18.3等边三角形（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

18.3等边三角形 沪教版（2024）七年级数学下册 第18章 等腰三角形 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1、掌握等边三角形三个内角相等且等于等于60°的性质； 2、经历等边三角形判定方法的讨论、发现、归纳、说理过程，体会分类讨论的思想；掌握等边三角形的判定方法. 情景导入 等腰三角形的性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）. 等腰三角形的性质2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）. 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简单的说：等角对等边） ∴ AC=AB. 即△ABC为等腰三角形. ∵∠B=∠C， 在△ABC中， 几何语言： B C A 新知探究 等边三角形的定义 等腰三角形 等边三角形 一般三角形 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形. 思考 等边三角形是特殊的等腰三角形,它的三边都相等 等边三角形的三个内角分别是多少度? 利用等腰三角形的性质，可知等边三角形的三个内角相等. 根据三角形内角和等于180°,可以算出每个角等于60° 等边三角形有这样的性质: 等边三角形的每个内角等于60° 如何判定一个三角形是等边三角形呢? 根据等腰三角形的判定方法,我们可以得到下面判定等边三角形的方法: 三个内角都相等的三角形是等边三角形 概念归纳 例题讲解 例1 证明:有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 分析 在图中，设AB=AC，需要对三个内角分别等于 60°的各种情况进行讨论，其中∠B=60°和∠C=60°是类似的，故只要分两种情况讨论. 如图 ，已知:在△ABC中，AB=AC. (1)当∠B=60°时，求证:△ABC是等边三角形; (2)当∠A=60°时，求证:△ABC是等边三角形. 证明(1) ∵AB=AC，∠B=60°， ∴∠C=∠B=60°(等边对等角). 又∵∠A=180°-∠C-∠B=60°(三角形的内角和等于180°)， ∴∠A=∠B=ZC. ∴△ABC是等边三角形(三个内角都相等的三角形是等边三角形). (2)∵AB=AC， ∠C=∠B(等边对等角). 又∵∠A+∠C+∠B=180°(三角形的内角和等于180°)， ∠A=60°, .∠B=∠C=∠A=60°. △ABC是等边三角形(三个内角都相等的三角形是等边三角形). 例2 如图，已知:在等边三角形ABC的边BC上任取一点D，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接AD、BE. 求证:BE=AD 分析 要证BE=AD，只需要证明△BEC≌△ADC. 证明：△CDE 和△ABC均是等边三角形， .CE=CD，BC=AC，∠BCE=∠ACD=60° (等边三角形的每个内角都等于60°). 在△BEC 和△ADC中， CE=CD， ∠BCE=∠ACD， BC=AC， △BEC≌△ADC(SAS). BE=AD. 概念归纳 等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等，并且每一 个角都等于60°. 等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”. 等边三角形的判定 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是 的等腰三角形是等边三角形 课堂练习 1. 如图，已知:△ABC 是等边三角形，D为边BC 延长线上一点，CE 平分∠ACD，CE=BD.求证: △DAB≌△EAC. ∴∠ACE=∠ACD=x120°=60°. ∴∠B=∠ACE. 在△DAB 和△EAC中， AB=AC， ∵ ∠B=∠ACE， BD=CE， ∴△DAB≌△EAC (SAS). ∵△ABC是等边三角形， ∴AB =AC，∠B=∠ACB=60° (等边三角形的每个内角都等于60°). ∴∠ACD=180°-60°=120°. 又∵CE平分∠ACD， 2.如图，已知:点B、C、E 在同一直线上，△ABC、△DCE 都是等边三角形，连接AE、BD. 求证:△ACE≌△BCD. ∵△ABC、△DCE都是等边三角形， ∴AC=BC，CE=CD，∠ACB =∠DCE = 60° (等边三角形的每个内角都等于 60°). ∴∠ACB +∠ACD=∠DCE+∠ACD， 即∠BCD=∠ACE. 在△ACE 和△BCD， AC=BC， ∵ ∠ACE=ZBCD， CE=CD， △ACE ≌△BCD(SAS). 3.如图，在△ABC 中，点D、E、F 分别在边AB、BC、CA上，△DEF 是等边三角形，∠1=∠2=∠3.△ABC 是等边三角形吗?试说明理由. 解：△ABC是等边三角形. ∵△DEF是等边三角形， ∴∠DEF=60°(等边三角形的每个内角都等于 60°). 又∵∠DEF +∠DEC=∠B+∠1，且∠1=∠3, ∴∠B=∠DEF=60°. 同理∠A=∠C=60°=∠B. ∴△ABC是等边三角形(三个内角都相等的三角形是等边三角形) 习题 1.选择题: (1)已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，在图中画出点、，使得点与点P关于OB对称，点P₂与点P关于OA对称，那么以、0、三点为顶点的三角形是( ) A.直角三角形; B.钝角三角形; C.只有两边相等的三角形; D.等边三角形. (2)下列所叙述的两个三角形中，一定全等的是( ) A.含60°角的两个直角三角形; B.腰对应相等的两个等腰三角形; C.边长均为15cm的两个等边三角形; D.顶角对应相等的两个等腰三角形. C (1)提示:点、P₂的位置如图所示，连接OP，有∠P₂OA=∠POA，∠OB=∠POB. D 2.如图，已知:△ABC是等边三角形，BD是边AC上的高，E是边BC延长线上一点，∠E=30°. 求证:DB=DE. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°(等边三角形的每个内角都等于60°). ∵BD是边AC上的高， ∴∠BDC=90°. ∴ ∠DBC =180°-∠ACB - ∠BDC = 180°-60°-90°=30°. ∵∠E=30°， ∴∠DBC=∠E. :∴DB=DE(等角对等边). 3.如图，已知:点D在△ABC的内部，△ABC和△ADE 都是等边三角形，连接EB、DC.求证:EB=DC. ∵△ABC、△ADE都是等边三角形， ∴AC = AB，AD=AE，∠CAB= ∠DAE = 60° (等边三角形的每个内角都等于 60°). ∴∠CAB-∠DAB=∠DAE-∠DAB. ∴∠CAD=∠BAE. 在△ACD 和△ABE中， AC=AB， ∵ ∠CAD=∠BAE， AD=AE， ∴△ACD≌△ABE(SAS). ∴EB=DC. 课堂小结 等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等，并且每一 个角都等于60°. 等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”. 等边三角形的判定 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是 的等腰三角形是等边三角形 $$