专题11 全等三角形中的探究型问题（4大基本题型） 期末专项训练 2024～2025学年 北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题11】 全等三角形中的探究型问题（4大基本题型） 【核心知识点总结】 1. 运动型问题 （1） 动态元素分析：涉及动点、动线或旋转图形的全等问题，需关注位置变化中的全等条件（如SSS、SAS、ASA等） （2） 时间变量引入：将运动时间转化为线段长度或角度变化的代数表达式，利用全等三角形性质建立方程 （3） 分类讨论：根据动点位置（如线段上、延长线上）或速度差异，分情况讨论全等的可能性 2. 开放型问题 （1） 条件开放：题目中缺失部分条件（如边、角相等），需逆向思维补全条件（如添加AD=AE或角平分线） （2） 结论开放：根据已知条件推导多个结论（如全等、垂直、角平分线），需全面分析图形特征 （3） 构造性开放：通过作辅助线（如倍长中线、截长补短）构造全等三角形 3. 存在型问题 （1） 存在性判定：判断特定条件下是否存在全等三角形（如动点使△BPD≌△CQP），需假设存在并验证条件 （2） 参数范围分析：结合几何不等式（如三角形三边关系）确定参数取值范围 4. 猜想型问题 （1） 图形变换猜想：通过平移、旋转、对称等变换后的图形特征，提出全等猜想并证明 （2） 特殊位置验证：在动态过程中寻找特殊点（如中点、交点）验证猜想 【技巧总结】 1. 运动型问题 （1） 轨迹分析法：标记动点运动路径，确定对应边、角的变化规律（如线段和差关系） （2） 动态转静态：截取特定时间点的图形，转化为静态全等判定 2. 开放型问题 （1） 条件补全策略：优先补充公共边、公共角或对称元素（如轴对称补垂线） （2） 结论发散思维：从全等性质延伸至线段垂直、角平分线等关联结论 3. 存在型问题 （1） 假设反证法：假设满足条件的点存在，通过全等推导矛盾或验证合理性 4. 猜想型问题 （1） 模式识别：观察图形对称性、特殊角度（如60°、90°），提出全等猜想 （2） 逆向验证：通过全等三角形性质反推猜想是否成立 【易错点】 1. 运动型问题 （1） 忽略对应边随运动变化的可能性（如速度不同导致对应边错位） （2） 未分类讨论不同运动场景（如点在线段上或延长线上） 2. 开放型问题 （1） 添加无关条件（如误用SSA判定）或遗漏隐含条件（如公共边） （2） 结论表述不严谨（如未说明对应顶点顺序） 3. 存在型问题 （1） 忽略多解情况（如动点在不同位置均满足条件） （2） 未结合几何约束（如角度范围、线段长度限制）导致错误解 4. 猜想型问题 （1） 猜想脱离图形本质（如未考虑旋转角一致性） （2） 证明过程跳步（如未严格按全等判定条件书写） 【例1】运动型问题 【典例】如图，已知，，，直角的顶点P是的中点，两边，分别交，于点E，F，下列结论正确的有（　　） A． B．是等腰直角三角形 C． D．当在内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合）， 【答案】ABC 【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由，，得，因为直角的顶点P是的中点，所以，，可证明，则，，所以是等腰直角三角形，可判断A正确，B正确；由，可推导出，可判断C正确；由，得，可判断D错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，，点P是的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，故A正确； ∴是等腰直角三角形，，故B正确； ∴，故C正确； ∵，， ∴， ∴，故D不成立． 故选ABC． 【变式1】【教材呈现】以下是华师版七年级下册数学教材第122页练习题第2题的内容 “如图所示，，都是等腰直角三角形，，画出以点A为旋转中心、逆时针旋转后的三角形．” (1)【操作发现】请在图1中画出以点A为旋转中心、逆时针旋转后的三角形，写出旋转前后CE与其对应线段的数量关系和位置关系：______； (2)【探究证明】如图2所示，把绕点A顺时针旋转得到，设，分别与交于点F，G，判断和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)【问题解决】如图3所示，把绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在上，与交于点F，若与关于直线对称，且，、则： ①______°； ②______°； ③线段的长是______． 【答案】(1)，． (2)，．理由见解析 (3)40，30，7． 【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）结论：，．利用旋转的性质及全等三角形的性质解决问题即可． （3）利用旋转变换的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理解决问题即可． 【详解】（1）如图，即为所求． ∵绕点A顺时针旋转90°得到， ∴， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）结论：，． 理由：如图②中， ∵绕点A顺时针旋转90°得到， ∴， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴． 故答案为：，． （3）如图③中， 由旋转的性质可知，， ∴ ∵与关于对称， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， ∵， ∴， 故答案为：40，30，7． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理熟练掌握性质定理是解题的关键． 【变式2】把两个全等的角三角形的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)如图1，若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，当，时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到， 使， 证明，推出， ， 证， 推出即可； （2）延长到， 使， 证，推出， ， 证， 推出即可； （3）在截取， 连接， 证，推出，， 证， 推出即可． 【详解】（1）， 证明： 延长到， 使， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）， 证明： 延长到， 使， 连接， 由（1）知： ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）， 证明： 在截取， 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系． 小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是 ； 探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转．它的两边分别交、于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由； 探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转．它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】问题背景:  探究延伸:，理由见解析  探究延伸2：，理由见解析  实际应用：海里 【分析】本题属于四边形 综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质 ，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，解答时注意类比思想的灵活应用． 问题背景： 延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是：； 探究延伸： 延长到， 使， 连接， 先证明， 再证明， 可得出结论： ； 探究延伸： 延长到，使得，连接，先证明， 即可得到， 再证明， 即可得出； 实际应用：连接，延长交的延长线于，根据题意可转化为如下的数学问题：在四边形中， ， 的两边分别交， 于，， 求的长．再根据探究延伸的结论：，即可得到两舰艇之间的距离． 【详解】解：问题背景： 如图1， 延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是：； 故答案为：； 探究延伸： 上述结论仍然成立，即，理由如下： 如图， 延长到， 使， 连接， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵， 即 ， ∴可得出结论： 探究延伸： 上述结论仍然成立，即 理由：如图，延长到，使得，连接， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 实际应用： 如图，连接，延长交的延长线于， 因为舰艇甲在指挥中心 (处)北偏西的处.舰艇乙在指挥中心南偏东的处，所以， 因为指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为， 所以， 所以. 依题意得， ， 所以， 因此本题的实际的应用可转化为如下的数学问题： 在四边形中， ， 的两边分别交， 于，， 求的长． 根据探究延伸的结论可得：， 根据题意得， (海里) ，(海里) ， 所以 (海里) . 答：此时两舰艇之间的距离为海里． 【例2】开放型问题 【典例】如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，那么添加下列选项中的条件后，仍然不能判定出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．先根据已知条件可知，，再选择全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即． 可知，． 添加时，则，所以选项A不符合题意； 添加，则，所以选项B不符合题意； 添加时，则，所以选项C不符合题意； 添加时，由不能判断，所以选项D符合题意． 故选：D． 【变式1】如图，与相交于点A，与相交于点B，，垂足为P．现要推理得出，若只添加一个条件，这个条件可以是 ，其判定依据为 ．（不作辅助线，写出一个即可）． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据已知条件，得到，且，根据全等三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，； 故答案为：，（答案不唯一） 【变式2】如图，，，分别为，上的点，与交于点，连接．要，还须添加一个条件，如添加，可运用，证得．请写出添加的其它一个条件，仍能证得： ．（说明：原图不再添加点和线，要求写出所有可能） 【答案】，，，，，， 【分析】本题考查全等三角形的性质和判断，掌握判断定理是解题关键；要，已知一组对应边相等和一个公共角，再添加一个条件可以是角相等，或、，依据是或，也可以是间接条件，得出，如，能间接证出和再有一组角相等或一组边相等即可 【详解】解：添加，依据是， 添加，依据是， 添加，可先得出，从而得出，然后依据可证； 添加可得，则依据证明； 添加可得，则依据可证； 添加，先证，从而得出，进而得出，依据是， 添加，可得出，进而，依据， 故答案为：，，，，，，． 【变式3】综合与探究 [问题情境] （1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且． 求证： 小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质， 所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出， 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程． [实践探究] （2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于． ①求证：； ②求证：． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析． 【分析】（1）根据题干所给证明方法完善证明过程即可得解； （2）①由得，由，，根据同角的余角相等即可得解；②过作交的延长线于点，则，进而得，证明，得，，再证明得，即可得证． 【详解】（1）证明∶小明∶过点作的延长线于点， ∵平分，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴； 小丽∶延长至，使，连接， ∵， ∴， ∵平分 ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过作交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵，，， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，中点定义，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【例3】存在型问题 【典例】如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿直线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)若，试求动点的运动时间的值； (2)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1)动点的运动时间或； (2)或时，与全等． 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题； （2）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值；当点在点下方时，进行求解即可． 【详解】（1）解：作，，则， ， ， 当点在点左侧时， ∴, 即， 解得：； 当点在点右侧时，， ∴，解得， 综上动点的运动时间或； （2）当点在点上方时， ，， ∴当时，， 即或， 解得：或（舍去）， 当点在点下方时， ， ∴， ， ∴； 答：或时，与全等． 【变式1】如图，在长方形中，．动点P从点B出发，沿方向以的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以的速度向点D匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．解答下列问题： （1）当点C在线段的垂直平分线上时，求t的值； （2）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值，并判断此时和的位置关系；若不存在，请说明理由； （3）设四边形的面积为，求y与t之间的关系式． 【答案】（1）2；（2）存在，t=1，AP⊥PQ；（3） 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得PC=CQ，列方程即可求解； （2）由全等可得、，列方程即可求解，此时可得，即可判定和的位置关系； （3）四边形的面积为长方形的面积减去和的面积，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得，BP=CQ=2t ∴PC=BC－BP=8－2t 若点C在线段PQ的垂直平分线上 ∴PC=CQ 即8－2t=2t ∴t=2 （2）由，可得， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ （3）由图形可得：四边形的面积为长方形的面积减去和的面积，即 ∵，， ∴ 【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质、全等三角形的性质、割补法求解不规则图形的面积，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B=50°，点D在线段BC上运动（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝100°时，∠BAD＝　 　°，∠DEC＝　 　°； （2）当DC＝AB时，△ABD和△DCE是否全等？请说明理由； （3）在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形的情形？若存在，请直接写出此时∠BDA的度数，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）30；100；（2）全等，理由见解析；（3）存在，∠BDA的度数为100°或115°． 【分析】（1）利用邻补角的性质、等边对等角和三角形内角和定理解题即可； （2）利用∠DEC+∠EDC＝130°，∠ADB+∠EDC＝130°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AAS即可得出△ABD≌△DCE； （3）根据等腰三角形的腰的情况分类讨论，再利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质即可分别求出∠BDA. 【详解】解：（1）∵在△BAD中，∠B＝∠50°，∠BDA＝100°，∠ADE＝50°， ∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝30°，∠EDC＝180°﹣∠BDA﹣∠ADE=30°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝50°， ∴∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣50°﹣30°＝100°， 故答案为：30，100； （2）∵∠B＝∠C＝50°， ∴∠DEC+∠EDC=180°﹣∠C＝130°， 又∵∠ADE＝50°， ∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣∠ADE =130°， ∴∠ADB＝∠DEC， 在△ABD和△DCE中， ∴△ABD≌△DCE（AAS）． （3）当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数为100°或115°， ①当ED=EA时， ∴∠DAE＝∠EDA=50°， ∴∠BDA＝∠C＋∠DAE＝100°； ②当DA=DE时， ∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝65°， ∴∠BDA＝∠C＋∠DAE＝115°， ③当AD=AE时， ∠ADE=∠AED=50° ∵∠C=50° ∠AED是△EDC的外角 ∴∠AED＞∠C，与∠AED=50°矛盾 所以此时不成立； 综上所述：当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数为100°或115°． 【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和三角形外角的性质，掌握等边对等角、利用AAS判定两个三角形全等和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 【变式3】【问题发现】 （1）如图①，在中，过点作，垂足为点，．若，则的值为________． 【问题探究】（2）如图②，在中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，. 连接、，求的周长； 【拓展应用】（3）如图③，是一个游乐场的平面示意图，其中，，平分交于点．现计划分别在处各修建一个游客休息区，、分别在小路、上，且，连接、，由规划得知的最小值为．现要继续在点、、处修建游乐区，点在上，且在线段的垂直平分线上，点、分别是、上的动点．沿、修建轨道交通以方便游客游玩．为节约成本要求的值最小，请问的值是否存在最小值；若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4；（2）30；（3）1． 【分析】（1）直接证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）由垂直平分线的性质可得、，再根据三角形的周长公式及等量代换即可解答； （3）由题意可得，如图∶作线段，使， ，连接， 可证是等边三角形可得，再证明可得，进而得到的最小值为，即，即；如图：作的垂直平分线交与M，即，作点F关于的对称点R，连接，则；根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可得点R在直线上；然后根据三角形的三边关系可得当共线且直线垂直于，即点R和点O重合，有最小值，最后根据等腰三角形的对称性解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． （2）解：∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴， ∴的周长为． （3）解∶∵，， ∴， ∵平分， ∴， 如图∶作线段，使， ，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．， ∵ 的最小值为，即 ∴． 如图：作的垂直平分线交与M，即，作点F关于的对称点R，连接，则 ∵平分，点F关于的对称点R， ∴点R在直线上， ∵， ∴当共线且直线垂直于， ∴点R和点O重合，即时，有最小值， ∵平分，点R在直线上，点F关于的对称点R， ∴ 【点睛】本题主要考出了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 【例4】猜想型问题 【典例】如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质． （1）连接、，先根据线段垂直平分线的性质的性质得，再根据角平分线的性质得，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）证明得，再结合（1）的结论，得； （3）根据（2）的结论得，再根据可得答案. 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵，D为中点， ∴， ∵，，且平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 即； （3）解：由（2）知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式1】长方形纸片的一角任意折向长方形内，使点B落在点的位置，折痕为，G为边上一点，再把折叠，使点C落在点的位置，折痕为． (1)如图1，当折叠得到的与没有重叠部分时． ①若，则_______； ②若，求的度数． (2)如图2，当折叠得到的与有重叠部分时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查折叠的性质，角度间的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）①根据折叠的性质可得，进而求出，再根据即可求解；②同理①得，再根据即可求解； （2）由折叠的性质可得，根据题意可得，再根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴； ②同理①得， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∴． 【变式2】【尝试探究】如图1，已知在正方形中，点、分别在边、上运动． (1)当点、分别为、中点时，求证：； (2)当点、分别在边、上运动，时，探究、和的数量关系，加以说明； (3)如图，当点、分别在射线、上运动，时， ①试问中的结论还成立吗？请加以说明； ②直接写出、和之间的数量关系； 【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图4，已知是边长为的等边三角形三边相等，三个内角均为，，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，求的周长． 【答案】【尝试探究】（1）见解析；（2），见解析；（3）①结论不成立，见解析；②，见解析；【模型建立】成立，见解析；【拓展应用】 【分析】[尝试探究]（1）根据正方形的性质得，利用证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）把绕点顺时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）①把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； ②根据全等三角形的性质即可得出、和之间的数量关系； [模型建立]同理作辅助线，将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，证明，同理可以得出； [拓展应用]把绕点顺时针旋转至，可使与重合，证出，进而得到，即可得的周长． 【详解】[尝试探究]（1）证明：四边形是正方形， ，， 点、分别为、中点， ，， ， ， ； （2）解：． 证明：如图，把绕点顺时针旋转至，可使与重合， ， ，点、、共线， ，， ，即． 在和中， ， ， ， ； （3）解：①（2）中的结论不成立． 证明：如图所示． ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合， ， 点、、在一条直线上． ，，． 又， ． ， ． ． 在和中， ， ． ． ， ， ∴（2）中的结论不成立，、和的数量关系为； ②， 证明：如图所示． 由①知，， ∴， ∴， ∴； [模型建立] 成立，如图，． 证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合， 由旋转得：，，， ， 同理得：点，，在同一条直线上， ， ， ， ， ，， ， ， ， ∴（2）中的结论还成立，； [拓展应用] 解：是边长为的等边三角形， ，， ， ， ，， 把绕点顺时针旋转至，可使与重合， 由旋转得：，，， ， 同理得：点，，在同一条直线上， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的周长． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质等知识，解此题的关键是根据旋转的性质正确作出辅助线得出全等三角形． 【变式3】如图，在等腰三角形中，，M为平面内一点． (1)当点M在的延长线上时，连接； ①如图1，若，交于点N，，求的长； ②如图2，若，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接，若G为的中点，连接，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)如图3，若，点M在的角平分线上运动（不与点B重合），取中点E，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接，，设，请用含的式子表示的度数． 【答案】(1)①，②，理由见解析 (2)当点在上方时，；当点在与之间时，；当点在下方时， 【分析】（1）①证即可得解； ②见中点构造倍长中线，延长至点，使得，连接，，易证，再证，得到是等边三角形，即可得解； （2）分类讨论，当点在上方时，当点在与之间时，当点在下方时，由题易知是等边三角形，在下方作等边，连接，易证，从而得到垂直平分，即可得解． 【详解】（1）解：解：①在 中，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下， 如图，延长至点，使得，连接，， ∵为的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）∵，，点M在的角平分线上 ∴是等边三角形， ∴， 当点在上方时，如图，在下方作等边，连接， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，，则平分， ∴垂直平分，则， ∴，， ∴； 当点在与之间时，如图，在下方作等边，连接， 同理可证， ∴，，则平分， ∴垂直平分，则， ∴，， ∴； 当点在下方时，如图，在下方作等边，连接， 同理可证， ∴，，则平分， ∴直线垂直平分，则， ∴，， ∴． 综上，当点在上方时，；当点在与之间时，；当点在下方时，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题11】 全等三角形中的探究型问题（4大基本题型） 【核心知识点总结】 1. 运动型问题 （1） 动态元素分析：涉及动点、动线或旋转图形的全等问题，需关注位置变化中的全等条件（如SSS、SAS、ASA等） （2） 时间变量引入：将运动时间转化为线段长度或角度变化的代数表达式，利用全等三角形性质建立方程 （3） 分类讨论：根据动点位置（如线段上、延长线上）或速度差异，分情况讨论全等的可能性 2. 开放型问题 （1） 条件开放：题目中缺失部分条件（如边、角相等），需逆向思维补全条件（如添加AD=AE或角平分线） （2） 结论开放：根据已知条件推导多个结论（如全等、垂直、角平分线），需全面分析图形特征 （3） 构造性开放：通过作辅助线（如倍长中线、截长补短）构造全等三角形 3. 存在型问题 （1） 存在性判定：判断特定条件下是否存在全等三角形（如动点使△BPD≌△CQP），需假设存在并验证条件 （2） 参数范围分析：结合几何不等式（如三角形三边关系）确定参数取值范围 4. 猜想型问题 （1） 图形变换猜想：通过平移、旋转、对称等变换后的图形特征，提出全等猜想并证明 （2） 特殊位置验证：在动态过程中寻找特殊点（如中点、交点）验证猜想 【技巧总结】 1. 运动型问题 （1） 轨迹分析法：标记动点运动路径，确定对应边、角的变化规律（如线段和差关系） （2） 动态转静态：截取特定时间点的图形，转化为静态全等判定 2. 开放型问题 （1） 条件补全策略：优先补充公共边、公共角或对称元素（如轴对称补垂线） （2） 结论发散思维：从全等性质延伸至线段垂直、角平分线等关联结论 3. 存在型问题 （1） 假设反证法：假设满足条件的点存在，通过全等推导矛盾或验证合理性 4. 猜想型问题 （1） 模式识别：观察图形对称性、特殊角度（如60°、90°），提出全等猜想 （2） 逆向验证：通过全等三角形性质反推猜想是否成立 【易错点】 1. 运动型问题 （1） 忽略对应边随运动变化的可能性（如速度不同导致对应边错位） （2） 未分类讨论不同运动场景（如点在线段上或延长线上） 2. 开放型问题 （1） 添加无关条件（如误用SSA判定）或遗漏隐含条件（如公共边） （2） 结论表述不严谨（如未说明对应顶点顺序） 3. 存在型问题 （1） 忽略多解情况（如动点在不同位置均满足条件） （2） 未结合几何约束（如角度范围、线段长度限制）导致错误解 4. 猜想型问题 （1） 猜想脱离图形本质（如未考虑旋转角一致性） （2） 证明过程跳步（如未严格按全等判定条件书写） 【例1】运动型问题 【典例】如图，已知，，，直角的顶点P是的中点，两边，分别交，于点E，F，下列结论正确的有（　　） A． B．是等腰直角三角形 C． D．当在内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合）， 【变式1】【教材呈现】以下是华师版七年级下册数学教材第122页练习题第2题的内容 “如图所示，，都是等腰直角三角形，，画出以点A为旋转中心、逆时针旋转后的三角形．” (1)【操作发现】请在图1中画出以点A为旋转中心、逆时针旋转后的三角形，写出旋转前后CE与其对应线段的数量关系和位置关系：______； (2)【探究证明】如图2所示，把绕点A顺时针旋转得到，设，分别与交于点F，G，判断和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)【问题解决】如图3所示，把绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在上，与交于点F，若与关于直线对称，且，、则： ①______°； ②______°； ③线段的长是______． 【变式2】把两个全等的角三角形的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)如图1，若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，当，时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【变式3】问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系． 小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是 ； 探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转．它的两边分别交、于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由； 探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转．它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离． 【例2】开放型问题 【典例】如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，那么添加下列选项中的条件后，仍然不能判定出的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，与相交于点A，与相交于点B，，垂足为P．现要推理得出，若只添加一个条件，这个条件可以是 ，其判定依据为 ．（不作辅助线，写出一个即可）． 【变式2】如图，，，分别为，上的点，与交于点，连接．要，还须添加一个条件，如添加，可运用，证得．请写出添加的其它一个条件，仍能证得： ．（说明：原图不再添加点和线，要求写出所有可能） 【变式3】综合与探究 [问题情境] （1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且． 求证： 小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质， 所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出， 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程． [实践探究] （2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于． ①求证：； ②求证：． 【例3】存在型问题 【典例】如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿直线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)若，试求动点的运动时间的值； (2)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【变式1】如图，在长方形中，．动点P从点B出发，沿方向以的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以的速度向点D匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．解答下列问题： （1）当点C在线段的垂直平分线上时，求t的值； （2）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值，并判断此时和的位置关系；若不存在，请说明理由； （3）设四边形的面积为，求y与t之间的关系式． 【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B=50°，点D在线段BC上运动（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝100°时，∠BAD＝　 　°，∠DEC＝　 　°； （2）当DC＝AB时，△ABD和△DCE是否全等？请说明理由； （3）在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形的情形？若存在，请直接写出此时∠BDA的度数，若不存在，请说明理由． 【变式3】【问题发现】 （1）如图①，在中，过点作，垂足为点，．若，则的值为________． 【问题探究】（2）如图②，在中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，. 连接、，求的周长； 【拓展应用】（3）如图③，是一个游乐场的平面示意图，其中，，平分交于点．现计划分别在处各修建一个游客休息区，、分别在小路、上，且，连接、，由规划得知的最小值为．现要继续在点、、处修建游乐区，点在上，且在线段的垂直平分线上，点、分别是、上的动点．沿、修建轨道交通以方便游客游玩．为节约成本要求的值最小，请问的值是否存在最小值；若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【例4】猜想型问题 【典例】如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 【变式1】长方形纸片的一角任意折向长方形内，使点B落在点的位置，折痕为，G为边上一点，再把折叠，使点C落在点的位置，折痕为． (1)如图1，当折叠得到的与没有重叠部分时． ①若，则_______； ②若，求的度数． (2)如图2，当折叠得到的与有重叠部分时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【变式2】【尝试探究】如图1，已知在正方形中，点、分别在边、上运动． (1)当点、分别为、中点时，求证：； (2)当点、分别在边、上运动，时，探究、和的数量关系，加以说明； (3)如图，当点、分别在射线、上运动，时， ①试问中的结论还成立吗？请加以说明； ②直接写出、和之间的数量关系； 【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图4，已知是边长为的等边三角形三边相等，三个内角均为，，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，求的周长． 【变式3】如图，在等腰三角形中，，M为平面内一点． (1)当点M在的延长线上时，连接； ①如图1，若，交于点N，，求的长； ②如图2，若，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接，若G为的中点，连接，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)如图3，若，点M在的角平分线上运动（不与点B重合），取中点E，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接，，设，请用含的式子表示的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$