专题05几何图形初步（考点清单，15个考点清单+19种题型解读）-2024-2025学年六年级数学下学期期末考点大串讲（人教版2024五四制）

专题05几何图形初步（考点清单，15个考点清单+19种题型解读） 【清单01】柱、锥、球 立体图形：有些几何图形（圆柱、圆锥、球、长方体、正方体等）各部分不在一个平面内，这样的图形叫立体图形。棱柱、棱锥是常见的立体图形。生活中常见的物体都是立体图形. 【清单02】从正面、左面、上面看立体图形 能力要求： ①会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图. ②能根据三视图描述基本几何体或实物原型. 注意： ①看的见得棱画实线，看不见的棱画虚线； ②圆锥从上面看不要丢了圆心点. 【清单03】正方体的表面展开图 正方形展开图的知识要点： 1. 正方体的表面展开图一共有11种可能。 第一类：有6种。特点：是4个连成一排的正方形，其两侧各有一个正方形.简称“141型” 第二类：有3种。特点：是有3个连成一排的正方形，其两侧分别有1个和两个相连的正方形;简称“132型” 第三类：仅有一种。特点：是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形；简称“222型” 第四类：仅有1种，三个连成一排的正方形的一侧，还有3个连成一排的正方形，可简称“33型” 注：正方体展开图中不能出现“7”字，“凹”字，“田”字形，如下图： 2. 正方体展开图找相对面的方法： （1）中间隔“一”是对面：中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面； （2）“Z”字两端是对面：呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面； （3）间二、拐角邻面知：中间隔两个正方形的两个正方形是相邻面，呈拐角形状的三个小正方形，只有一个相邻正方形的两个正方形是相邻面。 【清单04】其他立体图形的展开图 常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊：球没有展开图 ①圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。 ②圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面） ③棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面） 【清单05】点、线、面、体之间的转化 1. 几何体是由点、线 、面构成的. 2. 线分为直线和曲线，面分为平面和曲面. 3. 点、线、面之间的关系： 点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成. 【清单06】直线、射线、线段的联系与区别 注意：表示直线和线段的两个大写字母可以交换位置. 【清单07】计数问题 1. 平面上有个点，其中任意三点不在一条直线上，则最多确定的直线条数为：． 2. 若在线段AB上增加一点，则增加2条线段，此时线段总条数为1＋2；若再增加一点，则又增加了3条线段，此时线段总条数为1＋2＋3；…；当线段AB上增加到n个点(即增加n－2个点)时，线段的总条数为. 用到类似知识点问题：单循环比赛场数问题、双循环比赛场数问题、握手次数问题、多边形对角线条数问题、车站设计票价问题等. 【清单08】 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 细节剖析 ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 【清单09】画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 【清单10】线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 细节剖析 ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 【清单11】角的度量 （1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. （2）. 平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． (3)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 细节剖析 ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义； ②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. （4）角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 细节剖析 ①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60. （5）角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° （6）画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 【清单12】角的比较与运算 （1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法. （2）角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 【清单13】角的互余互补关系 余角补角 （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 细节剖析 ①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角). ②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的. ③只考虑数量关系，与位置无关． ④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” . 【清单14】钟面角 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°. 技巧：钟面角问题一般可以看做是行程问题里的追击问题. 【清单15】方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 细节剖析 （1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小. （2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向. （3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛. 【考点题型一】几何体及其展开图 1．（22-23七年级上·四川绵阳·期末）下列几何体中，柱体的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】此题考查棱柱和圆柱的定义，熟练掌握是关键．柱体有两个底面和侧面组成，两个底面互相平行，分为圆柱和棱柱，圆柱的底面是圆，侧面是曲面，棱柱的底面是多边形，侧面是平面（四边形）． 根据圆柱和棱柱定义可选出答案． 【详解】第一个是圆柱，第二个是球，第三个是三棱锥，第四个是六棱柱． ∴柱体有2个． 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·期末）如图所示的图形，折叠后能围成（   ） A．直三棱柱 B．直四棱柱 C．直五棱柱 D．直六棱柱 【答案】B 【分析】本题考查几何体的展开图，侧面为四个长方形，底边为长方形，故原几何体为直四棱柱． 【详解】解：根据展开图可知，侧面为四个长方形，底边为长方形， 所以此表面展开图是直四棱柱的展开图． 故选：B. 3．（24-25七年级上·全国·期末）图所示的平面图形经过折叠后能围成棱柱的是（　　） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了棱柱的展开图，掌握棱柱的特点及展开图的特点是解题的关键． 【详解】解：①②③能围成棱柱，④围成棱柱时，有两个面重合，不能围成棱柱， 故选：C． 4.（21-22七年级上·河南郑州·期末）下面的图形是某些几何体的表面展开图，写出这些几何体的名称：图1 ；图2 ；图3 ．    【答案】 正方体 四棱锥 三棱柱 【分析】利用立体图形的展开图特征求解即可． 【详解】解：由立体图形的特征可得图 1为正方体，图 2为正四棱锥，图3为三棱柱， 故答案为：正方体，四棱锥，三棱柱． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键 【考点题型二】几何的基本概念与公理 5.（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）下列说法，不正确的是（   ） A．三点A、B、C在同一条直线上，如果则． B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．线段有两个端点 【答案】A 【分析】根据线段的性质，判断解答即可． 本题考查了线段的性质，线段的和，熟练掌握线段的性质和特点是解题的关键． 【详解】解：A. 三点A、B、C在同一条直线上，如果则或，错误，符合题意． B. 两点确定一条直线，正确，不符合题意； C. 两点之间线段最短，正确，不符合题意； D. 线段有两个端点，正确，不符合题意； 故选A． 6．（24-25七年级上·全国·期末）有下列关于角的说法： ①两条射线组成的图形叫作角； ②角的边越长，角越大； ③在角一边的延长线上取一点D； ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． 其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的定义，根据角的概念对各选项分析判断后利用排除法求解，熟练掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角是解决此题的关键． 【详解】有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，故①错误，不符合题意； 角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故②错误，不符合题意； 角的边是射线，不能延长，故③错误，不符合题意； 角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，④正确，符合题意， ∴只有④一个选项正确， 故选：A． 7．（23-24七年级上·四川广安·期末）下列说法：①线段和线段是同一条线段；②画直线；③由两条射线组成的图形叫做角；④经过同一平面内三点画直线，可以画1条或3条．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了直线、射线、线段的联系与区别，角的概念以及两点确定一条直线等知识点，熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：线段和线段是同一条线段，故①正确； 直线可以向两端无限延伸，没有长度，故②错误； 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故③错误； 经过同一平面内三点画直线，若三点在同一条直线是，则可以画一条直线；否则，根据两点确定一条直线可以画出三条直线，故④正确； 故答案为：①④． 【考点题型三】线段的比较与计算 8．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）线段长，在直线上画长为的线段，则线段的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，分当点C在线段上时，当点C在线段的延长线上时，两种情况根据线段的和差关系讨论求解即可． 【详解】解：当点C在线段上时，则， 当点C在线段的延长线上时，则， 故选：D． 9．（23-24七年级上·陕西安康·期末）在直线上顺次取，，三点，使得，，若点是线段的中点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差、线段中点的定义，如图，由可求得的长，再根据线段中点的定义可求得的长即可得答案 【详解】如图： ，， ， 点是线段的中点， ， 故答案为： 10．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，线段，点为线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点， (1)求的长； (2)如果，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点，一元一次方程与线段数量关系的计算，掌握线段中点，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据中点的性质可得，由即可求解； （2）设，则，根据题意可得，，解得，由此即可求解的长． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵点是的中点， ∴，则， ∵， ∴， 解得，，即， ∴． 11．（23-24七年级上·河南商丘·期末）如图，为线段上一点，点为的中点，已知． (1)求的长； (2)若点是线段上靠近点A的三等分点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据线段的和差，求得的长，再根据线段中点的性质，可求出的长； （2）先求得的长，再根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：因为， 所以， 因为点为的中点， 所以； （2）解：因为，点是线段上靠近点A的三等分点， 所以， 则． 所以． 【考点题型四】角的比较与计算 12．（22-23七年级上·吉林长春·期末）用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了度、分、秒间的换算，注意相邻两个单位间的进率是60． 根据度、分、秒之间的换算关系进行计算即可． 【详解】因为， 所以． 故选：A． 13．（23-24七年级上·湖南岳阳·期末）若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了角的度数大小比较，将角的表示形式统一即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 14．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）比较大小： （用“＞”“＜”“＝”填空）． 【答案】= 【分析】本题考查了角的度数的表示，正确记忆度、分、秒是60进制是解题关键． 把两个度数统一单位，进而即可判断． 【详解】解：， 故答案为：=． 15．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）计算（结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查度，分，秒的计算，解题的关键是掌握，进行计算，即可． （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，，进行计算，即可； （3）根据，，进行计算，即可； （4）根据，，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【考点题型五】综合应用 16．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，是平角，射线从开始，先顺时针绕点O向射线旋转，到达后再绕点O逆时针向射线旋转，速度为6度/秒．射线从开始，以4度/秒的速度绕点O向旋转，到当到达时，射线与都停止运动．当时，有以下t的值：①；②；③；④．其中正确的序号是（　　）    A．③ B．④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、角的运算，解题的关键是能够根据运动时间，进行分类讨论．分三种情况讨论使得是的2倍时，分别画出图形，求出t的值即可． 【详解】解：第一种情况：当从向旋转，在左边时，如图，    则度，度， ∴， 解得：； 第二种情况：当从向旋转，在右边时，如图，    则度，度， ∴， 解得：； 第三种情况：当运动到，又返回时，如图，    则度，度 ∴， 解得：， 此时正好与重合，停止运动； 综上所述：或或44， 故选：C 17．（23-24七年级上·广东深圳·期末）点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且．如图，若点P是点B右侧一点，点M为的中点，点N为上靠近B点的三等分点，当点P在点B的右侧运动时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段的和差计算和非负数的性质，先根据绝对值和偶次方的非负性得到，，再表示出和，代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴，， 解得：，， ∴，， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∵点N为上靠近B点的三等分点， ∴， ， 故答案为：． 18．（23-24七年级上·湖北黄石·期末）已知数轴上有、两点，分别表示的数为和，点以每秒个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)运动开始前，、两点的距离为 ；线段的中点所表示的数为 ． (2)它们按上述方式运动，、两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？ (3)当为多少时，线段的中点表示的数为？并直接写出在这一运动过程中点的运动方向和运动速度． 【答案】(1)， (2)， (3)；向右， 【分析】本题属于数轴上的动点问题，主要考查了数轴上两点之间的距离，中点的含义，解一元一次方程等知识点，弄清题意，熟练掌握数轴的相关知识是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离以及中点的含义即可求解； （2）根据题意列方程即可求解； （3）秒后，数轴上点、点表示的数分别为、，则线段的中点表示的数为，于是得到方程，解方程即可求解；根据在这一运动过程中起始时刻和终了时刻点的位置，即可求出点的运动方向和运动速度． 【详解】（1）解：根据题意可知，运动开始前，、两点的距离， 线段的中点所表示的数为：， 故答案为：，； （2）解：根据题意可得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ，， ， 相遇点所表示的数是， 答：它们按上述方式运动，、两点经过秒会相遇，相遇点所表示的数是； （3）解：秒后，数轴上点、点表示的数分别为、，则线段的中点表示的数为， 依据题意可得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 当时，中点表示的数为， 当时，中点表示的数为， 中点的运动方向向右，运动速度为， 答：当时，线段的中点表示的数为；在这一运动过程中，点的运动方向向右，运动速度为． 【考点题型六】生活中的画面情境在建几何模型中的应用 19．（23-24七年级上·四川成都·期末）2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会开幕式在成都东安湖体育公园举行，东安湖体育公园主场馆以独特的几何造型及现代化的设计引起了人们的关注，东安湖体育公园主场馆形状可以近似看成如图几何体，下列图形绕虚线旋转一周，能形成该几何体的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面图形的旋转，简单几何体的认识，分别求出得出旋转一周后所形成的几何体即可得出答案． 【详解】解：对于选项A，旋转一周后形成2个圆锥和一个棱柱的组合体，故不符合题意； 对于选项B，旋转一周后形成一个球体，故不符合题意； 对于选项C，旋转后形成一个圆柱体，故符合题意； 对于选项D，旋转后形成一个圆台，符合题意． 故选：D． 20．（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图是某个装饰品的示意图，则它的俯视图是（   ）      A．     B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了三视图；找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示． 【详解】俯视图即从上面往下看得到的图形．该装饰品从上面看，可得选项D的图形． 故选：D 【考点题型七】图形的特征在认识平面图形、立体图形中的应用 21．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图，绕直线L旋转一周可得圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点、线、面、体，结合旋转的性质，将四个图形进行旋转，看分别得到什么样的几何体，即可得解．解题的关键是掌握各种图形旋转所得的几何体的形状． 【详解】解：A、图形绕直线旋转一周，所得到的几何体是圆柱体，因此A选项符合题意； B、图形绕直线旋转一周，所得到的几何体是圆锥体，因此B选项不符合题意； C、图形绕直线旋转一周，所得到的几何体是球体，因此C选项不符合题意； D、图形绕直线旋转一周，所得到的几何体是两个底面相同的圆锥体的组合体，因此选项D不符合题意； 故选：A． 22．（22-23七年级上·陕西延安·期末）下列图形中，属于平面图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用平面图形和立体图形的特征进行判定即可得出答案． 【详解】解：A.三棱锥，是立体图形，不符合题意； B.圆柱，是立体图形，不符合题意； C.圆形，是平面图形，符合题意； D.六棱柱，是立体图形，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了认识平面图形及认识立体图形，熟练掌握平面图形及立体图形的特征进行求解是解决本题的关键． 23．（22-23七年级上·湖北随州·期末）下列几何体中，含有曲面的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用曲面和平面的定义区分即可． 【详解】解：球的表面是曲面，圆柱的侧面是曲面，三棱柱由两个三角形和三个矩形组成，都是平面图形，六棱柱由两个六边形，六个矩形组成，都是平面图形． ∴含有曲面的有2个． 故选B． 【点睛】本题主要考查曲面和平面的定义，熟练掌握并区分平面和曲面是解决本题的关键． 24．（23-24七年级上·广东云浮·期末）如图，直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体是 ，这其中蕴含的数学事实是 ．    【答案】 圆锥 面动成体 【分析】根据直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体是圆锥，以及面、体之间的关系进行作答即可． 【详解】解：由题意知，直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体是圆锥，这其中蕴含的数学事实是面动成体， 故答案为：圆锥，面动成体． 【点睛】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，面、体之间的关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握 【考点题型八】常见立体图形的特征在分类中的应用 25．（23-24七年级·全国·假期作业）如图中柱体的个数是（    ） 　 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了柱体的识别，一个多面体有两个面互相平行且全等，余下的每个相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体就为柱体，柱体分为圆柱和棱柱，据此进行判断即可． 【详解】解：柱体有①③④⑤⑥，共5个， 故选：C． 26．（23-24七年级上·重庆黔江·期末）下列几何体中，不同类的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何体的分类，掌握几何体分为柱体、锥体、球体是解题的关键． 根据几何体的分类，求解即可． 【详解】 解：A、是六棱柱，C、 是圆柱，D、是三棱柱，B、是球体， ∴A、C、D是柱体，属一类，B是球体不是一类， 故选：B． 【考点题型九】常见立体图形在视图中的应用 27．（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）下面给出的三个平面图形，是从前面、左面、上面看一个立体图形得到的，那么这个立体图形应是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．由主视图和左视图可得此几何体为锥体，再根据俯视图是四边形即可判断出此几何体的具体形状． 【详解】∵主视图和左视图都是三角形， ∴此几何体为锥体， ∵俯视图是一个正方形， ∴此几何体为四棱锥， 故选A． 28．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图所示的几何体的从上往下看得到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，会从不同方向看出几何体的图形是解题的关键． 【详解】解：从上往下看得到的平面图形是： 故选：D． 19．（23-24七年级上·四川成都·期末）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，下图分别是从正面、上面看到的形状图，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个． 【答案】8 【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据从上面看确定位置，正面看确定个数，进行求解即可． 【详解】解：如图： 搭成这个几何体的小立方块最多有； 故答案为：8． 【考点题型十】立体图形的展开与折叠在辨识相对面中的应用 30．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）小王同学在立方体盒子的每个面上都写了一个字，分别是美、丽、的、吉、首、市，其平面展开图如图所示，那么该立方体盒子上，“市”相对的面上所写的文字是（　　） A．美 B．吉 C．首 D．丽 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答． 【详解】解：正方体的平面展开图中，“市”相对的面上所写的文字是“美”， 故选：A． 31．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 由平面图形的折叠及正方体的展开图解题． 【详解】解：观察图形可知，A选项中的圆和纸巾是邻面，且纸巾的上面是圆． 故选B． 32．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是几何体展开图的特征，根据展开图的形状求出对应面是解决本题的关键． 先找出每个面的对应值，再根据相对两面的数字之和相等，列式计算即可得出答案． 【详解】解：因为，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 所以，3和相对，x和y相对，和2相对． 因为，相对两面的数字之和相等， 所以，， ， 所以，，， 所以，． 【考点题型十一】立体图形的展开图在计算中的应用 33．（22-23七年级上·河南郑州·期末）如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积（    ）． A．增加了28 B．减少了28 C．增加了8 D．减少了8 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，长方体的体积，熟记长方体的体积公式是解题的关键． 分别求得剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积即可得到结论． 【详解】解：当剪去的正方形边长为时， 长方体的纸盒容积为： 当剪去的正方形边长为时， ∴当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积增加了：． 即长方体纸盒的容积增加了8． 故选：C． 34．（22-23七年级上·江西南昌·期末）如图是一个长方体的表面展开图，则这个长方体的表面积是 ．    【答案】 【分析】根据展开图把它还原成立体图形，可以看出长方体的长为，宽和高均为，再根长方体的表面积公式（ ）， 算出答案． 【详解】解：由题意可知，该长方体的长为，宽和高均为，故表面积为： 故答案为：． 【点睛】本题考查长方体的展开图和表面积公式，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键。 35．（23-24七年级上·浙江舟山·期末）有两张长，宽的长方形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小长方形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个． (1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是________．（填“图1”或“图2”） (2)已知图1中裁去的小正方形边长为，求做成的纸盒体积． (3)已知图1、图2中裁去的小正方形边长分别为和，设为按图1方式裁得的3个纸盒底面周长之和，为按图2方式裁得的8个纸盒底面周长之和，试比较，的大小． 【答案】(1)图2 (2)72（立方厘米） (3)，理由见解析 【分析】本题考查了认识立体图形的展开图，列代数式，整式的加减运算等知识，理解题意是解题关键． （1）根据长方形展开图的特征，判断即可． （2）根据长方形的体积公式求解即可． （3）根据展开图的特点先表示，，再利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是：图2； （2）图1中裁去的小正方形边长为， 做成的纸盒的体积； （3），理由如下： ， ， ， ∴． 36．（23-24七年级上·河南安阳·期末）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，下图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； A．    B．    C．    D． (2)如下图，是云落的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______． (3)如下图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 【答案】(1)C (2)卫 (3)①见解析；② 【分析】本题考查正方体的表面展开图、正方体相对两面上的字． （1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； （3）①画出相应的图形即可；②直接根据体积公式计算即可． 【详解】（1）制作一个无盖的正方体纸盒， 展开图有5个面，选项B不符合题意； 再根据正方形的展开图的特征，可得选项A和选项D不符合题意，选项C符合题意； 故选C； （2）正方体的平面展开图中，相对的面中间必须隔着一个正方形，所以“保”字相对的字是“卫” 故答案为：卫； （3）①所画出的图形如图所示： ②当小正方形的边长为为时， 纸盒的底面积为 纸盒的体积为 答：这个纸盒的体积为 【考点题型十二】线段、角的和差关系在计算中的应用 37．（24-25七年级上·山东·期末）如图，已知，，平分，平分，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查有关角平分线的角度计算，解题的关键是根据角平分线得到相应角度．先根据角平分线的定义求出的度数，然后根据角的和差关系求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵， 平分， ∴， 又， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 38．（23-24七年级上·贵州安顺·期末）将一段长为60cm的绳子拉直铺平，沿点M，N折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），设点A，B分别落在点，处． (1)如图1，当点，恰好重合时，的长为______cm； (2)如图2，若点落在点的左侧，且，求的长； (3)若，请直接写出的长．（用含的式子表示） 【答案】(1)30 (2) (3)的长为或 【分析】本题考查了两点间的距离． （1）因为点，恰好重合，所以，已知，可得的长； （2）已知，，可得的长，又因，可得的长； （3）分点落在点的左侧、点落在点的右侧两种情况讨论． 【详解】（1）解：点，恰好重合， ， ， ， 故答案为：30； （2）解：，， ， ， ． （3）解：①当点落在点的左侧时， ，，， ， ， ， ②当点落在点的右侧时， ，，，， ， ， ， 综上，的长为或 【考点题型十三】线段、角的倍分关系在计算中的应用 39．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，点B是线段上一点，且，﹒ (1)求线段的长； (2)如果点O是线段的中点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段中点的意义，两点之间的距离，正确使用线段的中点的意义是解题的关键． （1）求出线段，用即可求解； （2）利用线段中点的意义，求出线段，用即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）∵为中点， ∴ ∴． 40．（22-23七年级上·陕西西安·期末）如图，，是内的两条射线，平分，且．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算．先根据角平分线的定义得出，，再根据，算出，根据，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【考点题型十四】线段的中点在计算中的应用 41．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，是线段上两点，若线段，，且是线段的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的定义，由，可得，再根据线段中点的定义可得，掌握线段中点的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是线段的中点， ∴， 故选：． 42．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，点、分别是线段上两点（），用圆规在线段上截取，，若点与点恰好重合，，则 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，根据题意可得，，再由即可得到答案． 【详解】解：，，点E与点F恰好重合， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为4． 43．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如果，，求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点有关的计算． （1）先求出，再求出，根据线段的中点求出的长即可； （2）求出，，把代入求出即可． 【详解】（1）解：∵点M是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∵， ∴． 【考点题型十五】角平分线在计算中的应用 44．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知点A、O、B在同一条直线上，射线和射线分别平分和，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，根据题意得出，是解题的关键． 根据角平分线的概念得出，，从而得出． 【详解】解：∵，分别平分和， ∴，， ∴ ． 故选：C． 45．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，是的平分线，，，则 ．    【答案】/度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算，先根据已知条件得到，则，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， 故答案为： 46．（23-24七年级上·陕西安康·期末）如图，射线在的内部，，分别是，的平分线． (1)若，，则________度； (2)若的度数为，的度数为，则是多少度？（用，表示） (3)请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义和角度的和差倍分计算； （1）根据角平分线的定义求得及的度数，再由角之间的和差关系计算即可； （2）同（1）的方法，即可求解； （3）根据角平分线的定义表示出及，再由角之间的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：射线在的内部，、分别是、的平分线，且，， ，， ； （2）解：射线在的内部，、分别是、的平分线，且，， ，， ； （3）解：，理由如下： 射线在的内部，、分别是、的平分线， ，， 【考点题型十六】分类讨论思想在线段和角的计算中的应用 47．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题考查了两点之间的距离问题，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解． 分两种情况画出图形求解即可． 【详解】解：（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时， （厘米）； （2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时， （厘米）． 所以两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 48．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线．若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫作这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长是 ． 【答案】20或4 【分析】本题考查与线段的中点有关的计算，分点在线段上，点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，如图： 由题意，得：， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图： 则， ∵， ∴， ∴； 故答案为：20或4． 49．（22-23七年级上·四川成都·期末）若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）根据角之间的关系得到，则，再由三等分线的定义得到，则，据此可得结论； （2）分当在内部时，当在外部时，两种情况根据“新风尚线”的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的三等分线， ∴， ∴， ∴射线是（）的“新风尚线”； （2）解：如图所示，当在内部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 如图所示，当在外部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 综上所述，的度数为或． 50．（22-23七年级上·江苏南京·期末）已知，是过点的一条射线，分别平分． (1)如图①，如果射线在的内部，，则 ； (2)如图②，如果射线在的内部绕点旋转，，则 ； (3)如果射线在的外部绕点旋转，，请借助图③探究的度数． 【答案】(1)40 (2) (3)或 【分析】此题考查角平分线的定义，关键是根据角平分线的定义解答． （1）根据角平分线的定义解答即可； （2）根据角平分线的定义解答即可； （3）分两种情况，利用角平分线的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵分别平分， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵分别平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：分两种情况： ①如图： ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴； ②如图： ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 【考点题型十七】方程思想在线段和角的计算中的应用 51．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点、点在线段上，是线段的中点，，若，则的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题主要考查了线段的计算，线段中点的定义，熟练掌握线段的计算，理解线段中点的定义是解决问题的关键； 先设，则，由此解出，然后根据线段中点的定义得，据此可得，即可得线段的长． 【详解】解：设，则， ， 解得：， ∵点为的中点， 故选：C． 52．（23-24七年级上·浙江·期末）如图，直线交于点O，，若，则等于 度． 【答案】 【分析】根据，设根据，结合，得到，根据平角定义计算即可．本题考查了平角的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握方程的应用，平角的定义是解题的关键． 【详解】∵， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：152． 53．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)若2，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的计算． （1）用减去的度数，求出的差就是的度数； （2）设，用含x的代数式表示出后根据建立关于x的方程，解方程求出x的值后即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 54．（22-23七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，已知B，C两点把线段分成三部分，M为的中点，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义， 先根据题意设可设，，，即可表示，再根据中点的定义表示出，进而表示出，再结合的长列出方程，求出解，最后根据得出答案． 【详解】解：由B，C两点把线段分成三部分，可设，，， 所以． 因为M是的中点，所以， 所以． 因为， 所以， 解得， 所以 【考点题型十八】整体思想在线段和角的计算中的应用 55．（22-23七年级上·广东东莞·期末）如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长； (3)若，求的长； (4)指出与之间的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，熟练掌握线段的中点平分线段，是解题的关键： （1）中点求出的长，再利用线段的和差关系求解即可； （2）根据中点结合线段的和差关系，得到，即可得出结果； （3）根据，即可得出结果； （4）由（2）即可得出结论． 【详解】（1）解：∵M是线段的中点，N是线段的中点，， ∴， ∴； （2）∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由（2）知：， ∵， ∴； （4）由（2）知：． 56.（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案； （2）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 【考点题型十九】特殊到一般思想在线段和角的计算中的应用 57．（22-23七年级上·河南新乡·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______． (2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)3 (2)①；②；③ 【分析】（1）由，，得，根据，分别是，的中点，即得，，故； （2）①由，分别是，的中点，知，，即得，故； ②由，，知，，即得，故； ③由，，知，，即得，故． 【详解】（1）解：，， ， ，分别是，的中点， ，， ； 故答案为：； （2）解：①，分别是，的中点， ，， ， ， ； 故答案为：； ②，， ，， ， ， ； ③，， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 58．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）为了培养同学们的几何思维能力，张老师给同学们设置了一道几何题探究题：将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，；三角尺中，，分别作的平分线．试求出的度数．为了便于同学们探究，特别进行了以下活动： [初步探究] 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）图2中的度数为________，图3中的度数为________． [深入探究] （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为__________．如果设，请求出图1中的度数．    【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，旨在考查学生的举一反三能力，掌握各角度之间的和差关系是解题关键． （1）图2中：根据、即可求解；图3中：根据、即可求解；（2）图1中可得，，根据即可求解； 【详解】解：（1）图2中：∵是的平分线，, ∴ ∴； 图3中：, ∴ ∵是的平分线， ∴ ∴； 故答案为：； （2）图1中：, ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05几何图形初步（考点清单，15个考点清单+19种题型解读） 【清单01】柱、锥、球 立体图形：有些几何图形（圆柱、圆锥、球、长方体、正方体等）各部分不在一个平面内，这样的图形叫立体图形。棱柱、棱锥是常见的立体图形。生活中常见的物体都是立体图形. 【清单02】从正面、左面、上面看立体图形 能力要求： ①会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图. ②能根据三视图描述基本几何体或实物原型. 注意： ①看的见得棱画实线，看不见的棱画虚线； ②圆锥从上面看不要丢了圆心点. 【清单03】正方体的表面展开图 正方形展开图的知识要点： 1. 正方体的表面展开图一共有11种可能。 第一类：有6种。特点：是4个连成一排的正方形，其两侧各有一个正方形.简称“141型” 第二类：有3种。特点：是有3个连成一排的正方形，其两侧分别有1个和两个相连的正方形;简称“132型” 第三类：仅有一种。特点：是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形；简称“222型” 第四类：仅有1种，三个连成一排的正方形的一侧，还有3个连成一排的正方形，可简称“33型” 注：正方体展开图中不能出现“7”字，“凹”字，“田”字形，如下图： 2. 正方体展开图找相对面的方法： （1）中间隔“一”是对面：中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面； （2）“Z”字两端是对面：呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面； （3）间二、拐角邻面知：中间隔两个正方形的两个正方形是相邻面，呈拐角形状的三个小正方形，只有一个相邻正方形的两个正方形是相邻面。 【清单04】其他立体图形的展开图 常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊：球没有展开图 ①圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。 ②圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面） ③棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面） 【清单05】点、线、面、体之间的转化 1. 几何体是由点、线 、面构成的. 2. 线分为直线和曲线，面分为平面和曲面. 3. 点、线、面之间的关系： 点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成. 【清单06】直线、射线、线段的联系与区别 注意：表示直线和线段的两个大写字母可以交换位置. 【清单07】计数问题 1. 平面上有个点，其中任意三点不在一条直线上，则最多确定的直线条数为：． 2. 若在线段AB上增加一点，则增加2条线段，此时线段总条数为1＋2；若再增加一点，则又增加了3条线段，此时线段总条数为1＋2＋3；…；当线段AB上增加到n个点(即增加n－2个点)时，线段的总条数为. 用到类似知识点问题：单循环比赛场数问题、双循环比赛场数问题、握手次数问题、多边形对角线条数问题、车站设计票价问题等. 【清单08】 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 细节剖析 ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 【清单09】画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 【清单10】线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 细节剖析 ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 【清单11】角的度量 （1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. （2）. 平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． (3)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 细节剖析 ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义； ②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. （4）角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 细节剖析 ①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60. （5）角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° （6）画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 【清单12】角的比较与运算 （1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法. （2）角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 【清单13】角的互余互补关系 余角补角 （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 细节剖析 ①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角). ②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的. ③只考虑数量关系，与位置无关． ④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” . 【清单14】钟面角 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°. 技巧：钟面角问题一般可以看做是行程问题里的追击问题. 【清单15】方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 细节剖析 （1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小. （2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向. （3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛. 【考点题型一】几何体及其展开图 1．（22-23七年级上·四川绵阳·期末）下列几何体中，柱体的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25七年级上·全国·期末）如图所示的图形，折叠后能围成（   ） A．直三棱柱 B．直四棱柱 C．直五棱柱 D．直六棱柱 3．（24-25七年级上·全国·期末）图所示的平面图形经过折叠后能围成棱柱的是（　　） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 4.（21-22七年级上·河南郑州·期末）下面的图形是某些几何体的表面展开图，写出这些几何体的名称：图1 ；图2 ；图3 ．    【考点题型二】几何的基本概念与公理 5.（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）下列说法，不正确的是（   ） A．三点A、B、C在同一条直线上，如果则． B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．线段有两个端点 6．（24-25七年级上·全国·期末）有下列关于角的说法： ①两条射线组成的图形叫作角； ②角的边越长，角越大； ③在角一边的延长线上取一点D； ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． 其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（23-24七年级上·四川广安·期末）下列说法：①线段和线段是同一条线段；②画直线；③由两条射线组成的图形叫做角；④经过同一平面内三点画直线，可以画1条或3条．其中正确的是 ．（填序号） 【考点题型三】线段的比较与计算 8．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）线段长，在直线上画长为的线段，则线段的长为（   ） A． B． C．或 D．或 9．（23-24七年级上·陕西安康·期末）在直线上顺次取，，三点，使得，，若点是线段的中点，则 ． 10．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，线段，点为线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点， (1)求的长； (2)如果，求线段的长． 11．（23-24七年级上·河南商丘·期末）如图，为线段上一点，点为的中点，已知． (1)求的长； (2)若点是线段上靠近点A的三等分点，求的长． 【考点题型四】角的比较与计算 12．（22-23七年级上·吉林长春·期末）用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24七年级上·湖南岳阳·期末）若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 14．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）比较大小： （用“＞”“＜”“＝”填空）． 15．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）计算（结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点题型五】综合应用 16．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，是平角，射线从开始，先顺时针绕点O向射线旋转，到达后再绕点O逆时针向射线旋转，速度为6度/秒．射线从开始，以4度/秒的速度绕点O向旋转，到当到达时，射线与都停止运动．当时，有以下t的值：①；②；③；④．其中正确的序号是（　　）    A．③ B．④ C．①②④ D．①②③ 17．（23-24七年级上·广东深圳·期末）点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且．如图，若点P是点B右侧一点，点M为的中点，点N为上靠近B点的三等分点，当点P在点B的右侧运动时，的值为 ． 18．（23-24七年级上·湖北黄石·期末）已知数轴上有、两点，分别表示的数为和，点以每秒个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)运动开始前，、两点的距离为 ；线段的中点所表示的数为 ． (2)它们按上述方式运动，、两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？ (3)当为多少时，线段的中点表示的数为？并直接写出在这一运动过程中点的运动方向和运动速度． 【考点题型六】生活中的画面情境在建几何模型中的应用 19．（23-24七年级上·四川成都·期末）2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会开幕式在成都东安湖体育公园举行，东安湖体育公园主场馆以独特的几何造型及现代化的设计引起了人们的关注，东安湖体育公园主场馆形状可以近似看成如图几何体，下列图形绕虚线旋转一周，能形成该几何体的是（  ） A． B． C． D． 20．（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图是某个装饰品的示意图，则它的俯视图是（   ）      A．     B．   C．   D．   【考点题型七】图形的特征在认识平面图形、立体图形中的应用 21．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图，绕直线L旋转一周可得圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 22．（22-23七年级上·陕西延安·期末）下列图形中，属于平面图形的是（　　） A． B． C． D． 23．（22-23七年级上·湖北随州·期末）下列几何体中，含有曲面的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．（23-24七年级上·广东云浮·期末）如图，直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体是 ，这其中蕴含的数学事实是 ．    【考点题型八】常见立体图形的特征在分类中的应用 25．（23-24七年级·全国·假期作业）如图中柱体的个数是（    ） 　 A．3 B．4 C．5 D．6 26．（23-24七年级上·重庆黔江·期末）下列几何体中，不同类的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型九】常见立体图形在视图中的应用 27．（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）下面给出的三个平面图形，是从前面、左面、上面看一个立体图形得到的，那么这个立体图形应是（　　）    A．   B．   C．   D．   28．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图所示的几何体的从上往下看得到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 19．（23-24七年级上·四川成都·期末）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，下图分别是从正面、上面看到的形状图，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个． 【考点题型十】立体图形的展开与折叠在辨识相对面中的应用 30．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）小王同学在立方体盒子的每个面上都写了一个字，分别是美、丽、的、吉、首、市，其平面展开图如图所示，那么该立方体盒子上，“市”相对的面上所写的文字是（　　） A．美 B．吉 C．首 D．丽 31．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是（　　） A． B． C． D． 32．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则的值为 ． 【考点题型十一】立体图形的展开图在计算中的应用 33．（22-23七年级上·河南郑州·期末）如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积（    ）． A．增加了28 B．减少了28 C．增加了8 D．减少了8 34．（22-23七年级上·江西南昌·期末）如图是一个长方体的表面展开图，则这个长方体的表面积是 ．    35．（23-24七年级上·浙江舟山·期末）有两张长，宽的长方形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小长方形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个． (1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是________．（填“图1”或“图2”） (2)已知图1中裁去的小正方形边长为，求做成的纸盒体积． (3)已知图1、图2中裁去的小正方形边长分别为和，设为按图1方式裁得的3个纸盒底面周长之和，为按图2方式裁得的8个纸盒底面周长之和，试比较，的大小． 36．（23-24七年级上·河南安阳·期末）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，下图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； A．    B．    C．    D． (2)如下图，是云落的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______． (3)如下图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 【考点题型十二】线段、角的和差关系在计算中的应用 37．（24-25七年级上·山东·期末）如图，已知，，平分，平分，求和的度数． 38．（23-24七年级上·贵州安顺·期末）将一段长为60cm的绳子拉直铺平，沿点M，N折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），设点A，B分别落在点，处． (1)如图1，当点，恰好重合时，的长为______cm； (2)如图2，若点落在点的左侧，且，求的长； (3)若，请直接写出的长．（用含的式子表示） 【考点题型十三】线段、角的倍分关系在计算中的应用 39．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，点B是线段上一点，且，﹒ (1)求线段的长； (2)如果点O是线段的中点，求线段的长． 40．（22-23七年级上·陕西西安·期末）如图，，是内的两条射线，平分，且．若，，求的度数． 【考点题型十四】线段的中点在计算中的应用 41．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，是线段上两点，若线段，，且是线段的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 42．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，点、分别是线段上两点（），用圆规在线段上截取，，若点与点恰好重合，，则 ．    43．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如果，，求的长； (2)如果，求的长． 【考点题型十五】角平分线在计算中的应用 44．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知点A、O、B在同一条直线上，射线和射线分别平分和，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 45．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，是的平分线，，，则 ．    46．（23-24七年级上·陕西安康·期末）如图，射线在的内部，，分别是，的平分线． (1)若，，则________度； (2)若的度数为，的度数为，则是多少度？（用，表示） (3)请写出与的数量关系，并说明理由． 【考点题型十六】分类讨论思想在线段和角的计算中的应用 47．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 48．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线．若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫作这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长是 ． 49．（22-23七年级上·四川成都·期末）若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 50．（22-23七年级上·江苏南京·期末）已知，是过点的一条射线，分别平分． (1)如图①，如果射线在的内部，，则 ； (2)如图②，如果射线在的内部绕点旋转，，则 ； (3)如果射线在的外部绕点旋转，，请借助图③探究的度数． 【考点题型十七】方程思想在线段和角的计算中的应用 51．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点、点在线段上，是线段的中点，，若，则的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 52．（23-24七年级上·浙江·期末）如图，直线交于点O，，若，则等于 度． 53．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)若2，求的度数． 54．（22-23七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，已知B，C两点把线段分成三部分，M为的中点，，求的长． 【考点题型十八】整体思想在线段和角的计算中的应用 55．（22-23七年级上·广东东莞·期末）如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长； (3)若，求的长； (4)指出与之间的大小关系． 56.（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数．（用含的代数式表示） 【考点题型十九】特殊到一般思想在线段和角的计算中的应用 57．（22-23七年级上·河南新乡·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______． (2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 58．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）为了培养同学们的几何思维能力，张老师给同学们设置了一道几何题探究题：将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，；三角尺中，，分别作的平分线．试求出的度数．为了便于同学们探究，特别进行了以下活动： [初步探究] 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）图2中的度数为________，图3中的度数为________． [深入探究] （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为__________．如果设，请求出图1中的度数．    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