精品解析：云南省会泽县茚旺高级中学2024-2025学年高二下学期期中检测数学试题

会泽县茚旺高级中学2025年春季学期高二年级期中考试 数学试题卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数单调性求解不等式，再由交集运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：C. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先化简复数，再代入乘方运算公式，即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 3. 已知向量，，，则（ ） A. 6 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出的坐标，然后根据数量积的坐标公式求出的值. 【详解】因为向量， 所以，， 那么. 故选：D. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由导数的几何意义即可求解. 【详解】由，得，则切点坐标为， ，则，则切线斜率为， 故所求的切线方程为，即， 故选：A. 5. 现将5名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，有（ ）种分配方式. A. 36 B. 60 C. 240 D. 1440 【答案】C 【解析】 【分析】将5人按1，1，1，2，分配，在排序即可求解. 【详解】根据要求将5名志愿者分配到4个服务点的志愿者的人数为1，1，1，2， 所以有种分配方式， 故选：C. 6. 已知曲线：和直线：有且仅有一个公共点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知直线过定点，即可判断与圆的位置关系，最后由圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】易知，直线过定点，曲线表示圆心为，半径为2的圆， 定点在圆外.由与有且仅有一个公共点时，与圆相切， 此时圆心到直线的距离，解得， 故选：A. 7. 函数在区间上的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】首先化简的解析式，然后将函数化为方程，求出方程的解，即可求出函数的零点个数. 【详解】化简函数， 令，则，解得或. 当时，，因此函数在上的零点个数为3. 故选：A. 8. 若关于的函数（且）是上的偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据函数是偶函数求得，再根据复合函数的单调性，即可比较大小. 【详解】根据题意，有，即，可得， 则， 设，，当时，又由，为增函数且恒成立， 所以在上单调递增，易得在上递增，故. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知展开式中二项式系数之和为64，则（ ） A. B. 展开式的各项系数之和是1 C. 展开式中第4项的二项式系数最大 D. 展开式中常数项为 【答案】BC 【解析】 【分析】由二项式系数和为，可判断A，通过可判断B，由组合数性质可判断C，由通项公式可判断D. 【详解】二项式系数之和，解得，故A错误； 令，展开是的各项系数之和为，故B正确； 因为，所以二项式展开式共有7项，即时二项式系数最大，故C正确； 对于，则，， 令，解得，则常数项为，故D错误， 故选：BC. 10. 已知随机变量、分别服从正态分布和二项分布，即，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性可判断A选项；利用正态分布的特点求出、的值，利用二项分布可求得、的值，可判断BC选项；利用独立重复试验的概率公式可判断D选项. 【详解】因为，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，，，则，B对； 对于C选项，，，则，C对； 对于D选项，，D错. 故选：ABC. 11. 已知正项数列满足的前项和为，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若， D. ，则的值有3种情况 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合给定的递推公式得到数列从第4项开始呈现周期为3的规律，再逐个判断选项即可. 【详解】对于A，由题意得且， 依次可得，，，，，，，，…， 则数列从第4项开始呈现周期为3的规律，可得，故A正确； 对于B，易得，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，若，则或；若，则或； 若，则，所以的值有3种情况，故D正确， 故选：ACD. 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量的概率分布为，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由概率之和为计算即可得. 【详解】由概率之和为可得， 即，解得. 故答案为：. 13. 如图所示的图案，是由圆柱、球和圆锥组成，已知球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，图案中圆锥、球、圆柱的体积分别为、、，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】设球的半径为，则可求、、，故可得. 【详解】设球的半径为，则圆柱底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为， 圆柱的体积，球的体积，， . 故答案为：1. 14. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是上一点，若的周长为14，则的离心率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】由焦点三角形周长得到，即可求解. 【详解】因为，分别是椭圆：的左、右焦点，是上一点， 所以的周长为14， 所以，，解得， 故离心率. 故答案为： 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）若为的中点，，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理即二倍角公式可求得，故得. （2）利用中线向量公式结合向量的模的计算方法得，求出后可求面积. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理得， 因为中，， 所以，即， 由是锐角，可知，所以， 解得，即. 【小问2详解】 根据题意，可得. 因为为的中点，所以， 可得， 因为，，所以， 整理得，解得或（舍负）. 所以的面积. 16. 如图，在四棱锥中，，，，平面平面平面. （1）证明：； （2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：分别取，的中点，，连接，，，如图， 则，，四边形为平行四边形，， 由，得， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，则平面， 平面，，又为的中点，. （2） 【解析】 【分析】（1）分别取，的中点，，连接、、，则可证，由空间垂直关系转化可证，从而可证； （2）在平面内过作，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面，平面，得， 而，，，平面，则平面， 又，则平面，在平面内过作， 则，直线，，两两垂直， 以点为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由，，， 得，而，解得， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则即取，则，， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 17. 某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示． 场上位置 边锋 前卫 中场 出场率 0.5 0.3 0.2 球队胜率 0.6 0.8 0.7 （1）当甲出场比赛时，求球队输球的概率； （2）当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率； （3）如果某场比赛该运动队获胜，求在该场比赛中甲最可能的出场位置. 【答案】（1）0.32 （2） （3）边锋，理由如下： 同（2） 由于，所以甲球员最可能的出场位置是任边锋. 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式分别计算出甲球员在担任边锋、前卫、中场时赢球的概率，最后相加得到甲球员参加比赛时，球队赢球的概率，再用1去减即可． （2）根据条件概率的计算公式即可求解， （3）由三个位置上的出场几率，即可做出判断. 【小问1详解】 设表示“甲球员担当边锋”； 表示“甲球员担当前卫”； 表示“甲球员担当中场”； 表示“球队赢了某场比赛”， 则 ， 该球队某场比赛输球的概率为， 【小问2详解】 由（1）知： , 所以 ， 所以球员甲担当前卫的概率为 【小问3详解】 甲球员最可能的出场位置是任边锋，理由略. 18. 已知函数（为常数）. （1）求证：当时，； （2）讨论函数的单调性； （3）不等式在上恒成立，求实数的最小整数值. 【答案】（1） 证明：当时，， 可得，， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以， 即可得. （2）当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是. （3）2 【解析】 【分析】（1）对函数求导，得出时的单调性求出其最小值，即可得出结论； （2）对参数的取值进行分类讨论，利用导函数即可判断出对应单调性； （3）由不等式可知，恒成立，再构造函数求出在该区间上的最值，可得的最小整数值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数的定义域为， ， 当时，易知，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 综上可得，当时，函数的单调递增区间是； 当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问3详解】 不等式， 依题意，恒成立， 令，，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，则， 所以实数的最小整数值是2. 19. 已知抛物线：的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，当轴时，. （1）求抛物线的方程； （2）设是抛物线的准线上一点，当到直线的距离最大时，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线轴时点、纵坐标，由可算出，进而得到抛物线方程.  （2）先确定抛物线准线方程得到点坐标，设直线方程，算出到直线的距离，根据判别式法求出的最大值及此时的值，得到直线方程.联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求出，进而得到的面积. 【小问1详解】 由题意得，抛物线：的焦点为， 当轴时，直线的方程为， 联立解得， 不妨设，， 则，解得， 所以抛物线方程为. 【小问2详解】 由（1）可知抛物线的准线方程为，则， 显然直线的斜率一定不为0，设直线的方程为， 则点到直线的距离， 则，即， ，即，解得， 所以到直线的距离最大值为，且当时，， 此时直线的方程为， 联立消去得， 设，，则，， 所以， 所以. 所以当到直线的距离最大时，的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 会泽县茚旺高级中学2025年春季学期高二年级期中考试 数学试题卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知向量，，，则（ ） A. 6 B. 4 C. D. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 现将5名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，有（ ）种分配方式. A. 36 B. 60 C. 240 D. 1440 6. 已知曲线：和直线：有且仅有一个公共点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 不存在 7. 函数在区间上的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 若关于的函数（且）是上的偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 无法比较 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知展开式中二项式系数之和为64，则（ ） A. B. 展开式的各项系数之和是1 C. 展开式中第4项的二项式系数最大 D. 展开式中常数项为 10. 已知随机变量、分别服从正态分布和二项分布，即，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正项数列满足的前项和为，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若， D. ，则的值有3种情况 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量的概率分布为，则_________. 13. 如图所示的图案，是由圆柱、球和圆锥组成，已知球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，图案中圆锥、球、圆柱的体积分别为、、，则________. 14. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是上一点，若的周长为14，则的离心率为________. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）若为的中点，，，求的面积. 16. 如图，在四棱锥中，，，，平面平面平面. （1）证明：； （2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示． 场上位置 边锋 前卫 中场 出场率 0.5 0.3 0.2 球队胜率 0.6 0.8 0.7 （1）当甲出场比赛时，求球队输球的概率； （2）当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率； （3）如果某场比赛该运动队获胜，求在该场比赛中甲最可能的出场位置. 18. 已知函数（为常数）. （1）求证：当时，； （2）讨论函数的单调性； （3）不等式在上恒成立，求实数的最小整数值. 19. 已知抛物线：的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，当轴时，. （1）求抛物线的方程； （2）设是抛物线的准线上一点，当到直线的距离最大时，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $