专题01绝对值的化简求值、几何意义、数轴上的动点问题（考题猜想，3种热考题型）-2024-2025学年六年级数学下学期期末考点大串讲（人教版2024五四制）

专题01绝对值的化简求值、几何意义、数轴上的动点问题 （考题猜想，3种热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：绝对值的化简求值（共9题） 1．（2023秋•渝中区期末）已知，，若，则的最大值与最小值的乘积为　　 A． B． C．6 D．24 2．（2023秋•河东区期末）已知有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，给出下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤． 其中正确结论的个数是　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如果有理数，满足，那么　　． 4．（2022秋•益阳期末）若，，且，则的值是 　　． 5．（2023秋•曾都区期中）若与互为相反数，则的值为 　　． 6．（2023秋•江汉区期末）下列说法： ①若，则； ②若是关于的一元一次方程，则； ③若有理数，，满足，则； ④若我们用表示，两数中较小的一个数，则． 其中正确的是 　　（填序号）． 7．（2023秋•江岸区期末）下列四个结论中： ①若与是同类项，则； ②若关于的多项式的运算结果中不含项，则常数项为； ③若，则； ①若，，则的结果只有一种． 其中正确的是 　　（填序号）． 8．（2023秋•腾冲市期末）已知，，三个有理数在数轴上的位置如图所示． （1） 　　0， 　　0；（填“”或“” （2）如果，互为相反数，则　　； （3）化简：． 9．（2023秋•宁强县期末）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知，是不为0的有理数，当时，则的值是 　　； （2）已知，，是有理数，当时，求的值； （3）已知，，是有理数，，，求的值． 题型二：绝对值的几何意义拓展应用（共13题） 1．（2021春•杨浦区校级期中）在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，且，两点间的距离为8，则　　． 2．（2022秋•大冶市期末）是常数，若式子的最小值是6，则的值是 　　． 3．（2022秋•武昌区校级月考）已知，则的最小值为 　　． 4．（2020秋•江岸区校级月考）若，则的值为 　　． 5．（2022秋•龙亭区校级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）数轴上表示5与的两点之间的距离是 　　； （2）①若，则　　； ②若使所表示的点到表示2和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数的和为 　　； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）折叠纸面，若1表示的点和表示的点重合，则4表示的点和 　　表示的点重合； （4）折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合， ①则10表示的点和 　　表示的点重合； ②这时如果，在的左侧）两点之间的距离为2022，且，两点经折叠后重合，则点表示的数是　　，点表示的数是 　　； 【拓展】 （5）若，则　　． 6．（2023秋•高县校级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为．所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：代数式的最小值是多少？ 探究问题：如图，点，，分别表示的是，2，，． 的几何意义是线段与的长度之和． 当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． （1）解决问题，的值是 　　． （2）的最小值是 　　． （3）若的最小值是10，则的值为 　　． 拓展提升： （4）的最小值是 　　，最大值是 　　． （5）的最小值是 　　． （6）若的最小值是10，则的值是 　　． （7）若，且为整数，则的值为 　　． （8）若，则的值为 　　． 7．（2024秋•南宁期中）数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．而数轴是一个非常重要的数学工具，它是数形结合的基础．一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为．例如：表示3到1的距离． （1）点，，在数轴上表示的数分别为，，5，那么到的距离与到的距离之和可表示为 　　（用含绝对值的式子表示），且到的距离与到的距离之和为8时，此时的值为 　　； （2）当的值为多少时，有最小值？最小值为多少？ （3）求的最小值？ 8．（2023秋•历下区期中）【阅读】 可理解为数轴上表示所对应的点与所对应的点之间的距离； 如可理解为数轴上表示6所对应的点与2所对应的点之间的距离； 可以看作，可理解为数轴上表示6所对应的点与所对应的点之间的距离； 【探索】 回答下列问题： （1）可理解为数轴上表示所对应的点与 　　所对应的点之间的距离． （2）若，则数　　． （3）若，则数　　． （4）如图所示，在数轴上，若点表示的数记为，、两点的距离为8，且点在点的右侧现有一点以每分钟2个单位长度的速度从点向右出发，点以每分钟1个单位长度的速度从点右出发，求分钟后点与点的距离．（结果用含的代数式表示，并化到最简） 9．（2024秋•齐河县校级月考）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 应用一：点、在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示和6的两点之间的距离表示为 　　；数轴上表示和的两点之间的距离表示为 　　． （2）若表示一个有理数，则的最小值　　，满足条件的所有整数的和为 　　． （3）请写出当　　时，有最小值为 　　． （4）规律应用： 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台、、、、、、、、，一只配件相应该放在工作 　　处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是 　　米． 10．（2023秋•赣榆区校级月考）阅读材料：若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点间的距离表示为，则．如，，则，所以式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： （1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 　　； （2）若，则　　； （3）若，则　　； （4）找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 　　； （5）当满足 　　时，的最小值是 　　； （6）根据第（5）小题的探索，当　　时，式子的值最小，最小值为 　　； （7）若点表示的数，点与点的距离是10，且点在点的右侧，动点、分别从、同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒2个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度，运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 11．（2023秋•东坡区校级期中）如图已知数轴上点、分别表示、，且与互为相反数，为原点． （1）　　，　　； （2）将数轴沿某个点折叠，使得点与表示的点重合，则此时与点重合的点所表示的数为 　　； （3）、两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若表示一个有理数，则的最小值　　． ②若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的和是 　　． ③当　　时，取最小值． ④当取何值时，取最小值？最小值为多少？直接写出结果． 12．（2023秋•历城区期中）阅读下面材料：若点，在数轴上分别表示实数，，则，两点之间的距离表示为，且； 回答下列问题： （1）①数轴上表示和2的两点和之间的距离是 　　； ②在①的情况下，如果，那么　　； （2）若为整数，则当代数式取最小值时，满足条件的所有值为 　　； （3）若点，，在数轴上分别表示数，，；是最大的负整数，且． ①填空：　　；　　；　　； ②点，，同时开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为秒钟时，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 13．（2023秋•广陵区期末）阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为，则． 回答下列问题： （1）①点表示数，点表示数1，则、两点之间的距离表示为 　　； ②点表示数，点表示数1，如果，那么的值为 　　； （2）①如果，那么　　，　　； ②当代数式取最小值时，相应的整数的个数为 　　； （3）在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是9，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动．在此过程中，点的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒．在整个运动过程中，请直接用含的代数式表示． 题型三：数轴上的动点问题与绝对值（共26题） 1．（2023秋•东阳市期末）已知数轴上点与点的距离为16个单位长度，点在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，点在点的右侧，点表示的数与点表示的数互为相反数，动点从出发，以每秒1个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒． （1）点表示的数为　 　，点表示的数为　 　，点表示的数为　 　， （2）用含的代数式表示到点和点的距离：　 　，　 　． （3）当点运动到点时，点从点出发，以每秒点3个单位的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点． ①在点向点运动过程中，能否追上点？若能，请求出点运动几秒追上． ②在点开始运动后，、两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 2．（2023秋•文山市期末），是数轴上的两点（点在点的右侧），点表示的数为，，点为数轴上的一个动点，其对应的数为． （1）数轴上点表示的数是 　　； （2）若，求的值； （3）若点以每秒2个单位长度的速度从原点向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒．请问在运动过程中，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 3．（2023秋•满城区期末）阅读材料解决问题：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了这样的规律；若数轴上点、表示的数分别为、，则，两点间的距离，线段的中点表示的数为，如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． （1）填空：①、两点间的距离　　，线段的中点表示的数为 　　； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为 　　；点表示的数为 　　； （2）求当为何值时，； （3）若、在线段上运动，为何值时，、间的距离为3个单位长度？（直接写出结果） 4．（2023秋•兰山区期末）【阅读材料】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【动态思维】 如图，数轴上点表示的数为．点表示的数为2，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 （1），两点间的距离　　，线段的中点表示的数为 　　； （2）秒后，点表示的数为 　　；点表示的数为 　　；（用含的代数式表示） （3）若点为的中点，点为的中点，点，在运动过程中，线段的长度能否为6？若能，请求出值；若不能，请说明理由． 5．（2023秋•丰满区校级期末）如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点表示的数为，且满足．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒． （1）直接写出数轴上点、点表示的数； （2）数轴上与点的距离为3个单位长度的点表示的数是 　　； （3）点表示的数为 　　（用含的式子表示）；点表示的数为 　　（用含的式子表示）； （4）假如点先出发2秒后，点再出发，点、的速度保持不变，设点运动时间为，求为何值时线段是5个单位长度？ 6．（2023秋•曾都区期末）如图，在数轴上点表示的数是，点在点的右侧，且到点的距离是18，点在点和点之间，且． （1）点表示的数是 　　，点表示的数是 　　； （2）若点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，在运动过程中， ①用含的代数式分别表示点和点在数轴上表示的数； ②当为何值时，点为线段的中点？ ③当为何值时，点与点间的距离为7个单位长度？ 7．（2023秋•中山市校级期末）如图，在数轴上，点为坐标原点，点、、、表示的数分别是、3、9、13．动点、同时出发，动点从点出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向点运动．动点从点出发，沿数轴以每秒1个单位的速度向终点运动．当点到达点时，点也停止运动，设点的运动时间为秒． （1）点与原点的距离是 　　． （2）点从点向点运动过程中，点与原点的距离是 　　（用含的代数式表示）． （3）点从点向点运动过程中，当点与原点的距离恰好等于点与点的距离时，求的值． 8．（2023秋•宁乡市期末）已知数轴上两点，对应的数分别为，4，点为数轴上一动点，其对应的数为． （1）若点为线段的中点，则点对应的数　　； （2）点在移动的过程中，其到点、点的距离之和为10，求此时点对应的数的值； （3）对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“友好点”．如图，原点是点，的友好点．现在，点、点分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发秒后，点恰好是点，的“友好点”，求此时的值． 9．（2023秋•温江区期末）如图，已知数轴上两点、对应的数分别为、，点位于点左侧，且．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）写出数轴上点表示的数为 　　，点表示的数为 　　，点表示的数为 　　（用含的式子表示）； （2）若，两点同时出发，动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． ①当为何值时，点、两点到点的距离相等？ ②当点到达点后立即原速返回，其中一点运动到点时，两点停止运动．求在这个运动过程中，，两点相遇时的值． 10．（2023秋•南开区期末）已知数轴上点表示的数是0，，两点表示的数分别是，，且满足．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，设运动时间为秒，点运动到点时停止． （Ⅰ）填空：①　　，　　． ②点表示的数为 　　（用含有的式子表示）； ③当的值为 　　时，点停止运动． （Ⅱ）当点在线段上运动时，若为的中点，为的中点，试判断在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化．如果发生变化，请说明理由，如果不发生变化，请求出线段的值． （Ⅲ）当点运动到点时，动点开始从点出发，以每秒个单位长度的速度在，两点之间往返运动．动点仍按照原来的速度运动，直至点停止运动，点也停止运动．当，两点之间的距离为时，直接写出的值． 11．（2023秋•龙湖区期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．例如点、表示的数分别为、3，则、两点间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 （1）填空：①、两点间的距离　　，线段的中点表示的数为 　　． ②秒后，用含的代数式表示：点表示的数为 　　；点表示的数为 　　． （2）求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数． （3）在上述的运动过程中，是否存在某一时刻，使得、、三点中的任意一点为连接另外两点之间线段的中点．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 12．（2023秋•余江区期末）已知数轴上有，，三个点，分别表示有理数，，10，动点从出发，以每秒1个单位的速度向点移动（到达点停止运动），设移动时间为秒． （1）用含的代数式表示到点和点的距离（其中表示点到点的距离，表示点到点的距离）　　，　　； （2）当点运动到点时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，点到达点后停止运动．在点开始运动到点，都停止，，两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 13．（2023秋•自贡期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）写出数轴上点表示的数 　　，点表示的数 　　（用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 14．（2023秋•建邺区校级期末）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位，动点从点出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半；点从点出发的同时，点从点出发，以1单位秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点到达点时，点、均停止运动．设运动的时间为秒．问： （1）用含的代数式表示动点在运动过程中距点的距离； （2）、两点相遇时，求出相遇时间及相遇点所对应的数是多少？ （3）是否存在、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等？若存在，请直接写出的取值；若不存在，请说明理由． 15．（2023秋•福田区校级期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律； 例如：若数轴上点，表示的数分别为，，，两点之间的距离记为，则； 若数轴上点，表示的数分别为，，数轴上一点到点，的距离相等，则点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为．点表示的数为8，点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发．以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 （1）①秒后，点表示的数为 　　，点表示的数为 　　．（用含的式子表示） ②求，两点之间的距离． ③当，两点重合时，的值为 　　． （2）若数轴上点到点，的距离相等，点到点，的距离相等，则在点的运动过程中，，两点之间的距离是否发生变化？若变化．请说明理由；若不变，请求出，两点之间的距离． 16．（2023秋•朝阳区校级期末）如图，点，在数轴上表示的数分别是，10．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点运动，动点同时从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． （1）点到达点用时 　　秒，点到达点用时 　　秒； （2）点与点之间的距离为 　　，点表示的数为 　　；（用含的代数式表示） （3）当点与点之间的距离为14个单位长度时，求的值． 17．（2023秋•九江期末）数轴上两点、，在左边，原点是线段上的一点，已知，且．点、对应的数分别是、，点为数轴上的一动点，其对应的数为． （1）　　，　　； （2）若，求的值； （3）若点以每秒2个单位长度的速度从原点向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒．请问在运动过程中，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 18．（2023秋•三河市期末）如图，点，是数轴上的点，点在原点，．动点，分别从，出发沿数轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位长度和每秒1个单位长度． 设运动时间为秒，解答下列问题： （1）点表示的数是 　　；点表示的数是 　　，点表示的数是 　　．（点，点表示的数用含的式子表示） （2）若点是的中点，点是的中点，求的长． （3）直接写出为何值时，点与点相距4个单位长度． 19．（2023秋•苏州期末）【发现猜想】 （1）如图1，已知线段上有一点，点为的中点，，，则的长度为 　　； 【探索归纳】 （2）如图1，已知线段上有一点，点为的中点，，，猜想的长度（用含、的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】 （3）如图2，已知数轴上有一点表示的数为，点的右侧有三点、、，，，．若点以每秒2个单位长度的速度向右运动，点以每秒3个单位长度的速度向左运动，点以每秒1个单位长度的速度向左运动；三个点同时运动，当点运动到点时，三个点都停止运动．设运动的时间为秒，试求当为何值时，、、中的一点是另外两点为端点的线段的中点？ 20．（2023秋•钟山区期末）数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美的结合，如：数轴上点表示的数为，点表示的数为，则，两点之间的距离为．如图所示，点，，为数轴上的三个点，表示的数分别为，，，满足，且为的倒数．动点，分别从点，出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，三个动点同时出发，设运动的时间为秒，请回答下列问题： （1）直接写出，，的值：　　，　　，　　； （2）当时，求的值； （3）在运动过程中，的值是否发生变化？若发生变化，请用含的式子表示；若不发生变化，请求出的值． 21．（2023秋•莲池区期末）已知数轴上三点、、表示的数分别为，0，5，点为数轴上任意一点，其表示的数为． （1）的长为 　　个单位长度． （2）当点到点、点的距离相等时，求的值． （3）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是8个单位长度？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （4）如果点以每秒1个单位长度的速度从点沿数轴向左运动，同时点和点分别从点和点出发以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度也沿着数轴向左运动，设运动时间为秒，当点到点、点的距离相等时，直接写出的值． 22．（2023秋•怀化期末）如图，数轴上，两点表示的有理数分别为、，满足，原点是线段上的一点． （1）　　，　　，　　； （2）若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒，当为何值时，？ （3）若点、仍按（2）中速度运动，当点与点重合时停止运动，当点到达点时，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点追上点后立即返回，以同样的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以同样的速度向点运动，如此往返，直到点，停止时，点也停止运动，求在此过程中点行驶的总路程，并直接写出点最后位置在数轴上所对应的有理数． 23．（2023秋•芝罘区期末）如图，数轴上点、之间的距离为20个单位长度，点表示的有理数是8．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．与此同时，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点以每秒5个单位长度的速度在、之间往返运动．设运动时间为秒． （1）点表示的数是 　　，点表示的数是 　　；（用含的代数式表示） （2）求经过多长时间，、两点相遇？此时点一动运动了多少个单位长度？ （3）求经过多长时间，点到原点的距离是点到原点距离的2倍？ 24．（2023秋•黄石期末）如图，已知数轴上点，是数轴上的一点，，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）写出数轴上点表示的数为　 　，经秒后点走过的路程为　 　（用含的代数式表示）； （2）若在动点运动的同时另一动点从点也出发，并以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，问经多少时间点就能追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 25．（2023秋•涵江区期末）已知数轴上两点，对应的数分别为，2，点为数轴上任意一点，其对应的数为． （1）的长为 　　． （2）数轴上是否存在点，使点到点，点的距离之和是18？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）如果点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿数轴向右运动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达点时，点与同时停止运动，设点的运动时间为秒． ①求出点与点相遇时的值； ②当点，点与点三个点中，其中一个点是另两个点构成线段的中点时，直接写出的值． 26．（2023秋•成都期末）已知：是最小的正整数，且、满足，请回答问题 （1）请直接写出、、的值． 　　，　　，　　 （2）、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程） （3）在（1）（2）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题01绝对值的化简求值、几何意义、数轴上的动点问题 （考题猜想，3种热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：绝对值的化简求值（共9题） 1．（2023秋•渝中区期末）已知，，若，则的最大值与最小值的乘积为　　 A． B． C．6 D．24 【分析】根据，判断出、、只能是一负两正，然后分情况讨论：当、为正，为负时；当、为正，为负时；当、为正，为负时；分别计算的值，即可得出答案． 【解答】解：， 、、中一负两正或三负， ， 、、不可能三负，只能是一负两正， ， ，，， 当、为正，为负时， ； 当、为正，为负时， ； 当、为正，为负时， ； 则的最大值与最小值的乘积为， 故选：． 【点评】本题考查了绝对值，注意分类讨论思想的应用． 2．（2023秋•河东区期末）已知有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，给出下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤． 其中正确结论的个数是　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据有理数、、在数轴上的对应点的位置得到，，的正负性，根据有理数加减法的法则和绝对值的定义计算即可． 【解答】解：根据有理数、、在数轴上的对应点的位置可知： ①， ，， ， ①错误； ②， ，， ， ②正确； ③； ③正确； ④，， ， ④错误； ⑤， ⑤正确； 其中正确的是②③⑤． 故选：． 【点评】本题考查了数轴、绝对值，解决本题的关键是掌握绝对值的意义． 3．如果有理数，满足，那么　 　． 【分析】根据非负数的性质即可求出答案． 【解答】解：由题可知：，， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的乘法运算，解题的关键是正确求出与的值，本题属于基础题型． 4．（2022秋•益阳期末）若，，且，则的值是 　 　． 【分析】先由绝对值的性质求得，再由平方的定义得到，然后由，可知，从而可确定出、的取值情况，然后计算即可． 【解答】解：，， ，， ， ， ，或，， 当，时，， 当，时，． 故答案为：7或3． 【点评】本题考查了绝对值的性质、平方的定义，有理数的减法，掌握绝对值的性质、平方的定义，有理数的减法法则是关键． 5．（2023秋•曾都区期中）若与互为相反数，则的值为 　 　． 【分析】先根据相反数的定义结合非负数的性质求出，，再代入后抵消法计算即可求解． 【解答】解：与互为相反数， ， ，， 解得，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 6．（2023秋•江汉区期末）下列说法： ①若，则； ②若是关于的一元一次方程，则； ③若有理数，，满足，则； ④若我们用表示，两数中较小的一个数，则． 其中正确的是 　 　（填序号）． 【分析】分别根据一元一次方程的定义、等式的性质及绝对值的性质对各小题进行解答即可． 【解答】解：①， 若，则，正确，符合题意； ②是关于的一元一次方程， 且， ，原说法错误，不符合题意； ③， 或， 解得（舍去）或且， ，正确，符合题意； ④当时，， ； 当时，， ； 若用表示，两数中较小的一个数，则，正确符合题意． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查的是一元一次方程的定义、等式的性质及绝对值的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7．（2023秋•江岸区期末）下列四个结论中： ①若与是同类项，则； ②若关于的多项式的运算结果中不含项，则常数项为； ③若，则； ①若，，则的结果只有一种． 其中正确的是 　 　（填序号）． 【分析】①根据同类项的定义即可判断； ②根据整式的加减法则先进行化简，令含有项的系数为0即可； ③利用绝对值的化简法则即可判断； ④先判断三个数中正数和负数的个数，再根据绝对值的化简法则即可判断． 【解答】解：①与是同类项， ，， ， ， ①正确； ② ， 运算结果中不含项， ， ， ， ②正确； ③， ，，， ， ③错误； ④，， ，，三个数中有正有负， ， 当三个数中有一个正数两个负数时，， 此时原式， 当三个数中有两个正数一个负数时，， 此时原式， 结果只有一种， ④正确， 故答案为：①②④． 【点评】本题主要考查了整式的加减和绝对值的化简，熟练应用法则是解题的关键． 8．（2023秋•腾冲市期末）已知，，三个有理数在数轴上的位置如图所示． （1） 　 　0， 　　0；（填“”或“” （2）如果，互为相反数，则　　； （3）化简：． 【分析】（1）根据各点在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小即可得出结论； （2）根据相反数的定义解答即可； （3）根据各点在数轴上的位置判断出，，的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【解答】解：（1）由，，在数轴上的位置可知，，，， ，． 故答案为：；； （2），互为相反数， ． 故答案为：； （3），，， ，，， 原式 ． 【点评】本题考查的是有理数的大小比较，数轴、相反数及绝对值，先根据，，在数轴上的位置判断出，，的符号是解题的关键． 9．（2023秋•宁强县期末）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知，是不为0的有理数，当时，则的值是 　0　； （2）已知，，是有理数，当时，求的值； （3）已知，，是有理数，，，求的值． 【分析】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可； （2）（3）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出，，中负数有2个，正数有1个，判断出的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【解答】解：（1），是不为0的有理数，当时，，，或，， 当，时，； 当，时，． 故答案为：0． （2）， 、、都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当、、都是负数，即，，时， 则：； ②、、有一个为负数，另两个为正数时，设，，， 则； （3），，为三个不为0的有理数，且得，，，． ，，中只有一个负数，另两个为正数时，设，，， ． 【点评】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论思想方法，能不重不漏的分 类，会确定字母范围和字母的值是关键． 题型二：绝对值的几何意义拓展应用（共13题） 1．（2021春•杨浦区校级期中）在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，且，两点间的距离为8，则　　． 【分析】利用数轴上点的坐标判断它与0的关系，然后再根据、两点的距离为8，可得的值． 【解答】解：由题意得， 化简得， 即， 故答案为4． 【点评】本题主要考查绝对值的性质，利用数形结合的思想进行求解是常见方法． 2．（2022秋•大冶市期末）是常数，若式子的最小值是6，则的值是 　 　． 【分析】根据式子所表示的意义进行计算即可． 【解答】解：式子所表示的意义为：数轴上表示数的点到表示1和5的点的距离之和，如图所示， 当时，由，解得， 当时，，解得， 所以或， 故答案为：或7． 【点评】本题考查绝对值，理解式子所表示的意义是正确解答的前提． 3．（2022秋•武昌区校级月考）已知，则的最小值为 　　． 【分析】根据与所表示的意义，得出、的取值范围，再求的最小值即可． 【解答】解：所表示的意义是数轴上表示数的点到表示数2，数点的距离之和，由数轴表示数可知， ， 同理， ， ，， ，， 当，时， 的值最小， 最小值为， 故答案为：1． 【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提． 4．（2020秋•江岸区校级月考）若，则的值为 　 　． 【分析】由，得，，再分，和三种情况讨论，即可得出结果． 【解答】解：由，得，， 当时，， 解得：，符合题意， 当时，， 此时等式不成立， 当时，， 解得：，符合题意， 的值为或6， 故答案为：或6． 【点评】本题考查了绝对值，由，得，，从而得到的三种情况是解决问题的关键． 5．（2022秋•龙亭区校级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）数轴上表示5与的两点之间的距离是 　　； （2）①若，则　　； ②若使所表示的点到表示2和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数的和为 　　； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）折叠纸面，若1表示的点和表示的点重合，则4表示的点和 　　表示的点重合； （4）折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合， ①则10表示的点和 　　表示的点重合； ②这时如果，在的左侧）两点之间的距离为2022，且，两点经折叠后重合，则点表示的数是　　，点表示的数是 　　； 【拓展】 （5）若，则　　． 【分析】（1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可； （2）①根据题意可得方程或，求出的值即可； ②根据绝对值的几何意义可知时，，求出符合条件的整数即可； （3）利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； （4）①利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； ②设点表示的数是，则点表示的数是，根据中点坐标公式求出，即可求解； （5）根据绝对值的几何意义，分情况讨论即可． 【解答】解：（1）表示5和两点之间的距离是， 故答案为：6； （2）①， 或， 解得或， 故答案为：1或； ②使所表示的点到表示和2的点的距离之和为5， ， 与2的距离是5， ， 是整数， 的值为，，，0，1，2， 所有符合条件的整数的和为， 故答案为：； （3）表示的点和表示的点重合， 折叠点对应的数是0， 表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （4）①表示的点和表示的点重合， 折叠的点表示的数是， ， 表示的点和表示的点重合， 故答案为：； ②设点表示的数是，则点表示的数是， ， 解得， 点表示的数，点表示的数是1010， 故答案为：；1010； （5）， 则， 或， 或， 或， 或不成立， 或， 解得：或． 【点评】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键． 6．（2023秋•高县校级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为．所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：代数式的最小值是多少？ 探究问题：如图，点，，分别表示的是，2，，． 的几何意义是线段与的长度之和． 当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． （1）解决问题，的值是 　　． （2）的最小值是 　　． （3）若的最小值是10，则的值为 　　． 拓展提升： （4）的最小值是 　　，最大值是 　　． （5）的最小值是 　　． （6）若的最小值是10，则的值是 　　． （7）若，且为整数，则的值为 　　． （8）若，则的值为 　　． 【分析】根据绝对值的几何意义解答（1）（2）（3）（5）（6）（7）（8），根据绝对值代数意义解答（4）即可． 【解答】解：（1）解决问题，的值是8． 故答案为：8； （2）的最小值是6． 故答案为：6； （3）若的最小值是10，则的值为或7． 故答案为：或7； 拓展提升： （4）的最小值是，最大值是8．理由如下： 令， 故答案为：，8； （5）的最小值是6． 故答案为：6； （6）若的最小值是10，则的值是或3． 故答案为：或3； （7）若，且为整数，则的值为，0，1，2． 故答案为：，0，1，2； （8）若，则的值为或3.5． 故答案为：或3.5． 【点评】本题主要考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键． 7．（2024秋•南宁期中）数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．而数轴是一个非常重要的数学工具，它是数形结合的基础．一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为．例如：表示3到1的距离． （1）点，，在数轴上表示的数分别为，，5，那么到的距离与到的距离之和可表示为 　　 （用含绝对值的式子表示），且到的距离与到的距离之和为8时，此时的值为 　　 ； （2）当的值为多少时，有最小值？最小值为多少？ （3）求的最小值？ 【分析】（1）根据题中所给数轴上两点之间距离的计算方式进行表示再利用数形结合的数学思想即可解决问题． （2）将代数式的值看成数轴上表示数的点到表示2、和5的点的距离之和即可解决问题． （3）将所给代数式看成数轴上表示数的点到表示1、2、3、，的点的距离之和即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 到的距离与到的距离之和可表示为：． 如图所示， 因为，， 所以，， 即当表示数的点在或6的位置时，， 所以的值为或6． 故答案为：，或6． （2）如图所示， 当表示数的点在点处时，取得最小值， 所以当时，取得最小值为6． （3）由上述过程可知， 因为， 所以当表示数的点在数轴上表示50的点处时，取得最小值， 则， 所以的最小值为2450． 【点评】本题主要考查了列代数式、有理数、数轴、绝对值、非负数的性质：绝对值及数学常识，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 8．（2023秋•历下区期中）【阅读】 可理解为数轴上表示所对应的点与所对应的点之间的距离； 如可理解为数轴上表示6所对应的点与2所对应的点之间的距离； 可以看作，可理解为数轴上表示6所对应的点与所对应的点之间的距离； 【探索】 回答下列问题： （1）可理解为数轴上表示所对应的点与 　 　所对应的点之间的距离． （2）若，则数　　． （3）若，则数　　． （4）如图所示，在数轴上，若点表示的数记为，、两点的距离为8，且点在点的右侧现有一点以每分钟2个单位长度的速度从点向右出发，点以每分钟1个单位长度的速度从点右出发，求分钟后点与点的距离．（结果用含的代数式表示，并化到最简） 【分析】（1）把变形为的形式，即可得到答案； （2）根据绝对值的运算，分两种结果求值； （3）分、、三种情况讨论，去掉绝对值符号求值； （4）根据路程速度时间求出点和点运动的距离，再用代数式表示出点和点表示的数，最后用绝对值表示出两点之间的距离，并化简． 【解答】解：（1）， 故答案为：． （2）当时， 解得； 当时， 解得． 故答案为：或7． （3）当时， ， 即：， 解得； 当时， ， 即：， 解得； 当时， （不符合题意）， 故答案为：或5． （4）点表示的数为：， 所以分钟后，点对应的数为：， 点对应的数为：， 所以点与点的距离为：， 所以当时， 点与点的距离：； 当时， 点与点的距离：． 【点评】本题考查了一元一次方程、绝对值和代数式在数轴上的应用，关键根据题意列出代数式和方程，再根据正负去掉绝对值符号来解答． 9．（2024秋•齐河县校级月考）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 应用一：点、在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示和6的两点之间的距离表示为 　 　；数轴上表示和的两点之间的距离表示为 　　 ． （2）若表示一个有理数，则的最小值　　，满足条件的所有整数的和为 　　． （3）请写出当　　时，有最小值为 　　． （4）规律应用： 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台、、、、、、、、，一只配件相应该放在工作 　　处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是 　　米． 【分析】（1）根据数轴上、两点之间的距离计算便可； （2）当在表示数与1的两点及两点之间时，的值最小，求出此时的值便可； （3）根据绝对值的几何意义可知，当时，有最小值8； （4）以点为原点，2米为一个单位长度，、、、、、、、、依次在数轴上排列，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值40； 【解答】解：（1）由题意，数轴上表示和6的两点之间的距离表示为；数轴上表示和的两点之间的距离表示为． 故答案为：；． （2）由题意，当时，取最小值， 其最小值为：， 满足条件的整数的和为． 故答案为：5，． （3）由题意，表示数轴上有理数所对应的点到，，，1所对应的点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为8． 故答案为：，8． （4）由题意，以点为原点，2米为一个单位长度，、、、、、、、、依次在数轴上排列， 则点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2，点表示的数为4，点表示的数为6，点表示数为8． 设配件箱应该放在数轴上表示的数的位置， 当有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短， 当时，有最小值40． 配件箱应该放在工作台处，最短路程为40米， 故答案为：，40． 【点评】本题主要考查了有理数的加法、有理数、数轴、绝对值的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 10．（2023秋•赣榆区校级月考）阅读材料：若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点间的距离表示为，则．如，，则，所以式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： （1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 　 　； （2）若，则　　； （3）若，则　　； （4）找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 　　； （5）当满足 　　时，的最小值是 　　； （6）根据第（5）小题的探索，当　　时，式子的值最小，最小值为 　　； （7）若点表示的数，点与点的距离是10，且点在点的右侧，动点、分别从、同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒2个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度，运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 【分析】（1）利用两点间的距离公式计算即可． （2）由得或，再计算即可． （3）由得或，再计算即可． （4）由得，由和之间的距离为7得位于和之间，再计算即可． （5）由3和6之间的距离为3，得位于3和6之间时，有最小值是3． （6）由得，故位于和3之间，且当时，有最小值为4，再计算即可． （7）设运动时间为秒，当在的左侧时，或当在的右侧时，再列式计算即可． 【解答】解：（1）由两点间的距离公式得， 故答案为：5． （2）， 或， 或， 故答案为：5或． （3）， 或， ， 故答案为：． （4）， ， 和之间的距离为7， 位于和之间， 整数为：，，，，，0，1，2． （5）和6之间的距离为3， 当或时， 到3的距离到6的距离， 位于3和6之间， 有最小值是3， 故答案为：，3． （6）由得， 和3之间的距离是4， 当或时， 到的距离到0的距离到3的距离， 位于和3之间， 且当时， ， 此时最小值为4， 故答案为：0，4． （7）点表示的数为，，且点在点的右侧， 点表示的数为9． 设运动时间为秒， 点表示的数为． 点表示的数为． 当在的左侧时， ，， ， ， ， ． 当在的右侧时， 同理：， ． 答：运动9秒或11秒后，． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，利用数轴列出方程是解题关键． 11．（2023秋•东坡区校级期中）如图已知数轴上点、分别表示、，且与互为相反数，为原点． （1）　 　，　　； （2）将数轴沿某个点折叠，使得点与表示的点重合，则此时与点重合的点所表示的数为 　　； （3）、两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若表示一个有理数，则的最小值　　． ②若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的和是 　　． ③当　　时，取最小值． ④当取何值时，取最小值？最小值为多少？直接写出结果． 【分析】（1）根据与互为相反数列式计算得出与； （2）先计算得出点与表示的点重合时的折叠点，再根据对称性得到答案； （3）①当时，有值最小； ②当时，的值最小，最小值为7，再求出符合条件的整数即可求解； ③找到2，2，3，3，4，4，4，4的中间数即为所求； ④由，可求4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，当时，式子有最小值． 【解答】解：（1）与互为相反数， ， ，， ，， 故答案为：9，； （2）点表示的数是9， 当折叠，使得点与表示的点重合时的折叠点是， 此时与点重合的点所表示的数为， 故答案为：5； （3）①表示数轴上表示的点到表示3的点和6的点的距离之和， 当时，的值最小， 的最小值为3， 故答案为：3； ②表示数轴上表示的点到表示的点和4的点的距离之和， 当时，的值最小，最小值为7， ， 的整数值为，，，0，1，2，3，4， 满足条件的所有整数的和是4， 故答案为：4； ③表示2倍的到2的距离，2倍的到3的距离，5倍的到4的距离之和， ，2，3，3，4，4，4，4的中间数是4， 当时，的最小值； 故答案为：4； ④， 表示4倍的到的距离，3倍到的距离，到的距离，2倍到的距离，3倍到3的距离之和， 个，3个，1个，2个，3个3的中间数是， 当时，的值最小，最小值为． 【点评】此题考查绝对值、平方的非负性，两点间的中点，利用线段的数量关系列方程，（3）是难点，注意题中点与点的运动条件，分情况解决问题． 12．（2023秋•历城区期中）阅读下面材料：若点，在数轴上分别表示实数，，则，两点之间的距离表示为，且； 回答下列问题： （1）①数轴上表示和2的两点和之间的距离是 　 　； ②在①的情况下，如果，那么　　； （2）若为整数，则当代数式取最小值时，满足条件的所有值为 　　； （3）若点，，在数轴上分别表示数，，；是最大的负整数，且． ①填空：　　；　　；　　； ②点，，同时开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为秒钟时，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【分析】（1）根据两点之间的距离公式求解； （2）根据数轴上两点之间的距离公式及数形结合思想分析求解； （3）①根据非负数的性质求解； ②根据题中的条件列式求解． 【解答】解：（1）①数轴上表示和2的两点和之间的距离是：， 故答案为：； ②由题意得：， 解得：或， 故答案为：7或； （2）当在和2之间时，取得最小值3， ， 整数的值为：，0，1，2； （3）①由题意得：，，， 故答案为：，1，4； ②不变； 理由：由题意得：， 故的值不随着时间的变化而改变，值为1.5． 【点评】本题考查了实数和数轴，掌握两个点之间的距离公式是解题的关键． 13．（2023秋•广陵区期末）阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为，则． 回答下列问题： （1）①点表示数，点表示数1，则、两点之间的距离表示为 　 　； ②点表示数，点表示数1，如果，那么的值为 　　； （2）①如果，那么　　，　　； ②当代数式取最小值时，相应的整数的个数为 　　； （3）在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是9，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动．在此过程中，点的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒．在整个运动过程中，请直接用含的代数式表示． 【分析】（1）①把，代入，即可求得、两点之间的距离； ②，那么．所以或，解方程即可求得的值； （2）①根据两个非负数相加得0，这两个非负数均为0，可得，，解方程可得，的值； ②代数式取最小值，那么数轴上表示的点到表示以及2的点的距离之和最小，所以在数轴上的和2之间，计算和2之间的整数个数即可； （3）易得点表示的数是，表示的数是0，表示的数是9，点的运动路程为．那么，，．当点从向运动过程中，在点、之间，在点、之间，当点从向返回过程中，在点、之间，在点、之间，画出相关图形，分四种情况探讨的长度即可． 【解答】解：（1）①点表示数，点表示数1， 、两点之间的距离表示为：． 故答案为：； ②点表示数，点表示数1，， ． 或． 解得：或． 故答案为：7或； （2）①， ，． ，． 故答案为：，2； ②代数式取最小值， 数轴上表示的点到表示以及2的点的距离之和最小． 在数轴上的和2之间． 为整数， 可取的整数值为：，0，1，2共4个数． 故答案为：4； （3）点表示的数是最大的负整数，是原点，在的右侧且到的距离是9， 点表示的数是，表示的数是0，表示的数是9． ，，． 点的运动速度始终保持每秒2个单位长度，点的运动时间为秒， 点的运动路程为：． 当点从向运动过程中，恰好到达点时，所用时间；恰好到达点时，所用时间； 当点从向返回过程中，恰好到达点时，所用时间；恰好到达点时，所用时间． ①当点从向运动过程中，在点、之间，即时． ，， ； ②当点从向运动过程中，在点、之间，即时． ，， ； ③当点从向返回过程中，在点、之间，即时． ，，点的运动路程为， ； ④当点从向返回过程中，在点、之间，即时． ，，点的运动路程为， ． 综上：时，； 当时，； 当时，； 当时，． 【点评】本题考查绝对值的应用．理解两点间的距离的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：数轴上两点间的距离等于数轴上表示这两个点的数的差的绝对值；两个非负数相加得0，这两个非负数均为0． 题型三：数轴上的动点问题与绝对值（共26题） 1．（2023秋•东阳市期末）已知数轴上点与点的距离为16个单位长度，点在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，点在点的右侧，点表示的数与点表示的数互为相反数，动点从出发，以每秒1个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒． （1）点表示的数为　　，点表示的数为　 　，点表示的数为　 　， （2）用含的代数式表示到点和点的距离：　 　，　 　． （3）当点运动到点时，点从点出发，以每秒点3个单位的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点． ①在点向点运动过程中，能否追上点？若能，请求出点运动几秒追上． ②在点开始运动后，、两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）由点在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，可知点表示的数为，根据点在点的右侧，点与点的距离为16个单位长度，得出点表示的数为，由点表示的数与点表示的数互为相反数，得到点表示的数为10； （2）根据列出速度时间，可得，由可得； （3）①在点向点运动过程中，设点运动秒追上点，根据点追上点时，点运动的路程点运动的路程，列出方程，解方程即可； ②分两种情况：点从点向点运动时，又分点在点的后面与点在点的前面；点从点返回到点时，又分点在点的后面与点在点的前面． 【解答】解：（1）点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为10； （2）， ； （3）①在点向点运动过程中，设点运动秒追上点，根据题意得 ， 解得． 答：在点向点运动过程中，能追上点，点运动8秒追上； ②分两种情况： Ⅰ点从点向点运动时， 如果点在点的后面，那么，解得，此时点表示的数是； 如果点在点的前面，那么，解得，此时点表示的数是； Ⅱ点从点返回到点时， 如果点在点的后面，那么，解得，此时点表示的数是； 如果点在点的前面，那么，解得，此时点表示的数是． 答：在点开始运动后，、两点之间的距离能为2个单位，此时点表示的数分别是，，，． 故答案为：，，10；，． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 2．（2023秋•文山市期末），是数轴上的两点（点在点的右侧），点表示的数为，，点为数轴上的一个动点，其对应的数为． （1）数轴上点表示的数是 　　； （2）若，求的值； （3）若点以每秒2个单位长度的速度从原点向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒．请问在运动过程中，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）分三种情况讨论：①当点在点左侧时；②当点位于、两点之间时；③当点位于点右侧时；根据分别计算即可； （3）秒后，点的值为，点的值为，点的值为，再计算的值判断即可． 【解答】解：（1）点表示的数为，，点在点的右侧， 点表示的数是， 故答案为：3； （2）设点对应的数为， ①当点在点左侧时，，不合题意，舍去； ②当点位于、两点之间时， ， ， ； ③当点位于点右侧时， ， ， ， 综上，或； （3）的值为定值8，不随时间变化而变化； 秒后，点的值为，点的值为，点的值为， ． 【点评】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． 3．（2023秋•满城区期末）阅读材料解决问题：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了这样的规律；若数轴上点、表示的数分别为、，则，两点间的距离，线段的中点表示的数为，如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． （1）填空：①、两点间的距离　　，线段的中点表示的数为 　　； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为 　　；点表示的数为 　　； （2）求当为何值时，； （3）若、在线段上运动，为何值时，、间的距离为3个单位长度？（直接写出结果） 【分析】（1）①根据两点之间的距离公式，直接求出的长；由两点对应的数的平均数直接求出、的中点表示的数； ②根据点的运动速度和方向，直接表示出点，所表示的数即可； （2）用数轴上两点间的距离公式求出，用，列出方程求解即可； （3）同理（2）得到，结合已知条件列出方程解答即可． 【解答】解：（1）①、两点间的距离， 线段的中点表示的数为：， 故答案为：10，3； ②秒后，点表示的数，点表示的数为， 故答案为：，； （2）秒后，点表示的数，点表示的数为， ， ， ， 解得：或3， 当或3时，； （3）同理（2）得到， 或， 解得：或， 当或时，、间的距离为3个单位长度． 【点评】此题考查解一元一次方程的应用、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． 4．（2023秋•兰山区期末）【阅读材料】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【动态思维】 如图，数轴上点表示的数为．点表示的数为2，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 （1），两点间的距离　　，线段的中点表示的数为 　　； （2）秒后，点表示的数为 　　；点表示的数为 　　；（用含的代数式表示） （3）若点为的中点，点为的中点，点，在运动过程中，线段的长度能否为6？若能，请求出值；若不能，请说明理由． 【分析】（1）通过条件的距离公式和中点公式即可求解； （2）根据动点的运动方向和速度即可表示点和点所表示的数； （3）根据题意用代数式写出点和点所表示的数，再由，列出方程求解即可． 【解答】解：（1）点表示的数为．点表示的数为2， ，两点间的距离为：， 线段的中点表示的数为， 故答案为：8，； （2）点表示的数为，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， 点表示的数为， 点表示的数为2，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 点表示的数为； 故答案为：，； （3）线段的长度能为6，理由如下： 点为的中点，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为， 点为的中点，点表示的数为2，点表示的数为， 点表示的数为， 若， 得， 整理得， 解得或， 综上所示，线段的长度能为6，或． 【点评】本题考查了数轴上两点间的距离公式，中点公式，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是弄清动点的运动方向和速度，用代数式表示动点所表示的数，从而研究距离问题和中点问题． 5．（2023秋•丰满区校级期末）如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点表示的数为，且满足．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒． （1）直接写出数轴上点、点表示的数； （2）数轴上与点的距离为3个单位长度的点表示的数是 　 　； （3）点表示的数为 　　（用含的式子表示）；点表示的数为 　　（用含的式子表示）； （4）假如点先出发2秒后，点再出发，点、的速度保持不变，设点运动时间为，求为何值时线段是5个单位长度？ 【分析】（1）利用偶次方及绝对值的非负性，可得出，，解之即可得出，的值； （2）由点表示的数为16，结合数轴上两点间的距离公式，即可求出数轴上与点的距离为3个单位长度的点表示的数； （3）根据点，的出发点、运动方向、运动速度及运动时间，可用含的代数式表示出点，表示的数； （4）当点运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）， ，， 解得：，， 点表示16，点表示； （2），， 数轴上与点的距离为3个单位长度的点表示的数是13或19． 故答案为：13或19； （3）当运动时间为秒时，点表示的数为； 点表示的数为． 故答案为：，； （4）当点运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是． 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：当为或9时，线段是5个单位长度． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用．列代数式、数轴、偶次方及绝对值的非负性，解题的关键是：（1）利用偶次方及绝对值的非负性，求出，的值；（2）根据两点间的距离，找出数轴上与点的距离为3个单位长度的点表示的数；（3）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出点，表示的数；（4）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 6．（2023秋•曾都区期末）如图，在数轴上点表示的数是，点在点的右侧，且到点的距离是18，点在点和点之间，且． （1）点表示的数是 　　，点表示的数是 　　； （2）若点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，在运动过程中， ①用含的代数式分别表示点和点在数轴上表示的数； ②当为何值时，点为线段的中点？ ③当为何值时，点与点间的距离为7个单位长度？ 【分析】（1）由点表示的数、点在点的右侧及的长度，算出点表示的数，再由，可求出的长度，进而求出点表示的数； （2）①当运动时间为秒时，分别表示出点和点即可； ②点为线段的中点，根据中点距离公式计算即可； ③点与点间的距离为7个单位长度，分两种情况：当点在点右侧和点在点左侧分别计算即可． 【解答】解：（1）点表示的数是，点在点的右侧，且到点的距离是18， 点表示的数为， ，点在点与点之间，且， ， 点表示的数为， 故答案为：14，2； （2）①当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为； ②， 即， ， 当为时，点为线段的中点； ③分两种情况：当点在点右侧和点在点左侧， 当点在点右侧时， ， ， 当点在点左侧时，，， 当为或时，点与点间的距离为7个单位长度． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是分类讨论． 7．（2023秋•中山市校级期末）如图，在数轴上，点为坐标原点，点、、、表示的数分别是、3、9、13．动点、同时出发，动点从点出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向点运动．动点从点出发，沿数轴以每秒1个单位的速度向终点运动．当点到达点时，点也停止运动，设点的运动时间为秒． （1）点与原点的距离是 　　． （2）点从点向点运动过程中，点与原点的距离是 　　（用含的代数式表示）． （3）点从点向点运动过程中，当点与原点的距离恰好等于点与点的距离时，求的值． 【分析】（1）利用数轴上两点间的距离公式，即可求出点与原点的距离； （2）利用时间路程速度，可求出点到达点所需时间，当运动时间为秒时，点表示的数为，利用数轴上两点间的距离公式，即可用含的代数式表示出点与原点的距离； （3）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据点与原点的距离等于点与点的距离，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）， 点与原点的距离是8． 故答案为：8； （2）（秒． 当运动时间为秒时，点表示的数为， ， 点与原点的距离是． 故答案为：； （3）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或（不符合题意，舍去）． 答：的值为1． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是：（1）利用数轴上两点间的距离公式，求出线段的长；（2）利用数轴上两点间的距离公式，用含的代数式表示出点与原点的距离；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 8．（2023秋•宁乡市期末）已知数轴上两点，对应的数分别为，4，点为数轴上一动点，其对应的数为． （1）若点为线段的中点，则点对应的数　　； （2）点在移动的过程中，其到点、点的距离之和为10，求此时点对应的数的值； （3）对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“友好点”．如图，原点是点，的友好点．现在，点、点分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发秒后，点恰好是点，的“友好点”，求此时的值． 【分析】（1）根据点为线段的中点，即可求出点对应的数； （2）分两种情况：①点在点的左侧时，②点在点的右侧时，分别计算即可作答； （3）根据“友好点”的定义，点恰好是点，的“友好点”分情况讨论：或，分别计算即可作答． 【解答】解：（1）点为线段的中点， ， 即， ， 故答案为：1； （2）， 分两种情况： ①当点在点的左侧时， ， ， ②当点在点的左侧时， ， ， 点对应的数的值为或6； （3）由题意可得：秒后，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， 点恰好是点，的“友好点”， 或， 即或， 解得：（舍去）或或或， 的值为或或． 【点评】本题考查数轴、一元一次方程的应用和新定义，解题的关键是理解题意，分类讨论． 9．（2023秋•温江区期末）如图，已知数轴上两点、对应的数分别为、，点位于点左侧，且．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）写出数轴上点表示的数为 　　，点表示的数为 　　，点表示的数为 　　（用含的式子表示）； （2）若，两点同时出发，动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． ①当为何值时，点、两点到点的距离相等？ ②当点到达点后立即原速返回，其中一点运动到点时，两点停止运动．求在这个运动过程中，，两点相遇时的值． 【分析】（1）利用非负性的性质列等式，求，，再利用速度乘以时间列代数式表示点； （2）①根据距离相等分两种情况，点在点左侧和右侧，利用，分别计算即可； ②分两种情况：当点出发到点的过程中与点相遇，当点到达点返回时与点相遇，分别计算即可． 【解答】解：（1）， ，， ，， 点、表示的数分别是10，， 点表示的数为， 故答案为：10，，； （2）①点、到点的距离相等，有两种情况， 当点与点在点两侧时，即， ， 解得：， 当点与点重合时，即， ， 解得：， 当为5或时，点、两点到点的距离相等； ②分两种情况： 当点出发到点的过程中与点相遇时， ， 则， 当点到达点返回时与点相遇时， ， 则， 在这个运动过程中，，两点相遇时的值为5或． 【点评】本题考查非负数的性质，数轴，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，应用一元一次方程解决问题． 10．（2023秋•南开区期末）已知数轴上点表示的数是0，，两点表示的数分别是，，且满足．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，设运动时间为秒，点运动到点时停止． （Ⅰ）填空：①　 　，　　． ②点表示的数为 　　（用含有的式子表示）； ③当的值为 　　时，点停止运动． （Ⅱ）当点在线段上运动时，若为的中点，为的中点，试判断在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化．如果发生变化，请说明理由，如果不发生变化，请求出线段的值． （Ⅲ）当点运动到点时，动点开始从点出发，以每秒个单位长度的速度在，两点之间往返运动．动点仍按照原来的速度运动，直至点停止运动，点也停止运动．当，两点之间的距离为时，直接写出的值． 【分析】（Ⅰ）①根据非负数的性质求解； ②根据向右运动用加法列式表示； ③根据“时间路程速度”计算； （Ⅱ）根据两点之间的距离公式求解； （Ⅲ）根据两点之间的距离公式求解． 【解答】解：（Ⅰ）①由题意得：，， 故答案为：，15； ②点表示的数为：， 故答案为：； ③， 故答案为：21； （Ⅱ）线段的长度不发生变化，为3； 理由：表示的数为：，表示的数为：， ； （Ⅲ）当时，， 解得：或（不合题意，舍去）， 当，， 解得：或（不合题意，舍去）， 所以当或20.9时，、相距． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 11．（2023秋•龙湖区期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．例如点、表示的数分别为、3，则、两点间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 （1）填空：①、两点间的距离　　，线段的中点表示的数为 　　． ②秒后，用含的代数式表示：点表示的数为 　　；点表示的数为 　　． （2）求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数． （3）在上述的运动过程中，是否存在某一时刻，使得、、三点中的任意一点为连接另外两点之间线段的中点．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）①根据两点间的距离公式和线段中点的计算方法解答； ②根据路程时间速度和两点间的距离公式解答； （2）根据两点相遇得到，结合已知条件列出方程并解答即可； （3）分类讨论：①当点是线段的中点时，②当点是线段的中点时，③当点是线段的中点时，分别列方程解决． 【解答】解：（1）①由题意得：，线段的中点为， 故答案为：10，3； ②点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， 秒后，点表示的数为；点表示的数为； 故答案为：，； （2）秒后，点表示的数是，点表示的数是，、两点相遇， ， 解得：，即相遇点所表示的数； （3）秒后，点表示的数为，点 表示的数为，点表示的数为8， ①当点是线段的中点时，， 解得：； ②当点是线段的中点时，， 解得：； ③当点是线段的中点时，， 解得：； 综上所述，满足条件的值为或或10． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． 12．（2023秋•余江区期末）已知数轴上有，，三个点，分别表示有理数，，10，动点从出发，以每秒1个单位的速度向点移动（到达点停止运动），设移动时间为秒． （1）用含的代数式表示到点和点的距离（其中表示点到点的距离，表示点到点的距离）　　，　　； （2）当点运动到点时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，点到达点后停止运动．在点开始运动到点，都停止，，两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）根据点位置进而得出，的距离； （2）分别根据点与点相遇前以及相遇后以及到达点三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）动点从出发，以每秒1个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒， 到点的距离为：，到点的距离为：； 故答案为：，； （2）当点在点右侧，且点还没有追上点时， ， 解得：， 此时点表示的数为2， 当点在点左侧，且点追上点后，相距2个单位， 解得：， 此时点表示的数为6， 当点到达点后，，相距2个单位， 此时点表示的数为8， 综上所述：点表示的数为2或6或8． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用以及利用数轴确定点的位置，利用分类讨论得出是解题关键． 13．（2023秋•自贡期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）写出数轴上点表示的数 　　，点表示的数 　　（用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【分析】（1）根据，点表示的数为8，即可得出表示的数；再根据动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，即可得出点表示的数； （2）点运动秒时，在点处追上点，则，，根据，列出方程求解即可； （3）分①当点在点、两点之间运动时，②当点运动到点的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出的长即可． 【解答】解：（1）点表示的数为8，在点左边，， 点表示的数是， 动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， 点表示的数是． 故答案为：，； （2）设点运动秒时，在点处追上点， 则，， ， ， 解得：， 点运动6秒时追上点； （3）线段的长度不发生变化，都等于6；理由如下： ①当点在点、两点之间运动时： ； ②当点运动到点的左侧时： ， 线段的长度不发生变化，其值为6． 【点评】本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，解答本题的关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论． 14．（2023秋•建邺区校级期末）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位，动点从点出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半；点从点出发的同时，点从点出发，以1单位秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点到达点时，点、均停止运动．设运动的时间为秒．问： （1）用含的代数式表示动点在运动过程中距点的距离； （2）、两点相遇时，求出相遇时间及相遇点所对应的数是多少？ （3）是否存在、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等？若存在，请直接写出的取值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意，可以用含的代数式表示动点在运动过程中距点的距离； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得相遇时间及相遇点所对应的数； （3）根据题意可以求出的值． 【解答】解：（1）设动点在运动过程中距点的距离为， 当时，， 当时，， 即动点在运动过程中距点的距离； （2）设经过秒，、两点相遇， ， 解得，， 则点所对应的数是：， 即点所对应的数是； （3）存在，或， 理由：当时， ， 解得， 当时， ， 解得，， 当时， 该方程无解， 故存在，或． 【点评】本题考查一元一次方程的应用、数轴、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用数形结合的思想解答． 15．（2023秋•福田区校级期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律； 例如：若数轴上点，表示的数分别为，，，两点之间的距离记为，则； 若数轴上点，表示的数分别为，，数轴上一点到点，的距离相等，则点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为．点表示的数为8，点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发．以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 （1）①秒后，点表示的数为 　 　，点表示的数为 　　．（用含的式子表示） ②求，两点之间的距离． ③当，两点重合时，的值为 　　． （2）若数轴上点到点，的距离相等，点到点，的距离相等，则在点的运动过程中，，两点之间的距离是否发生变化？若变化．请说明理由；若不变，请求出，两点之间的距离． 【分析】（1）①由题意可知点、点表示的数分别为、，于是得到问题的答案； ②由，求得、两点之间的距离为； ③当，两点重合时，则，求得，于是得到问题的答案； （2）可求得点表示的数为，点表示的数为，则，可知，两点之间的距离不发生变化，，两点之间的距离是5． 【解答】解：（1）①点向右运动，点向左运动，且，， 点、点表示的数分别为、， 故答案为：，． ②点、点表示的数分别为、， ， 、两点之间的距离为． ③当，两点重合时，则点与点表示的数相等， ， 解得， 故答案为：2． （2），两点之间的距离不发生变化， 点表示的数为，点表示的数为， ， ，两点之间的距离不发生变化，，两点之间的距离是5． 【点评】此题重点考查整式的加减、数轴与绝对值、一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地有代数式表示运动过程中的点所对应的数是解题的关键． 16．（2023秋•朝阳区校级期末）如图，点，在数轴上表示的数分别是，10．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点运动，动点同时从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． （1）点到达点用时 　　秒，点到达点用时 　　秒； （2）点与点之间的距离为 　　，点表示的数为 　　；（用含的代数式表示） （3）当点与点之间的距离为14个单位长度时，求的值． 【分析】（1）由点，在数轴上表示的数分别是，10，得，即得点到达点用时9秒，点到达点用时6秒； （2）由已知直接可得点与点之间的距离为，点表示的数为； （3）表示的数为，点表示的数为，①点与点相遇之前，，可得；②点与点相遇之后，用6秒到达，只需运动14个单位即7秒． 【解答】解：（1）点，在数轴上表示的数分别是，10， ， 点到达点用时（秒，点到达点用时（秒， 故答案为：9，6； （2）由已知得：点与点之间的距离为，点表示的数为， 故答案为：，； （3）由已知得，表示的数为，点表示的数为， ①点与点相遇之前，， ； ②当点与点相遇后， 运动到需要的时间为6，当到达时，运动的距离为， 时，点与点之间的距离为12， 再运动2个单位，即再用1秒，运动的距离为14， ， 综上，，． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 17．（2023秋•九江期末）数轴上两点、，在左边，原点是线段上的一点，已知，且．点、对应的数分别是、，点为数轴上的一动点，其对应的数为． （1）　　，　　； （2）若，求的值； （3）若点以每秒2个单位长度的速度从原点向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒．请问在运动过程中，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【分析】（1）根据，且，求出和即可解答； （2）分三种情况分析，当点在点左侧时，当点位于、两点之间时，当点位于点右侧时，依次令，即可解答； （3）表示出秒后的各点，再计算，得出固定结果，即可说明． 【解答】（1），且， ，， ，， 故答案为：，3； （2）①当点在点左侧时，，不合题意，舍去． ②当点位于、两点之间时， 因为， 所以， 所以． ③当点位于点右侧时， 因为， 所以， 所以． 故的值为 或7． （3）秒后，点的值为，点的值为，点的值为， 所以 ． 所以的值为定值，不随时间变化而变化． 【点评】本题考查了数轴，线段的和差关系及动点的应用是解题关键． 18．（2023秋•三河市期末）如图，点，是数轴上的点，点在原点，．动点，分别从，出发沿数轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位长度和每秒1个单位长度． 设运动时间为秒，解答下列问题： （1）点表示的数是 　　；点表示的数是 　　，点表示的数是 　　．（点，点表示的数用含的式子表示） （2）若点是的中点，点是的中点，求的长． （3）直接写出为何值时，点与点相距4个单位长度． 【分析】（1）根据数轴和两点间的距离可求点表示的数，根据路程速度时间可求点表示的数，点表示的数． （2）先根据中点的定义求出点，点，再根据两点间的距离公式可求的长． （3）分两种情况讨论：①相遇前；②相遇后；根据点与点相距4个单位长度列出方程计算即可求解． 【解答】解：（1）点表示的数是8；点表示的数是，点表示的数是． 故答案为：8，，． （2）点是的中点，点是的中点， 表示的数是，表示的数是， 的长为． （3）①相遇前，依题意有： ， 解得； ②相遇后，依题意有： ， 解得． 故为2或6时，点与点相距4个单位长度． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及列代数式，解题的关键是找出关于的一元一次方程，注意分类思想的应用． 19．（2023秋•苏州期末）【发现猜想】 （1）如图1，已知线段上有一点，点为的中点，，，则的长度为 　　； 【探索归纳】 （2）如图1，已知线段上有一点，点为的中点，，，猜想的长度（用含、的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】 （3）如图2，已知数轴上有一点表示的数为，点的右侧有三点、、，，，．若点以每秒2个单位长度的速度向右运动，点以每秒3个单位长度的速度向左运动，点以每秒1个单位长度的速度向左运动；三个点同时运动，当点运动到点时，三个点都停止运动．设运动的时间为秒，试求当为何值时，、、中的一点是另外两点为端点的线段的中点？ 【分析】（1）设的长为未知数，因为点是的中点，所以可以得到：，列一元一次方程求解； （2）结合第一问和中点公式可以猜想出的长度（用、表示），然后直接证明； （3）已知表示的数然后根据，，分别计算出、、三点在数轴上表示的数，最后分情况结合中点公式列出一元一次方程求出时间． 【解答】（1）解：设的长为， ，， ， 点为的中点， ， ， ， ， 故答案为：10； （2）解：猜想， ，， 又， ， ； （3）解：表示的数是，，，， 在数轴上表示的数是5，表示的数是21，表示的数是17， 由题意可知，运动秒以后在数轴上表示的数为：，运动运动秒以后在数轴上表示的数为：，运动运动秒以后在数轴上表示的数为：， 又点运动到点时，三个点都停止运动， ， ， 的取值范围为：， ①当点是线段的中点时：， ， ②当点是线段的中点时：， ， ③当点是线段的中点时：， ， 答：当为：，，8时，、、中的一点是另外两点为端点的线段的中点． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，线段中点公式，关键是要运用中点公式建立一元一次方程． 20．（2023秋•钟山区期末）数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美的结合，如：数轴上点表示的数为，点表示的数为，则，两点之间的距离为．如图所示，点，，为数轴上的三个点，表示的数分别为，，，满足，且为的倒数．动点，分别从点，出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，三个动点同时出发，设运动的时间为秒，请回答下列问题： （1）直接写出，，的值：　 　，　　，　　； （2）当时，求的值； （3）在运动过程中，的值是否发生变化？若发生变化，请用含的式子表示；若不发生变化，请求出的值． 【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可求出的值及，由为的倒数，可求出的值，进而可求出的值； （2）当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是，进而可得出，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，进而可得出，，二者作差后，即可得出结论． 【解答】解：（1）， ，， ，； 为的倒数， ， ． 故答案为：，，3； （2）当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是， ． 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：的值为3或； （3）不会发生变化， 当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ，， ， 的值不会发生变化，． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、偶次方的非负性、绝对值的非负性以及列代数式，解题的关键是：（1）利用偶次方、绝对值的非负性及为的倒数，求出，，的值；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出，． 21．（2023秋•莲池区期末）已知数轴上三点、、表示的数分别为，0，5，点为数轴上任意一点，其表示的数为． （1）的长为 　　个单位长度． （2）当点到点、点的距离相等时，求的值． （3）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是8个单位长度？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （4）如果点以每秒1个单位长度的速度从点沿数轴向左运动，同时点和点分别从点和点出发以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度也沿着数轴向左运动，设运动时间为秒，当点到点、点的距离相等时，直接写出的值． 【分析】（1）根据数轴上点的位置进行相减即可． （2）根据点到点、点的距离相等，列出方程进行解答． （3）分情况讨论，列出方程求解． 【解答】解：（1）， 故答案为：6． （2）由题知，只有点位于线段上才成立， ， ． （3）存在． ①在左侧时， ， ； ②在、之间时， ， 解得此方程无解； ③在右侧时， ， ． 综上，当或6时，到、距离和为8． （4）点到点，的距离相等． ． 运动时间为秒时，点表示数为，点表示数为，点表示数为． ①当点和点在点同侧时，点和点重合． ，解得：．符合题意． ②当点和点在点异侧时，点位于点的左侧，点位于点的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点位于点的左侧，且点运动速度大于点运动速度，所以点永远位于点的左侧）． 则． ． ．解得：． 综上所述，或． 【点评】本题考查了一元一次方程在数轴上的应用，解题关键在于列出情况求值． 22．（2023秋•怀化期末）如图，数轴上，两点表示的有理数分别为、，满足，原点是线段上的一点． （1）　　，　　，　　； （2）若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒，当为何值时，？ （3）若点、仍按（2）中速度运动，当点与点重合时停止运动，当点到达点时，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点追上点后立即返回，以同样的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以同样的速度向点运动，如此往返，直到点，停止时，点也停止运动，求在此过程中点行驶的总路程，并直接写出点最后位置在数轴上所对应的有理数． 【分析】（1）根据非负数的性质求出、的值，利用两点间的距离公式求出； （2）先分别表示运动秒后点，在数轴上表示的数，再根据列出方程求解即可； （3）点运动的时间就是点从点开始到追到点的时间，设点运动的时间为秒，列式为，解出即可解决问题． 【解答】解：（1）， ，， ，， ． 故答案为：，4，12； （2）动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度， 运动时间为秒时，点，在数轴上表示的数分别为，． ， ， 解得． 故当为3时，； （3）当点到达点时，，此时，，即点所表示的实数为8， 如图，设点运动的时间为秒， 由题意得：， 解得：， 此时，点表示的实数为，所以点表示的实数也是16， 点行驶的总路程为：， 答：点行驶的总路程为24，点最后位置在数轴上对应的实数为16． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，数轴上点的表示，非负数的性质，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点间的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值． 23．（2023秋•芝罘区期末）如图，数轴上点、之间的距离为20个单位长度，点表示的有理数是8．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．与此同时，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点以每秒5个单位长度的速度在、之间往返运动．设运动时间为秒． （1）点表示的数是 　　，点表示的数是 　　；（用含的代数式表示） （2）求经过多长时间，、两点相遇？此时点一动运动了多少个单位长度？ （3）求经过多长时间，点到原点的距离是点到原点距离的2倍？ 【分析】（1）由题意得出数轴上点表示的数是，由两点间的距离公式得到点所表示的数； （2）设点与运动秒时重合，点对应的数为，点对应的数为，得出方程，解方程即可； （3）分两种情况：当点在原点左侧、点在原点右侧时，列出方程；当点和点都在原点左侧且、未相遇时，列出方程． 【解答】解：（1）数轴上点表示的数为8，点是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为20， 数轴上点表示的数是， 动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， 点对应的数是：； 故答案为：，； （2）根据题意，得， 解得：． 答：经过，、两点相遇； 因为． 所以点一共运动了10个单位长度； （3）当点在原点左侧、点在原点右侧时，列出方程： ． 解得； 当点和点都在原点左侧且、未相遇时，列出方程： ． 解得． 所以，经过1秒或3.5秒，点到原点的距离是点到原点距离的2倍． 【点评】此题考查的知识点是一元一次方程的应用与两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键． 24．（2023秋•黄石期末）如图，已知数轴上点，是数轴上的一点，，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）写出数轴上点表示的数为　　，经秒后点走过的路程为　 　（用含的代数式表示）； （2）若在动点运动的同时另一动点从点也出发，并以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，问经多少时间点就能追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【分析】（1）设出点表示的数为，由数轴上两点间的距离即可得到的方程，解方程即可得出，由路程速度时间可得出点走过的路程； （2）设经秒后点追上点，根据题意可得，关于的一元一次方程，解方程即可得出时间； （3）由点位置的不同分两种情况考虑，依据中点的定义，可以找到线段间的关系，从而能找出的长度． 【解答】解：（1）设点表示，则有 ，解得． 动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 经秒后点走过的路程为． 故答案为：；． （2）设经秒后点追上点，根据题意得： ， 解得． 答：经过6秒时间点就能追上点． （3）不论点运动到哪里，线段都等于6． 分两种情况分析： ①点在线段上时，如图1， ； ②点在线段的延长线上时，如图2， ． 综上可知，不论运动到哪里，线段的长度都不变，都等于6． 【点评】本题考查了数轴、中点依据解一元一次方程，解题的关键是：（1）找出关于的一元一次方程；（2）找出关于时间的一元一次方程；（3）由中点定义找到线段间的关系． 25．（2023秋•涵江区期末）已知数轴上两点，对应的数分别为，2，点为数轴上任意一点，其对应的数为． （1）的长为 　　． （2）数轴上是否存在点，使点到点，点的距离之和是18？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）如果点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿数轴向右运动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达点时，点与同时停止运动，设点的运动时间为秒． ①求出点与点相遇时的值； ②当点，点与点三个点中，其中一个点是另两个点构成线段的中点时，直接写出的值． 【分析】（1）的长为，即可解答； （2）可分为点在点的左侧和点在点的右侧，点在点和点之间三种情况列方程求解即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程解答即可． 【解答】解：（1）的长为， 故答案为：12； （2）存在． ①当点在点的左侧时． 根据题意得：， 解得． ②在点和点之间时， 则， 方程无解，即点不可能在点和点之间． ③点在点的右侧时， ， 解得． 的值是或5； （3）由题意可得． ①秒后，点表示的数是，点表示的数是， 由题意可得， 解得， 答：点与点相遇时的值为4； ②当时，，解得（舍去）或12（舍去）； 当时，，解得（舍去）或3； 当时，，解得或0（舍去）； 综上，或4.8． 【点评】本题主要考查数轴的应用以及一元一次方程的应用，进行分类讨论是解题关键． 26．（2023秋•成都期末）已知：是最小的正整数，且、满足，请回答问题 （1）请直接写出、、的值． 　　，　　，　　 （2）、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程） （3）在（1）（2）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【分析】（1）根据是最小的正整数，即可确定的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得，，的值； （2）根据的范围，确定，，的符号，然后根据绝对值的意义即可化简； （3）先求出，，从而得出． 【解答】解：（1）是最小的正整数，． 根据题意得：且， ，，． 故答案为：；1；5； （2）当时，，，， 则： ； 当时，，，． ； （3）不变．理由如下： 秒时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为． ，， ， 即的值不随着时间的变化而改变． （另解）点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动， 、之间的距离每秒钟增加3个单位长度； 点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动， 、之间的距离每秒钟增加3个单位长度． 又， 的值不随着时间的变化而改变． 【点评】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． $$