号之间的关系是解题的关键． 6．（2022秋•梁子湖区期末）图中都是由棱长为的正方体叠成的几何体．第1个几何体由1个正方体叠成，第2个几何体由4个正方体叠成，第3个几何体由10个正方体叠成，，按此规律，记第个几何体由个正方体叠成，其中，2，3，，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】从数字找规律，求出，，，，，，，然后代入上述式子进行计算即可． 【解答】解：由题意得： 第1个几何体由1个正方体叠成， 第2个几何体由4个正方体叠成，即， 第3个几何体由10个正方体叠成，即， 第4个几何体由20个正方体叠成，即， ． 第个几何体中的正方体个数为：， ，，，，， ， 故选：． 【点评】本题考查了认识立体图形，有理数的混合运算，规律型：图形的变化类，从数字找规律后并能准确地进行计算是解题的关键． 7．（2023秋•和田地区期末）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形共有　　个〇． 【分析】观察图形的变化先得前几个图形中圆圈的个数，可以发现规律：第个图形共有个〇，进而可得结果． 【解答】解：观察图形的变化可知： 第1个图形共有个〇； 第2个图形共有个〇； 第3个图形共有个〇； 所以第个图形共有个〇； 所以第10个图形共有个〇； 故答案为：31． 【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律． 题型八：规律探究——列代数式解决面积问题（共4题） 1．（2024秋•朝阳区校级期中）小方家的住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）．现准备铺设地面，三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖． （1）求的值； （2）铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米？（用含的代数式表示） （3）按市场价格，木地板单价为300元平方米，地砖单价为100元平方米．装修公司有、两种活动方案，如表： 活动方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 8折 8.5折 2000元 9折 8.5折 免收 已知，则小方家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）较低？ 【分析】（1）根据长方形的对边相等可得，即可求出的值； （2）根据三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖，可知将三间卧室的面积的和为木地板的面积，用长方形的面积三间卧室的面积，所得的差为地砖的面积； （3）根据将分别代入（2）求出所需的地砖和地板数，再分别求出所需的费用，然后比较即可． 【解答】解：（1）根据题意，可得， 解得； （2）铺设地面需要木地板： ， 铺设地面需要地砖： ； （3）， 铺设地面需要木地板：， 铺设地面需要地砖：， 种活动方案所需的费用：（元， 种活动方案所需的费用：（元， ， 所以小方家应选择种活动方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低． 【点评】本题考查了列代数式，长方形的面积，掌握铺设地面需要木地板与地砖的面积是关键． 2．（2023秋•苍南县校级月考）根据以下素材，尝试解决问题． 我是小小预算师 素材一 小南家住房户型呈长方形，平面图如图（单位：米）． 素材二 现准备铺设地面，两间卧室和多功能房铺设木地板，厨房、客厅、餐厅、外卫、内卫都铺设地砖． 素材三 按市场价格，木地板单价为200元平方米，地砖单价为80元平方米．装修公司有，两种活动方案，如表： 装修公司 木板价格 地砖价格 总安装费 7.5折 8折 1000元 8.5折 8折 免收 问题一 （1）求的值； 问题二 （2）小南铺设地面时，需要木地板和地砖各为多少平方米（用含的代数式表示）； 问题三 （3）若木地板面积为整数时，小南应选择哪一种活动方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？ 【分析】（1）根据长方形的两条宽的长相等，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，列出代数式即可； （3）求出两种方案的价格，比较后即可得出结果． 【解答】解：（1）由图可知：， 解得：； （2）由题意，需木地板： 平方米； 需地砖：平方米； （3）方案，需花费：元； 方案，需花费：元， 木地板面积为整数， 为整数， 又， ， 方案，需花费：（元； 方案，需花费：（元； ； 选择方案． 【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，列代数式，正确的识图，读懂题意，正确的列出方程和代数式是解题的关键． 3．（2022秋•越秀区校级期中）由两块的长方形和一块边长为的正方形拼成如图图形． （1）如图1，用含、、的式子表示出该图形的面积 　 　（直接写出结果） （2）已知，． ①如图2，分别用两种不同的方式连接图形中的两个顶点，得到如图所示的两个阴影三角形，这两个阴影三角形的面积分别记作和，试通过计算比较与的大小关系； ②如图3，是边长为的正方形边上一个点，、是图形上如图中所示的两个顶点，点为线段上一动点，当三角形的面积不随点位置变化而变化，求的长度．（用含的式子表示） 【分析】（1）计算三个面积之和； （2）①作出辅助线如图所示，用长方形面积减去三个三角形面积即可得出和，然后作差比较即可； ②设的长度为，根据三角形的面积不随点位置变化而变化，可得，据此列出等式，即可求出的长度． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）① ， ， ； ②如图，连接，，， 设的长度为，则．，， 点为线段上一动点，三角形的面积不随点位置变化而变化， ， ， 解得：， 即的长度为． 【点评】本题考查代数式的应用，整式的加减运算，解一元一次方程，能够用代数式表示出相关三角形的面积是解题的关键． 4．（2024秋•鼓楼区校级期中）由两块的长方形和一块边长为的正方形拼成如图图形． （1）如图1，用含，，的式子表示出该图形的面积（直接写出结果）． （2）已知，． ①如图2，分别用两种不同的方式连接图形中的三个顶点，得到如图所示的两个阴影三角形，这两个阴影三角形的面积分别记作和，试通过计算比较与的大小关系； ②如图3，是边长为的正方形四条边上的一个动点，，是图形上如图中所示的两个顶点，则三角形面积的最大值为 　 　；三角形面积的最小值为 　　 ．（用含的式子表示） 【分析】（1）计算三个面积之和； （2）等于梯形的面积减去两个三角形的面积，等于梯形的面积加一个等腰直角三角形的面积减去一个三角形的面积； （3）以为底边，求出高最大和最小的情形． 【解答】解（1）； （2）① ， ， ； ②如图3， 过△的面积等于与上的高的一半，所以其面积大小取决于当过点与平行的直线与之间的距离， 当图形在处，面积最大，当点在时，面积最小， 由上知， 面积最大， 面积最小， 故答案是，． 【点评】本题考查了用图形的和差表示“不规则”图形的面积，解决问题的关键是熟练掌握基础知识和基本计算． $$专题02规律探究（考题猜想，8种热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：规律探究——数表规律（共11题） 1．（2022秋•简阳市期中）如图五个正方形中各有四个数，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，可推测出的值为　　 A．0 B．1 C．4 D．8 2．（2021秋•泾阳县期末）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2021个格子中的数为　　 2 5 A． B．0 C．2 D．5 3．（2023秋•钟山区期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将9个数填入三阶幻方的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如表是一个未完成的三阶幻方，则表中的值为　　 4 2 8 A．1 B．2 C．4 D．6 4．填在下面各个大正方形中的四个数之间都有相同的规律，据此规律回答下列问题： （1）正方形（4）中，　　； （2）正方形中，　　，　　，　　，　　．（用含的代数式表示） 5．（2023秋•坪山区期末）如表所示每个表格中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定的值为 　　． 3 2 4 5 4 6 10 0 3 14 5 34 第1个 第2个 第3个 第4个 6．（2023秋•莲池区校级期末）数学活动——探究日历中的数字规律：如图1是2023年11月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． （1）初步分析：计算图1中的结果为 　　； 将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 　　； （2）数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，　　， ， 　　， 　　， 所以，的值均为 　　； （3）拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列，两题中任选一题作答．我选择 　　题． ．在日历中用“型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； ．在日历中用“型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 7．（2023秋•恩平市期末）如图1，边长为 的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为 ． （1）这个纸盒的底面积是 　 　，高是 　　（用含、的代数式表示）． （2）的部分取值及相应的纸盒容积如表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 72 请通过表格中的数据计算：　　，　　． （3）若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒． ①若为该纸盒制作一长方形盖子，则该长方形的两边长分别是 　　，　　（用含、的代数式表示）； ②已知，，，四个面上分别标有整式，，，6，且该纸盒的相对两个面上的整式的和相等，求的值． 8．（2022秋•青岛期中）如表所示的数中，第个数比第个数大2（其中是正整数）． 第1个数 第2个数 第3个数 第4个数 第5个数 （1）第6个数可表示为 　 　；第7个数可表示为 　　； （2）若第22个数是12，第23个数为61，则　　，　　； （3）第2025个数可表示为 　　． 9．（2023秋•盂县期末）阅读下列材料，并完成相应的任务． 书柜中序号的秘密 数学课上，李老师借助教室里书柜上的号码（如图，带领同学们展开活动，探寻数字之间存在的规律． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 33 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 卫生工具 图1 勤奋小组发现：如图2，用阴影任意框出一个“字型”，下面两行数字之和与上面两行数字之和作差可得到一个定值． 若将“字型”中左上角的数字设为，则上面一行右边的数字为，下面一行左边的数字为，右下角的数字为．所以． 智慧小组受到勤奋小组的启发，如图3，用阴影任意框出一个“字型”，发现七个数字之和与中间数字存在着一定的关系． 任务： （1）请写出智慧小组发现的关系，并说明理由． （2）小明同学提出：在图3中，智慧小组框出的七个数字之和可以等于364．他说的正确吗？请说明理由． 10．（2023秋•湖北期中）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 11 2 （1）可求得　　，　　，　　； （2）第2023个格子中的数为 　　； （3）若前个格子中所填整数之和，则的值为多少？若，的值为多少？ （4）若，则的最小值为 　　． 11．（2022秋•连平县期末）如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所有整数之和都相等． （1）可求得　　，★　　，☆　　． （2）定义新运算，，例如，若，则　　． （3）数轴上、两点对应数为、（已在前两问求得），点为数轴上一动点，点从原点出发，如果点、点和点分别以速度为1、2、3（单位长度秒）向右运动，经过几秒后，为的中点． 题型二：规律探究——数字宝塔（共7题） 1．（2022秋•越秀区期末）我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”，图中两线之间的一列数：1，3，6，10，15，，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，，第个数记为，则值是　　 A．96 B．45 C．76 D．78 2．（2021秋•桥西区校级期末）观察下面一列数：，2，，4，，6，，将这列数排成下列形式：照上述规律排下去，则第九行中左边第6个数是　　 A．70 B． C．69 D． 3．（2022秋•恩施市期中）将自然数按照下列规律排列成一个数阵根据规律，自然数2021应该排在从上往下数的第行，是该行中从左往右数的第个数，那么　　 A．129 B．130 C．131 D．132 4．（2021秋•荔湾区校级期中）已知一列数：1、、3、、5、、，将这列数排成如图形式： 按照上述规律排列下去，第10行数的第1个数是 　 　． 5．（2021秋•凤山县期末）观察下面一列数：1，，3，，5，，将这列数排成如图形式，第行第列，如，那么　 　． 6．（2023秋•梁子湖区期中）将自然数按照下列规律排列成一个数阵，根据规律，自然数2023应该排在从上往下数的第行，是该行中从左往右数的第个数，那么的值是 　　． 7．（2020秋•庐阳区期末）如图数表是由1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答： （1）第8行的最后一个数是　　； （2）第行的第一个数是　　，第行共有　　个数； （3）数字2021排在第几行？从左往右数，第几个？请简要说明理由． 题型三：规律探究——乘方规律（共9题） 1．（2023春•泗县期末）任意大于1的正整数的三次幂均可“分裂”成个连续奇数的和，如：，，，按此规律，若分裂后，其中有一个奇数是2023，则的值是　　 A．46 B．45 C．44 D．43 2．（2022秋•岳西县期末）观察等式：；；；已知按一定规律排列的一组数：，，，，，若，用含的式子表示这组数据的和是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•汉川市期末）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：？经过研究，这个问题的一般性结论是，其中是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：？观察几个特殊的等式：，，，将这三个等式的两边相加，可以得到．读完这段材料，请你思考后计算：的值是　　 A．41650 B．44200 C．46852 D．49608 4．（2023秋•凉山州期末）大于1的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，，，则分裂出的奇数中最大是　　 A．165 B．169 C．179 D．181 5．（2023秋•德城区期末）观察下列等式：，，，，，，，根据其中的规律可得的结果的个位数字是 　　． 6．（2023秋•蒙城县期末）观察下列算式， ；；； ； 根据你发现的规律，用一个含的算式表示：　 　． 7．（2023秋•历下区期末）【发现问题】 小明在计算过程中有一个有趣的发现： ； ； ； ． 【解决问题】 （1）　　． （2）　　． 【应用新知】 对于自然数和，规定△，如5△． （3）计算1△△△△△2． 8．（2023秋•禹州市期中）已知，且为自然数，对进行如下“分裂”，可分裂成个连续奇数的和，如图： 即如下规律：，，， （1）按上述分裂要求，将5分裂成奇数和的形式：　 　；可分裂的最大奇数为 　　； （2）按上述分裂要求，可分裂成连续奇数和的形式是：　　（填最大奇数，用含的式子表示）； （3）用上面的规律求：． 9．（2023秋•平舆县期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示． （1）仿照图1，在下面的图中补全67的平方的“竖式”； （2）仿照图1的方法，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图2所示，并且这个两位数某一个数位上的数字也是，则这个两位数为 　 　（用含的代数式表示）． 题型四：规律探究——幻方规律（共7题） 1．（2023秋•丹江口市期末） 8 幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则的值为　　 A． B．0 C．1 D．2 【分析】根据幻方的每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【解答】解：根据题意得：， 即， ①②得：， 解得：． 故选：． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．（2023秋•朝阳区期末）对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图1是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15．如图2是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为　　 A．5 B．1 C．0 D． 3．（2023秋•大冶市期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】如图（见解析），根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等建立方程，解方程即可得． 【解答】解：如图， 由题意得：， 解得：， ， 解得：， ， 解得：， ，即：， 解得：， ，即， 解得：， 则，即， 解得：， 所以，即， 解得：． 故选：． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 4．（2023秋•青岛期末）幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载的龟背图是最早的幻方．如图所示，若将数字填入这个幻方中，恰好能使每一横行，每一竖列以及两条对角线上的数字之和相等，则的值为 　 　． 【分析】根据幻方中每一横行和两条对角线上的数字之和相等，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值． 【解答】解：依题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 5．（2023秋•椒江区校级期末）幻方是科学的结晶与吉祥的象征，发源于中国古代的《洛书》——九宫图．三阶幻方有如下规律：处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和都相等（如图．则图2的九格幻方中的9个数的和为 　 　（用含的式子表示） 【分析】根据同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和都相等做出图形，设右下角为，列方程求解， 【解答】解：右下角的数为． 可知左上角为， 所以最中间的格内的数为， 同理可求，第二行左侧格内的数为， 第三行中间格内的数为， 左下角格内的数为， 所以， 整理得， 所以， 所以图2的九宫格幻方中的9个数的和为， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键在于熟练掌握运算法则， 6．（2023秋•高新区期末）将9个数填入幻方的九个格中（如图，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，若将满足条件的另外9个数中的三个数填入了图2，则这9个数的和为 　　（用含的整式表示）． 【分析】根据同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等作出图形，根据题意列出关于与的方程，可得，进一步求出这9个数的和即可． 【解答】解：如图所示： ， 解得， ， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了列代数式，整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．（2023秋•漳州期末）探寻神奇的幻方 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图，将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方． （1）研究发现：三阶幻方最中间的数字与9个数字的和有确定的数量关系．如果设三阶幻方最中间的数字为，9个数字和为，则　 　（用含的代数式表示）； （2）图2是一个未完成的三阶幻方，求，的值； （3）图3是一个未完成的三阶幻方，求的值． 题型五：规律探究——幻圆规律（共7题） 1．（2023秋•黄岛区校级期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是　　 A． B． C．8 D．16 2．（2023秋•锡山区期末）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为　　 A．或 B．或10 C．2或 D．2或 3．（2023秋•商南县校级期末）爱动脑筋的小青同学设计了一种“幻圆”游戏，将、2、、4、、6、、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4、6、、8这四个数填入了圆圈，则图中的值为　　 A． B．2 C． D． 4．（2023秋•香洲区期末）爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将1，，，3，4，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4，6，，8这四个数填入了圆圈，则图中的值为 　 　． 5．（2023秋•常德期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将，，，2，3，4，6，7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为 　　． 6．（2021秋•南安市期中）现有七个数，，，，，，将它们填入图个圆两两相交分成7个部分）中，使得每个圆内部的4个数之积相等，设这个积为，如图2给出了一种填法，此时，在所有的填法中，的最大值为　 　． 7．（2023秋•光明区期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． （1）根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； （2）改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图，请补全这个新的三阶幻方； （3）如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将、、、、、、2、4、6、8、10、12这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．请直接写出的值． 题型六：规律探究——特殊结构（共6题） 1．（2022秋•黄石港区期中）对于自然数，将其各位数字之和记为，如，，则　　 A．28144 B．28134 C．28133 D．28131 2．（2023秋•金台区期末）观察下表三行数的规律，回答下列问题： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 第1行 4 64 第2行 0 6 18 66 第3行 2 8 （1）第1行的第四个数是 　　；第3行的第六个数是 　　； （2）若第1行的某一列的数为，则第2行与它同一列的数为 　　； （3）已知第列的三个数的和为2562，若设第1行第列的数为，试求的值． 3．（2022秋•常德期末）阅读理解：给定一列数，把这列数中的第一个数记为， 第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为 为正整数），符号“”表示从这列数的第一个数开始依次加到第个数的和，即，例如：一列数1，3，4，7，9中，，，，，，；． 请解决下面的问题： （1）已知一列数，2，，4，，6，，8，，10，求的值； （2）已知一列数0，，6，，12，，18，，24，，，按照规律可以无限写下去，那么的值是多少？并求的值； （3）在（2）的条件下，是否存在正整数使等式成立，若存在请求出的值，不存在请说明理由． 4．（2022秋•崂山区校级期末）现场学习：观察一列数：2，4，8，16，，这一列数按规律排列，我们把它叫做一个数列，其中的每个数，叫做这个数列中的项，从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于2，我们把这个数列叫做等比数列，这个常数2叫做这个等比数列的公比． 一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比． 解决问题： （1）已知等比数列3，6，12，，那么它的第八项是 　　． （2）已知一个等比数列的各项都是正数，且第2项是10，第4项是40，则它的公比为 　　． （3）如果等比数列，，，，，公比为，那么有：，，　　．（用与的式子表示，其中为大于1的自然数） 拓展应用： 等比数列3，6，12，，那么它的第项是 　　． 5．（2022秋•宛城区期末）（1）观察一列数，，，，，由此我们发现这一列数从第二个数开始，每一个数与前一个数之比是一个常数，这个常数是 　　，根据此规律，如果为正整数）表示这一列数的第个数，那么：　　，　　．（可用幂的形式表示） （2）如果想要求的值，可令①， 将①式两边同乘以2，得　　②， 由②减去①式，得． 　　． （3）若（1）中这一列数共有20个，设，请利用上述规律和方法计算的值． （4）设一列数1，，，，，的和为，则的值为 　　．（提示等式 6．（2020秋•科尔沁区期末）给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为，为正整数），如下面这列数1，3，5，7，9中，，，，，．规定运算．即从这列数的第一个数开始依次加到第个数，如在上面的一列数中，． （1）已知一列数1，，3，，5，，7，，9，，则　　，　　． （2）已知一列有规律的数：，，，，，按照规律，这列数可以无限的写下去． ①求的值； ②是否有正整数满足等式成立？如果有，求的值，如果没有，说明理由． 题型七：规律探究——数形规律（共7题） 1．（2023秋•九龙坡区期末）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，，依此规律，第10个图案中的白色圆片个数为　　 A．20个 B．22个 C．24个 D．26个 2．（2023秋•景县期末）如图所示，第1个图中将正方形取上下对边中点连线后，再取右侧长方形的长边中点连线；第2个图中，将第一个图中的右下方正方形继续按第一个图的方式进行操作，，按此规律操作下去，则第为正整数）个图形中正方形的个数是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•历城区期末）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，图1中★的个数为，图2中★的个数为，图3中★的个数为，以此类推，第幅图中★的个数为，则的值为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•西城区校级期中）图1中的1，3，6，10，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是　　 A．15 B．25 C．36 D．49 5．（2022秋•东源县期末）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的数量是　　 A．360 B．363 C．365 D．369 6．（2022秋•梁子湖区期末）图中都是由棱长为的正方体叠成的几何体．第1个几何体由1个正方体叠成，第2个几何体由4个正方体叠成，第3个几何体由10个正方体叠成，，按此规律，记第个几何体由个正方体叠成，其中，2，3，，则的值为　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•和田地区期末）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形共有　　个〇． 题型八：规律探究——列代数式解决面积问题（共4题） 1．（2024秋•朝阳区校级期中）小方家的住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）．现准备铺设地面，三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖． （1）求的值； （2）铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米？（用含的代数式表示） （3）按市场价格，木地板单价为300元平方米，地砖单价为100元平方米．装修公司有、两种活动方案，如表： 活动方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 8折 8.5折 2000元 9折 8.5折 免收 已知，则小方家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）较低？ 2．（2023秋•苍南县校级月考）根据以下素材，尝试解决问题． 我是小小预算师 素材一 小南家住房户型呈长方形，平面图如图（单位：米）． 素材二 现准备铺设地面，两间卧室和多功能房铺设木地板，厨房、客厅、餐厅、外卫、内卫都铺设地砖． 素材三 按市场价格，木地板单价为200元平方米，地砖单价为80元平方米．装修公司有，两种活动方案，如表： 装修公司 木板价格 地砖价格 总安装费 7.5折 8折 1000元 8.5折 8折 免收 问题一 （1）求的值； 问题二 （2）小南铺设地面时，需要木地板和地砖各为多少平方米（用含的代数式表示）； 问题三 （3）若木地板面积为整数时，小南应选择哪一种活动方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？ 3．（2022秋•越秀区校级期中）由两块的长方形和一块边长为的正方形拼成如图图形． （1）如图1，用含、、的式子表示出该图形的面积 　 　（直接写出结果） （2）已知，． ①如图2，分别用两种不同的方式连接图形中的两个顶点，得到如图所示的两个阴影三角形，这两个阴影三角形的面积分别记作和，试通过计算比较与的大小关系； ②如图3，是边长为的正方形边上一个点，、是图形上如图中所示的两个顶点，点为线段上一动点，当三角形的面积不随点位置变化而变化，求的长度．（用含的式子表示） 4．（2024秋•鼓楼区校级期中）由两块的长方形和一块边长为的正方形拼成如图图形． （1）如图1，用含，，的式子表示出该图形的面积（直接写出结果）． （2）已知，． ①如图2，分别用两种不同的方式连接图形中的三个顶点，得到如图所示的两个阴影三角形，这两个阴影三角形的面积分别记作和，试通过计算比较与的大小关系； ②如图3，是边长为的正方形四条边上的一个动点，，是图形上如图中所示的两个顶点，则三角形面积的最大值为 　 　；三角形面积的最小值为 　　 ．（用含的式子表示） $$