18.2.等腰三角形的判定（第1课时）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

18.2等腰三角形的判定 （第1课时） 沪教版（2024）七年级数学下册 第18章 等腰三角形 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.探索等腰三角形的判定定理及其应用 2.掌握等腰三角形的判定方法 3.掌握等腰三角形的判定定理，并运用其进行证明和计算 情景导入 等腰三角形 性质定理1、 等腰三角形的两个底角相等。 简记为： (等边对等角) 性质定理2、 等腰三角形的顶角平分线、底边 上的中线和高线互相重合。 定义： 有两边相等的三角形是等腰三角形。 (等腰三角形三线合一) 简记为： 新知探究 等腰三角形的两底角相等的逆命题也是一个真命题，可以作为等腰三角形的判定定理 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等. 简单的说：等边对等角 已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,求证：AB=AC C A B 在△ABD与△ACD， ∠1=∠2， ∴ △ABD ≌ △ACD. ∠B=∠C， AD=AD， ∴AB=AC. 过A作AD平分∠BAC交BC于点D. 证明： C A B 2 1 D （ （ △ABC是等腰三角形. 是否还有其他证明上述定理的方法？ 例题讲解 例题1 如图，在ABC 中，已知 BD、CE 分别是边AC、AB上的高,且 ∠DBC= ∠ ECB,说明 ABC 是等腰三角形的理由. 解 因为 BD、CE分别是边AC、AB 上的高， 所以 ∠BDC=∠CEB=90°(三角形的高的意义) 在 △BDC 和△CEB中 ∠BDC= ∠ CEB， ∠ DBC= ∠ ECB(已知) BC=CB(公共边)， 所以 △BDC≌△CEB(A.A.S) 得 ∠ACB=∠ABC(全等三角形的对应角相等) 因此AB=AC(等角对等边) 即△ABC是等腰三角形. 概念归纳 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 简单的说：等角对等边 ∴ AC=AB. 即△ABC为等腰三角形. ∵∠B=∠C， 在△ABC中， 几何语言： B C A 课堂练习 1.某卡通形象如图所示，其中射线AB是△ACD外角的平分线，且AB//CD.你能说出呈现卡通形象头部的△ACD是等腰三角形的理由吗? 解：∵AB//CD， ∠DCA=∠BAF(两直线平行，同位角相等)， ∠CDA=∠BAD(两直线平行，内错角相等). 又∵射线AB 是△ACD的外角平分线， ∴ ∠BAF=∠BAD， ∠DCA=∠CDA， ∴ AC=AD(等角对等边)， 即△ACD是等腰三角形. 2.如图，已知:在△ABC 中，∠1=72°，∠2=36°,∠C=72°. (1) 求证:△BCD 是等腰三角形; (2)找出图中其他的等腰三角形，并加以证明. 解：(1)∵∠1=72°，∠C=72°,∠1=∠C, ∴BD=BC(等角对等边) 即△BCD 是等腰三角形. (2)图中△DAB、△ABC也是等腰三角形. 3.如图，已知:在△ABC 中，BO平分∠ABC，CO 平分∠ACB，过点O作MN //BC分别交 AB、AC 于点 M、N.求证:△AMN 的周长等于AB与AC 长度的和. 解：∵BO平分∠ABC， ∴∠MBO=∠OBC. ∵MN// BC, ∴∠MOB=∠OBC=∠MBO(两直线平行，内错角相等). MB=MO(等角对等边). 同理 NO=NC. ∴△AMN 的周长为AM+MO+NO+AN=AM+MB+AN+NC=AB+AC， 即△AMN的周长等于AB与AC长度的和. 1. 具备下列条件的三角形为等腰三角形的是(　D　) A. 有两个角分别为20°，120° B. 有两个角分别为40°，80° C. 有两个角分别为30°，60° D. 有两个角分别为50°，80° D 分层练习 2.在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(　　) B 3．如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于点E.求证：△CEB是等腰三角形． 证明：∵CE∥DA， ∴∠CEB＝∠A. 又 ∵∠A＝∠B， ∴∠CEB＝∠B. ∴CB＝CE. ∴△CEB是等腰三角形． 4. 如图，AC与BD相交于点O，AD＝BC，AC＝BD.求证：△OAB是等腰三角形． 证明：∵AD＝BC，AC＝BD，AB＝BA， ∴△ADB≌△BCA(SSS)． ∴∠CAB＝∠DBA. ∴OA＝OB. ∴△OAB是等腰三角形． 5. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， E 为 BA 延长线上一点，且 ED ⊥ BC 于点 D ，交 AC 于点 F . 求证：△ AEF 是等腰三角形； 证明：∵ AB ＝ AC ，∴∠ B ＝∠ C . ∵ ED ⊥ BC ， ∴∠ EDB ＝∠ EDC ＝90°. ∴∠ E ＋∠ B ＝90°，∠ C ＋∠ DFC ＝90°.∴∠ E ＝∠ DFC . ∵∠ DFC ＝∠ EFA ，∴∠ EFA ＝∠ E . ∴ AF ＝ AE . ∴△ AEF 为等腰三角形. 6. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点F，交AC于点E. 求证：△AEF为等腰三角形． 综合应用题 证明：∵∠BAC＝90°， ∴∠ABE＋∠AEF＝90°. ∵AD⊥BC， ∴∠FBD＋∠BFD＝90°. 又 ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBD. ∴∠AEF＝∠BFD＝∠AFE. ∴AF＝AE. ∴△AEF为等腰三角形． 课堂小结 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简单的说：等角对等边） ∴ AC=AB. 即△ABC为等腰三角形. ∵∠B=∠C， 在△ABC中， 几何语言： B C A $$