精品解析：四川省江油中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

江油中学2024级高一上期12月月考 数学试题 一、选择题.本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求. 1. 设集合，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的基本运算求解即可. 【详解】全集，集合， 则集合，且， 所以集合. 故选：B. 2. “α”是“cosα”成立的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】“α”能推出“cosα”，“cosα”不能推出“α”，即可得出关系. 【详解】由题若“α”，则“cosα”； 若“cosα”，则，不能推出“α”， 所以“α”是“cosα”成立的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】此题考查充分条件和必要条件辨析，关键在于准确判断角与三角函数值之间的关系. 3. 已知则等于（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域代入求值即可. 【详解】根据题意，得， 所以. 故选：. 4. 下列函数中，既是偶函数又在上为减函数的是（   ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由解析式判断函数奇偶性、单调性. 【详解】对于A，不是偶函数，故A错误； 对于B，不是偶函数，故B错误； 对于C，当时，，即在上不为减函数，故C错误； 对于D，经检验是偶函数又在上为减函数，故D正确. 故选：D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 确定奇偶性，排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得出正确结论． 【详解】记，函数定义域为，则，函数为奇函数，排除BC，又时，，排除D． 故选：A． 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 6. 设，，，则的大小关系是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过构造指数函数和对数函数比较大小. 【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即， 因为函数在上单调递减，且，所以，即； 因为函数在上单调递增，且，所以，即； 所以. 故选B. 7. 已知函数，其图象无限接近直线但又不与该直线相交，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定的值，再解指数不等式即可. 【详解】由题意：当时，， 因为，当时，，所以. 所以， 所以. 故选：B 8. 已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2﹣x+a，若函数g（x）=f（x）﹣x的零点恰有两个，则实数a的取值范围是 A. a＜0 B. a≤0 C. a≤1 D. a≤0或a=1 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：要使函数g（x）=f（x）﹣x的零点恰有两个，则根据函数是奇函数，则只需要当x＞0时，函数g（x）=f（x）﹣x的零点恰有一个即可． 解：因为f（x）是奇函数，所以g（x）=f（x）﹣x也是奇函数， 所以要使函数g（x）=f（x）﹣x的零点恰有两个， 则只需要当x＞0时，函数g（x）=f（x）﹣x的零点恰有一个即可． 由g（x）=f（x）﹣x=0得，g（x）=x2﹣x+a﹣x=x2﹣2x+a=0， 若△=0，即4﹣4a=0，解得a=1． 若△＞0，要使当x＞0时，函数g（x）只有一个零点，则g（0）=a≤0， 所以此时，解得a≤0． 综上a≤0或a=1． 故选D． 考点：函数的零点． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分. 9. 对于实数、、，下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用作差法可判断AD选项；利用不等式的基本性质可判断BC选项. 【详解】对于A选项，因为，则，故，A错； 对于B选项，若，则，由不等式的基本性质可得，B对； 对于C选项，若，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，若，则， 所以，D对. 故选：BCD. 10. 下列结论正确的是（   ） A. 若角为锐角，则角为钝角 B. 是第三象限角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 D. 周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是2 rad 【答案】CD 【解析】 【分析】利用举反例可判断A项错误；找到与终边相同的角即可判断B项；利用扇形弧长与面积公式，借助于二次函数的值域即可判断C，D两项. 【详解】对于A，若取为锐角，但也是锐角，故A错误； 对于B，，即与终边相同，为第二象限角，故B错误； 对于C，设扇形半径为，依题，，解得， 则扇形面积为，故C正确； 对于D，设扇形半径为，弧长为，则， 扇形面积为， 故当时，扇形面积最大，此时，，扇形圆心角为rad，故D正确. 故选：CD. 11. 已知函数，若有三个不等实根，，，且，则（    ） A. 的单调递增区间为 B. a的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 函数有4个零点 【答案】ACD 【解析】 【详解】作出的图象，结合图象逐一判断即可． 【分析】作出函数的图象，如图所示：    对于A，由图象可得的单调递增区间为，故A正确； 对于B，因为有三个不等实根，即与有三个不同交点，所以，故B不正确； 对于C，则题意可知：，，所以， 所以，故C正确； 对于D，令，则有，令，则有或， 当时，即，即，解得； 当时，即，所以或，解得，或或， 所以共有4个零点，即有4个零点，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______ 【答案】7 【解析】 【分析】分别用指数幂运算法则、对数恒等式、对数运算法则算出、、的值，再代入原式得出结果. 【详解】第一步：根据指数幂的运算法则， 第二步：根据对数恒等式， 第三步：根据对数运算法则， 第四步：将上述计算结果代入原式可得： 故答案为：. 13. 已知且，则 的最小值为_______ 【答案】4 【解析】 【分析】利用基本不等式结合指数的运算，即可得解. 【详解】由题意，，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4. 故答案为：4. 14. 若函数，则的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】先构造函数，通过分析的奇偶性与单调性，再结合已知条件求解不等式的解集. 【详解】构造函数并分析其性质， 设，其定义域为. 判断奇偶性：. 对进行变形，. 所以，则是奇函数.  判断单调性： 对于，因为在上单调递增， 且对数函数在上单调递增，根据复合函数“同增异减”的性质， 可知在上单调递增. 对于在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递增. 所以在上单调递增.   将进行转化， 已知，则. 所以可转化为，即. 因为是奇函数，所以.  又因为在上单调递增，所以. 移项可得，即，解得.  故的解集为. 故答案为：. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤. 15. 已知，且有意义． （1）试判断角所在的象限； （2）若角的终边上一点，且(O为坐标原点)，求的值及的值． 【答案】（1）第四象限角 （2）， 【解析】 【分析】（1）由式子有意义得到，，从而判断所在的象限即可； （2）由三角函数的定义求解即可. 【小问1详解】 由，所以， 由有意义，可知，所以是第四象限角． 【小问2详解】 )因为，所以， 得，又为第四象限角，故，从而， . 16. 记全集，已知集合，， （1）求; （2）求. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）分别求对数型函数的定义域和解对数不等式求得集合，再由并集定义求解； （2）根据指数函数的单调性求得集合，结合（1）的结论，利用交集和补集的定义即可求得. 【小问1详解】 对于函数有意义，需使，解得或，故或， 又由可得，解得，故， 故或. 【小问2详解】 由，可得，即得， 则，故或. 17. 某医学研究所研发一种药物.据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量（毫克）与开始注射后的时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线，与的函数关系为且.根据图中提供的信息： （1）写出开始注射该药后每升血液中药物含量（毫克）关于时间（小时）的函数关系式； （2）据测定：每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长？（结果保留小数点后两位）.（参考值：） 【答案】（1） （2）2.81小时 【解析】 【分析】（1）分、两种情况讨论，利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式，分段解不等式，求出的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 当时，设，将代入得， 解得，此时； 当时，设且，将､代入，得， 解得，此时 综上可得. 【小问2详解】 当时，令，解得； 当时，令，即 而，故 药效时间， 所以药效时间约为小时. 18. 已知函数． （1）若在上为增函数，求的取值范围； （2）若函数在上恰有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知，利用复合函数单调性和对数函数的定义域及二次函数的单调性，列式即可求出a的取值范围. （2）利用函数零点的意义，结合对数运算，把问题转化为一元二次方程的实根分布求解. 【小问1详解】 令，显然函数在上单调递增， 函数在及右侧区间上单调递增， 而在上为增函数，则，解得， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 由，得， 由函数在上恰有两个零点，得在上有两个不等实根， 于是，解得， 所以的取值范围是. 19. 设函数，. （1）判断函数的奇偶性，并讨论函数的单调性（不需证明单调性）； （2）求证：； （3）若在区间上的最小值为，求t的值. 【答案】（1）奇函数；在上单调递增； （2）证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇偶函数的定义证明奇偶性，利用单调性的性质判断的单调性； （2）根据指数运算化简即可证明； （3）令，利用换元转化为一元二次函数轴动区间定求最值的问题进行求解. 【小问1详解】 由题意可知，的定义域为R，定义域关于原点对称 又，所以为奇函数； 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以，在上单调递增； 【小问2详解】 【小问3详解】 由 令，由，则 又 则令 对称轴 当，即时， ， 解得； 当，即时， ， 解得，又，因此不符合题意，舍去 当，即时， ， 解得 综上知，. 【点睛】方法点睛：闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴是指对称轴，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江油中学2024级高一上期12月月考 数学试题 一、选择题.本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求. 1. 设集合，，，则（    ） A. B. C. D. 2. “α”是“cosα”成立的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知则等于（ ） A. B. C. 1 D. 4. 下列函数中，既是偶函数又在上为减函数的是（   ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则的大小关系是（ ） A B. C. D. 7. 已知函数，其图象无限接近直线但又不与该直线相交，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2﹣x+a，若函数g（x）=f（x）﹣x的零点恰有两个，则实数a的取值范围是 A. a＜0 B. a≤0 C. a≤1 D. a≤0或a=1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分. 9. 对于实数、、，下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列结论正确的是（   ） A. 若角为锐角，则角为钝角 B. 是第三象限角 C. 若圆心角为扇形的弧长为，则该扇形面积为 D. 周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是2 rad 11. 已知函数，若有三个不等实根，，，且，则（    ） A. 单调递增区间为 B. a的取值范围是 C. 取值范围是 D. 函数有4个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______ 13. 已知且，则 的最小值为_______ 14. 若函数，则的解集为________ 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤. 15. 已知，且有意义． （1）试判断角所在象限； （2）若角的终边上一点，且(O为坐标原点)，求的值及的值． 16. 记全集，已知集合，， （1）求; （2）求. 17. 某医学研究所研发一种药物.据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量（毫克）与开始注射后的时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线，与的函数关系为且.根据图中提供的信息： （1）写出开始注射该药后每升血液中药物含量（毫克）关于时间（小时）的函数关系式； （2）据测定：每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长？（结果保留小数点后两位）.（参考值：） 18. 已知函数． （1）若在上为增函数，求的取值范围； （2）若函数在上恰有两个零点，求的取值范围． 19. 设函数，. （1）判断函数的奇偶性，并讨论函数的单调性（不需证明单调性）； （2）求证：； （3）若在区间上的最小值为，求t的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$