精品解析：江西省赣州市上犹中学2024-2025学年高三下学期第六次模拟预测数学试题

2025届高三第六次模拟考试 数学试卷 考试时间：120分钟 卷面分值：150分 一、单选题 1. 设复数在复平面内对应的点为，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3 2. 已知为等比数列前项和，若，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 3. 已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆台上下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是奇函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 某公司有甲，乙两个部门，每个部门各有7名员工，其中甲部门有5名经验丰富的员工和2名新员工，乙部门有4名经验丰富的员工和3名新员工，现从甲部门和乙部门各随机选出一名员工进行交换，交换完成后，再从甲部门随机选出一名员工，则该员工是经验丰富的员工的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为（ ） A 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据“，，，，，”第百分位数为 B. 已知具有线性相关关系的变量、，设其样本点为，经验回归方程为，若，，则 C. 若随机变量，且，则 D. 若随机变量，且，则 10. 如图，在长方体中，，，E为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 四面体的体积等于 D. 经过AB的平面截该长方体的截面面积的最大值为 11. 已知曲线，则以下结论正确是（ ） A. 的范围是 B. 若，则曲线具有周期性 C. 曲线既轴对称图形又是中心对称图形 D. 曲线与圆有公共点 三、填空题 12. 在中，已知，，.则_______. 13. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，的准线交于两点，为等边三角形，则的离心率为______． 14. 若直线为曲线的一条切线，则的最小值为_______． 四、解答题 15. 某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度（单位：）随冷却速率（单位：）变化的统计数据． 10 20 30 40 50 650 640 600 590 580 （1）一般认为当时，经验回归方程的拟合效果非常好；当时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由． （2）请利用所给数据求该金属凝固点温度与冷却速率之间的经验回归方程，并预测冷却速率为时，该金属的凝固点温度． 参考公式：； 相关系数． 参考数据：． 16. 已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线. （1）求的轨迹方程. （2）已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点. 17. 如图，在三棱柱中，，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值． 18. 已知函数 （1）已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值； （2）已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围. （3）已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明. 19. 设正整数，对于数列，定义变换，将数列变换成数列：．已知数列满足．记． （1）若：，写出数列，； （2）若为奇数且不常数列，求证：对任意正整数，都不是常数列； （3）求证：当且仅当时，对任意，都存在正整数，使得为常数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三第六次模拟考试 数学试卷 考试时间：120分钟 卷面分值：150分 一、单选题 1. 设复数在复平面内对应的点为，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 分析】先得到，利用复数除法法则得到，求出虚部. 【详解】由题意可知，所以， 则的虚部为. 故选：B. 2. 已知为等比数列前项和，若，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式和求和公式来求解即可. 【详解】由等比数列公式可得：， 所以， 故选：A. 3. 已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同增异减可得的增减性，故可求实数的取值范围. 【详解】设，因为为上的增函数， 而在内单调递增， 故为内的增函数，且在内恒成立， 故，故， 故选：D. 4. 已知圆台上下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据勾股定理求解圆台的高，再根据台体的体积公式求解即可. 【详解】由图可得，圆台的高为， 故圆台的体积为. 故选：B 5. 已知函数是奇函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：根据，得到方程，求出；方法二：根据得到方程，求出，经检验，满足，故. 【详解】方法一：， 令，解得，故定义域为， 则， 因为奇函数，所以，即， 故，因此； 方法二：，故， 即，故，解得， 故， 令，解得，故定义域为， 所以，故为奇函数. 故选：A. 6. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正、余弦定理和三角的恒等变换的化简计算即可求解. 【详解】由题意知，， 由余弦定理得， 由正弦定理得， 即， .又， 所以，得，所以， 所以. 故选：A 7. 某公司有甲，乙两个部门，每个部门各有7名员工，其中甲部门有5名经验丰富的员工和2名新员工，乙部门有4名经验丰富的员工和3名新员工，现从甲部门和乙部门各随机选出一名员工进行交换，交换完成后，再从甲部门随机选出一名员工，则该员工是经验丰富的员工的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分类求出甲部分员工情况及对应概率，再根据题意求解即可. 【详解】从甲部门和乙部门各随机选出一名员工进行交换，有以下四种情况： 第一种，甲部门经验丰富的员工与乙部门经验丰富的员工交换，则概率为， 第二种，甲部门新员工与乙部门新员工交换，则概率为， 第三种，甲部门经验丰富的员工与乙部门新员工交换，则概率为， 第四种，甲部门新员工与乙部门经验丰富的员工交换，则概率为， 第一种与第二种甲部门有5名经验丰富的员工和2名新员工，则随机选出一名员工，为经验丰富的员工的概率为， 第三种甲部门有4名经验丰富的员工和3名新员工，则随机选出一名员工，为经验丰富的员工的概率为， 第四种甲部门有6名经验丰富的员工和1名新员工，则随机选出一名员工，为经验丰富的员工的概率为， 故甲部门随机选出一名员工，则该员工是经验丰富的员工的概率为. 故选：C. 8. 点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线定义将转化为，可知当，，三点共线时，最小，又点的轨迹方程为圆心在，半径为2的圆，再利用两边之和大于第三边即可求得结果. 【详解】由双曲线的方程可得，焦点， 可得， 所以， 当，，三点共线时，最小， 因为直线和相互垂直， 且和分别过定点和，所以交点的轨迹方程是以和为直径的两个端点的圆，圆心在，半径为2， 所以， 当三点共线且在和之间时最小，所以的最小值为6， 故选：A 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据“，，，，，”的第百分位数为 B. 已知具有线性相关关系的变量、，设其样本点为，经验回归方程为，若，，则 C. 若随机变量，且，则 D. 若随机变量，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用百分位数的概念可判断A选项；利用回归直线过样本中心点可判断B选项；利用二项分布的期望和方差公式可判断C选项；利用正态密度曲线的对称性可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，因此，该组数据的的第百分位数为，A对； 对于B选项，由已知可得，， 将样本中心点的坐标代入经验回归方程得，解得，B错； 对于C选项，若随机变量，且，可得， 则，C对； 对于D选项，若随机变量，且， 则，D错. 故选：AC. 10. 如图，在长方体中，，，E为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 四面体的体积等于 D. 经过AB的平面截该长方体的截面面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，连接，，，通过面面平行即可证得线面平行；B选项，由图可知，与BD不垂直，进而说明线面不垂直；C选项，通过线面平行结合等体积法求得体积；D选项，经过AB的平面截该长方体的截面面积最大时的截面为 【详解】如图，连接，，，易知平面平面，且平面，故有平面，A正确； 易知，为等腰三角形，为底边，故与BD不垂直，即平面不成立，B错误； 由平面知，，C正确； 经过AB的截面为矩形，截面与侧面的交线最长为对角线，故截面面积的最大值为，D正确. 故选：ACD． 11. 已知曲线，则以下结论正确的是（ ） A. 的范围是 B. 若，则曲线具有周期性 C. 曲线既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 曲线与圆有公共点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦函数值域判断A，根据周期性及对称性定义判断B，C，应用特殊点判断D. 【详解】曲线，则，A选项错误； 当，则曲线，， 所以是周期，所以曲线具有周期性，B选项正确； 代入曲线成立，所以曲线关于轴成轴对称图形， 代入曲线成立，所以曲线关于对称图形， 所以曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，C选项正确； 曲线，与圆有公共点，D选项正确； 故选：BCD. 三、填空题 12. 在中，已知，，.则_______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正弦定理求解，即可根据余弦的二倍角公式求解. 【详解】由正弦定理可得，故， 故, 故答案为：. 13. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，的准线交于两点，为等边三角形，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线右焦点坐标为，左焦点为，由题意得出的长，再根据几何关系列出等式即可求解． 【详解】设双曲线右焦点坐标为，左焦点为，则抛物线准线为， 将代入得，， 所以， 在中，， 解得或（舍）， 所以的离心率为， 故答案为：． 14. 若直线为曲线的一条切线，则的最小值为_______． 【答案】-1 【解析】 【分析】首先对函数求导，利用导数的几何意义求出，然后构造新函数，对其求导判断单调性和最小值，从而求出的最小值. 【详解】对函数求导得：. 因为直线为曲线的一条切线， 设切点为，令，即①. 又②，用①除以②得：. 所以. 所以,所以. 设，则求导得. 当时，，所以，此时在上单调递增； 当时，，所以，此时在上单调递减. 所以，所以的最小值为-1. 故答案为：-1. 四、解答题 15. 某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度（单位：）随冷却速率（单位：）变化的统计数据． 10 20 30 40 50 650 640 600 590 580 （1）一般认为当时，经验回归方程的拟合效果非常好；当时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由． （2）请利用所给数据求该金属凝固点温度与冷却速率之间的经验回归方程，并预测冷却速率为时，该金属的凝固点温度． 参考公式：； 相关系数． 参考数据：． 【答案】（1）拟合效果非常好，理由见解析 （2）； 【解析】 【分析】（1）首先根据表格里面的数据求出的平均值，然后根据根据相关系数公式求出相关系数. （2）首先求出回归方程的表达式，然后将冷却速率值代入，求出金属的凝固点温度. 【小问1详解】 易知， 因为，， ， 因为 所以该经验回归方程的拟合效果非常好． 【小问2详解】 由（1）知，由， 因为， 所以，故所求的经验回归方程为． 当时，， 所以冷却速率为时，该金属的凝固点温度为． 16. 已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线. （1）求的轨迹方程. （2）已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助为线段中点，利用相关点法求轨迹方程； （2）设直线：，联立抛物线方程，设，，可得根与系数的关系式，结合化简可得参数之间的关系，进而利用直线方程求得定点坐标. 【小问1详解】 设，，是的中点， ，，又， 代入得．故点的轨迹方程是． 【小问2详解】 由题意点坐标适合，即点A在C上， 由题意可知BD斜率不会为0，设直线：， 联立，消去并整理得， 需满足，即， 设，，则，，  因为，， 所以， 所以，将，代入得， 即， 所以直线：，即， 所以直线BD经过定点. 17. 如图，在三棱柱中，，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知得，应用线面垂直的判定证明面，再由面面垂直的判定证明结论； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，根据线面角的正弦值及向量法求得，进而确定相关向量的具体坐标，最后应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 在中，，，则， 所以，则， 由，都在面内，则面， 又面，所以面面； 【小问2详解】 由（1）及，即两两垂直， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如下图示， 设，由（1），则， 所以， 若是面的一个法向量，则，取，则， 设直线与面所成角为，则， 所以，则， 在中，则， 若是面的一个法向量，则，取，则， 设面与面所成角为，则. 18. 已知函数 （1）已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值； （2）已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围. （3）已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明. 【答案】（1） （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）切线方程的斜率为1，所以有，解方程即得实数a的值； （2）依题意在（0，+∞）上恒成立.，分参求解即可； （3）求出函数的单调性，结合零点存在性定理即可求实数a的取值范围；通过分析法要证明，只需证，构造函数即可证得 【小问1详解】 因为，所以. 所以，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为， 所以，解得.. 【小问2详解】 f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数， 所以在（0，+∞）上恒成立. 即恒成立.，即， 令，所以， 时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即. 【小问3详解】 定义域 当时，，所以在（0，+∞）上单调递减，不合题意. 当时， 在（0，）上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 函数存在两个零点的必要条件是， 即，又， 所以在（1，）上存在一个零点（）. 当时，，所以在（，+∞）上存在一个零点， 综上函数有两个零点，实数a的取值范围是. 不妨设两个零点 由，所以， 所以，所以， 要证， 只需证， 只需证， 由， 只需证， 只需证， 只需证， 令，只需证， 令， ， ∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴， 即成立， 所以成立. 【点睛】极值点偏移问题，应熟练掌握对称构造的基本方法，同时结合处理双变量问题的常用方法比值代换的技巧. 19. 设正整数，对于数列，定义变换，将数列变换成数列：．已知数列满足．记． （1）若：，写出数列，； （2）若为奇数且不是常数列，求证：对任意正整数，都不是常数列； （3）求证：当且仅当时，对任意，都存在正整数，使得为常数列． 【答案】（1）； （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，直接写出答案； （2）利用反证法，假设存在常数列，并建立方程，可证矛盾；另法：分情况写出常数列的结果反推前一种变换的数列，可得矛盾； （3）首先证明，若，其中，则存在项的数列，使得对任意的正整数都不是常数列．其次证明：若，其中，对任意，都存在正整数是常数列． 【小问1详解】 由题意可得；. 【小问2详解】 证明：设，其中． 假设存在正整数，使得是常数列，由不是常数列， 不妨设不为常数列且为常数列， 记，则． 令 当时，因为，且，所以． 故． 此时为常数列，矛盾． 另法： ①若，则， 有 此时为常数列，矛盾． ②若，则， 有， 矛盾． 综上，对于任意正整数，都不是常数列. 【小问3详解】 首先证明，若，其中， 则存在项的数列，使得对任意的正整数都不是常数列． 证明：构造项的数列，其中， 构造项数列 对任意的正整数，设，则 由于不是常数列，故不是常数列． 其次证明：若，其中，对任意，都存在正整数是常数列． 证明：假设存，其中，使得存在数列， 使得对任意的正整数都不是常数列，不妨设的最小值为． 情形一：，则，记，则为常数列，矛盾． 情形二：，对任意的数列，则 记， 定义数列，其中． 则． 则依此类推，对任意正整数，记， 存在正整数，使得为常数列，记，则数列均为常数列， 设，则的各项均为．即时，是常数列，矛盾． 综上，当且仅当时，对任意，都存在正整数，使得为常数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $