专题02二次根式混合计算及化简四大类型-2024-2025学年八年级数学下册【高分必刷】专练（人教版）

专题02 二次根式混合计算及化简（原卷版） （4大类型精选40题） 类型一：二次根式的乘除 类型二：二次根式的加减 类型三：二次根式加减乘除混合计算 类型四：分母有理化 类型一：二次根式的乘除 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) 3．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 8．（23-24八年级下·河北张家口·期中）计算：． 9．（19-20八年级上·上海长宁·期中）计算： 10．（24-25八年级上·上海崇明·期中）计算：． 类型二：二次根式的加减 11．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) 14．（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）计算： (1)； (2)． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 16．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 17．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) 18．（24-25八年级下·西藏拉萨·期中）计算： (1) (2)． 19．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）计算： (1) (2) 20．（24-25八年级下·北京·期中）计算： (1) (2) (3) 类型三：二次根式加减乘除混合计算 21．（2025八年级下·湖北·专题练习）计算： (1)； (2)． 22．（2025八年级下·内蒙古·专题练习）计算： (1)； (2)． 23．（24-25八年级下·四川南充·期中）计算： (1) (2) 24．（24-25八年级下·山东临沂·期中）计算 (1) (2) 25．（24-25八年级下·四川德阳·期中）（1）计算：； （2）计算：． 26．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 27．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 28．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 29．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）化简计算： (1) (2) 30．（24-25八年级下·福建莆田·期中）计算： (1)； (2)． 类型四：分母有理化 31．（24-25八年级下·吉林·期中）已知，，．求： (1)和的值； (2)求的值． 32．（24-25八年级下·广东广州·期中）先化简，再求值：，其中，． 33．（24-25八年级下·广西南宁·期中）阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）； （二）； 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)化简______． (2)化简：． 34．（24-25八年级下·新疆喀什·阶段练习）已知，，求的值． 35．（23-24九年级上·四川广元·期末）先化简，再求值：，其中，． 36．（24-25八年级下·浙江温州·期中）①我们在学习二次根式的时候发现：形如的式子可以进行分母有理化，过程如下．请利用以上阅读材料解决以下问题． (1)__________； (2)求的值． (3)比较________（用“”、“”或“”填空）． 37．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）在学习了二次根式的化简与运算后，解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值． (2)使用以上方法化简： 38．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解下列材料，并解决相应的问题． ［材料一］两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是 （写出一个即可），的有理化因式是 （写出一个即可）； ［材料二］如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简计算：． ［材料三］与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．比如：． （3）试利用分子有理化比较和的大小．并说明理由． 39．（24-25八年级下·安徽池州·期中）在进行二次根式化简时，遇到，之类的式子，我们需要将其进一步化简：，．以上化简的步骤叫作分母有理化． (1)化简：______． (2)已知，，求的值． (3)计算：． 40．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次根式混合计算及化简（解析版） （4大类型精选40题） 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，然后运用二次根式乘法法则计算即可； （2）根据二次根式的性质化简，然后运用二次根式乘法法则计算即可； （3）根据二次根式的性质化简，然后运用二次根式乘法法则计算即可； （4）根据运用乘法分配律和二次根式的性质化简即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的除法、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先计算括号内，再进行除法运算即可； （2）利用除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4) 【知识点】二次根式的除法、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的除法法则：根指数不变，被开方数相除进行计算； （2）先逆用二次根式相乘法则，把写成，进行约分即可； （3）根据二次根式的除法法则：根指数不变，被开方数相除进行计算； （4）根据二次根式的除法法则：系数相除，根指数不变，被开方数相除进行计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)30 (3)1 (4) 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的乘除运算法则，是解题的关键： （1）先化简，再计算二次根式的乘法； （2）利用二次根式的性质（且）计算可得； （3）根据二次根式的乘除法则进行计算即可； （4）先计算括号内的二次根式的除法，再计算乘法可得． 【详解】（1）原式 （2）原式； （3）原式； （4）原式． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)3y 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算． （1）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （3）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （4）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： • • ． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （2）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （3）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （4）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 7．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可； （2）先根据二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的混合运算法则和二次根式性质化简求解即可． 【详解】（1）解：∵，有意义， ∴， ∴ ； （2）解：∵有意义， ∴， ． 8．（23-24八年级下·河北张家口·期中）计算：． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的乘除混合运算计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 9．（19-20八年级上·上海长宁·期中）计算： 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键．利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案． 【详解】解： 原式 10．（24-25八年级上·上海崇明·期中）计算：． 【答案】． 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，根据二次根式的乘除法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 11．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2)0 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的运算及平方、开平方的性质．涉及平方运算、平方根运算及二次根式的化简．解题时需分步骤计算每个项，注意平方与开方的逆运算关系，以及二次根式化简时的分母有理化和同类项合并． （1）由题意正确应用平方与开平方的逆运算，注意负数平方后的根号处理； （2）先将二次根式化简为最简形式后合并同类项，并进行分母有理化，合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． （1）化简二次根式，然后合并即可； （2）去括号，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （3）化简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握加减运算法则，是解题的关键： （1）直接合并即可； （2）先化简，再合并即可； （3）先化简，再合并即可； （4）先化简，再合并即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 14．（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用平方差公式和完全平方公式先去括号，然后计算加减即可； （2）先化简二次根式，去括号，然后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再合并同类二次根式即可； （3）先化简，再合并同类二次根式即可； （4）先化简，再合并同类二次根式即可； （5）先化简，再合并同类二次根式即可； （6）先化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式； （5）原式； （6）原式． 16．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)2 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减，熟练掌握性质是解答本题的关键． （1）根据求解即可． （2）先判断的正负，再根据求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ ； （2）∵， ∴， ∴ ． 17．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的性质，合并同类二次根式的方法，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再合并同类二次根式即可； （3）先化简，再合并同类二次根式即可； （4）先化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 18．（24-25八年级下·西藏拉萨·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】零指数幂、利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】（）利用二次根式的性质先化简，再合并即可； （）利用二次根式的性质、绝对值的性质、二次根式的除法运算法则、零指数幂分别化简，再合并即可； 本题考查了二次根式的加减和混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】负整数指数幂、二次根式的乘法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，涉及负整数指数幂和化简绝对值，掌握运算法则，正确化简二次根式是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘法和化简绝对值，以及计算负整数指数幂，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．（24-25八年级下·北京·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先化简二次根式后再合并即可； （2）原式先计算二次根式的乘法和除法，再计算加减法即可； （3）原式根据平方差公式 和完全平方公式将括号展开，再合并即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 21．（2025八年级下·湖北·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质， （1）先根据二次根式乘法及性质进行计算，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式乘法和除法进行计算，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 1； （2）原式 ． 22．（2025八年级下·内蒙古·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、负整指数幂的运算和指数幂的运算、平方差公式的应用． 根据负整指数幂的运算法则可得：，根据指数幂的运算法则可得：，从而可得：原式，再合并同类二次根式即可； 根据立方根的定义可得：，根据平方差公式可得：，根据二次根式的乘法法则和除法法则可得：，从而可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． ； （2）解： ． 23．（24-25八年级下·四川南充·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的混合计算法则是解题的关键． （1）先利用平方差公式去括号，然后化简二次根式和绝对值，再计算加减法即可得到答案； （2）先化简二次根式，再计算二次根式乘除法，最后计算加法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（24-25八年级下·山东临沂·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先将二次根式化简，再利用二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据平方差公式，完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）． 25．（24-25八年级下·四川德阳·期中）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）（2） 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了零指数幂、绝对值、负整数指数幂、二次根式运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）首先根据零指数幂运算法则、绝对值的性质、二次根式性质以及负整数指数幂运算法则进行计算，然后相加减即可； （2）首先根据二次根式乘除运算法则进行计算，在化简二次根式，然后相加减即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 26．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）利用完全平方公式求解即可； （2）利用乘法公式进行二次根式的运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 27．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法与加减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）先计算二次根式的乘法，再化简二次根式即可得； （2）先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加减法即可得； （3）利用完全平方公式计算二次根式的乘法即可得； （4）先利用乘法分配律计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 28．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据积的乘方逆运算、和平方差公式计算即可． （2）根据完全平方公式进行二次根式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 29．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）化简计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，零指数幂，去绝对值，负整数指数幂，熟练掌握实数的运算法则是解题关键． （1）先根据二次根式的除法法则、乘法法则化简，再加减即可求解； （2）根据零指数幂的定义、去绝对值、负整数指数幂化简，再加减即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 30．（24-25八年级下·福建莆田·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了实数混合运算，二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可； （2）根据平方差公式，积的乘方逆用，零指数幂运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 31．（24-25八年级下·吉林·期中）已知，，．求： (1)和的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先分母有理化，得，，再进行计算即可； （2）先化简，再整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ； （2）解： ． 32．（24-25八年级下·广东广州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【知识点】约分、二次根式的加减运算、分母有理化 【分析】本题考查了分式的约分，二次根式的运算；先分解因式，再约分，最后代入计算即可． 【详解】解： ； 当，时，原式． 33．（24-25八年级下·广西南宁·期中）阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）； （二）； 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)化简______． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查分母有理化，平方差公式计算等． （1）根据题意分子分母同时乘以，继而得到本题答案； （2）根据题意利用平方差公式通分后再进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， 故答案为：； （2）解：， ， ， ． 34．（24-25八年级下·新疆喀什·阶段练习）已知，，求的值． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化和二次根式的加减乘除运算，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题的关键． 先对a、b进行分母有理化，再代入计算即可． 【详解】解： ； ； 则． 35．（23-24九年级上·四川广元·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【知识点】分式化简求值、分母有理化 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化；先根据分式的混合运算进行计算，然后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 36．（24-25八年级下·浙江温州·期中）①我们在学习二次根式的时候发现：形如的式子可以进行分母有理化，过程如下．请利用以上阅读材料解决以下问题． (1)__________； (2)求的值． (3)比较________（用“”、“”或“”填空）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化． （1）根据平方差公式进行分母有理化可以解答本题； （2）先分母有理化，再合并同类二次根式即可； （3）根据分母有理化的方法计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 37．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）在学习了二次根式的化简与运算后，解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值． (2)使用以上方法化简： 【答案】(1) (2)5 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题意过程得，再整理原式，代入进行计算，即可作答． （2）先整理得，则，继续化简，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ． 故原式 当时 原式 ． （2）解：依题意，， ， …… 以此类推得，且为正整数， 38．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解下列材料，并解决相应的问题． ［材料一］两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是 （写出一个即可），的有理化因式是 （写出一个即可）； ［材料二］如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简计算：． ［材料三］与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．比如：． （3）试利用分子有理化比较和的大小．并说明理由． 【答案】（1）（答案不唯一），（答案不唯一）；（2）；（3） 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据分母有理化计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】解：（1）的有理化因式是（答案不唯一）， 的有理化因式是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）； （2） ； （3）， ， ， ， ． 39．（24-25八年级下·安徽池州·期中）在进行二次根式化简时，遇到，之类的式子，我们需要将其进一步化简：，．以上化简的步骤叫作分母有理化． (1)化简：______． (2)已知，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1) (2)16 (3)2024 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）根据分母有理化求出，求出的值，再把变形为，最后整体代入计算即可； （3）先分母有理化，然后合并，再算乘法即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ， ∴，， ∴． （3）解： ． 40．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)，理由见详解 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】（1）结合题意，求得，然后代入求值即可； （2）将原式整理为，即可获得答案； （3）比较与的大小，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2） ． 故答案为：； （3），理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$