精品解析：江西省吉安市第一中学2024-2025学年高三下学期数学月考试卷(二)

吉安一中2024-2025学年度下学期月考（二） 数 学 一 、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（ ） A. {x|2<x≤3} B. {x|2≤x≤3} C. {x|1≤x<4} D. {x|1<x<4} 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合并集概念求解. 【详解】 故选：C 【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 已知复数z满足，其中i是虚数单位，则的虚部为（ ） A. -1 B. 1 C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将变形，利用复数的除法运算法则化简复数，由共轭复数的定义可得结果. 【详解】因为， ， ， 故选：B. 3. 设，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 4. 基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ） A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果. 【详解】因为，，，所以，所以， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天， 则，所以，所以， 所以天. 故选：B 【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 5. 已知平面向量均为单位向量，且，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用和向量数量积的运算律可求得，并将所求式子化为，由可求得结果. 【详解】， ， ， ， ， 即的最大值为. 故选：B. 6. 已知是函数的一个极大值点，若方程在上有且仅有一个实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知及，求出得到，方程在上有且仅有一个实数根，转化为函数的图象与直线有且仅有一个交点，结合图象可得答案. 【详解】由题意知，则，，又， 所以，所以，方程在上有且仅有一个实数根，即函数的图象与直线有且仅有一个交点， 作出的图象，如图所示，由图易知满足题意的实数的取值范围是或， 故选：A. 【点睛】本题考查了通过图象求三角函数解析式及求参数的问题的问题，关键点是作出图象可快速得到答案，考查了学生的数形结合、运算求解的能力. 7. 已知双曲线的右顶点为，直线与双曲线相交，从引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线分别交于点、.若为坐标原点，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设直线的方程为，将该直线方程与直线的方程联立，求出点的坐标，同理可得出点，结合条件可得出关于、的齐次方程，求出的值，利用离心率公式可求得双曲线的离心率. 【详解】由题意可令直线的方程为， 联立得，解得，即，同理可得， 则. 由于直线与双曲线相交，则， 所以，整理得， 解得或（舍去），所以， 故选：C. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 8. 已知函数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的对称性求出，即可得到的解析式，记，令，则，再根据基本不等式及对勾函数的性质计算可得. 【详解】解：因为函数的对称轴为，故由题意可得， 即，即，解得或（舍去）， 则，即有． 记，令，则， 故， 又（当且仅当取等号），由于，则或时取最小值， 又，， 由于，故当时原式取最小值． 故选：A． 二、多选题（共3题，每题6分，共18分） 9. 关于，则（ ） A. B. C D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法列式求解判断ACD；求出展开式第4项系数判断C. 【详解】对于A，令，得，A正确； 对于B，令，得，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，令，得， 因此，D正确. 故选：AD 10. 年上半年，中国养猪企业受猪价高位的利好影响，大多收获史上最佳半年报业绩，部分企业半年报营业收入同比增长超过倍．某养猪场抓住机遇，加大了生猪养殖规模，为了检测生猪的养殖情况，该养猪场对头生猪的体重（单位：）进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 这头生猪体重的众数为 B. 这头生猪中体重不低于的有头 C. 这头生猪体重的中位数落在区间内 D. 这头生猪体重的平均数为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用最高矩形底边的中点值作为众数可判断A选项的正误；计算出生猪中体重不低于所占的频率，乘以可判断B选项的正误；根据中位数左边的矩形面积之和为可判断C选项的正误；根据频率分布直方图计算出样本数据的平均数，可判断D选项的正误. 【详解】由频率分布直方图可知，这一组的数据对应的小长方形最高，所以这头生猪的体重的众数为，A错误； 这头生猪中体重不低于的有（头），B正确； 因为生猪的体重在内的频率为， 在内的频率为，且， 所以这头生猪体重的中位数落在区间内，C正确； 这头生猪体重的平均数为， D正确． 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：从频率分布直方图中得出相关数据的方法 （1）频率：频率分布直方图中横轴表示样本数据，纵轴表示，频率=组距，即每个小长方形的面积表示相应各组的频率． （2）众数：频率分布直方图中最高的小长方形底边中点对应的横坐标． （3）中位数：平分频率分布直方图中小长方形的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标． （4）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和． 11. 如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱长为3，E，F分别是AB，BC的中点，过点 D1，E，F的平面记为α，则（ ） A. 平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面的形状为四边形 B. 平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为 C. 平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25 D. 点B到平面α的距离与点A1到平面α的距离之比为1∶3 【答案】BC 【解析】 【分析】作出截面可判断A选项；将五边形分割为正三角与等腰梯形求出面积判断B，平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积分别为V1，V2，利用V2= V三棱锥M-PAE V三棱锥N-CFQ计算求解即可判断C，根据直线上点的比例关系可得点到平面的距离间的关系即可判断D. 【详解】如图， 延长EF分别与DA，DC的延长线交于点P，Q，连接D1P，交AA1于点M，连接D1Q，交CC1于点N， 连接ME，NF，则平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面为五边形D1MEFN，故A错误； 由平行线分线段成比例可得，AP=BF=1，故DP=DD1=3，则△DD1P为等腰直角三角形， 由相似三角形可知AM=AP=1，故A1M=2，则D1M=D1N=2，ME=EF=FN=，连接MN，易知MN=2， 因此五边形D1MEFN可以分成等边三角形D1MN和等腰梯形MEFN，等腰梯形MEFN的高h=， 则等腰梯形MEFN的面积为，又×2=2， 所以五边形D1MEFN的面积为2，故B正确； 记平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积分别为V1，V2， 则V2= V三棱锥M-PAE V三棱锥N-CFQ=×3×3×3 ×1×1×1 ×1×1×1=，所以V1= V1=12， 则V1∶V2=47∶25，故C正确； 因为平面α过线段AB的中点E，所以点A到平面α的距离与点B到平面α的距离相等， 由平面α过A1A的三等分点M可知，点A1到平面α的距离是点A到平面α的距离的2倍， 因此点A1到平面α的距离是点B到平面α的距离的2倍，故D错误. 故选：BC 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 【答案】##． 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为，所以，因此． 故答案为：． 13. 关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图象关于y轴对称． ②f（x）的图象关于原点对称． ③f（x）的图象关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，，，则， 所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误； 对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③，， ，则， 所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确； 对于命题④，当时，，则， 命题④错误. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 14. 已知椭圆的右焦点为，离心率为．设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，的中点为M，的中点为N，原点在以线段为直径的圆上．设直线AB的斜率为k，若，则的取值范围为_________ 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由题知， ，又因为 是 的中点，所以；所以点 在原点为圆心，半径为的圆上，即 设联立 ，解得因为 ，所以，即，又因为 ，解得，，所以，即 所以 考点：直线与圆锥曲线的综合问题，求离心率取值范围 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的面积为． （1）求C； （2）求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由题给条件求得，进而求得 （2）先利用正弦定理求得面积的解析式，利用三角恒等变换进行化简，再利用三角函数的性质即可求得面积的取值范围． 【小问1详解】 的面积为， 则，则 又，则 【小问2详解】 由（1）可知，又 则，则 则的面积 锐角中，，则，解之得 则，则， 则，则面积的取值范围为 16. 如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，将梯形AA1C1C绕AA1旋转至AA1D1D位置，二面角D1−AA1−C1的大小为30°． （1）证明：A1，B1，C1，D1四点共面，且A1D1⊥平面ABB1A1； （2）若AA1=A1C1=2AB=4，设G为DD1的中点，求直线BB1与平面AB1G所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得平面，假设，，，四点不共面，结合已知得平面平面，这与平面平面矛盾，从而可证得，，，四点共面，可得二面角的平面角，则可得，再由线面垂直的判定定理可证得结论， （2）以为坐标原点，，，的方向为x，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解 【小问1详解】 证明：因为平面，所以， 又因为，，所以平面， 假设，，，四点不共面，因为平面， 平面，所以平面平面， 与平面平面矛盾， 故，，，四点共面， 又因为，， 所以二面角的平面角， 所以，又， 所以；又，， 所以平面； 【小问2详解】 以为坐标原点，，，的方向为x，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系； 则，，，， ，，，， 所以，则，，， 设平面的法向量为， 则， 令，得， 设与平面所成角为， 则． 所以与平面所成角的正弦值为． 17. 已知函数，. （1）若，求的单调区间； （2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入函数解析式中得，对函数进行求导即可得到的单调区间. （2）恒成立等价于恒成立，令，则. 当时，符合题意，当时，对函数判断单调性，即可得到，即可求出答案. 【小问1详解】 当时，， 则. 当时，因为，且， 所以， 所以，单调递减. 当时，因为，且， 所以， 所以，单调递增. 所以当时，单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 恒成立等价于恒成立， 令， 则. ①当时，在区间上恒成立，符合题意； ②当时，， 令，，即在上单调递增，，则存在，使得，此时，即， 则当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以. 令，得. 因为，所以. 综上，实数a的取值范围为. 【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性和隐零点问题，属于难题. 18. 已知椭圆E:+=1的离心率为，A，B分别是椭圆的左、右顶点，C是椭圆的上顶点，的面积为2. （1）求椭圆E的方程； （2）如图1，设P为第四象限内一点且在椭圆E上，直线PA与y轴交于点M，直线PC与x轴交于点N，求证:四边形的面积为定值； （3）如图2，若Q是直线上一动点，连接AQ交椭圆E于点G，连接BQ交椭圆E于点H，连接GH.试探讨直线GH是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）是， 【解析】 【分析】（1）根据题意利用待定系数法即可求得椭圆E的方程； （2）通过直线PA和PC的直线方程可表达出点M的纵坐标和点N的横坐标，从而可得，，再由四边形的面积公式化简即可得证. （3）分类讨论点Q是否在x轴上，当点Q不在x轴上时，通过设点运算可得点，点，再通过待定系数法化简运算即可求出该定点的坐标. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以椭圆E的方程为. 【小问2详解】 设 ，则， 又，所以直线PA的方程为. 令 ，得，从而. 直线PC的方程为. 令，得，从而. 所以四边形的面积 =2. 从而四边形的面积为定值. 【小问3详解】 直线GH过定点，理由如下： ①当点Q在x轴上时，直线GH为x轴，过点. ②当点Q不在x轴上时，由题意可设，，，直线 ， 将直线方程代入椭圆E的方程得， 则，则点， 设直线 ，同理得点. 又点 为直线AG与直线BH的交点，则. 由两点式得直线GH的方程为:， 令 ，得， 故直线GH过定点. 19. 将连续正整数1，2，，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如时，此数为123456789101112，共15个数字，，现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． （1）求； （2）当时，求的表达式； （3）令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，，，求当时的最大值． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，首先分析时，这个数的位数，进而可得其中0的个数，有等可能事件的概率公式，计算可得答案； （2）分，，，，四种情况讨论这个数的组成情况，综合即可得； （3）根据题意，分情况求出当时表达式，比较其最大值的大小，即可得答案． 【详解】（1）当时，，即这个数中共有192个数字， 其中数字0的个数为11， 则恰好取到0的概率为； （2）当时，这个数有1位数组成，， 当时，这个数有9个1位数组成，个两位数组成，则， 当时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，个三位数组成，， 当时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成，个四位数组成，， ； （3）当时，， 当，，，时， 当时，， 即，同理有， 由，可知、19、29、39、49、59、69、79、89、90， 所以当时，，19、29，39，49，59，69，79，89，； 当时，（9）， 当时，， 当时，， 由关于单调递增，故当时，的最大值为， 又，所以当时，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安一中2024-2025学年度下学期月考（二） 数 学 一 、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（ ） A. {x|2<x≤3} B. {x|2≤x≤3} C. {x|1≤x<4} D. {x|1<x<4} 2. 已知复数z满足，其中i是虚数单位，则的虚部为（ ） A. -1 B. 1 C. 0 D. 2 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ） A. 1.2天 B. 1.8天 C 2.5天 D. 3.5天 5. 已知平面向量均为单位向量，且，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知是函数的一个极大值点，若方程在上有且仅有一个实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的右顶点为，直线与双曲线相交，从引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线分别交于点、.若为坐标原点，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 已知函数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3题，每题6分，共18分） 9. 关于，则（ ） A. B. C. D. 10. 年上半年，中国养猪企业受猪价高位的利好影响，大多收获史上最佳半年报业绩，部分企业半年报营业收入同比增长超过倍．某养猪场抓住机遇，加大了生猪养殖规模，为了检测生猪的养殖情况，该养猪场对头生猪的体重（单位：）进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 这头生猪体重众数为 B. 这头生猪中体重不低于的有头 C. 这头生猪体重的中位数落在区间内 D. 这头生猪体重的平均数为 11. 如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱长为3，E，F分别是AB，BC的中点，过点 D1，E，F的平面记为α，则（ ） A. 平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面的形状为四边形 B. 平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为 C. 平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25 D. 点B到平面α的距离与点A1到平面α的距离之比为1∶3 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 13. 关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）图象关于y轴对称． ②f（x）的图象关于原点对称． ③f（x）的图象关于直线x=对称． ④f（x）最小值为2． 其中所有真命题的序号是__________． 14. 已知椭圆的右焦点为，离心率为．设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，的中点为M，的中点为N，原点在以线段为直径的圆上．设直线AB的斜率为k，若，则的取值范围为_________ 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的面积为． （1）求C； （2）求面积的取值范围． 16. 如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，将梯形AA1C1C绕AA1旋转至AA1D1D位置，二面角D1−AA1−C1的大小为30°． （1）证明：A1，B1，C1，D1四点共面，且A1D1⊥平面ABB1A1； （2）若AA1=A1C1=2AB=4，设G为DD1的中点，求直线BB1与平面AB1G所成角的正弦值． 17. 已知函数，. （1）若，求的单调区间； （2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围. 18. 已知椭圆E:+=1的离心率为，A，B分别是椭圆的左、右顶点，C是椭圆的上顶点，的面积为2. （1）求椭圆E的方程； （2）如图1，设P为第四象限内一点且在椭圆E上，直线PA与y轴交于点M，直线PC与x轴交于点N，求证:四边形的面积为定值； （3）如图2，若Q是直线上一动点，连接AQ交椭圆E于点G，连接BQ交椭圆E于点H，连接GH.试探讨直线GH是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 19. 将连续正整数1，2，，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如时，此数为123456789101112，共15个数字，，现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． （1）求； （2）当时，求表达式； （3）令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，，，求当时的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $