精品解析：贵州省贵阳市观山湖区第一高级中学2024-2025学年高一下学期第三次月考（5月）数学试题

贵阳市观山湖区第一高级中学2024-2025学年度第二学期 5月月考 高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的非空子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】求出交集再根据子集的概念得出结论． 【详解】由题意，因此它有8个子集，其中非空子集有7个． 故选：A． 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式变形后，弦化切转化为正切的式子代入计算． 【详解】因为， 所以． 故选：A． 3. 已知表示不同的直线，表示不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若且，则或与相交，故A错误； 对于B：若，则或，又， 当，则与平行或相交或异面， 当，则与平行或异面，故B错误； 对于C：若，，则或，又，所以或与相交（不垂直）或，故C错误； 对于D：若，则或，又，所以，故D正确. 故选：D 4. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合投影向量的定义可求，再根据向量夹角余弦公式求结论. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 又， 所以，又， 所以向量与向量的夹角为，即. 故选：B. 5. 在中， ，其面积为，则等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得： ，解得： ， 由余弦定理： ， 结合正弦定理结合分式的性质，则： . 本题选择B选项. 6. 已知在中，为所在平面内的动点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得最值. 【详解】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 则，， 可得 ， 其中，， 因为，则，可得， 所以的最小值为. 故选：B. 7. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）. A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面平面，可知平面，利用等体积法求点到面的距离. 【详解】如图，底面为正方形， 当相邻的棱长相等时，不妨设， 分别取的中点，连接， 则，且，平面， 可知平面，且平面， 所以平面平面， 过作的垂线，垂足为，即， 由平面平面，平面， 所以平面， 由题意可得：，则，即， 则，可得， 所以四棱锥的高为. 故选：D. 8. 如图所示，在四边形中，，，，将四边形沿对角线BD折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. 与平面所成的角为 D. 四面体的体积为 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，若，根据线面垂直的判定定理得，得出矛盾可判断A；根据线面垂直的判定定理、性质定理可判断B；由平面得就是与平面所成的角，求出可判断C；求出四面体的体积可判断D. 【详解】对于A，因为，，所以， 若，因为，，平面，平面，所以平面， 可得，这与矛盾，故A错误； 对于B，因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 得，又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以，所以，故B正确； 对于C，平面，所以就是与平面所成的角， 因为，所以与平面所成的角为，故C错误； 对于D，四面体的体积为，故D错误. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. 的虚部为1 B. C. D. 的共轭复数为 【答案】AD 【解析】 【分析】由，其虚部为1，可判断A；由，可判断B； 由，可判断C；先求得，结合共轭复数的概念即可判断D. 【详解】对于A，，其虚部为1，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C错误； 对于D，，故的共轭复数为，故D正确. 故选：AD. 10. 如图，正方体的棱长为1，E为的中点，下列判断正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与直线是异面直线 C. 在直线上存在点F，使平面 D. 直线与平面所成角是 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项由线线平行证明线面平行；B选项找到两个直线所在平面否定异面关系；C选项由线面垂直的判定定理证明；D选项由线面角的定义求角的大小. 【详解】对A，正方体中，平面，平面，平面， A选项正确； 对B，由图可知直线与直线都在平面中，故B选项错误； 对C，连接，，取的中点，连接， 又为的中点，则， 正方体中，，且，平面， 得平面，则平面，故C选项正确； 对D，连接交于点，连接， 由平面，有平面， 则即为直线与平面所成的角， ，，则，故D选项错误. 故选：AC. 11. 如图是函数的部分图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是函数的一条对称轴 C. 将函数的图象向右平移个单位后，得到的函数为奇函数 D. 若函数在上有且仅有两个零点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据图象可得，即可判断A；令解出即可判断B，接下来求得 ，即可得到的解析式，根据图象平移判断C；令，解出函数零点，然后根据在上有且仅有两个零点列出不等式解 即可判断D. 【详解】由图象可知， ， ，所以，即的最小正周期为，故A正确； ，此时， 又在图象上， ，解得， ， ，， ， 当是函数的一条对称轴时，此时不符合题意，故B错误； 将的图象向右平移个单位后得到的图象对应的解析式为： 不奇函数，故C错误； 令 ，解得 ， 当 时， ，不合题意 时， ；时， ；时， ； 又因为函数在上有且仅有两个零点 ，解得 ，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折成，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】找出鳖臑外接球的球心，并得出外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解. 【详解】由题可知，，都是直角三角形，只需平面即可， 所以鳖臑外接球的球心在过中点且垂直于平面的直线上， 而在直角三角形中，的中点到点的距离都相等， 所以的中点是外接球的球心，所以， 所以该鳖臑外接球的表面积为． 故答案为：. 13. 已知，则_________. 【答案】##0.28 【解析】 【分析】根据诱导公式以及二倍角公式化简求值，即得答案. 【详解】由，得， 则 ， 故答案为： 14. 如图所示，在直三棱柱中，，，，点是线段上的一动点，则线段的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，再根据两点之间线段最短，结合勾股定理，余弦定理等求解即可. 【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面， 设点的新位置为，连接，则有，如图， 当三点共线时，则即为的最小值， 在三角形中，，， 由余弦定理得， 所以，即， 在中，，， 由勾股定理可得且. 同理可求，因为， 所以为等边三角形，所以， 所以在中，，， 由余弦定理得. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，，，，点D，E满足，，AC边上的中线BM与DE交于点O.设，. （1）用向量，表示，； （2）求. 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算即可求解； （2）利用平面向量的数量积公式即可求解. 【小问1详解】 因为为边上的中线， ， 因为，， 所以，， 所以. 【小问2详解】 由，得，， 又，所以向量与得夹角为， 由图形可知大小等于向量与的夹角， ， ， ， 所以， 又因为，所以. 16. 如图，在四棱锥中，，，，底面，是上一点． （1）求证：平面平面； （2）若是的中点，求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理证得，再利用线面垂直的性质判定推理得证. （2）由（1）的信息得二面角的平面角，再利用几何法求解. 【小问1详解】 在四棱锥中，，，则， ，在中，，则， 即，于是，由平面，平面， 得，又平面，则平面，又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知，平面，而平面，则，又， 因此是二面角平面角， 在中，，则，由是的中点， 得，于是， 所以平面与平面的夹角的正弦值为. 17. 在锐角中，角的对边分别为，，，已知且. （1）求角A的大小； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件利用两角和差的三角公式求出，即可求解； （2）把边化为角利用三角函数的值域求解即可. 【小问1详解】 ∵， ∴， ， ， ∵，∴， 又，∴， ，； 【小问2详解】 根据正弦定理，， 则 ， ，所以的取值范围为. 18. 如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）连接交于点，求三棱锥的体积； （3）已知点为中点，点为平面内的一个动点，若平面，求长度的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图，利用中位线的性质可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）由（1）知点到平面的距离等于点到平面的距离，根据等体积法与棱锥的体积公式计算即可求解； （3）如图，由（1），根据线面平行的判定定理可得面，利用面面平行的判定定理可得面面，则点轨迹为线段，进而求解. 【小问1详解】 如图，连接交于，连接． 因为为正方体，底面为正方形，对角线交于点， 所以为的中点，又因为为的中点， 所以在中，是的中位线， 所以，又平面平面， 所以平面． 【小问2详解】 由（1）知，平面，点为中点， 则点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积． 正方体的棱长是1，是的中点，所以，则的面积， 所以三棱锥体积． 【小问3详解】 连接，因为和平行且相等，故四边形为平行四边形， 所以．又面面，故面． 又由（1）知，面，而面， 故面面．因此满足题意的点轨迹为线段． 要求最小值，即求到最小值． 在中，，故为等腰三角形， 求最小值即求底边上的高，求得． 19. 已知函数． （1）若不等式的解集为R，求m的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果； （2），对，与分类讨论，可分别求得其解集 （3），通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围． 【小问1详解】 根据题意，当，即时，，不合题意；  当，即时， 的解集为R，即的解集为R， 即，故时，或. 故 ． 【小问2详解】 ，即， 即， 当，即时，解集为； 当，即时，， ， 解集为或； 当，即时，， ， 解集为． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为或. 【小问3详解】 ，即， 恒成立， ， 设则， ， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 当时，， ． 【点睛】本题考查二次函数恒成立问题，以及含参二次函数不等式的求解，其中正确的分类讨论，是解决本题的关键，属综合困难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵阳市观山湖区第一高级中学2024-2025学年度第二学期 5月月考 高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的非空子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知表示不同的直线，表示不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A 若，且，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 4. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 5. 在中， ，其面积为，则等于 A. B. C. D. 6. 已知在中，为所在平面内动点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）. A. 1 B. 2 C. D. 8. 如图所示，在四边形中，，，，将四边形沿对角线BD折成四面体，使平面平面，则下列结论正确是（　　） A B. C. 与平面所成的角为 D. 四面体的体积为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. 的虚部为1 B. C. D. 的共轭复数为 10. 如图，正方体的棱长为1，E为的中点，下列判断正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与直线是异面直线 C. 在直线上存在点F，使平面 D. 直线与平面所成角是 11. 如图是函数的部分图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是函数的一条对称轴 C. 将函数的图象向右平移个单位后，得到的函数为奇函数 D. 若函数在上有且仅有两个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折成，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为__________. 13. 已知，则_________. 14. 如图所示，在直三棱柱中，，，，点是线段上的一动点，则线段的最小值为__________． 四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，，，，点D，E满足，，AC边上的中线BM与DE交于点O.设，. （1）用向量，表示，； （2）求. 16. 如图，在四棱锥中，，，，底面，是上一点． （1）求证：平面平面； （2）若是的中点，求平面与平面的夹角的正弦值． 17. 在锐角中，角对边分别为，，，已知且. （1）求角A的大小； （2）求的取值范围. 18. 如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）连接交于点，求三棱锥的体积； （3）已知点为中点，点为平面内的一个动点，若平面，求长度的最小值． 19. 已知函数． （1）若不等式的解集为R，求m的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$