精品解析：浙江省金华市曙光学校2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题

金华市曙光学校2024—2025学年第二学期期中考试 高一年级数学试题卷 考试时间：120分钟；满分：150分 一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 若O,A,B是平面上不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 A. B. C. D. 2. 设复数，则的实部与虚部的和为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 7 3. 若在中，，则等于 （ ） A. B. C. D. 4. 为了解某小区户主对楼层的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取40%的户主进行调查，已知该居民小区户主人数和户主对楼层的满意率分别如图1和图2所示，则样本容量和抽取的低层户主中满意的人数分别为（ ）． A. 240，32 B. 320，32 C. 240，80 D. 320，80 5 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. 0.8 B. 0.7 C. 0.6 D. 0.5 6. 自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱．已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ） A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 8. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知分别是三个内角的对边，且，，若点P为的费马点，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 圆柱的母线和它的轴可以不平行 B. 圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面 C. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 D. 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括一个圆柱､两个圆锥 10. 高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（ ） A. 学生成绩众数估计为75分 B. 考生成绩的第75百分位成绩估计为80分 C. 在内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01 D. 从和内各抽1名学生，抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13 11. 三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若面积为，则周长的最小值为12 C. 当，时， D. 若，，则面积为 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12 若向量与向量方向相反，则__________． 13. 某班成立了两个数学兴趣小组，组人，组人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，组的平均成绩为分，方差为，组的平均成绩为分，方差为．则在这次测试中全班学生方差为__________． 14. A与B二人进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，A手中有3张两两不同的牌，B手上有4张牌，其中3张牌与A手中的牌相同，另一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同．游戏规则为： （ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，A先从B手中抽取； （ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃； （ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家； 假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同，则A获胜的概率为________． 四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15. 已知复数的共轭复数为. （1）若，求：； （2）若复数在复平面内对应点位于第四象限，且，求的取值范围. 16. 如图，在中，是上的点，，，，. （1）求角的大小； （2）求的面积. 17. 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数； （2）估计该校100名生学身高的75％分位数． （3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明： ①； ②． 18. 袋中装有大小完全相同的6个红球，3个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2. （1）每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率； （2）从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件第一次取到的是红球，事件第二次取到了标记数字1的球，求，并判断事件与事件是否相互独立. 19. 在锐角中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金华市曙光学校2024—2025学年第二学期期中考试 高一年级数学试题卷 考试时间：120分钟；满分：150分 一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 若O,A,B是平面上不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面向量的线性运算求解判断即可. 【详解】由平面向量的线性运算可知, . 故选：B 【点睛】本题主要考查了平面向量的减法运算,属于基础题型. 2. 设复数，则的实部与虚部的和为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】直接由实部虚部的定义计算即可. 【详解】由知实部为3，虚部为，故实部与虚部的和为. 故选：A. 3. 若在中，，则等于 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用正弦定理的边角转化可得，再利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】根据正弦定理有， 由余弦定理得， 所以. 故选：A 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形、边角互化，需掌握定理的内容，属于基础题. 4. 为了解某小区户主对楼层的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取40%的户主进行调查，已知该居民小区户主人数和户主对楼层的满意率分别如图1和图2所示，则样本容量和抽取的低层户主中满意的人数分别为（ ）． A. 240，32 B. 320，32 C. 240，80 D. 320，80 【答案】B 【解析】 【分析】根据图1得到小区的人数，结合图2，求得抽取的低层户主中满意的人数，得到答案. 【详解】由图1所示，可得小区共有（人）， 则样本容量为（人）． 低层户主共有400人，满意率为20%， 故抽取的低层户主中满意的人数为（人）. 故选：B． 5. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. 0.8 B. 0.7 C. 0.6 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】利用互斥事件性质以及已知数据代入公式计算即可求得，再由对立事件性质可得. 【详解】由随机事件和互斥可知， 由， 将代入计算可得， 又和对立，可得，解得. 故选：B 6. 自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱．已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式即可求解. 【详解】记“甲射中10环”为事件，“乙射中10环”为事件，， 甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为： . 故选：D． 7. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ） A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由，，即可判断A；由即可判断B；由即可判断C，由即可判断D. 【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间如下： ，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，共36个. 则事件包括，，，，，，共6个，， 事件包括，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个，， 事件包括，，，，，共5个，， 事件包括，，，，，，共6个，. 对于A，，，所以与不为对立事件，故A错误； 对于B，事件且包括，则，又，， 所以，即与不相互独立，故B错误； 对于C，事件且包括，，，则，又，， 所以，即与相互独立，故C正确； 对于D，事件且包括，，，则，即与不为互斥事件，故D错误. 故选：C 8. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知分别是三个内角的对边，且，，若点P为的费马点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理和两角和的余弦公式化简，可得，，再根据等面积法即可求得，“费马点”定义可得该点与三角形的三个顶点的连线两两成角，从而求得答案. 【详解】, 即 , 又 , , 即 , , 又. 由三角形内角和性质知：△ABC内角均小于120°，结合题设易知：P点一定在三角形内部， 再由余弦定理知, ,, , . 由等号左右两边同时乘以可得： ， . 故选：C. 【点睛】本题主要考查两角和差的余弦公式、余弦定理，平面向量的数量积以及等面积法的应用；理解新概念灵活运用，属于较难题. 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 圆柱的母线和它的轴可以不平行 B. 圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面 C. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 D. 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括一个圆柱､两个圆锥 【答案】BD 【解析】 【分析】根据有关几何体的性质和定义求解. 【详解】对于A：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故A错误； 对于B：圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面，故B正确； 对于C：当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底的圆锥组合体，故错误； 对于D：图①是一个等腰梯形，为较长的底边， 以边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体， 如图②，包括一个圆柱､两个圆锥，正确； 故选：BD. 10. 高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（ ） A. 学生成绩众数估计为75分 B. 考生成绩的第75百分位成绩估计为80分 C. 在内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01 D. 从和内各抽1名学生，抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13 【答案】AB 【解析】 【分析】根据频率分布直方图估计出众数，第75百分位数可判断AB；利用频率估计概率，古典概型等知识可判断CD. 【详解】由频率分布直方图得，成绩在的频率最高，所以估计成绩的众数为75分，故A正确； 因为，所以估计第75百分位成绩为80分，故B正确； 因为成绩在内的人数为，所以随机抽取一名学生访谈，甲被抽取的概率为，故C错误； 记从抽取的1名学生为a，从抽取的1名学生为b，从抽取的2名学生为c,d,则从这4人中抽取2人，所有的可能结果为 ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种， 其中不同组的有ab，ac，ad，bc，bd，共5种， 所以这2人来自不同组的概率为，故D错误； 故选：AB. 11. 三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若面积为，则周长的最小值为12 C. 当，时， D. 若，，则面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，选项A：利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求角的大小；选项B：由三角形面积和角可得，利用均值不等式求周长最小值即可；选项C：利用边角互化后得到的解即可；选项D：利用正弦定理求，然后后面积公式求解即可. 【详解】因为， 由题意可得， 整理得， 由正弦定理边角互化得， 又由余弦定理得，所以，A正确； 当时，，所以，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以，B正确； 由当，时，，解得，C错误； 由，得，由正弦定理得解得， 又因为， 所以，D正确； 故选：ABD. 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 若向量与向量方向相反，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】若向量与向量方向相反可得：因为方向相反所以x=-4 13. 某班成立了两个数学兴趣小组，组人，组人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，组的平均成绩为分，方差为，组的平均成绩为分，方差为．则在这次测试中全班学生方差为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用各层方差与总体方差之间的关系式可求全班学生方差. 【详解】依题意，，，， ∴（分）， ∴全班学生的平均成绩为分． 全班学生成绩的方差为 故答案： 14. A与B二人进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，A手中有3张两两不同的牌，B手上有4张牌，其中3张牌与A手中的牌相同，另一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同．游戏规则为： （ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，A先从B手中抽取； （ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃； （ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家； 假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同，则A获胜的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出A手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”且A先抽时，获胜的概率为，再求题设要求即可. 【详解】记初始手上张牌时， 胜的概率为， ①当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为 若抽中的不是“鬼牌”时，则A获胜，其概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，A想要获胜的概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， A不可能获胜，此情况不存在， 所以，解得, ②当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为 若抽中的不是“鬼牌”时，则A获胜的概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，A想要获胜的概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”，此轮结束后有3张牌，包含一张“鬼牌”， 有2张牌，当再抽一次时，有2张牌，包含一张“鬼牌”， 有1张牌， 有2张牌，包含一张“鬼牌”， 有1张牌，此时胜的对立事件为当有1张牌， 有2张牌，包含一张“鬼牌”，此时胜， 则若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， 胜的概率为， 所以，解得, 故答案为：. 四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15. 已知复数的共轭复数为. （1）若，求：； （2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，且，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)利用复数模、共轭复数的意义结合复数乘法运算计算即得； (2)利用共轭复数的意义及复数相等建立关系，再结合复数的几何意义列式计算即得. 【详解】(1)依题意，，，则， 于是得， 所以； (2)由(1)及得：，即，则， 因为在复平面内对应的点在第四象限，于是得，解得， 所以的取值范围为. 16. 如图，在中，是上的点，，，，. （1）求角的大小； （2）求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）在中，利用余弦定理即可求解. （2）由（1）可得，从而可得，，即，再利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】解：（1）在中， 又，所以 （2）由（1）知，，所以， 又，所以，， 由，知， 所以 17. 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数； （2）估计该校100名生学身高的75％分位数． （3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明： ①； ②． 【答案】（1）0.06 60人；（2）；（3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1，易求出，进而利用频率分布直方图可求身高在及以上的学生人数； （2）可设该校100名生学身高的75％分位数，再利用频率分布直方图计算即得； （3）利用样本平均数，方差公式化简即证. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得， 身高在及以上的学生人数（人）． （2）的人数占比为％， 的人数占比为％， 所以该校100名生学身高的75％分位数落在， 设该校100名生学身高的75％分位数为， 则％，解得， 故该校100名生学身高的75％分位数为． （3）由题得①；② 又 同理， ∴ . 18. 袋中装有大小完全相同的6个红球，3个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2. （1）每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率； （2）从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件第一次取到的是红球，事件第二次取到了标记数字1的球，求，并判断事件与事件是否相互独立. 【答案】（1） （2），事件与事件相互独立. 【解析】 【分析】（1）分部分类抽取，然后概率相加求解； （2）分别求取概率，然后验证的关系判断事件与事件是否相互独立. 【小问1详解】 第一次取到的是红球，第二次取到的是蓝球且两球的数字和为3，即抽到红1蓝2或者红2蓝1的概率：， 第一次取到的是蓝球，第二次取到的是红球且两球的数字和为3即抽到的是蓝2红1或者蓝1红2的概率， 则所求的概率为. 【小问2详解】 “第一次取到的是红球”的概率， “第二次取到了标记数字1的球”即取到的是数字2,1或者1,1，,概率， “第一次取到红球且第二次取到了标记数字1的球”即抽到的为红1数字1或者红2数字1，概率. 因为成立，所以事件与事件相互独立. 19. 在锐角中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据平面向量数量积的定义和余弦定理可得，即可求出； (2)根据题意和锐角三角形的性质可得，利用三角恒等变换化简可得 ，根据三角函数的性质即可得出结果. 【小问1详解】 整理得，故 又，所以； 【小问2详解】 由锐角知， 得， 故 ， 因，得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $