精品解析：广东省揭阳市榕城区揭阳真理中学2024-2025学年八年级下学期第二次训练数学试题

2024-2025学年度第二学期第二次综合训练八年级数学科试卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 我国新能源汽车产业飞速发展，自主品牌开启出海大时代．下列是新能源汽车的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若、的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列关于的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 不等式组的解集是关于的不等式解集的一部分，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是( ) A. x+2＝3 B. x﹣2＝3 C. x﹣2＝3(2x﹣1) D. x+2＝3(2x﹣1) 8. 已知a、 b、 c为的三边长, 且，则是( ) A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形 9. 小红带着数学兴趣小组研究分式，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当越来越大时，的值越来越接近于1 10. 如图，和都是等边三角形，、、三点在一条直线上，与相交于点，、相交于点，、相交于点，则下列五个结论：①；②；③；④平分；⑤是等边三角形．⑥MN∥BD．其中，一定正确的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 12. 若分式的值为零，则x的值为_____． 13. 如图，在中，，，的平分线交于点，若，则点到的距离为_____． 14. 关于x的分式方程有增根，则___________． 15. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是_____． 三、解答题（本题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 先化简，再求值：，已知是满足的整数，选择一个合适的代入求值． 18. 如图，中，，将沿着一条直线折叠后，使点与点重合（图②）． （1）在图①中画出折痕所在的直线．直线与分别相交于点，连结（尺规作图，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，证明：是等腰三角形． 四、解答题（本题3小题，每小题9分，共27分） 19. （1）已知，求分式的值； （2）小丽在课下自主学习时，通过查阅资料发现，请你根据这一规律，化简． 20. 利用完全平方公式进行因式分解，是我们常用的一种公式法，我们有些时候也会应用完全平方公式进行二次根式的因式分解． 例如：；仿照例子完成下面的问题参考例题要把结果进行化简． （1）若，求的值； （2）如图，中，，，点为上的点，满足，求的长． 21. 2024年是甲辰龙年，龙作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，其形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知每个A款吉祥物的售价比每个B款吉祥物的售价高20元，顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同． （1）求每个B款吉祥物的售价； （2）为了促销，商店对A款吉祥物打八八折销售，B款吉祥物售价不变．李老师为激励学生奋发向上，准备用不超过360元的钱购买A，B两款吉祥物共10个来奖励学生，则李老师最多可购买多少个A款吉祥物？ 五、解答题（本题2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：． 例如：求代数式的最小值． 原式． ， 当时，有最小值是2． 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式（利用配方法）：； （2）求多项式的最小值； （3）已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 23. 问题情境 在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC． 特例探究 如图1，当DM＝DN时， （1）∠MDB＝　 　度； （2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　； 归纳证明 （3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明． 拓展应用 （4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期第二次综合训练八年级数学科试卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 我国新能源汽车产业飞速发展，自主品牌开启出海大时代．下列是新能源汽车的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、原图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意； B、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、原图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 若、的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题关键是理解分式的基本性质． 根据题意，将四个分式中的、分别换为、，计算后再作判断． 【详解】解：∵、的值均扩大为原来的3倍， ∴将分式中的、分别换为、， ，故A不符合； ，故B符合； ，故C不符合； ，故D不符合， 故选：B． 3. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A．，从左边到右边的变形是整式乘法计算，故A不符合题意； B．，等式的右边不是几个整式的积的形式，故B不符合题意； C．，从左边到右边的变形属于因式分解，故C符合题意； D．，从左边到右边的变形是整式乘法计算，故D符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 4. 下列关于的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：②，④是分式方程； ①，③是一元一次方程； 所以是分式方程的是②④， 故选：B． 5. 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，分式有意义的条件，正确的计算是解题的关键． 解分式方程，根据分式方程的解为非负数，进而列出一元一次不等式，结合分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， ∵关于x的分式方程的解是非负数， ∴且， 解得：且， 故选：D． 6. 不等式组的解集是关于的不等式解集的一部分，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．先求出不等式组的解集，再解出一元一次不等式的解集，然后列不等式求解可得答案． 【详解】解：， 解得：， ∵， 解得：， ∵不等式组的解集为不等式解集的一部分， ∴， 解得：， 故选：A． 7. 解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是( ) A. x+2＝3 B. x﹣2＝3 C. x﹣2＝3(2x﹣1) D. x+2＝3(2x﹣1) 【答案】C 【解析】 【分析】最简公分母是2x﹣1，方程两边都乘以(2x﹣1)，即可把分式方程便可转化成一元一次方程． 【详解】方程两边都乘以(2x﹣1)，得 x﹣2＝3(2x﹣1)， 故选C． 【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 8. 已知a、 b、 c为的三边长, 且，则是( ) A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系：由得，化简得，因为，则即可作答． 【详解】解：∵a、 b、 c为的三边长, 且， ∴， ∴，即， 故 解得， ∴是等腰三角形 故选：D 9. 小红带着数学兴趣小组研究分式，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当越来越大时，的值越来越接近于1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，解分式方程．直接代入计算可判断选项A；解分式方程可判断选项B；利用求差法可判断选项C；利用分式的性质可判断选项D． 【详解】解：当时，，原说法错误，选项A不符合题意； 当时，去分母得，解得，经检验是方程的解，原说法错误，选项B不符合题意； 当时，∵， ∴，原说法错误，选项C不符合题意； 当越来越大时，的值越来越接近于1，说法正确，选项D符合题意； 故选：D． 10. 如图，和都是等边三角形，、、三点在一条直线上，与相交于点，、相交于点，、相交于点，则下列五个结论：①；②；③；④平分；⑤是等边三角形．⑥MN∥BD．其中，一定正确的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据等边三角形的性质得CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，则∠ACE=60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD=BE； ②由△ACD≌△BCE得到∠CAD=∠CBE，然后根据“ASA”判断△ACN≌△BCM，即可解决问题； ③根据三角形内角和定理可得∠CAD+∠CDA=60°，而∠CAD=∠CBE，则∠CBE+∠CDA=60°，然后再利用三角形内角和定理即可得到∠BPD=120°，即可得到结论； ④作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图，由△ACD≌△BCE得到CQ=CH，于是根据角平分线的判定定理即可得到CP平分∠BPD．但没有条件得出CP平分∠MCN ； ⑤由②知△ACN≌△BCM，得到，即可得到为等边三角形； ⑥由△ACN≌△BCM得到CN=BM，加上∠MCN=60°，则根据等边三角形的判定即可得到△CMN为等边三角形，得到∠CMN=60°，所以∠CMN=∠BCM，于是根据平行线的判定即可得到MNBC； 【详解】①∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°， ∴∠ACE=60°， ∴∠ACD=∠BCE=120°， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE；故①正确； ②∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD=∠CBE， 在△ACN和△BCM中， ， ∴△ACN≌△BCM（ASA）， ∴AN=BM，∠BMC=∠ANC；故②正确； ③∵∠CAD+∠CDA=60°， 而∠CAD=∠CBE， ∴∠CBE+∠CDA=60°， ∴∠BPD=120°， ∴∠APM=60°；故③正确； ④作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图， ∵△ACD≌△BCE， ∴CQ=CH， ∴CP平分∠BPD， 但没有条件得出CP平分∠MCN， 故④错误； ⑤在和中, , , , 为等腰三角形,, 是等边三角形,故选项⑤正确; ⑥∵△ACN≌△BCM， ∴CN=BM， 而∠MCN=60°， ∴△CMN为等边三角形； ∴∠CMN=60°， ∴∠CMN=∠BCM， ∴MNBC；故⑥正确． 正确的有：①②③⑤⑥，共5个． 故选：C． 【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用完全平方公式进行分解即可. 【详解】 =x2-2•x•2y+(2y)2 =(x-2y)2， 故答案为(x-2y)2. 【点睛】本题考查了因式分解——公式法，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键. 12. 若分式的值为零，则x的值为_____． 【答案】2 【解析】 【详解】解：根据分式值为0的条件，则 解得： 故答案为2． 13. 如图，在中，，，的平分线交于点，若，则点到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点作于点，则为点到的距离，在中，根据含有角的直角三角形的性质可求出的度数，是的角平分线，可求出，在，中，根据含有角的直角三角形的性质可求出的长，由此可求出的值． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则为点到的距离， ∵是直角三角形，， ∴，且， 在中，是的角平分线， ∴， 在中，，则，，则， ∵， ∴在中，，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查含有角的直角三角形的性质，掌握含有角的直角三角形边的计算方法是解的关键． 14. 关于x的分式方程有增根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】等式两边同时乘以公因式，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出的值，即可求出． 【详解】， 解：方程两边同时乘以，得， ∴， ∵原方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根． 15. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，取AB的中点E，连接CE，PE．由△QBC≌△PBE（SAS），推出QC＝PE，推出当EP⊥AC时，QC的值最小； 【详解】解：如图,取AB的中点E,连接CE,PE． ∵∠ACB＝90°,∠A＝30°, ∴∠CBE＝60°, ∵BE＝AE, ∴CE＝BE＝AE, ∴△BCE是等边三角形, ∴BC＝BE, ∵∠PBQ＝∠CBE＝60°, ∴∠QBC＝∠PBE, ∵QB＝PB,CB＝EB, ∴△QBC≌△PBE（SAS）, ∴QC＝PE, ∴当EP⊥AC时,QC的值最小, 在Rt△AEP中,∵AE＝,∠A＝30°, ∴PE＝AE＝, ∴CQ的最小值为． 【点睛】本题旋转的性质，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 三、解答题（本题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤去解答：去分母将分式方程化为整式方程、解整式方程、检验、回答． 【详解】解：原方程可化为：． 方程两边同时乘以，得 ． 化简，得． 解得 ． 检验：时， 所以不是原分式方程的解， 所以原分式方程无解． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，尤其是检验是解分式方程的重要步骤． 17. 先化简，再求值：，已知是满足的整数，选择一个合适的代入求值． 【答案】，当时，值为 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，利用分式的通分和约分、平方差公式对所求值式子进行化简，最后根据 是满足的整数，但不能为0，，选一个合适的数字，代入计算即可． 【详解】解： ， 当或时，原分式无意义，是满足的整数， ， 当时，原式． 18. 如图，中，，将沿着一条直线折叠后，使点与点重合（图②）． （1）在图①中画出折痕所在的直线．直线与分别相交于点，连结（尺规作图，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，证明：是等腰三角形． 【答案】（1） 作线段的垂直平分线交于点D，如图： （2） 证明：由（1）可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线和等腰三角形的判断，用到的知识点：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上利用垂直平分线上点到线段的两个端点的距离相等来找相等的线段，进而求得等腰三角形的个数． （1）作出的垂直平分线即可； （2）证明，可得，故可得是等腰三角形 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（本题3小题，每小题9分，共27分） 19. （1）已知，求分式的值； （2）小丽在课下自主学习时，通过查阅资料发现，请你根据这一规律，化简． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）设，则，，，然后代入分式中化简即可； （2）根据题意，将分式变形计算即可． 【详解】（1）设（），则，，， 把，，代入， 原式 ． （2）原式 ． 【点睛】此题考查的是分式的化简和求值题，掌握设参法和裂项相消的运算规律是解决此题的关键． 20. 利用完全平方公式进行因式分解，是我们常用的一种公式法，我们有些时候也会应用完全平方公式进行二次根式的因式分解． 例如：；仿照例子完成下面的问题参考例题要把结果进行化简． （1）若，求的值； （2）如图，中，，，点为上的点，满足，求的长． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目已给的因式分解方法，对所求式子因式分解，即可求出的值； （2）先根据已知条件得到根据直角三角形中含的性质求出和的长度，然后根据线段间的数量关系求出的长，最后根据勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 解：， ， 或 【小问2详解】 解：， ， ， 在直角中，， ，， ， ∵． ∴； 【点睛】本题考查了勾股定理；二次根式的性质，因式分解；直角三角形斜边上的中线，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 21. 2024年是甲辰龙年，龙作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，其形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知每个A款吉祥物的售价比每个B款吉祥物的售价高20元，顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同． （1）求每个B款吉祥物的售价； （2）为了促销，商店对A款吉祥物打八八折销售，B款吉祥物售价不变．李老师为激励学生奋发向上，准备用不超过360元的钱购买A，B两款吉祥物共10个来奖励学生，则李老师最多可购买多少个A款吉祥物？ 【答案】（1）30元 （2）李老师最多可购买4个A款吉祥物 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用问题，根据题意找到相等关系和不等关系是解题的关键． （1）设每个B款吉祥物的售价为x元，则每个A款吉祥物售价为元，根据顾客花顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，列出分式方程求解即可； （2）设李老师购买m个A款吉祥物，则购买个B款吉祥物，根据用不超过360元的钱购买A，B两款吉祥物共10个来奖励学生列出一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每个B款吉祥物的售价为x元，则每个A款吉祥物售价为元， 根据题意得，解得． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：每个B款吉祥物的售价为30元． 【小问2详解】 解：设李老师购买m个A款吉祥物，则购买个B款吉祥物， 根据题意得．解得． 又∵m为正整数， ∴m的最大值为4． ∴李老师最多可购买4个A款吉祥物． 五、解答题（本题2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：． 例如：求代数式的最小值． 原式． ， 当时，有最小值是2． 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式（利用配方法）：； （2）求多项式的最小值； （3）已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】（1） （2） （3）12 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、乘法公式，熟练掌握利用配方法分解因式是解题关键． （1）先原式配方为，再利用完全平方公式可得，然后利用平方差公式分解因式即可得； （2）利用配方法和完全平方公式可得，再求出，由此即可得； （3）先利用配方法和完全平方公式可得，则可得，求出的值，由此即可得． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，是的三边长， ∴的周长为． 23. 问题情境 在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC． 特例探究 如图1，当DM＝DN时， （1）∠MDB＝　 　度； （2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　； 归纳证明 （3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明． 拓展应用 （4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　． 【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC； （3）解：猜想：MN＝BM+NC，证明如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD＝CD，∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠MBD＝∠NCD＝90°． ∴∠MBD＝∠ECD＝90°， 又∵BD＝CD，BM＝CE， ∴△DBM≌△DCE（SAS）， ∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC， ∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠MDB+∠NDC＝60°， ∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°， ∴∠EDN＝∠MDN， 又∵DN＝DN， ∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC； （4） 【解析】 【分析】（1）先证明△MDN是等边三角形，则MN＝DM＝DN，再证明Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），得∠BDM＝∠CDN＝30°； （2）由（1）得DM＝2BM，可得结论MN＝2BM＝BM+NC； 归纳证明：先证△DBM≌△DCE（HL），得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再证△MDN≌△EDN（SAS），得MN＝NE，可得结论MN＝BM+CN； 拓展应用： （3）首先根据题意利用SAS证明△DBM≌△DCE，然后证明△MDN≌△EDN，根据全等三角形对应相等通过线段之间的转化即可得到MN＝BM+NC； （4）由（3）得到MN＝BM+NC，则△AMN的周长＝2AB，△ABC的周长＝3AB，即可得出结论． 【详解】特例探究： 解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴△MDN是等边三角形， ∴MN＝DM＝DN， ∵∠BDC＝120°，BD＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠DBM＝∠DCN＝90°， ∵BD＝CD，DM＝DN， ∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL）， ∴∠MDB＝∠NDC＝30°， 故答案为：30； （2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL）， ∴BM＝CN， ∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC， 即MN＝BM+NC； 归纳证明 （3）略 拓展应用 （4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC的周长＝3AB， ∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为＝， 故答案为：． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质的，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $