江西省吉安市第一中学2024-2025学年高三下学期月考(二)数学试卷

吉安一中2024-2025学年度下学期月考(二) 数 学 一 、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B= A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3} C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4} 2．已知复数z满足(i-1)z=1+i,其中i是虚数单位,则的虚部为 A.-1 B.1 C.0 D.2 3．设x∈R,则“sin x=1”是“cos x=0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 5．已知平面向量a,b,c均为单位向量,且|a-b|=1, 则(a-b)·(b-c)的最大值为 A. B. C.1 D. 6．已知x=是函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<)的一个极大值点,若方程f(x)=m在[0,]上有且仅有一个实数根,则实数m的取值范围是 A.[-,)∪{2} B.[0,)∪{2} C.[-2,]∪{2} D.[,2] 7．已知双曲线=1(a>0,b>0)的右顶点为A,直线y=x与双曲线相交,从A引双曲线的两条渐近线的平行线,与直线y=x分别交于点Q,R.若O为坐标原点,|·|=ab,则双曲线的离心率为 A. B.或 C. D.或 8．已知函数f(x)=x2+(a+8)x+a2+a-12(a<0),且f(a2-4)=f(2a-8),则(n∈N*)的最小值为 A. B. C. D. 二、多选题(共3题，每题6分，共18分) 9．关于(1-2x)2 021=a0+a1·x+a2·x2+…+a2 021·x2 021(x∈R),则 A.a0=1 B.a1+a2+a3+…+a2 021=32 021 C.a3=8 D.a1-a2+a3-a4+…+a2 021=1-32 021 10.2020年上半年,中国养猪企业受猪价高位的利好影响,大多收获史上最佳半年报业绩,部分企业半年报营业收入同比增长超过1倍.某养猪场抓住机遇,加大了生猪养殖规模,为了检测生猪的养殖情况,该养猪场对2 000头生猪的体重(单位:kg)进行了统计,得到如图所示的频率分布直方图,则下列说法正确的是 A.这2 000头生猪体重的众数为160 kg B.这2 000头生猪中体重不低于200 kg的有80头 C.这2 000头生猪体重的中位数落在区间[140,160)内 D.这2 000头生猪体重的平均数为152.8 kg 11.如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形,侧棱长为3,E,F分别是AB,BC的中点,过点 D1,E,F的平面记为α,则 A.平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面的形状为四边形 B.平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为 C.平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25 D.点B到平面α的距离与点A1到平面α的距离之比为1∶3 三、填空题(共3题，每题5分，共15分) 12．已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=___________. 13．关于函数f(x)=sin x+有如下四个命题: ①f(x)的图象关于y轴对称. ②f(x)的图象关于原点对称. ③f(x)的图象关于直线x=对称. ④f(x)的最小值为2. 其中所有真命题的序号是____________. 14．已知椭圆的右焦点为F1(1,0),离心率为e.设A,B为椭圆上关于原点对称的两点,AF1的中点为M,BF1的中点为N,原点O在以线段MN为直径的圆上.设直线AB的斜率为k,若0＜k≤,则的取值范围为_______________. 四、解答题(共5题，共77分) 15．(满分13分)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=,△ABC的面积为. (1)求C; (2)求△ABC面积的取值范围. 16．(满分15分)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,△ABC为等边三角形,AA1⊥平面ABC,将梯形AA1C1C绕AA1旋转至梯形AA1D1D的位置,二面角D1-AA1-C1的大小为30°. (1)证明:A1,B1,C1,D1四点共面,且A1D1⊥平面ABB1A1; (2)若AA1=A1C1=2AB=4,设G为DD1的中点,求直线BB1与平面AB1G所成角的正弦值. 　 17．(满分15分)已知函数f(x)=xex-ax+a(a≥0). (1)若a=1,求f(x)的单调区间; (2)若关于x的不等式f(x)≥aln x恒成立,求实数a的取值范围. 18．(满分17分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,A,B分别是椭圆的左、右顶点,C是椭圆的上顶点,△ABC的面积为2. 　　　　　图1　　　　　　　　　　　　 图2 (1)求椭圆E的方程; (2)如图1,设P为第四象限内一点且在椭圆E上,直线PA与y轴交于点M,直线PC与x轴交于点N,求证:四边形ACNM的面积为定值; (3)如图2,若Q是直线l:x=1上一动点,连接AQ交椭圆E于点G,连接BQ交椭圆E于点H,连接GH.试探讨直线GH是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由. 19．(满分17分)将连续正整数1,2,…,n(n∈N*)从小到大排列构成一个数,F(n)为这个数的位数(如n=12时,此数为123 456 789 101 112,共有15个数字,F(12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到0的概率. (1)求p(100); (2)当n≤2 014时,求F(n)的表达式; (3)令g(n)为这个数中数字0的个数,f(n)为这个数中数字9的个数,h(n)=f(n)-g(n),S={n|h(n)=1,n≤100,n∈N*},求当n∈S时p(n)的最大值. 吉安一中2024-2025学年度下学期月考(二) 数学参考答案 1~8C B A B B A C A 9.AD 10.BCD 11.BC 12.0.14 13.②③ 14.[-1，1) 15.(1)由S△ABC=absin C, 得absin C= ① 由余弦定理得cos C= ② 由①②得sin C=cos C. 因为C∈(0,),所以C=.(6分) (2)由(1)知C=, 由正弦定理得=2, 可得a=2sin A,b=2sin B,(由正弦定理,将三角形的边a,b分别用A,B表示出来) 所以S△ABC=absin C=sin A·sin B. 因为sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin(A+), 所以S△ABC=sin A·sin(A+)=sin2A+sin A·cos A=sin 2A=sin(2A-)+.(将三角形的面积用A表示出来)(9分) 因为△ABC是锐角三角形, 所以,解得<A<,(一定不要忽略“锐角三角形”这一关键条件,得出A的范围) 所以<2A-,所以<sin(2A-)≤1,(根据A的范围,确定sin(2A-)的范围) 所以1<S△ABC≤. 所以△ABC面积的取值范围为(1,](13分) 16.(1)因为在三棱台ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥平面A1B1C1, 又A1C1⊂平面A1B1C1,所以AA1⊥A1C1,(若直线与平面垂直,则该直线垂直于平面内的任何一条直线) 所以AA1⊥A1D1, 又A1D1∩A1C1=A1,A1D1,A1C1⊂平面A1C1D1, 所以AA1⊥平面A1C1D1.(证明线面垂直,注意是平面外一条直线与平面内的两条相交直线分别垂直)(2分) 假设A1,B1,C1,D1四点不共面,(反证法的应用) 因为AA1⊥平面A1B1C1,AA1⊥平面A1C1D1, 所以平面A1B1C1∥平面A1C1D1,(垂直于同一直线的两平面平行) 这与平面A1B1C1∩平面A1C1D1=A1C1矛盾, 所以A1,B1,C1,D1四点共面. 因为A1C1⊥AA1,A1D1⊥AA1, 所以∠C1A1D1即二面角D1-AA1-C1的平面角,(作出二面角的平面角是求解问题的关键) 所以∠C1A1D1=30°,(6分) 又∠B1A1C1=∠BAC=60°, 所以A1D1⊥A1B1. 又AA1⊥A1D1,AA1∩A1B1=A1,AA1,A1B1⊂平面ABB1A1, 所以A1D1⊥平面ABB1A1.(8分) (2)以A1为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A1-xyz,(题眼) 则A(0,0,4),B(2,0,4),D(0,2,4),B1(4,0,0),D1(0,4,0),所以G(0,3,2)(10分) 则=(4,0,-4),=(2,0,-4),=(0,3,-2). 设平面AB1G的法向量为n=(x,y,z), 则,即, 令x=3,得n=(3,2,3).(12分) 设直线BB1与平面AB1G所成的角为θ, 则sin θ=|cos<,n>|=||=.(直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值)(14分) 所以直线BB1与平面AB1G所成角的正弦值为.(15分) 17.(1)当a=1时,f(x)=xex-x+1,则f '(x)=(x+1)ex-1. 当x∈(-∞,0)时,x+1<1,且0<ex<1,所以(x+1)ex<1,所以f '(x)=(x+1)ex-1<0,f(x)单调递减.              当x∈(0,+∞)时,x+1>1,且ex>1,所以(x+1)ex>1,所以f '(x)=(x+1)ex-1>0,f(x)单调递增.              综上,当a=1时,f(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).(7分) (2)f(x)≥aln x恒成立等价于xex-ax+a-aln x≥0恒成立. 令h(x)=xex-ax+a-aln x,则h(x)的最小值大于等于0.(恒成立问题可考虑构造函数,转化为函数的最值问题) ①当a=0时,h(x)=xex>0在区间(0,+∞)上恒成立,符合题意.(8分) ②当a>0时,h'(x)=(x+1)ex-a-=(x+1)(ex-), 因为y=ex在区间(0,+∞)上单调递增,y=在区间(0,+∞)上单调递减, 所以y=ex-在区间(0,+∞)上单调递增, 当x→0时,y=ex-→-∞,当x→+∞时,y=ex-→+∞, 所以存在唯一x0∈(0,+∞),使=0,此时x0=a,即x0+ln x0=ln a,(11分) 则当x∈(0,x0)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(x0,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增. 所以h(x)≥h(x0)=x0-ax0+a-aln x0=2a-aln a. 令2a-aln a≥0,解得0<a≤e2. 综上,实数a的取值范围为[0,e2].(15分) 18.(1)由题意得解得a=2,b=1. 所以椭圆E的方程为+y2=1.(4分) (2)设P(x0,y0)(x0>0,y0<0),则+4=4. 又A(-2,0),C(0,1), 所以直线PA的方程为y=(x+2). 令x=0,得yM=, 从而CM=1-yM=1-. 直线PC的方程为y=x+1. 令y=0,得xN=-, 从而AN=xN-(-2)=2-. 所以四边形ACNM的面积 S=AN·CM==2. 从而四边形ACNM的面积为定值.(10分) (3)直线GH过定点(4,0). 理由如下: ①当点Q在x轴上时,直线GH为x轴,过点(4,0).(12分)(注意此处需要分类讨论！) ②当点Q不在x轴上时,由题意可设Q(1,m),G(x1,y1),H(x2,y2),直线AG:y=k1(x+2), 代入椭圆E的方程得(4+1)x2+16x+(16-4)=0, 则点G(,)　①, 设直线BH:y=k2(x-2),同理得点H(,)　②. 又点Q(1,m)为直线AG与直线BH的交点, 则m=3k1=-k2　③. 由两点式得直线GH:, 令y=0,得x=　(*), 将①②③代入(*)式得x=4,故直线GH过定点(4,0).(17分) 19.(1)当n=100时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为p(100)=;(4分) (2)F(n)=(9分) (3)当n=b(1≤b≤9,b∈N*),g(n)=0; 当n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N)时,g(n)=k; 当n=100时,g(n)=11, 即g(n)= 同理有f(n)= 由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90, 所以当n≤100时,S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}, 当n=9时,p(9)=0, 当n=90时,p(90)===, 当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)===,由y=关于k单调递增,故当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)的最大值为p(89)=, 又<,所以当n∈S时,p(n)的最大值为.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$