河南省驻马店高级中学2024-2025学年高三下学期5月月考数学试题

驻马店高中2024-2025学年高三下期五月月考

数学试题

 

注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

4.满分：150分  考试时间：120分钟

一、单选题（每小题5分，共计40分）

1．已知为虚数单位，且，则（   ）

A． B． C． D．

2．双曲线的焦距为（   ）

A． B． C．5 D．10

3．若随机变量，且，则的最小值为（   ）

A．18 B． C．24 D．27

4．已知集合，集合，则（   ）

A． B． C． D．

5．已知集合，，则“”是“”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，若是以为直角的等腰直角三角形，则C的离心率为（   ）

A．2 B． C． D．3

7．已知不共线向量，，若向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（   ）

A． B．

C． D．

8．已知，，函数的图象与函数的图象相邻的三个交点分别为B，C，D，若是边长为12的等边三角形，则函数的最大值为（   ）

A．6 B． C．12 D．

 

 

 

二、多选题（每小题6分 共计18分）

9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，圆，则下列说法正确的是（   ）

A．若，则的面积为2

B．若，则直线被圆截得的弦长为

C．若为等腰三角形，则满足条件的点有2个

D．若为与轴正半轴的交点，为圆的直径（在第一象限），的中点为，（表示斜率），则点的横坐标为

10．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（   ）

A．焦点到抛物线的准线的距离为8

B．

C．若的中点的横坐标为3，则

D．若，则

11．对于平面内的一个有限点集由有限个点组成的集合若该点集内的每个点都恰有三个与之距离最近的点这三个点也在点集内则称这样的点集为“对称集”，记作其中n表示该点集内点的个数.如集合不存在；集合存在，该集合内16个点的一种分布方式为如图所示，则使存在的n还可以为（    ）

A．20 B．24 C．4 D．5

 

三、填空题 （每小题5分，共计15分）

12．在平面直角坐标系中，动点到两点的距离的平方和为10，则的取值范围为           ．

13．已知平面向量，若，则           ．

14．经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都有且只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则的取值范围是          .

四、解答题

15．（13分）在如图所示的几何体中，平面是的中点，．

(1)求证:平面；

(2)求二面角的正弦值．

 

 

16．（15分）

已知等差数列的公差为2，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和，求使成立的最大正整数的值.

 

17．（15分）

某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：

甲工厂试生产的一批零件的合格品率为80%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为90%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为88%．

(1)设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件．求证：；

(2)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；

(3)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”，已知，证明：．

 

18．（17分）

空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中均为常数，），为该平面的一个法向量.已知球的半径为4，点均在球的球面上，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.平面内的点在球面上，点在轴上的投影在轴的正半轴上，，过直线作球的截面，使得平面平面，设截面与球球面的交线为圆（为线段的中点）.

(1)求点的坐标.

(2)若平面，证明：平面平面.

(3)已知点在平面内，设线段在平面内绕着点逆时针旋转弧度至，点在圆上，且，过作平面，垂足为点.

①用表示点的坐标；

②若，求点到平面距离的最大值；

③若，当直线与平面所成的角最小时，求的值.

 

19．（17分）

已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，与平行的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．

(1)当直线不垂直于轴时，证明：直线轴；

(2)若，求；

(3)若，求