精品解析：江苏省海安市实验中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

实验中学高一年级第二次学情检测数学 命题：解祥峰 校对：解祥峰 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【解析】 【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D. 【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选；C. 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 4. 一艘船以32 n mile/h的速度向正北方向航行．从A处看灯塔S位于船北偏东的方向上，30分钟后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船北偏东的方向上，则灯塔S与B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定中的已知边与角，利用正弦定理，即可求得结果. 【详解】由题意知，，， 由正弦定理得，， 解得. 故选：B. 5. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 7. 在矩形ABCD中，已知，，点P在CD边上，满足，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设，根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系，，设， 则， 所以，得， 所以， 所以. 故选：C. 8. 在菱形中，，，将沿对角线翻折至，则当三棱锥表面积最大时，三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】沿对角线折起，当且，则三棱锥的表面积最大时，取的中点，连接，利用余弦定理求得，过球心作平面，则为等边三角形的中心，由与都是边长相同的等边三角形，由二倍角公式可得，利用勾股定理得、球的半径，最后由球的体积公式计算可得答案. 【详解】 由题意，因为是菱形，，， 则，是等边三角形，面积固定， 当且时，和的面积最大， 即三棱锥表面积最大， 因为，则， 取的中点E，连接， 则， ， 如图，过球心作平面，则为等边三角形的中心， 则，所以， 又，所以，， 在中，，则， 由勾股定理得， 所以球的半径， 所以三棱锥的外接球的体积为. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则，的夹角为钝角 D. 若，则在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量平行垂直的坐标表示求判断A、B选项；对C，用向量反向共线说明不成立；对D，直接计算投影向量即可. 【详解】向量，， 对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，当时，，反向共线，夹角为， 此时，的夹角不为钝角，C错误； 对于D，当时，，因此在上的投影向量为 ， 在上的投影向量的坐标为，D正确. 故选：ABD 10. 下列条件中能推导出一定是锐角三角形的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用向量的数量积判断得角为锐角，但确定不了另两个角的范围，由此判断即可；对于B，利用余弦函数的性质与三角形角的范围分析判断即可；对于C，利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可判断；对于D，利用正切函数的性质与和差公式，结合三角形角的范围分析判断即可. 【详解】对于A，因为，即， 又，故角为锐角， 但无法确定另两个角的范围，故不一定是锐角三角形，故A错误； 对于B：因为， 若，则或， 又，则除了角为钝角外，还有一角为钝角，矛盾； 同理都不可能， 故，，，即三个角均为锐角，故B正确： 对于C，因为，由正弦定理得， 令，则， 显然最大角为，且， 所以最大角为锐角，所以一定是锐角三角形，故C正确； 对于D，因为，又且不能同时为钝角， 所以，，即均为锐角， 又，所以也为锐角， 所以一定为锐角三角形，故D正确． 故选：BCD． 11. 在棱长为2的正方体中，分别是，，的中点，则下列正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 多面体是棱台 D. 平面截正方体所得截面的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】由线面平行即可判断A；由线面垂直即可判断B；由棱台的定义即可判断C；由平面截正方体所得截面的作图即可判断D． 【详解】对于A，取中点，连接， 由正方体得四边形为平行四边形，所以， 因为点为的中点，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，取中点，连接，则，所以， 所以，所以， 由正方体得，平面，又平面， 所以， 因为，，平面，， 所以平面，又，所以与平面不垂直，故B错误； 对于C，由正方体得，平面平面，即平面平面，由棱台的定义可知，多面体是棱台，故C正确； 对于D，设直线与直线交于点，连接与交于点，与直线交于点，连接交于点，连接，则五边形即为平面截正方体所得截面， 因为，所以，， 因为，所以，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以，所以， 所以， 因为，， 所以，故D错误； 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为3，三棱柱的体积大小为______． 【答案】9 【解析】 【分析】设斜三棱柱的体积，易知，割补法求得，即可得出，从而得解. 【详解】设斜三棱柱的高为h，，斜三棱柱的体积为， 所以，易知， 所以， 又三棱锥的体积大小为3，所以， 所以，即三棱柱的体积大小为9， 故答案为：9 13. 有一组样本数据：6，，，…，，已知它的平均数为6，方差为10，则新数据，，…，的方差为__________. 【答案】 【解析】 【分析】代入平均数和方差公式，即可求解. 【详解】根据题意新数据的平均数为， 设其方差为， 因为， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 在△ABC中，，P是MC的中点，延长AP交BC于点D．若，则________；若，，则△ABC面积的最大值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，直接由向量的线性运算计算即可； 第二空，用向量表示向量，进而求出的模，设分别为所对边，由的模表示出的关系，利用基本不等式即可求解△ABC面积的最大值. 【详解】第一空，因为P是MC的中点， 所以， 又因为， 所以， 所以， 即， 所以； 第二空，设，则， 因为点D在BC上，所以，即， 所以， 所以， 因为，即， 设分别为所对边， 所以， 即， 因为，当且仅当时取等号， 所以，即， 所以， 因此△ABC面积的最大值为为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查平面向量的线性运算及应用，关键在于利用平面向量基本定理表示出向量，再根据模长求出三角形两边的关系，利用基本不等式和面积公式即可得到面积最大值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 16. 如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 【答案】（1） 连接交于点，连接， 则直三棱柱中，四边形为平行四边形， 则为的中点，又为的中点，故， 平面，平面，故平面. （2） 取中点为，连接，，为的中点， 故，而底面， 故底面，底面，故； 又为的中点，则，而，即， 故， 而，平面，平面， 故平面， 又平面，故，即. 【解析】 【分析】（1）要证平面，根据线面平行的判定定理在平面内找到一条直线与之平行即可； （2）将线线垂直转化为与所在的某个平面垂直即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知，，且，，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用两角和的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式结合商数关系化弦为切即可得解； （2）先利用利用二倍角的余弦公式结合商数关系化弦为切求出，再利用两角差的正弦公式求出的正弦值，并求出的范围，即可得解. 【小问1详解】 由， 解得， 所以； 【小问2详解】 ， 由，，得， 所以 ， 因为，， 所以，所以， 又，， 所以，所以， 所以， 所以． 18. 如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：在三棱台中，，， 在等腰梯形中，， 由余弦定理得：， 则，即， 而平面平面，平面平面平面， 所以平面. （2） （3）存在，线段的长为，理由如下： 三棱台侧棱延长线交于一点，由（1）得为正三角形， 由平面，平面，得平面平面，取中点， 则，而平面平面，平面，则平面， 作交于，则平面，而平面，则， 作于，连接，即在平面上的射影，     又，平面，则平面， 又平面，于是，为二面角的平面角， 若存在使得二面角的大小为，即， 设，则，， 即，解得，，， 因此，， 所以存在满足题意的点. 【解析】 【分析】（1）借助余弦定理证得，再利用面面垂直的性质推理得证. （2）作出线面角，利用定义法求出大小. （3）延长棱台侧棱还原成棱锥，再利用面面角的定义计算推理即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过，垂足为， 因为平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面， 得 又，平面， 则平面，为与平面所在角，， 因此，所以与平面所成角为. 【小问3详解】 略 19. 费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点．具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于，费马点是三角形内部对三边张角均为的点；如果三角形有一个内角大于或等于，费马点就是该内角所在的顶点． 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为费马点． （1）若，，，求的值； （2）若，，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合余弦定理可先求出，然后结合三角形的面积公式得到，找到其与数量积的关系即可求解； （2）设出和，通过正弦定理得到和的关系，再通过余弦定理结合基本不等式求的范围. 【小问1详解】 在△ABC中，，，，所以C是最大角． 由． 因为，所以， 所以△ABC的费马点O是三角形内部对三边张角均为的点． 设△ABC的面积为S， 则 又由，得， 所以． 所以， 即， 所以 【小问2详解】 在△ABC中，因为，， 所以△ABC的费马点O是三角形内部对三边张角均为的点． 设，则，， 所以． 设，，， 在△AOB与△AOC中，由正弦定理可得， ， 所以． 在△BOC中，由余弦定理可得， ， 所以，即． 当且仅当时，mn取得最大值， 所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据向量积与三角形面积公式的关系求出向量积的和，再根据余弦定理，运用基本不等式求最值，要注意检验取等条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学高一年级第二次学情检测数学 命题：解祥峰 校对：解祥峰 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 一艘船以32 n mile/h的速度向正北方向航行．从A处看灯塔S位于船北偏东的方向上，30分钟后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船北偏东的方向上，则灯塔S与B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 在矩形ABCD中，已知，，点P在CD边上，满足，则（ ） A. B. 0 C. D. 8. 在菱形中，，，将沿对角线翻折至，则当三棱锥表面积最大时，三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则，的夹角为钝角 D. 若，则在上的投影向量的坐标为 10. 下列条件中能推导出一定是锐角三角形的有（ ） A. B. C. D. 11. 在棱长为2的正方体中，分别是，，的中点，则下列正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 多面体是棱台 D. 平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为3，三棱柱的体积大小为______． 13. 有一组样本数据：6，，，…，，已知它的平均数为6，方差为10，则新数据，，…，的方差为__________. 14. 在△ABC中，，P是MC的中点，延长AP交BC于点D．若，则________；若，，则△ABC面积的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 16. 如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 17. 已知，，且，，求： （1）的值； （2）的值． 18. 如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 19. 费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点．具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于，费马点是三角形内部对三边张角均为的点；如果三角形有一个内角大于或等于，费马点就是该内角所在的顶点． 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为费马点． （1）若，，，求的值； （2）若，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $