专题04勾股定理与几何综合问题四大类型-2024-2025学年八年级数学下册【高分必刷】专练（人教版）

专题04 勾股定理与几何综合问题（原卷版） （4大类型精选40题） 类型一：勾股定理解三角形 类型二：勾股与折叠问题 类型三：勾股与最值问题 类型四：勾股与面积问题 类型一：勾股定理解三角形 1．（2025·河南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 ． 2．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为 ． 3．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知中，，点在底边上，，，．若，则的长为 ． 4．（2024·广东广州·一模）如图，为等边三角形，点D为外的一点，，，，则的面积为 ． 5．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，是等边三角形，D为外一点，，则的长为 ．    6．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 7．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时， ． 8．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，于点，平分，交于点，于点，交于点．若，，则的长为 ． 9．（2024·湖北荆州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若，则CD＝ ． 10．（24-25九年级上·重庆北碚·期中）如图，为斜边上的中线，过点D作的垂线交于点E，过点B作的垂线交的延长线于点，则 类型二：勾股与折叠问题 11．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 12．（22-23八年级上·重庆渝中·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线交于E，交于D，F为上一点，连接，点C关于的对称点恰好落在的延长线上，则的长为 ． 13．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则 ． 14．（22-23八年级下·北京海淀·期中）如图，在中，，，，D，E分别是边和上的点，把沿着直线折叠，若B恰好落在中点M上，则长为 ． 15．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．则 °．若，，则 16．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）如图，在长方形纸片中，．将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长为 ． 17．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知，线段上有一点P（不与B、C重合），连接，将沿翻折，得到，连接、，当为等腰三角形时，的长为 ． 18．（2024·重庆綦江·二模）如图，在中，，，将折叠，点恰好落在的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则的长度为 19．（2024·河南郑州·三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是 ． 20．（2023·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，，，点是的中点，点是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，若为直角三角形，则的长为 ．    类型三：勾股与最值问题 21．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，点P为斜边上一动点，过点P作，，垂足分别为D，E，连接．若，，则的最小值 ． 22．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，正方形的边长为，点在边上运动，点在边上运动，运动过程中的长度保持不变，且．若是的中点，是边上的动点，则的最小值为 ． 23．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）如图，在中，，，点、是线段、上的两个动点，满足，则的最小值为 ． 24．（24-25八年级下·四川广元·期中）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为 ． 25．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在中，，，，为上一动点（不与点，点重合），将绕点顺时针旋转得到，连接，以为直角顶点，为直角边，在上方构造等腰直角三角形，为的中点，连接，，则的最小值是 ． 26．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，，点为射线上的一个动点，在的左侧作，其中，，连接，求的最小值为 ． 27．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，四边形面积为，连接对角线，其中，则的最小值为 ． 28．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如图，在直角中，，，，绕点摆动到的位置，取的中点，连接、，求绕点摆动的过程中， （1） ； （2）的最小值为 ． 29．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形中，和互相垂直，，．则的最小值为 ． 30．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在中，，，、分别是、边上的动点，连接、，则的最小值是 ． 类型四：勾股与面积问题 31．（23-24八年级下·甘肃陇南·期中）已知：在中，，于，，．求：    (1)求的面积； (2)求线段的长： (3)求高的长． 32．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）如图在四边形中，为对角线，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 33．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在四边形中，，垂足为E，，连接，若， ．求：   (1)的长； (2)四边形的面积． 34．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在四边形BCDE中，∠C=∠BED=90°，∠B=60°，延长CD、BE，两线相交于点A，已知CD=2，DE=1，求Rt△ABC的面积．    35．（23-24八年级下·山东济宁·期末）2019年6月16日，某校数学兴趣小组参加社会实践活动，他们途中发现一块四边形草地（如图所示四边形），借助所带工具测得：米，米，米，米，． 请你和他们一起计算出这块草地的面积． 36．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，四边形中，，，，． (1)求的度数； (2)直接写出四边形的面积为________． 37．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，． (1)求证： (2)求四边形的面积． 38．（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）如图所示，在四边形中，，，，， (1)求的长； (2)求四边形的面积． 39．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动，设点的运动时间为，连接． (1)当秒时，求的面积； (2)若平分，求的值； (3)过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？ 40．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，以两条直角边为边向外作正方形，以斜边为直径向外作半圆，已知两个正方形面积和为． (1)求的长； (2)求半圆面积（结果保留）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 勾股定理与几何综合问题（解析版） （4大类型精选40题） 1．（2025·河南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 ． 【答案】或/或 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据旋转的性质求解 【分析】连接，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分点在线段上和的延长线上，且，勾股定理求得即可． 【详解】如图，连接， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，， ，， ， 根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且， ， 如图，在中，， 在中， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点的位置是解题的关键． 2．（2023·重庆·中考真题）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为 ． 【答案】4 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，是边的中线， ∴，， 在中，，， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解答的关键． 3．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知中，，点在底边上，，，．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质．构造辅助线证是等腰三角形是解题的关键．过点D作于F，过点D作于G，得到， ，，，证，再求出，即可求得． 【详解】解：如图，过点D作于F，过点D作于G， ，，，， ，， 在中，，， ， 在中，， ， ，， 在中，， ， ， 在中，， ， ，， ， ， 故答案为：． 4．（2024·广东广州·一模）如图，为等边三角形，点D为外的一点，，，，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】将绕点顺时针旋转得到，得出是等边三角形，根据得出，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图所示，∵为等边三角形， 将绕点顺时针旋转得到，则 ∴， ∴是等边三角形， ∵ ∴ ∴， 过点作于点 ∵ ∴ ∵， ∴ 在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 故答案为：． 5．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，是等边三角形，D为外一点，，则的长为 ．    【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定， 先将绕点C顺时针旋转到，连接，可得为等边三角形，即可得出，然后根据勾股定理可得答案. 【详解】解：将绕点C顺时针旋转到，连接．    则， ∴为等边三角形， ∴， ∴. 根据勾股定理，得． 故答案为： 6．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】60 【知识点】角平分线的性质定理、等边对等角、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作，， 则：， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为60． 故答案为：60． 7．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时， ． 【答案】或 【知识点】化为最简二次根式、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质可得的值，作，根据平行线的性质可得是等腰直角三角形，可求出的长，在直角中，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴在中，， ∵将绕点旋转得到， ∴， ∴，，， 分情况讨论： ①如图所示，过点B作，垂足为点， ∵∥， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴， ②如图所示，当点D运动到点F′时，此时， 同理可得，， ∴ 故答案为：或． 8．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，于点，平分，交于点，于点，交于点．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理，作于，于，由等腰三角形的性质可得，，，由角平分线的性质定理可得，，从而得出、均为等腰直角三角形，证明，得出，进而得出，由等面积法结合等腰直角三角形的性质可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，于， ， ∵在中，，于点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴，， ∴、均为等腰直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若，则CD＝ ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】先求解AE，AC，再连结BE，证明 利用勾股定理求解BC，AB，从而可得答案． 【详解】解： ， 如图，连结 由作图可得：是的垂直平分线， 故答案为： 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟悉几何基本作图与基本图形的性质是解本题的关键． 10．（24-25九年级上·重庆北碚·期中）如图，为斜边上的中线，过点D作的垂线交于点E，过点B作的垂线交的延长线于点，则 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，根据等腰三角形的性质得出，再根据勾股定理求出，，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵为斜边上的中线， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是证明三角形相似． 11．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 12．（22-23八年级上·重庆渝中·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线交于E，交于D，F为上一点，连接，点C关于的对称点恰好落在的延长线上，则的长为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理，垂直平分线的性质，轴对称的性质．由勾股定理，求得，由垂直平分线的性质，得到，，，设，利用勾股定理列方程求解，得出，进而得到，再结合轴对称的性质，即可求出的长． 【详解】解：，，， ， 垂直平分， ，，， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， 在中，， 由对称的性质可知，， ， 故答案为：． 13．（2014·四川宜宾·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则 ． 【答案】1.5 【知识点】勾股定理与折叠问题 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵将△ABC折叠得△AB′E ∴AB′＝AB，B′E＝BE ∴B′C＝5－3＝2 设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x 在Rt△B′CE中，CE2＝B′E2＋B′C2 ∴（4－x）2＝x2＋22 解得 故答案为：1.5 14．（22-23八年级下·北京海淀·期中）如图，在中，，，，D，E分别是边和上的点，把沿着直线折叠，若B恰好落在中点M上，则长为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】在中，利用勾股定理求得，结合点M是中点可得，由翻折可知，在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 点M是中点， ， 由翻折可知， 在中， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是熟练掌握折叠的性质，并运用勾股定理正确计算． 15．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．则 °．若，，则 【答案】 /90度 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握翻折的性质与勾股定理解三角形．根据翻折的性质得到，，由，即可得到，由折叠的性质可得：，，设，在中，根据勾股定理即可求出， 【详解】解：由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ∴， 故答案为：；． 16．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）如图，在长方形纸片中，．将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，根据折叠前后的图形全等得到相关条件是解答本题的关键．先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：在长方形中，，， ∵由折叠的性质可知：，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知，线段上有一点P（不与B、C重合），连接，将沿翻折，得到，连接、，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【知识点】二次根式的混合运算、线段垂直平分线的性质、勾股定理与折叠问题、等腰三角形的定义 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，中垂线的性质，等腰三角形的性质，分和两种情况，根据折叠的性质，中垂线的性质，勾股定理，进行求解即可，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】解：①当时，如图，设交于点， ∵折叠， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设，则：， 在中，， 在中，， ∴，即：， 解得：， ∴； ②当时，如图，过点作，则：， ∵， ∴四边形为长方形， ∴， ∵折叠， ∴，垂直平分， ∴， 在中，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 综上：或； 故答案为：或 18．（2024·重庆綦江·二模）如图，在中，，，将折叠，点恰好落在的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则的长度为 【答案】 【知识点】二次根式的乘法、含30度角的直角三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，30度所对的直角边等于斜边的一半，构造直角三角形是解题的关键．延长，过作于，由，可知，，利用30度所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，从而知道和的长度，不妨设，最后在中利用勾股定理求得答案． 【详解】延长，过作于 是的中点， 不妨设 在中，，， 解得： 故答案为：． 19．（2024·河南郑州·三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是 ． 【答案】4或3 【知识点】勾股定理与折叠问题、判断三边能否构成直角三角形、折叠问题 【分析】分类讨论分别当∠AA′C=90°时，当∠ACA′=90°时，根据折叠的性质函数直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图1，当∠AA′C=90°时， ∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处， ∴AP=A′P， ∴∠PAA′=∠AA′P， ∵∠ACA′+∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P=90°， ∴∠PCA′=∠PA′C， ∴PC=PA′， ∴PC=AC=4， 如图2，当∠ACA′=90°时， ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6． ∴AB=10， ∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处， ∴A′B=AB=10，PA=PA′， ∴A′C=4， 设PC=x， ∴AP=8-x， ∵A′C2+PC2=PA′2， ∴42+x2=（8-x）2， 解得：x=3， ∴PC=3， 综上所述：当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是4或3， 故答案为：4或3． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 20．（2023·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，，，点是的中点，点是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，若为直角三角形，则的长为 ．    【答案】或 【知识点】三角形折叠中的角度问题、含30度角的直角三角形、根据等角对等边证明边相等、勾股定理与折叠问题 【分析】先根据直角三角形的性质和勾股定理求得，，结合题意可得，分两种情况：当时，根据三角形内角和定理和折叠的直线可得，根据等角对等边可得，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，，，即可求出；当时，作交的延长线于，设，则，根据全等三角形的判定和性质可得，结合直角三角形的性质和勾股定理求得，，根据勾股定理列出方程，解方程即可求出． 【详解】解：在中，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 当时，如图：    ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在中，，， 在中，， 即， ∴； 当时，作交的延长线于．如图：    设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， 在中，， 即， 解得：； 综上所述，满足条件的的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等角对等边等，构建直角三角形，借助勾股定理求解是解题的关键． 21．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，点P为斜边上一动点，过点P作，，垂足分别为D，E，连接．若，，则的最小值 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，连接，证明四边形是矩形，得出，再根据当时，最短，即可推出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵、，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得，， 由题意可知，当时，最短，， 即的最小值为， 故答案为：． 22．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，正方形的边长为，点在边上运动，点在边上运动，运动过程中的长度保持不变，且．若是的中点，是边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】两点之间线段最短、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求线段长 【分析】作点关于的对称点，连接交于，连接，，．解直角三角形求出，，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于，连接，，．则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称添加辅助线，求出，的值，属于中考常考题型． 23．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）如图，在中，，，点、是线段、上的两个动点，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要查了全等三角形的判定与性质，平行四边形性质，等腰三角形的性质，勾股定理及直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握平行四边形性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 连接，，交于点O，过点D作于点G，过点O作于点H，连接，证明，可得，从而得到，即的最小值为的长，再由等腰三角形的性质可得，然后根据勾股定理可得，再根据直角三角形的性质可得，结合等腰三角形的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，交于点O，过点D作于点G，过点O作于点H，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 即的最小值为． 故答案为： 24．（24-25八年级下·四川广元·期中）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为 ． 【答案】1.2 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线性质；由直角三角形的面积求出是解决问题的关键． 先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用等面积法即可求得最短时的长，然后即可求出最短时的长． 【详解】解：连接，如图所示： ，，， ， ，， ∴， 四边形是矩形， ．， 是的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， 当时，，此时最短， ， 当最短时， 故答案为：． 25．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在中，，，，为上一动点（不与点，点重合），将绕点顺时针旋转得到，连接，以为直角顶点，为直角边，在上方构造等腰直角三角形，为的中点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】由含的直角三角形的性质和勾股定理求出，连接，，证明出垂直平分线段，再结合等腰三角形的性质得，作点关于直线的对称点，交直线于点，根据轴对称的性质知，连接，由“两点之间，线段最短”可知：当点在上时，的值最小，从而的值最小，最小值为线段的长，连接，得到，进而得到是等边三角形，在中，由勾股定理求出线段的长，即可得解． 【详解】解：在中，，，， ， ， 连接，， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ，， 为的中点， ， 点在线段的垂直平分线上， 将绕点顺时针旋转得到， ，， 点在线段的垂直平分线上， 垂直平分线段， ，即在点的运动过程中，点在与夹角为的射线上运动， 作点关于直线的对称点，交直线于点， 则总有， 连接， 当点在上时，的值最小， 从而的值最小，最小值为线段的长， 连接， 此时，，， ， 是等边三角形， ，， ， 由勾股定理得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，含的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 26．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，，点为射线上的一个动点，在的左侧作，其中，，连接，求的最小值为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定；过点作，连接，则，证明得出，即到的距离为，作关于的对称点，连接，，根据轴对称的性质得出的最小值为的长，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，连接，则 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴在上运动， ∴ ∴到的距离为 作关于的对称点，连接，， ∴ ∴的最小值为的长， ∵， ∴ 故答案为：． 27．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，四边形面积为，连接对角线，其中，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】在中，根据勾股定理得，过点作交延长线于点，则，再计算，，进而求得，则，延长至使得，可得，则，当点在上时取等号，结合勾股定理即可求得的最小值为． 【详解】解：∵，，， ∴， 过点作交延长线于点，则， ， ∵四边形面积为， ∴， 又∵， ∴，则， 延长至使得， ∴是的垂直平分线， ∴， 则，当点在上时取等号， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查勾股定理，垂直平分线的判定及性质，平行线间的距离，三角形三边关系的应用等知识点，添加辅助线得是解决问题得关键． 28．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如图，在直角中，，，，绕点摆动到的位置，取的中点，连接、，求绕点摆动的过程中， （1） ； （2）的最小值为 ． 【答案】 8 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）根据勾股定理求出即可； （2）取中点，连接，，判定，推出，由三角形三边关系定理得到，由勾股定理求出，因此，即可得到的最小值． 【详解】解：（1）在直角中，，， ， 故答案为：8； （2）取中点，连接，， ， 是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是中点， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，关键是判定，推出，由三角形三边关系定理得到． 29．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形中，和互相垂直，，．则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】设和的交点为，分别取的中点，连接，，利用三角形的中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质解答即可． 【详解】解：设和的交点为，分别取的中点，连接，， 则，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∵， ∴ 三点共线时，取得最小值，最小值为， 在中，， ∵，， ∴． ∴，即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题只要考查了矩形的判定和性质，三角形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短是解答此题的关键． 30．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在中，，，、分别是、边上的动点，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短、两直线平行内错角相等、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】过点作，使，连接、，根据平行线的性质求出，，利用证明，根据全等三角形的性质求出，则，根据三角形三边关系求出最小为，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作，使，连接、， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， 在中，， ∴当、、在一条直线上时，最小为， 在中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、勾股定理等知识，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 31．（23-24八年级下·甘肃陇南·期中）已知：在中，，于，，．求：    (1)求的面积； (2)求线段的长： (3)求高的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】（）利用直角三角形的面积公式计算即可求解； （）根据勾股定理计算即可求解； （）利用三角形面积即可求解； 本题考查了直角三角形的面积，勾股定理，掌握勾股定理及三角形面积计算公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）∵，，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． 32．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）如图在四边形中，为对角线，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)4 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． （1）先根据勾股定理求出的值，再求出的长，即可计算出周长； （2）根据即可得出结论． 【详解】（1），，，， 在中 根据勾股定理得： ， 在中 ， 四边形的周长为． （2）， 和为直角三角形， ， ， ∴． 33．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在四边形中，，垂足为E，，连接，若， ．求：   (1)的长； (2)四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的综合运用、三角形面积的计算等知识点；由勾股定理求出是解题的关键． （1）由垂直的定义得出，由勾股定理求出，再求出，然后根据勾股定理求解即可； （2）由勾股定理求出，再求出，再根据    求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 34．（17-18八年级下·全国·期中）如图，在四边形BCDE中，∠C=∠BED=90°，∠B=60°，延长CD、BE，两线相交于点A，已知CD=2，DE=1，求Rt△ABC的面积．    【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】根据∠ADE=∠B=60°，DE=1，可求出AD的长，即可得到AC和BC的长，从而求出三角形的面积． 【详解】∵∠C=90°，∠B=60°， ∴∠A=30°， ∴AD=2DE=2， ∴AC=AD+CD=4， 设BC=x，则AB=2x， 由勾股定理得，， 解得，x=，即BC=， 则Rt△ABC的面积=×BC×AC= 【点睛】此题主要考查了含30°角的直角三角形的知识，难度不大，注意掌握含30°角的直角三角形的性质是关键． 35．（2024·八年级下·山东济宁·期末）2019年6月16日，某校数学兴趣小组参加社会实践活动，他们途中发现一块四边形草地（如图所示四边形），借助所带工具测得：米，米，米，米，． 请你和他们一起计算出这块草地的面积． 【答案】这块草地的面积为36平方米． 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积、判断三边能否构成直角三角形 【分析】先利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后利用直角三角形的面积公式即可得． 【详解】如图，连接BD， 在中，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ， ， （平方米）， 答：这块草地的面积为36平方米． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、直角三角形的面积公式，利用勾股定理的逆定理判断出为直角三角形是解题关键． 36．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，四边形中，，，，． (1)求的度数； (2)直接写出四边形的面积为________． 【答案】(1) (2)4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、以直角三角形三边为边长的图形面积、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股逆定理、等腰直角三角形、四边形的面积等知识点，掌握勾股逆定理，等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）先说明是等腰直角三角形得出；再运用勾股定理求得，在中，，得出，然后根据角的和差即可解答； （2）根据以及三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 故答案为4． 37．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，． (1)求证： (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，解题的关键是： （1）根据勾股定理求出，然后计算得出，最后根据勾股定理的逆定理即可得证； （2）根据割补法求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解： ． 38．（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）如图所示，在四边形中，，，，， (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积、多边形内角和问题 【分析】本题是四边形综合题目，考查了四边形内角和定理、四边形的面积、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识．作辅助线，运用含角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键． （1）通过四边形内角和定理，得出．延长交的延长线于点，构造出，，通过，求得，，从而在中，得出，，即可求出的长； （2）连接，将四边形分成两个直角三角形，分别求出和的面积，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）解：延长交的延长线于点，如图1， ，， 根据四边形内角和为， ， ， 在中，， ， ， ， ，， 又， ， 在中，，设， ，， ，， ． 故答案为：． （2）连接，如图2，将四边形分成两部分， 在中，， 在中，， ． 故答案为：． 39．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动，设点的运动时间为，连接． (1)当秒时，求的面积； (2)若平分，求的值； (3)过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？ 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（）根据动点的运动速度和时间先求出，再利用三角形的面积计算公式解答即可求解； （）作于，利用角平分线的性质分别求得，再利用勾股定理 ，解得，最后利用，求得的值即可； （）根据动点运动的不同位置利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，三角形的面积，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴当秒时，求的面积为； （2）解：当线段恰好平分时，作于，如图， ∵线段平分，， ， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 解得； （3）解：点在线段上时，过点作于，连接，如图， 则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得； 点在线段的延长线上时，过点作于，如图， 同得 ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得； 综上所述，在点的运动过程中，当的值为或时，能使． 40．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，以两条直角边为边向外作正方形，以斜边为直径向外作半圆，已知两个正方形面积和为． (1)求的长； (2)求半圆面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查直角三角形综合，涉及勾股定理、直角三角形三边作图的图形面积问题、圆面积公式等知识，熟练掌握勾股定理，数形结合求解是解决问题的关键． （1）根据题意，在中，由勾股定理可得，代值求解即可得到答案； （2）由（1）中，数形结合得到半圆半径，再由圆面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，在中，，， 由勾股定理得； （2）解：由（1）， ∴半圆半径， ∴半圆面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$