精品解析：江苏省盐城市盐都区第一共同体2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题

2025年春学期5月份课堂练习 八年级数学试题 时间：100分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 以下调查中，最适合用普查的是（ ） A. 调查观众对《哪吒2》的满意度 B. 了解江苏省中学生的心理健康状况 C. 了解某班级每位同学穿鞋的尺码 D. 对某批次新能源电池使用寿命检测 2. 花钿是古时一种花饰，在唐代达到鼎盛，下列四种眉心花钿图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列成语反应的事件中，发生的可能性最小的是（ ） A. 旭日东升 B. 瓜熟蒂落 C. 大海捞针 D. 十拿九稳 6. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 7. 反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（ ） A. B. 函数图象分布在第二、四象限 C. 点在该反比例函数图象上 D. y随x的增大而增大 8. 已知（m，n为两个连续奇数，）,则下列对p表述中正确的是（ ） A. 总是奇数 B. 总是偶数 C. 总无理数 D. 可能是有理数可能是无理数 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上） 9. 若分式的值为零，则______． 10. 比较大小：___________． 11. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是_______． 12. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A、E间的距离．若A、E间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是___________ °． 13. 如图，在中，点D、E分别是边、的中点，点F在线段上，，，，，线段的长度是 _____． 14. 关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是___________． 15. 在平面直角坐标系中，P是反比例函数图象上的一点，把点P绕着坐标原点O顺时针旋转的对应点落在一次函数图象上，则代数式的值是___________． 16. 如图，在中，，，，为的中点，为边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则此平行四边形的面积为___________． 三、解答题（本大题共有10小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 为了解八年级学生的生物实验操作情况，随机抽查了若干名学生的实验操作得分（满分为10分），并制作了如下所示的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次随机抽查学生人数为________，________； （2）抽得9分的扇形圆心角的度数为________； （3）若该年级有1000名学生，估计该年级生物实验操作得满分的有多少人？ 20. 中华民族有种折纸玩具“东南西北”，每每想起都会带给我们美好的童年回忆．此玩具的制作方法：通过折叠把一个正方形的纸片分成八个面积相等的部分，在每个部分分别写上相应的惩罚或奖励，叠合成“东南西北”，通过转动随机挑选出八个区域中的一个作为游戏的结果．如图1是小浩制作的一个“东南西北”玩具，展开后如图2所示： 试验次数 8 24 40 80 160 获得“钢笔”的次数 2 10 16 28 60 （1）转动一次获得奖励“文具”的概率为________． （2）小浩重新设计了一个“东南西北”玩具，在八个面上分别写上“钢笔”“笔记本”“圆规”三种奖品，经过多次实验后得到数据见上面表格，根据表格估算，八面中写有奖品“钢笔”的面数为________． 21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，三个顶点的坐标分别是． （1）画出关于点的中心对称图形； （2）D在方格纸中的格点上，若四边形是平行四边形，请在图中画出，并直接写出点D的坐标． 22. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作，交BC于点F． （1）求证：四边形DBFE是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形；为什么． 23. 某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为100件． （1）写出该商品上市以后日销售量y件与上市的天数x天之间的表达式； （2）广告合同约定，当日销售量不低于80件，并且持续天数不少于10天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”，并说明理由？ 24. 为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为． （1）去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ （2）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点C． （1）若点B坐标为时． ①求一次函数和反比例函数的解析式； ②在y轴上取一点P，当的面积为4时，求点P的坐标； （2）过点B作轴于点D，点Q为中点，线段交y轴于点P，连接．若面积为5，则k的值为________． 26. 【问题情境】矩形的折叠 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以折纸活动是一种有效的学习方式．活动课上，同学们选取相同矩形纸片进行操作，其中． 初步操作】 （1）小刚将图①中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，然后把纸片展平得到图②，证明四边形是正方形； 【操作探究】 （2）小红将矩形纸片先沿着与平行的虚线折叠（如图③），使点A、D分别落在上的G、H处，E，F分别在边上，将矩形纸片沿着折叠，点G、H分别落在点与点处，恰好点B在边上，与相交于点O，且，又已知，求线段的长； 【深入研究】 （3）如图④，小明将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得折痕，沿着折痕剪开．E、F分别在边上，，将矩形纸片沿着折叠，点M、D分别落到点与点处．点E从点N单向运动到点M的过程中，若边与边交于点P． 填空：的最大值为________；点P运动的路径长为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春学期5月份课堂练习 八年级数学试题 时间：100分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 以下调查中，最适合用普查的是（ ） A. 调查观众对《哪吒2》的满意度 B. 了解江苏省中学生的心理健康状况 C. 了解某班级每位同学穿鞋的尺码 D. 对某批次新能源电池使用寿命检测 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 根据适合普查的方式一般有以下几种：①范围较小；②容易掌控；③不具有破坏性；④可操作性较强．结合具体问题情境综合进行判断即可． 【详解】解：A、调查观众对《哪吒2》的满意度，考查范围较大，应采用抽样调查，故本选项不符合题意； B、了解江苏省中学生的心理健康状况，考查范围较大，应采用抽样调查，故本选项不符合题意； C、了解某班级每位同学穿鞋的尺码，考查范围较小，应采用普查，故本选项符合题意； D、对某批次新能源电池使用寿命检测，具有具有破坏性，应采用抽样调查，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 花钿是古时一种花饰，在唐代达到鼎盛，下列四种眉心花钿图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，掌握其定义，结合图形，找出对称轴，对称中心是关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴；中心对称，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心；由此结合图形，找出对称轴、对称中心即可求解． 【详解】解：A、有对称轴，对称中心，既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、有对称轴，没有对称中心，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、没有对称轴，没有对称中心，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、有对称轴，没有对称中心，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A ． 3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足以上条件为最简二次根式进行判断． 【详解】解：A、中被开方数含有分母，故不是最简二次根式，该项不符合题意； B、中被开方数含有分母，故不是最简二次根式，该项不符合题意； C、是最简二次根式，故该项符合题意； D、中被开方数含有因数4，故不是最简二次根式，该项不符合题意； 故选：C． 4. 下列式子从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，平方差公式，分式乘方等知识，掌握运算法则和性质是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式值不变据此逐项判断即可得出答案． 详解】解：A、，原变形错误，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项符合题意； C、，原变形错误，故此选项不符合题意； D、，与不一定相等，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 5. 下列成语反应的事件中，发生的可能性最小的是（ ） A. 旭日东升 B. 瓜熟蒂落 C. 大海捞针 D. 十拿九稳 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了可能性大小的判断，一般的必然事件的可能性大小为，不可能发生的可能性大小为，随机事件发生的可能性大小在至之间．旭日东升、瓜熟蒂落、瓮中捉鳖是必然事件；大海捞针是随机事件，可能性极小． 【详解】解：旭日东升、瓜熟蒂落是必然事件， 十拿九稳是随机事件，但发生的可能性比较大，不符合题意； 大海捞针是随机事件，可能性极小， 故选：C． 6. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，属于基础题型，熟知矩形对角线相等的性质是解题的关键； 根据矩形的对角线相等，而一般平行四边形的对角线不具有此性质判断即可. 【详解】解：矩形具有一般平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，还具有一般平行四边形不具有的对角线相等的性质； 故选：D. 7. 反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（ ） A. B. 函数图象分布在第二、四象限 C. 点在该反比例函数图象上 D. y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，求反比例函数解析式和反比例函数值，先利用待定系数法求出函数解析式，进而根据函数解析式得到函数经过的象限和增减性，再求出时的函数值，据此可得答案． 【详解】解：反比例函数的图像经过点， ，即反比例函数解析式为，故A说法正确，不符合题意； ∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，故B说法正确，不符合题意，D说法错误，符合题意； 当时，，则点在该反比例函数图象上，故C说法正确，不符合题意； 故选D． 8. 已知（m，n为两个连续奇数，）,则下列对p的表述中正确的是（ ） A. 总是奇数 B. 总是偶数 C. 总是无理数 D. 可能是有理数可能是无理数 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，掌握是解题的关键． 先得到，将其代入，结合完全平方公式进行化简得到，再由二次根式的性质化简求解． 【详解】解：∵m，n为两个连续奇数， ∴， ∴ ， ∵为奇数，则为偶数， ∴为偶数， 故选：B． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上） 9. 若分式的值为零，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，解方程和不等式等知识点，利用分式值为零的条件得到且，然后解方程和不等式即可，熟练掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解决此题的关键． 【详解】根据题意得且， 解得， 故答案为：． 10. 比较大小：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟知二次根式的性质． 11. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故可添加， 根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形， 故可添加， 故答案为：．（答案不唯一） 12. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A、E间的距离．若A、E间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是___________ °． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，可得是等边三角形，由菱形可得平分，继而可得． 【详解】解：连接，由题意得， ∵菱形的边长， ∴，平分， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：120． 13. 如图，在中，点D、E分别是边、的中点，点F在线段上，，，，，线段的长度是 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了中位线，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，根据点D、E分别是边、的中点得是的中位线，即可得，根据，，和勾股定理的逆定理得，根据E是边的中点得，即可得；掌握中位线，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∴， 故答案为：2． 14. 关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】方程两边同乘以x-1，化为整数方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围． 【详解】方程两边同乘以x-1，得，m-3=x-1， 解得x=m-2， ∵分式方程的解为正数， ∴x=m-2＞0且x-1≠0， 即m-2＞0且m-2-1≠0， ∴m＞2且m≠3， 故答案为：m＞2且m≠3． 15. 在平面直角坐标系中，P是反比例函数图象上的一点，把点P绕着坐标原点O顺时针旋转的对应点落在一次函数图象上，则代数式的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作轴于点Q，过点作轴于点，由题意可得出，，．再证明，即得出，即可求出，进而得出，最后将所求式子通分变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：如图，过点P作轴于点Q，过点作轴于点， ∵点在一次函数图象上， ∴，，， ∴ 由旋转的性质可知，， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵P是反比例函数图象上的一点， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查函数图象上的点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，坐标与图形，代数式求值．画出大致图象并正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 16. 如图，在中，，，，为的中点，为边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则此平行四边形的面积为___________． 【答案】8或 【解析】 【分析】本题考查含度角的直角三角形的性质，勾股定理、平行四边形性质、折叠性质,直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半等知识，分两种情况：①当点在下方时；②当点在上方时；在各自情况下，先由勾股定理求出长，再由平行四边形及折叠性质，数形结合表示出要求的线段，根据题意分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，，， ∴， 为的中点， ， 当点在下方时，如图所示，过点作于点， 四边形是平行四边形， ， 将沿折叠得到， ， ∴ ∵ ∴ ∴； 当点在上方时，如图所示： 同上理，可得，，而，则重合， ∴； 综上所述，平行四边形的面积为8或， 故答案为：8或． 三、解答题（本大题共有10小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）分别算出平方，再根据二次根式的性质化简即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内异分母的分式减法计算，再将除法化为乘法计算，化为最简分式，再代入分母有理化即可． 【详解】解：原式， ， ， ， ， 将 代入得 19. 为了解八年级学生的生物实验操作情况，随机抽查了若干名学生的实验操作得分（满分为10分），并制作了如下所示的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次随机抽查的学生人数为________，________； （2）抽得9分的扇形圆心角的度数为________； （3）若该年级有1000名学生，估计该年级生物实验操作得满分的有多少人？ 【答案】（1）40，15 （2）108 （3）175人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图及相关计算，用样本估计总体． （1）把各个分数段的人数相加，得出调查的总人数，再用整体1减去其它分数段所占的百分比，即可得出m的值； （2）将乘以抽得9分的人数的百分比，即可解答； （3）用总人数乘以理化生实验操作得满分的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：本次随机抽查的学生人数为（人）， ，即． 故答案为：40，15； 【小问2详解】 解：抽得9分的扇形圆心角的度数为． 故答案为：108； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该年级生物实验操作得满分的有175人． 20. 中华民族有种折纸玩具“东南西北”，每每想起都会带给我们美好的童年回忆．此玩具的制作方法：通过折叠把一个正方形的纸片分成八个面积相等的部分，在每个部分分别写上相应的惩罚或奖励，叠合成“东南西北”，通过转动随机挑选出八个区域中的一个作为游戏的结果．如图1是小浩制作的一个“东南西北”玩具，展开后如图2所示： 试验次数 8 24 40 80 160 获得“钢笔”的次数 2 10 16 28 60 （1）转动一次获得奖励“文具”的概率为________． （2）小浩重新设计了一个“东南西北”玩具，在八个面上分别写上“钢笔”“笔记本”“圆规”三种奖品，经过多次实验后得到数据见上面表格，根据表格估算，八面中写有奖品“钢笔”的面数为________． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】此题考查了频率估计概率、概率公式等知识，熟练掌握频率估计概率是解题的关键． （1）根据概率公式进行解答即可； （2）利用频率估计概率进行解答即可． 小问1详解】 解：转动一次共有8中等可能的结果，转动一次获得奖励“文具”的情况数为4种， 故转动一次获得奖励“文具”的概率为， 故答案：； 【小问2详解】 解：根据表格估算，随着试验次数的增加，八面中写有奖品“钢笔”的面数的频率稳定在，即左右， 则八面中写有奖品“钢笔”的面数为3． 故答案为：3． 21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，三个顶点的坐标分别是． （1）画出关于点的中心对称图形； （2）D在方格纸中的格点上，若四边形是平行四边形，请在图中画出，并直接写出点D的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】本题考查了画中心对称图形，平行四边形的判定，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）分别画出点关于原点中心对称的点，再顺次连接即可； （2）根据勾股定理可得，故四边形即为所作平行四边形，根据坐标系可直接得到点． 【小问1详解】 解：如图：即为所求： 【小问2详解】 解：如上图：即为所求，． 22. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作，交BC于点F． （1）求证：四边形DBFE是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形；为什么． 【答案】（1）证明见解析；（2）当AB=BC时，四边形DBEF是菱形，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明. （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明． 【详解】解：（1）∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴ 又∵， ∴四边形DBFE是平行四边形. （2）当AB=BC时，四边形DBEF是菱形． 理由如下： ∵D是AB的中点， ∴BD= AB， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE=BC， ∵AB=BC， ∴BD=DE， 又∵四边形DBFE是平行四边形， ∴四边形DBFE是菱形． 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键． 23. 某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为100件． （1）写出该商品上市以后日销售量y件与上市的天数x天之间的表达式； （2）广告合同约定，当日销售量不低于80件，并且持续天数不少于10天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”，并说明理由？ 【答案】（1）当时，；当时， （2）设计师可以拿到“特殊贡献奖” 【解析】 【分析】（1）将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中，利用待定系数法确定其解析式即可； （2）分别求得销量不低于80件的天数，相加后大于等于10天即可拿到特殊贡献奖，否则不能． 【小问1详解】 解：当时，设，把代入得， ； 当时，设，把代入得， ； 【小问2详解】 解：当时，又得，，即，有5天； 当时，由， 解得：，即，有5天， 共有（天， 因此设计师可以拿到“特殊贡献奖”． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型，难度不大． 24. 为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为． （1）去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ （2）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】（1）甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜 （2）的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键． （1）设乙组每分钟采摘x千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可得出x的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）设扩建后的长方形基地面积是原来的n倍（n为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的n倍，可建立关于n的一元一次方程，解方程即可得出用含a的代数式表示的n的值，再结合“，a为整数，且n为正整数”，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； 【小问2详解】 解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数的图象交于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点C． （1）若点B坐标为时． ①求一次函数和反比例函数的解析式； ②在y轴上取一点P，当的面积为4时，求点P的坐标； （2）过点B作轴于点D，点Q为中点，线段交y轴于点P，连接．若的面积为5，则k的值为________． 【答案】（1）①，；②P的坐标为或 （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）①待定系数法求出函数解析式即可；②根据分割法求面积，进行求解即可； （2）设，求出点坐标，点坐标易得均为等腰直角三角形，根据三角形的面积公式求出，即可． 【小问1详解】 解：①把点B坐标为分别代入和，得： ， ∴， ∴，； ②∵， ∴当时，当时，； ∴， ∴， ∴， ∴或，即：P的坐标为或； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，当时，； ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵过点B作轴于点D， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，即：． 26. 【问题情境】矩形的折叠 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以折纸活动是一种有效的学习方式．活动课上，同学们选取相同矩形纸片进行操作，其中． 【初步操作】 （1）小刚将图①中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，然后把纸片展平得到图②，证明四边形是正方形； 【操作探究】 （2）小红将矩形纸片先沿着与平行的虚线折叠（如图③），使点A、D分别落在上的G、H处，E，F分别在边上，将矩形纸片沿着折叠，点G、H分别落在点与点处，恰好点B在边上，与相交于点O，且，又已知，求线段的长； 【深入研究】 （3）如图④，小明将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得折痕，沿着折痕剪开．E、F分别在边上，，将矩形纸片沿着折叠，点M、D分别落到点与点处．点E从点N单向运动到点M的过程中，若边与边交于点P． 填空：的最大值为________；点P运动的路径长为________． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）8； 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得到，由折叠的性质得到，，则可证明是等腰直角三角形，得到，据此可证明结论； （2）先证明四边形是矩形，得到，，则；可证明，得到，，则，；由折叠的性质可得，，则，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案 （3）如图3-1所示，可证明，得到，则，故当时，有最小值，即此时有最大值，可证明此时四边形是矩形，则，即；如图3-2所示，当点E与点N重合时，同理可得，设，则，由勾股定理得，解方程可得；如图3-3所示，当点P恰好与点重合时，由折叠的性质可得，则，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵四边形矩形， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； （2）∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 由折叠的性质可得，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （3）如图3-1所示，由折叠的性质可得，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，有最大值， ∴当时，有最小值，即此时有最大值， ∴此时四边形是矩形， ∴， ∴； 如图3-2所示，当点E与点N重合时，同理可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 如图3-3所示，当点P恰好与点重合时， 由折叠的性质可得， ∴， ∴点P运动的路径长为． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正方形的判定，全等三角形的性质与判定等待，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$