暑假作业02 勾股定理（4个知识点+9个题型+创新题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（人教版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 勾股定理 【知识点1 勾股定理】 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.对任意的直角三角形，如果它的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么一定有a2+b2=c2，这种关系我们称为勾股定理. 2.数学语言：如右图所示，△ABC是直角三角形，其中较短的直角边a叫作勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 【知识点2 勾股定理的验证】 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想、图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.利用面积相等证明勾股定理是最常见的一种方法，常见的几种证明方法如下 1.弦图证明 内弦图 外弦图 ∴ ∴ 2.“总统”法（半弦图） 如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形： ，∴ 【知识点3 勾股定理的逆定理】 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边长c所对的角为直角. 2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形 （1）先比较三角形三边长的大小，找到最长边： （2）计算两条较短边的平方和与最长边的平方； （3）比较二者是否相等； （4）若相等，则这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则这个三角形不是直角三角形. 【知识点4 勾股数】 1.定义：像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 2.满足条件：①三个数都是正整数；②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方. 3.勾股数的整数倍仍为勾股数，如3,4,5的2倍6,8,10仍为勾股数. 4.常见形式：①n2-1，2n，n2+1（n为大于1的整数）；②4n，4n2-1，4n2+1（n为正整数）等. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 判断三角形的形状】 1．已知中，、、分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．，，是的三边长，且满足，则的形状为（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【题型2 勾股定理解三角形】 3．如图，在中，，AD平分，过点D作交AB于点E．若，，则的长是（    ） A．3 B． C． D．5 4．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，则的长为 ． 5．如图，在中，，是的平分线，是边上的中线，与相交于点．若，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【题型3 勾股定理与网格问题】 6．（1）如下图，在的网格中， ． （2）点、、、、是如下图所示的正方形网格中网格线的交点，则 ． （3）如下图，在正方形网格中，、、、、均为格点，则 ． 7．我们发现可以在正方形网格中构造图形解决一些数学问题． 例如：如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），构造，点A，B，C都在格点上，比较与的大小． 解：由勾股定理，得，，． 在中，， ． 请仿照上述方法，在图2中构造图形，比较与的大小． 8．在的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点是格点． (1)在网格中找一格点E，使得； (2)作格点，使得，； (3)在（2）的条件下，_______． 【题型4 勾股定理与面积问题】 9．如图，中，．以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 10．“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图中大正方形的面积为，线段的长为，则图1中的直角三角形面积为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 11．如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点落在上，若，空白部分面积为24，则图中阴影部分的面积是 ． 【题型5 勾股定理与折叠问题】 12．如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 13．如图，中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，以下四个结论不正确的是(   ) A． B．是等腰直角三角形 C． D． 14．如图，在纸片中，，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为 ． 【题型6 勾股定理与立体图形最短路径问题】 15．如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 16．如图圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁A，离杯口上沿与蜜蜂相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 【题型7 勾股定理与几何最值问题】 17．如图，中，，已知，E为上一点，且，连接，则的最小值为 ． 18．如图，在中，，，、分别是、边上的动点，连接、，则的最小值是 ． 19．如图，在中，，D是边上一点，连接，M，N是线段上两点，，，P，Q分别是边上的动点，连接，则的最小值为 ． 20．如图，在中，，，，若P为上一个动点，则的最小值为 ． 【题型8 勾股定理的实际应用】 21．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点C移动到点E，同时小船从点A移动到点B，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知AC_____________（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离CE（结果保留根号）． 22．如图，一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东方向上，小时后，渔船行至B处，此时看见小岛C在渔船的北偏东方向上． (1)求A处与小岛C之间的距离； (2)渔船到达B处后，航向不变，继续航行多长时间与小岛C的距离恰好为海里． 23．天天和津津放风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程： ①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米； ③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米． 已知A、B、C、D点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在测高的过程中天天提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决他提出的问题． 24．为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．求这片绿地的面积． 25．2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入． (1)烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？ (2)烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长． 【题型9 勾股定理与全等三角形】 26．如图，等边中，，，若，则等于（    ）    A． B． C．3 D．4 27．如图1，和都是等腰直角三角形，，，，的顶点在的斜边上． (1)线段与线段的数量关系为：______． (2)在（1）的条件下，求证：； (3)如图2，若，，点是的中点，请直接写出的长． 28．如图，在中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 29．【发现问题】    如图1，点P在等边三角形ABC内，且 ，求的长. 小明发现，以为边作等边三角形，连接，得到；由等边三角形的性质，可证，得；由已知 ，可知的大小，进而可求得的长． （1）请回答：在图1中， =_____， _____． 【问题解决】 （2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题： 如图2，中，，，点P在内，且，，，和的长． 【灵活运用】 （3）如图3，某公园中有一块四边形空地，连接，．已知，，米，米，公园规划部计划在四边形内种植郁金香以供游客观赏，并将修建成观赏栈道，为保证观赏效果，要使的长度尽可能大（的宽度不计），请直接写出长度的最大值． 30．如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ，按照此规律继续下去，若，则n的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 31．如图，在平面直角坐标系中，，，，，…，的斜边都在坐标轴上，．若点的坐标为，，，，则依此规律，点的纵坐标为 ． 32．勾股数，①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，，；…根据你发现的规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ． 33．定义：如图1，在中，点P在边上，连接，若的长恰好为整数，则称P为BC边上的“整点”．如图2，在中，，，且 边上有4个“整点”，则的长为 ． 34．如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接、．已知，，，设． (1)用含x的代数式表示的长． (2)点C在上什么位置时，的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请通过构图求代数式的最小值． 35．定义：在中，若，，，且a，b，c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”． 请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，求的度数． (2)如图2，在中，，且，D是AB上的点，连接CD，满足，过点作，垂足为．求证：为“类勾股三角形”． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 勾股定理 【知识点1 勾股定理】 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.对任意的直角三角形，如果它的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么一定有a2+b2=c2，这种关系我们称为勾股定理. 2.数学语言：如右图所示，△ABC是直角三角形，其中较短的直角边a叫作勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 【知识点2 勾股定理的验证】 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想、图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.利用面积相等证明勾股定理是最常见的一种方法，常见的几种证明方法如下 1.弦图证明 内弦图 外弦图 ∴ ∴ 2.“总统”法（半弦图） 如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形： ，∴ 【知识点3 勾股定理的逆定理】 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边长c所对的角为直角. 2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形 （1）先比较三角形三边长的大小，找到最长边： （2）计算两条较短边的平方和与最长边的平方； （3）比较二者是否相等； （4）若相等，则这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则这个三角形不是直角三角形. 【知识点4 勾股数】 1.定义：像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 2.满足条件：①三个数都是正整数；②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方. 3.勾股数的整数倍仍为勾股数，如3,4,5的2倍6,8,10仍为勾股数. 4.常见形式：①n2-1，2n，n2+1（n为大于1的整数）；②4n，4n2-1，4n2+1（n为正整数）等. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 判断三角形的形状】 1．已知中，、、分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容和三角形的内角和定理等于是解此题的关键． 根据勾股定理的逆定理判断A和B即可；根据三角形的内角和定理判断C和D即可． 【详解】解：A．， ∴， 是直角三角形，故本选项不符合题意； B．， ， 是直角三角形，故本选项不符合题意； C．，， 最大角， 不是直角三角形，故本选项符合题意； D．， ∴ ， 是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．，，是的三边长，且满足，则的形状为（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的判定，掌握“非负数和为的性质”、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定是解决本题的关键． 先利用非负数的和为的性质得到、、间关系，再由等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理得结论． 【详解】解：，， ， ，， ，； ，； ，； 是等腰直角三角形． 故选：D 【题型2 勾股定理解三角形】 3．如图，在中，，AD平分，过点D作交AB于点E．若，，则的长是（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的定义，等角对等边；由平行及角平分线的条件得；设，则，在中，由勾股定理建立方程求得x的值，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴； ∵AD平分， ∴， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 故选：D． 4．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，则的长为 ． 【答案】1.75 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，连接，由勾股定理求得，推导出，设，则，，由勾股定理得，进一步解答即可得解，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】解：在中，，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接， ∴的垂直平分线为， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得：， 设，则，， 在直角三角形由ABD中，由勾股定理：， 解得， ∴， 故答案为：1.75． 5．如图，在中，，是的平分线，是边上的中线，与相交于点．若，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，勾股定理的应用，三角形的中线的性质，过点作于点,证明，求解，设，再利用勾股定理解题即可. 【详解】解：过点作于点, 平分，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设， 在中， 由勾股定理，得， 解得，即， ∵为中线， ． 故选：A 【题型3 勾股定理与网格问题】 6．（1）如下图，在的网格中， ． （2）点、、、、是如下图所示的正方形网格中网格线的交点，则 ． （3）如下图，在正方形网格中，、、、、均为格点，则 ． 【答案】 45 45 45 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等，正确作出辅助线是解题的关键； （1）证明，得到，再利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，，则，据此可得答案； （2）连接．设图中每个小正方形的边长为，由勾股定理的逆定理和勾股定理证明，是等腰直角三角形，则可得到．再由平行线的性质可得，据此可得答案； （3）证明，得到．则．同理可得，即。 【详解】解：（1）如图，连接， ，，， ， ， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． （2）如图，连接．设图中每个小正方形的边长为， ∴，，，，， ， 是等腰直角三角形， ． 由题意得，， ， ，， 故答案为：． （3）如图，连接、， ∵， ∴， ∴． ， ． 设图中每个小正方形的边长为， 由勾股定理得，，， ， 是等腰直角三角形，， ，即， 故答案为：． 7．我们发现可以在正方形网格中构造图形解决一些数学问题． 例如：如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），构造，点A，B，C都在格点上，比较与的大小． 解：由勾股定理，得，，． 在中，， ． 请仿照上述方法，在图2中构造图形，比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形的三边关系等知识，熟练掌握勾股定理和三角形的三边关系是解题的关键．画出图形，再由勾股定理求出、、的长，然后由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：如图，构造，点D，E，F都在格点上． 由勾股定理，得，，． 在中，， ． 8．在的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点是格点． (1)在网格中找一格点E，使得； (2)作格点，使得，； (3)在（2）的条件下，_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据勾股定理求出距离点为的格点即可； （2）根据勾股定理求出距离点为且该点距离点为的格点即可； （3）连接，由网格特点可得，由勾股定理可得，证明为等腰直角三角形，得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图：点、、即为所求， ； （2）解：如图：即为所求， ； （3）解：如图：连接， ， 由网格特点可得：， 由勾股定理可得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【题型4 勾股定理与面积问题】 9．如图，中，．以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理，根据正方形的面积公式得，，，进而得，再由勾股定理得：，则，进而得，由此即可得出答案．熟练掌握正方形的面积公式，勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：根据正方形的面积公式得：，，， ， ， 在中，， ， ， ． 故选：B． 10．“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图中大正方形的面积为，线段的长为，则图1中的直角三角形面积为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，正确得出大正方形的面积是解题的关键．由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出，再结合即可得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形， ∵大正方形的面积为， ∴， ∵， ∴图2中小正方形的边长为3， ∴ 又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴ ∴图1中的直角三角形面积为 故选：C． 11．如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点落在上，若，空白部分面积为24，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理的知识，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．首先根据余角的性质得到，可证明，易得，进而可知，可有；在中，由勾股定理可得，结合可得，然后根据“阴影部分的面积和三个正方形面积三角形面积倍空白部分面积”求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积和三个正方形面积三角形面积倍空白部分面积 ． 故答案为：15． 【题型5 勾股定理与折叠问题】 12．如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：A． 13．如图，中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，以下四个结论不正确的是(   ) A． B．是等腰直角三角形 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积公式等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，正确得到边相等、角相等．根据折叠的性质，，，，，，，然后结合等腰三角形的性质，直角三角形的性质，以及勾股定理，分别对每个选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：由折叠可知，，，，，，， ， ， ，故A正确，不符合题意； ， ， ， 是等腰直角三角形；故B正确，不符合题意； ，，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，故C不正确，符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 14．如图，在纸片中，，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了翻折变换以及勾股定理、等腰三角形的性质等知识，正确得出的长是解题关键． 过点作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为， 分别求出和的面积，利用可得结果． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为， ∵， ∴，， ∴，， 设， 则， 在中，，即， 解得：， ∴， 过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为， ∵， ∴，， ∴， 设， 则，，， 则有，即， 解得：， 则， ∴ ， 故答案为：． 【题型6 勾股定理与立体图形最短路径问题】 15．如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米， 米，（米）， （米）， 故雕刻在石柱上的巨龙至少为（米）， 故选：A． 16．如图圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁A，离杯口上沿与蜜蜂相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图： 将杯子侧面展开，作关于的对称点， 则， 连接，当点、、在同一条直线上时，最短， 则此时为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离，即的长度， ， ∴蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 故答案为：． 【题型7 勾股定理与几何最值问题】 17．如图，中，，已知，E为上一点，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 如图：取的三等分点F（靠近B点），即，，连接；易证可得，再根据三角形的三边关系可得，即可说明当A、D、F三点共线时，的最小值为． 【详解】解：如图：取的三等分点F（靠近B点）， ∵， 即，，连接， ∵E为上一点，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当A、D、F三点共线时，有最小值为，即的最小值为． ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 18．如图，在中，，，、分别是、边上的动点，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点作，使，连接、，根据平行线的性质求出，，利用证明，根据全等三角形的性质求出，则，根据三角形三边关系求出最小为，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作，使，连接、， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， 在中，， ∴当、、在一条直线上时，最小为， 在中，，，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， 即的最小值是， 故答案为：． 19．如图，在中，，D是边上一点，连接，M，N是线段上两点，，，P，Q分别是边上的动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，勾股定理，找出P点的位置是解题的关键． 作点M关于的对称点，作点N关于的对称点，连接分别交,，于点P，Q，此时有最小值，即的长度． 【详解】作点M关于的对称点，作点N关于的对称点，连接分别交,，于点P，Q， 连接，，    ∵，由对称性可知，，， ∴， ∴， 由对称性可得，， 由勾股定理得，， ∴， 当M、N、P、Q共线时，的值最小， 即的最小值为13． 故答案为：13. 20．如图，在中，，，，若P为上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】过点P作于D，求得，作点C关于的对称点E，连接交于F，连接，得到，再根据，则当P、D、E三点共线时，值最小，最小值等于，然后求出的长即可求解． 【详解】解：过点P作于D， 在中，，， ∴， ∵ ∴ ∴， 作点C关于的对称点E，连接交于F，连接， ∴，， ∴ ∵ ∴当P、D、E三点共线时，值最小，最小值等于， ∵点C关于的对称点E，连接交于F， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为3． 故答案为：3． 【题型8 勾股定理的实际应用】 21．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点C移动到点E，同时小船从点A移动到点B，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知AC_____________（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离CE（结果保留根号）． 【答案】(1)= (2)米 【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解； （2）由勾股定理求出、的长，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变， ∴， 故答案为“＝”． （2）连接，则点、、三点共线， 在中，（米）， （米， 在中，（米）， ∵， （米）， 男孩需向右移动的距离为米． 22．如图，一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东方向上，小时后，渔船行至B处，此时看见小岛C在渔船的北偏东方向上． (1)求A处与小岛C之间的距离； (2)渔船到达B处后，航向不变，继续航行多长时间与小岛C的距离恰好为海里． 【答案】(1)A处与小岛C之间的距离为海里 (2)渔船继续航行小时与小岛C的距离恰好为海里 【分析】本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，二次根式的应用，结合航海中的实际问题，将直角三角形的相关知识结合，体现了数学应用于实际生活的思想． （1）作于H，作交的延长线于T，首先证明，求出即可解决问题； （2）利用直角三角形的性质求出即可解决问题． 【详解】（1）解：作于H，作交的延长线于T， ∵， ∴， ∴（海里）． ∵， ∴（海里）． ∴（海里）， ∴（海里）， 答：A处与小岛C之间的距离为海里； （2）解：在中，海里， ∴， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴当渔船继续航行到T时，与小岛C的距离恰好为海里， ∴（小时）， 答：渔船继续航行小时与小岛C的距离恰好为海里． 23．天天和津津放风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程： ①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米； ③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米． 已知A、B、C、D点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在测高的过程中天天提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决他提出的问题． 【答案】(1)米 (2)能成功，理由见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升9米，作图，根据勾股定理可得米，再根据题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作于点， 则米，米，，米， ∴（米）， ∴（米）； （2）解：能成功，理由如下： 假设能上升9米，如图所示，延长至点，连接， 则米， ∴（米）， ∴（米）， ∵米，余线仅剩7.5米， ∴， ∴能上升9米，即能成功． 24．为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．求这片绿地的面积． 【答案】这片绿地的面积是 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理等知识． 连接，勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，然后由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ， ，， ， 是直角三角形，， ， ， ， 答：这片绿地的面积是． 25．2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入． (1)烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？ (2)烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长． 【答案】(1)120米 (2)需要，封锁的公路长为100米，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质及三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键； （1）过C作，由勾股定理得逆定理得是直角三角形，且，再由三角形面积求的得长即可； （2）过C作，以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，根据，判断有危险，再根据勾股定理求出，进而求出即可． 【详解】（1）解：由题意得米，米，米， 如图，过C作， ， ， 是直角三角形，且， ， ， 解得：（米）， 答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米； （2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下： 如图，由（1）可知，， 公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米， 按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁， 以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、， ，， ， 在中，， ， 即需要封锁的公路长为100米． 【题型9 勾股定理与全等三角形】 26．如图，等边中，，，若，则等于（    ）    A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】先由等边三角形的性质得，，再证明，推出即可解决问题．本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，直角三角形30度角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵为的外角， ∴ ∴在中， 则 故 即 ∴ 故选：C． 27．如图1，和都是等腰直角三角形，，，，的顶点在的斜边上． (1)线段与线段的数量关系为：______． (2)在（1）的条件下，求证：； (3)如图2，若，，点是的中点，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据是等腰直角三角形，＝，根据勾股定理，即可求解； （2）由“”可证，可得，，由勾股定理可求解； （3）过点作于，由勾股定理可求的长，由等腰直角三角形的性质可得，可求的长，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，， ∴， ∴ 故答案为：． （2）和都是等腰直角三角形，，， ，，， ， 连接，如图所示： 在和中，， ， ，， ， 是直角三角形， ， ， ； （3）解：过点作于，如图所示： ，，， ， ， 点是的中点， ， 是等腰直角三角形，，， ， ， ． 28．如图，在中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 【答案】(1)为等腰直角三角形，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问正确作出辅助线是关键． （1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，得垂直平分，则，再利用即可证明； （2）在上取一点H，使，连接，证明，得，，由等腰三角形三线合一的性质得，最后由勾股定理和等量代换可得结论． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）解：在上取一点H，使，连接，    ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 中，由勾股定理得：， ∴． 29．【发现问题】    如图1，点P在等边三角形ABC内，且 ，求的长. 小明发现，以为边作等边三角形，连接，得到；由等边三角形的性质，可证，得；由已知 ，可知的大小，进而可求得的长． （1）请回答：在图1中， =_____， _____． 【问题解决】 （2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题： 如图2，中，，，点P在内，且，，，和的长． 【灵活运用】 （3）如图3，某公园中有一块四边形空地，连接，．已知，，米，米，公园规划部计划在四边形内种植郁金香以供游客观赏，并将修建成观赏栈道，为保证观赏效果，要使的长度尽可能大（的宽度不计），请直接写出长度的最大值． 【答案】（1），5；（2）；；（3）长度的最大值为米 【分析】（1）由全等易得，，由等边可得，，所以可得为直角三角形，利用勾股定理可求出线段的长度； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，利用第一问的思路构造旋转全等，故，唯一不同的是由等边三角形变成等腰直角三角形，其他思路基本一致，其中证明三点共线是求的关键； （3）过作，使，易得，将已知线段进行转化，并放在一个三角形中，从而利用三边关系得出的范围，即可得到长度的最大值． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为：；5． （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，如图：    ∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， 此时，即三点共线， ∴， 在中，， 又∵为等腰直角三角形， ∴． （3）过作，使，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，根据三边关系可得：，即， ∴的最大值为． 30．如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ，按照此规律继续下去，若，则n的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先求出，，再利用勾股定理可得，则可得，同样的方法可得，，归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：∵正方形的边长为，其面积标记为， ∴，， ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵以为边向外作正方形，其面积标记为， ∴， 同理可得：，， 归纳类推得：（其中，为正整数）， ∵， ∴， ∴，即， 故选：C． 31．如图，在平面直角坐标系中，，，，，…，的斜边都在坐标轴上，．若点的坐标为，，，，则依此规律，点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型问题探究点的坐标，含的直角三角形三边的关系和勾股定理，通过从一些特殊的点的坐标发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况是解决本题的关键．根据含的直角三角形三边的关系和勾股定理得，，，于是可得到规律，据此即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∴， 同理可得，，， ∴， ， ∵， ∴点与位置相同，在y轴的负半轴上， ∴点的纵坐标为． 故答案为：． 32．勾股数，①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，，；…根据你发现的规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ． 【答案】，， 【分析】本题考查了勾股数，解题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照规律进行解答．根据所给的几组勾股数可找出规律，根据此规律即可求出第⑤组勾股数． 【详解】解：①，，， ②，，， ③，，， …… 第⑤组勾股数：，，， 故答案为：，，． 33．定义：如图1，在中，点P在边上，连接，若的长恰好为整数，则称P为BC边上的“整点”．如图2，在中，，，且 边上有4个“整点”，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，勾股定理等知识，充分利用垂线段最短，得出整点与三角形顶点A的连线的距离l的取值范围，是解答本题的关键． 设整点与三角形顶点A的连线的距离为l，l为整数，得出当且仅当点D也为“整点”时，在上的“整点”与在上的“整点”有一个重合点，即此时的“整点”的数目之和必为偶数，再据此得出符合条件的h的值，问题随之得解． 【详解】解：如图，边上的高为h， 设整点与三角形顶点A的连线的距离为l，l为整数， 即当“整点”在上时，， 当“整点”在上时，， ∴在上的“整点”数目比在上时的数目多1， 即此时“整点”的数目之和必为奇数，当且仅当点D也为“整点”时，在上的“整点”与在上的“整点”有一个重合点，即此时的“整点”的数目之和必为偶数， ∵边上有4个“整点”， “整点”的数目之和为偶数， ∴点D也为“整点”，即边上的高的长度h为整数， 当时，“整点”在上时，，此时有3个“整点”；“整点”在上时，，此时有4个“整点”， ∴去掉重复的D点，此时“整点”的数目总计为6个； 当时，“整点”在上时，，此时有2个“整点”；“整点”在上时，，此时有3个“整点”， ∴去掉重复的D点，此时“整点”的数目总计为4个，此时符合题意； 当时，“整点”在上时，，此时有1个“整点”；“整点”在上时，，此时有2个“整点”， ∴去掉重复的D点，此时“整点”的数目总计为2个； 可知随着的h值越来越大，“整点”的数目越来越少直至为0， 综上：，即， ∴，， ∴， 故答案为： 34．如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接、．已知，，，设． (1)用含x的代数式表示的长． (2)点C在上什么位置时，的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请通过构图求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)点A、C、E在一条直线上； (3)25 【分析】本题考查了勾股定理和最短路径问题，涉及到了二次根式等知识，解题关键是理解题意，会构造图形，利用了数形结合的思想方法． （1）利用勾股定理分别求出，，即可求解； （2）延长至F，使，连接，证明四边形是矩形，得到，求出，由两点之间线段最短，可知当点A、C、E在一条直线上时的值最小，即可求解； （3）利用前面两题的方法先构造出图形，再求解即可． 【详解】（1）解：已知，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴． （2）解：当点A、C、E在一条直线上时的值最小，最小值是； 理由如下：如图，延长至F，使，连接 由， 则，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知当点A、C、E在一条直线上时的值最小，最小值是． （3）解： 如图，H为线段上一动点，分别过点P、Q作，连接、．已知，，，设． ∴，可知当点M、H、N在一条直线上时的值最小， 延长至G，使，连接， 同理可证四边形是矩形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知当点M、H、N在一条直线上时的值最小，最小值是25， ∴代数式的最小值是25． 35．定义：在中，若，，，且a，b，c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”． 请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，求的度数． (2)如图2，在中，，且，D是AB上的点，连接CD，满足，过点作，垂足为．求证：为“类勾股三角形”． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握各性质是解题的关键． （1）设，，，根据类勾股三角形的特征，把代入运算求解即可． （2）设，，，利用角的等量代换证出，得到，利用等腰三角形的性质得到，再利用勾股定理列式求解即可． 【详解】（1）解：设，，， ∵是“类勾股三角形”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）证明：设，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴为“类勾股三角形”． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$