重庆市綦江中学等校2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 报 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章。 欧 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知向量a=(4,2),b=(x,1),且a仍，则|b1= A√2 B.√5 C.√5 D.2 毁 2+i 2 A号 B安 封 n号 3.已知m,n为两条不同的直线，a,3为两个不同的平面，下列命题为假命题的是 蠻 A.若m⊥a,m⊥B,则aB B.若m⊥n,n⊥a,则m/a C.若m⊥a,mCB,则a⊥F D.若m⊥a,n⊥a,则m∥n 4.如图，这是某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一圆台和 一圆柱组成的，其中O为圆台下底面的圆心，O2,O1分别为圆柱上、下底 面的圆心，经实验测量得到圆柱底面圆的伴径为2cm,O,O2=5cm,OO1 线 =4cm,圆台下底面圆的半径为5cm,则该组合体的表面积为 A.36πcm2 家 B.42 cm2 C.64πcm2 D.84πcm2 5.已知向量a,b满足|a一2b|=|2a一b|=2,且|b|=1,则a·b= A号 c D, 【高一数学第1页（共4页）】 ·A1· 6,在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c若A=号，b=4,满足条件的△ABC有两獬， 则边长a的可能取值为 A.3 B.2√3 C.√/15 D.4 7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱BB1的中点，则经过A1,D,E三点的正 方体的截面周长为 A.3√2+2√5 B.32+√5 C.22+2√5 D.√2+√5 8.在三棱锥O-ABC中，△OAC,△OBC均是边长为√2的等边三角形，当平面OAB⊥平面 ABC时，三棱锥O-ABC内切球的半径为 A.√3-1 B.2-√3 C.√2-1 D.2-√2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题正确的有 A.三棱台的各侧棱所在直线必交于一点 B.棱台的侧面都是梯形 C.因为四棱锥是五面体，所以五面体就是四棱锥 D.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥 10.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列结论正确的是 A.若a2>b2十c2,则△ABC为钝角三角形 B.若cos Acos Bcos C.>0,则△ABC为锐角三角形 C,若sin2A=sin2B,则△ABC一定是等腰三角形 D.若A<B,则cosA<cosB 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N,P分别是AA1,CC1,C1D1的中 点，Q是线段DA1上的动点，则下列说法正确的是 A.存在点Q,使得PQ平面DMN B.不存在点Q,使得B,N,P,Q四点共面 C三棱锥P:MBN的体积为号 D.三棱锥M-BCN外接球的表面积为9π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设i是虚数单位，之=5一12i,则|之|=▲ 13.已知向量a,b满足|a|=√2，b=(1,0),向量a在向量b上的投影向量的坐标为(1,0)， 则a=▲ 14.若向量a,b,c满足|a一2b|=1,(b+c)·(b一c)=0,则|2a一3c|+|3b一4c|的最小值为 【高一数学第2页（共4页）】 ·A1· 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 如图，在四棱锥S-ABCD中，E,F,G,H分别是棱SB,SD,AB,AD的中点，且SA=SC, SB=SD. (1)证明：GHEF. (2)证明：平面SAC⊥平面ABCD. 16.(15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin B-=bsin2, B+C (1)求A; (2)若a=2,求△ABC面积的最大值./ 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2,PA=PD=√5，且 平面PAD⊥平面ABCD,E,F分别是PC,AD的中点. (1)证明：AD⊥PB. (2)求三棱锥E-BCF的体积. 【高一数学第3页（共4页）】 ·A1· 18.(17分) 重庆市渝东北某规划部门计划在一个半径为2k的扇形滨江公园中打造特色景观，该扇 形的圆心角为直角，OA,OB分别为公园的两条垂直边界道路.现要在弧AB上选取一个景 观节点P,使得∠AOP=0,其中9∈(0，).为提升广场实用性，规划方案如下： 1.过点P向OA,OB分别作垂直步道PM,PN,围出一个矩形OMPN,用于打造亲子游乐 区，记该矩形区域的面积为S1; 2.连接PA,PB,AB,在△PAB区域内打造城市花境景观带，记该三角形区域的面积为S2. 请你尝试帮助规划部门解决以下问题： (1)分别用9表示亲子游乐区面积S:与花境景观带面积S2; (2)若综合考虑游乐区实用性与景观带观赏性，定义综合效益函数f(0)=S1+2S2,求f(8) 的最大值及对应此时景观点P的位置， 欧 19.(17分) 由代数基本定理，给定n(n∈N"),方程x”一1=(x一1)(x-1十xn-2十…十x十1)=0有 n个复数根wk(k=0,1,2,…,n一1)，且w%=cos 2ktisin n n2k红，将0称为n次单位根. 封 (1)求三次单位根，并计算2与的值. 山1 o (2)欧拉公式e=cos0十isin0给出了复数的指数形式，借助欧拉公式进行复数的乘除、求 模运算，可衡化运算过程例如：_。 4吾=e=w1,1+w=2cos7 （1)证明：w0十aw1十w2十…十wn-1=0(k≥1). 0,n为偶数， （1)证明：cos牙·cos经cos红-1Dx )岁 其中n≥2. n 2m-1一，n为奇数， 线 【高一数学第4页（共4页）】 ·A1重庆市九校联考2025~2026 中高一数学参考答案 一、选择题 1.B2.A3.B4.D5.C6.A7.B8.B 9.ABD 10.AB 11.AD 二、填空题 1.13 2.(1,1)或(1，-1) 3.2 三、解答题 15.(13分) (1)连接BD。 ·E,F分别为SB,SD的中点，∴.EF∥BD。 .G,H分别为AB,AD的中点，∴.GH∥BD。 .∴.GH∥EF。 (2)设AC,BD交于点O,连接SO。 SB=SD,O为BD中点，∴.SO⊥BD。 .·SA=SC,O为AC中点，∴.SO⊥AC。 又AC∩BD=O,AC、BDC平面ABCD, .∴.SO⊥平面ABCD。 又SOC平面SAC, .'.平面SAC⊥平面ABCD。 学年度下期5月期 16.(15分) B+C (1)由a sin B=bsin 及正弦定理得 A sin Asin B=sin B cos2。 .'sinB≠0，∴.sinA=cos A 2 AA A 即2sin2co 2 =c0s20 A A1 cos2≠0，sim2=20 又Ae0,故号-君，即A- A T 3 (2)由余弦定理得a2=b2+c2-2 bc cos A。 不 代入a=2,A=3,得4=b2+c2-bc≥bc, 当且仅当b=c时取等号，故bc≤4。 SAABC=2 be sin A≤2×4X2 =V3, 即△ABC面积的最大值为V3。 17.(15分) (1)连接PF。 ,·PA=PD,F为AD中点，.∴.PF⊥AD。 ,·平面PAD⊥平面ABCD,交线为AD,PFC平面PAD, .PF⊥平面ABCD。 ·.·四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°， ∴.△ABD为等边三角形。 又F为AD中点，∴.BF⊥AD。 .'PF∩BF=F,PF、BFC平面PBF, ∴.AD⊥平面PBF。 又PBC平面PBF,∴.AD⊥PB。 (2)由(1)知PF⊥平面ABCD, PF=√PA2-AF2=V5-1=2。 1 :E为PC中点，.E到平面BCF的距离h=。PF=1。 S△BCF= 2.BC.BF- ×2×V3=V3, 3 SARCF…h=- ∴.VE-BCF= 3×3x1=3 18.（17分) (1)由题意，OM=2cos0,ON=2sin0, ∴.S1=OM.OW=4sin0cos0=2sin20。 1 S扇形0AB= 4T×2=π， 1 1 SA0AP+SA0Bp=2×2×2sin8+2×2×2c0s9=2( .S2=π-2(sin0+cos)。 (2)f(0)=S1+2S2=2sin29+2π-4(sin0+cos0)。 令t=sin0+cos0,则sin20=t-1,t∈(1，V2。 .f(t)=2t2-4t+2π-2， 该函数在(1，√2]上单调递增， 故当t=V2,即9-时， f(0)max=2m+2-4V2。 综上，(1)S1=2sin20,S2=π-2(sin0+cos0); (2)f()的最大值为2π+2-4V2,此时P为弧AB的中点。 19.(17分) (1)三次单位根为 w0=1,w1= 13 2 1v3 2i,=-2-2i。 W1 wo 2+ 2 W2 1,3. Wl +21 2 (2)①证明： .w0,w1,·,wn-1是首项为1，公比9丰1的等比数列， .∴.w0+w1+··+wn-1= 1-q” 1-q 由g”=1,得w0十w1+·十wn-1=0。 ②证明： 当刀为偶数时，存在长=分，使0s 杯=0，故乘积为0； m 当为奇数时，由单位根性质得 cosco2T…cosn-1r=（-1)学 2n-1° sin0+cos),