专题02 勾股定理及其逆定理（8大题型提分练）（山西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题02 勾股定理及其逆定理 题型概览 题型01 利用勾股定理求线段长 题型02 勾股定理与格点问题 题型03 利用勾股定理求面积 题型04勾股定理的证明 题型05 勾股定理的实际应用 题型06勾股定理的逆定理 题型07 勾股定理与最短路径问题 题型08 勾股定理的综合题 利用勾股定理求线段长题型01 1．（13-14八年级上·江苏扬州·阶段练习）一个直角三角形的模具，其中两边长分别为4cm、3cm，则第三条边长为(  ) A．5cm B．4cm                       C．cm D．5cm或cm 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】由于直角三角形的斜边不明确，故应分类讨论，①当4为直角边时，②当4为斜边时，依次求出答案即可． 【详解】：①当4是直角边时，斜边=，此时第三边为5； ②当4为斜边时，此时第三边= 综上可得第三边的长度为5或． 故选：D． 【点睛】此题考查的是勾股定理，注意掌握勾股定理的表达式，分类讨论是关键，难点在于容易漏解． 2．（13-14八年级下·山西吕梁·期末）矩形的两边长分别是3和5，则它的对角线长是（    ） A．4 B．6 C． D．7 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【详解】试题分析：∵矩形的两边长分别是3和5， ∴它的对角线长=． 故选C． 3．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）勾股定理在《九章算术》中的表述是“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦．”即（为“勾”，为“股”，为“弦”），若“勾”为3，“股”为5，则“弦”最接近的整数是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查勾股定理，无理数的估算．先根据勾股定理计算出“弦”长，再估算出其取值范围即可． 【详解】解：∵“勾”为3，“股”为5， ∴“弦”为 又∵， ∴ ∴“弦”最接近的整数是, 故答案为：． 4．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，在中，，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，连接交于点F，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质及尺规作线段垂直平分线；掌握尺规作线段垂直平分线是关键；由勾股定理可求得，由作图知，，即可得的长． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：； 由作图知，， ． 故答案为：5． 5．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，直线l上有正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和16，则正方形b的边长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用证明，得，再利用勾股定理可得结论． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 的面积为，b的边长为， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·山西太原·期末）在中，，，．以为底在内部作等腰，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质；过点D作，垂足分别为E，F；由等腰三角形的性质及勾股定理求得的长，再证明，可得的长，再由勾股定理即可求得长． 【详解】解：如图，过点D作，垂足分别为E，F， 则； ∵是等腰三角形， ∴； 由勾股定理得； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得． 故答案为：． 勾股定理与格点问题题型02 7．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处．长为（    ）    A．4.5 B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】此题考查了勾股定理，直接利用勾股定理求出的长． 【详解】解：． 故选C． 8．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图,在△ABC中，三边a、b、c的大小关系是( ) A．a<b<c B．c<a<b C．c<b<a D．b<a<c 【答案】D 【知识点】实数的大小比较、勾股定理与网格问题 【分析】先分析出a、b、c三边所在的直角三角形，再根据勾股定理求出三边的长，进行比较即可． 【详解】解：根据勾股定理， 得， ，， ， ， 故选D． 【点睛】题目主要考查网格中的勾股定理解三角形，实数的大小比较，熟练掌握运用勾股定理解三角形是解题关键． 9．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD＋∠CBE的度数为 ．    【答案】45° 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，根据网格线可得到∠ABD+∠CBE=∠MAB，再根据勾股定理的逆定理证明△ABM是直角三角形，且AM=BM，即可得解． 【详解】取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，如图， 根据网格线可知NB=1=MF，AN=3，AF=2， 由网格图可知∠CBE=∠FAM，∠ABD=∠NAB， 则∠ABD+∠CBE=∠MAB， 在Rt△ANB中，有， 同理可求得：， ∵， ∴△ABM是直角三角形，且AM=BM， ∴∠MAB=45°， 即：∠ABD+∠CBE=45°， 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了勾股定理即勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识，求得∠ABD+∠CBE=∠MAB是解答本题的关键． 10．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形． (1)画一个三边长分别为4，，的三角形； (2)画一个腰长为的等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】实数的混合运算、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，正确画图是解答本题的关键． （1）根据勾股定理画出的线段可得三边长分别为4，，的三角形； （2）运用勾股定理求出边长为，可画出腰长为的等腰直角三角形 【详解】（1）解：，， 如图，即为边长分别为4，，的三角形， （2）解：， 如图，即为腰长为的等腰直角三角形 11．（24-25八年级上·山西晋中·期末）下面是小宇同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 借助图形构造无理数通过近段时间学习《勾股定理》和《实数》，我发现给定单位长度1，一些无理数可以借助图形构造出来，如图1，“蜗螺线”与几何中的勾股定理相结合，给出了我们构造无理数的方法．                    但是我发现，借助网格和数轴构造无理数更简便． 如图2所示的网格中，每个小正方形的边长均为单位长度1，为格点三角形，，其中线段的长为无理数．点D，E，F为格点，，以点E为圆心，长为半径画弧交网格线于点G，连接，，其中线段的长为无理数． 如图3所示的数轴中，点P，Q分别表示和1，作，且，以点P为圆心，长为半径画弧与数轴正半轴交于点M，则点M表示的数为无理数． 任务： (1)图1中，中无理数有______个； (2)图2中，线段的长分别是______，______； (3)图3中，点M表示的数为______； (4)请在图4的数轴上找出对应的点． 【答案】(1)2； (2)，； (3)； (4)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、实数与数轴、无理数 【分析】本题主要考查无理数，实数与数轴，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用勾股定理以及数形结合的思想解决问题． （1）根据无理数定义进行判断即可； （2）根据勾股定理进行计算即可； （3）根据勾股定理求出，再用的长减去1即可得出点表示的数； （4）根据3和1构造直角三角形，得斜边为，即在数轴上找出对应的点即可． 【详解】（1）解：是无理数； 无理数； 是整数，属于有理数， 所以，无理数有2个， 故答案为：2； （2）解：在中， ∵, ∴； 在中， ∵， ∴， 故答案为：，； （3）解：∵ ∴, ∵点对应的数是， ∴点表示的数为； （4）解：如图，点表示的数是 利用勾股定理求面积题型03 12．（23-24八年级上·山西运城·期末）如图，这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（    ）    A．169 B．144 C．30 D．25 【答案】D 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，在由勾股定理得到，由题意得，，则，在中，根据勾股定理得出：，则阴影部分面积． 【详解】解：如图所示：    在中，根据勾股定理得出：， 由题意得，， ， 在中，根据勾股定理得出：， 阴影部分面积． 故选：D． 13．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和． 【详解】解：连接，如图， ， ， 米，米， 米， 米，米， ， 为直角三角形， 这块草坪的面积， 故选：A． 14．（23-24八年级下·山西长治·期末）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦.如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为 . 【答案】12 【知识点】勾股定理的证明方法、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】欲求矩形的面积，则求出图1中阴影部分小三角形长直角边边长即可，由此可设其为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，进而可求出该矩形的面积． 【详解】   解：设如图1阴影部分小三角形长直角边边长为x， ∵， ∴AB=x+3， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即（1+x）2+（1+3）2=(x+3)2， 整理得，x=2， ∴该矩形的面积=AC·BC=（1+3）（1+x）=4×3=12 故答案为：12． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，得到关于x的方程是解题的关键． 15．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）在校园内有一块四边形形状的草坪如图所示，我们把它记作四边形，数学兴趣小组的同学想知道它的面积，身边只有一把卷尺，同学们量得，，，．当同学们不知道该如何求面积时，组长有意提议量量的长度，他们量得，问题得到了解决．你知道他们是如何解决问题的吗？请接着完成任务。 【答案】平方米 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，三角形的面积，能运用勾股定理的逆定理判定三角形的形状是解题的关键． 【详解】连接， ， 是直角三角形, , 又∵， 是直角三角形， ， (平方米)． 勾股定理的证明题型04 16．（24-25八年级上·山西晋城·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理的证明方法、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，正方形面积公式，三角形面积公式，由正方形面积公式，三角形面积公式逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ，不能证明，不符合题意； ，能证明，符合题意； ，能证明，符合题意； 不能证明，不符合题意； 综上可知：能证明， 故选：． 17．（24-25八年级上·全国·期末）2002年国际数学家大会在北京召开，如图①是大会会标，会标中央图案是经过艺术处理的，它标志着中国古代数学的成就．如图②是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（  ） A．三角形内角和定理 B．三角形全等 C．勾股定理 D．轴对称图形 【答案】C 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了“弦图”与勾股定理的证明；知道利用“弦图”可以证明勾股定理这一历史事实是关键．根据这事实即可求解． 【详解】解：∵“弦图”是利用面积关系证明勾股定理的， ∴“弦图”解决的数学问题是：勾股定理． 故选：C． 18．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是证明了勾股定理和对勾股算术算法进行了推广．书中的证明方法是将4个三边长分别为，，的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线，用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图2，延长交_____①_____于点． 用两种不同的方法表示五边形的面积： 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则_____②_____． 方法二：将五边形看成是由_____③_____，正方形，，拼成，则． 根据面积相等可以得到_____④_____，即．         　 则下列说法错误的是（    ） A．①代表 B．②代表 C．③代表正方形 D．④代表 【答案】C 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据题意用两种方法表示出S，然后根据两种表示方法表示的相等，即可得到结论． 【详解】解：如图所示，延长交于G， 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则； 方法二：将五边形看成是由正方形，正方形，，拼成，则 ， 根据面积相等可以得到，即， 故选：C． 19．（23-24八年级下·山西忻州·期末）勾股定理现约有500多种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，在中国周朝的商定提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，古埃及人用“结绳法”在金字塔等建筑的拐角处作出直角；“普林顿322”的古巴比伦泥板上记载了很多勾股数；公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了勾股定理．下面图例中，不能证明勾股定理的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】根据勾股定理的证明方法可知一般通过面积法证明，据此分析即可求解． 【详解】解：B，C，D选项通过面积法可以证明勾股定理，A选项不能证明勾股定理， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 20．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，将四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”．设直角三角形较长直角边长为x，较短直角边长为y．已知，大正方形边长为5，则小正方形的面积为（　　） A．9 B．6 C．4 D．3 【答案】A 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的面积． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， 每一个直角三角形的面积为：， ， ， 即小正方形的面积为9． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 21．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行证明． 定理表述 （1）请根据图①中的直角三角形叙述勾股定理．（用文字或符号语言） 尝试证明 （2）以图①中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，为高的直角梯形（如图②），请你利用图②，验证勾股定理． 拓展延伸 （3）利用图中②的直角梯形，我们可以证明，请将证明步骤补充完整． ∵，______， 在直角梯形中，______（填“＜”或“＞”或“＝”），即______，， ∴ 【答案】（1）解答见解析部分；（2）证明见解析部分；（3） 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角梯形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题． （1）根据勾股定理解答即可； （2）证明，推出是直角三角形．再结合，可得结论； （3）根据，构建不等式，解决问题即可． 【详解】（1）解：直角三角形的两直角边长的平方和等于斜边的平方，如果直角边为，斜边为，那么． （2）证明：在和中， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． ∵， ∴， 即， 整理得． （3）解：∵， ， ， 又∵在直角梯形中有，即， ， 故答案为：． 勾股定理的实际应用题型05 22．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图是一块长方形草坪，是一条被踩踏的小路，已知米，米．为了避免行人继续踩踏草坪（走线段），小梅分别在A，B处各挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长是解题的关键．根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：米，米， （米）， （米）， 故选：D． 23．（24-25八年级上·山西长治·期末）松松学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为12m；（）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为15m；③松松身高为1.6m，若松松同学想使风筝沿方向下降4m，则他应该往回收线（   ）米． A．2 B．5 C．5.4 D．3.6 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，利用勾股定理求得、是解答的关键． 设风筝下降到点M处，连接，利用勾股定理分别求得、，即可求解． 【详解】解：如图，设风筝下降到点M处，连接，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故选：A． 24．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，学校有一块直角三角形菜地，，．为方便劳作，准备在菜地中间修建一条小路．测量发现，，，，则的长为（    ） A．3m B．4m C．5m D．6m 【答案】B 【知识点】根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理；由得，设，则可得，利用勾股定理建立方程求得x的值，即可得结果． 【详解】解：， ； 设，则， ， 在中，由勾股定理有：， 即， 解得； 即． 故选：B． 25．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图1，在综合实践小组测量旗杆高度的活动中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了1米，如图2，当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好落到点处，经过测量此时绳子底端到旗杆底部的距离是5米，则旗杆的高度为 米    【答案】12 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆的高度为x米，则米，米，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则米，米， 由题意得：米， 在中，由勾股定理得 ， ∴， 解得， ∴米， ∴旗杆的高度为12米， 故答案为：12． 26．（23-24八年级下·山西大同·期末）消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．如图，已知云梯最多能伸长到 ，消防车高．某次任务中，消防车在A处将云梯伸长至最长，消防员从 高的处救人后，消防车需到达B处使消防员从24m高的处救人，求消防车从A处向着火的楼房靠近的距离． 【答案】 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：由题意，易得，，A，B，D三点在同一直线上． ，， ． 在中，由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得 ． 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为． 27．（23-24八年级下·山西忻州·期末）综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米． ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米． ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米． 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长． (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【答案】(1)9.6米； (2)小明同学应该再放出8米线． 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）根据勾股定理求出，进而求出； （2）先根据勾股定理求出风筝线的长，再根据题意计算，得到答案． 【详解】（1）解：如图，过点作． 在中，． 由勾股定理，得， 则米． （2）解：风筝沿方向再上升12米后， 此时风筝线的长为米， ∴米． 答：小明同学应该再放出8米线． 28．（23-24八年级上·山西临汾·期末）2023年7月5号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，台风中心沿监测点与监测点所在的直线由西向东运动，已知点为一大型农场，在处测得农场在北偏东方向上，且，相距，在处测得农场在北偏西方向上，且，相距． (1)求监测点与监测点之间的距离． (2)农场会受此次台风的影响吗？说明理由． 【答案】(1)监测点A与监测点B之间的距离为． (2)农场会受此次台风的影响．理由见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理和三角形面积： （1）证明是直角三角形，由勾股定理可求解； （2）过点作于点，运用等积法可求出的长，再与风力影响半径比较即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ， 在中， ∴， 答：监测点A与监测点B之间的距离为． （2）解：过点作于点， ∵， 又 ∴， 解得：． 因此，农场会受此次台风的影响． 勾股定理的逆定理题型06 29．（23-24八年级下·山西大同·期末）下列长度的三条线段不能构成直角三角形的是（    ） A．5，12，13 B．，， C．1，1， D．7，24，25 【答案】B 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定即可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可． 【详解】解：A．， 此三角形是直角三角形，不符合题意； B．， 此三角形不是直角三角形，符合题意； C．， 此三角形是直角三角形，不符合题意； D．， 此三角形是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 30．（24-25八年级上·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（   ） A． B．C．D． 【答案】B 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，，故A不正确； B、，，故B正确； C、，，故C不正确； D、，，故D不正确． 故选：B． 31．（24-25八年级上·山西晋城·期末）下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．， ， C．， ， D．，， 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理对四个答案进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 32．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，下列三角形的顶点都在格点上，则下列三角形中是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据勾股定理求出三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】A、，，则三角形不是直角三角形，故该选项不正确，不符合题意； B、，，，，则三角形不是直角三角形，故该选项不正确，不符合题意； C、，，，三角形是直角三角形，故该选项正确，符合题意； D、，，，则三角形不是直角三角形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 33．（23-24八年级下·山西临汾·期末）△ABC的三边为a，b，c且（a＋b）（a﹣b）＝c2，则该三角形是（    ） A．锐角三角形 B．以c为斜边的直角三角形 C．以b为斜边的直角三角形 D．以a为斜边的直角三角形 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】由题意可知：c2+b2=a2，此三角形三边关系符合勾股定理的逆定理． 【详解】解：由题意，a2-b2=c2， ∴b2+c2=a2， 此三角形三边关系符合勾股定理的逆定理， 所以此三角形是以a为斜边的直角三角形． 故选：D． 【点睛】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形． 勾股定理与最短路径问题题型07 34．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中长，宽，高，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点A爬行到点B，它需要爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用平面展开图有三种情况，画出图形利用勾股定理求出的长，比较即可获得答案． 【详解】解：分三种情况讨论： ①如图， 此时； ②如图， 此时， ③如图， 此时， 又∵， ∴需要爬行的最短路程为． 故选：A． 35．（24-25八年级上·山西晋城·期末）春节是中国人最盛大、最热闹、最重要的传统节日．在春节期间为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱体的A处缠绕到圆柱体的B处（点A在下底面，点B在上底面，点B在点A的正上方），若圆柱体底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为 ． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了平面展开-路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：圆柱体的展开图如图所示， 最短长度为 ， 故答案为：． 36．（23-24八年级下·山西运城·期末）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 勾股定理的综合题题型08 37．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14． (1)求证：是的平分线． (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理、用勾股定理解三角形 【分析】（1）延长，过点C作于点F，根据的面积为14，，求出，得出，根据角平分线的判定，得出结论即可； （2）在上取点G，使，根据勾股定理求出，证明，得出． 【详解】（1）证明：延长，过点C作于点F，如图所示： ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线． （2）解：在上取点G，使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 38．（23-24八年级上·山西太原·期末）阅读与思考 下面是小亮写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2023年9月12日天气：晴 正方形的剪拼与无理数 今天在数学课上同学们利用准备好的两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接），得到了一个大的正方形，在老师的引导下认识了无理数． 我在课堂上是按照图1所示的方法进行剪拼的，课后我有了进一步的思考： 问题1：能否利用一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形？ 对于上面的问题我进行了尝试并找到了图2和图3两种剪拼的方法： 问题2：一个边长为1和一个边长为3的正方形也能剪拼出一个大正方形吗？如果能，该如何剪拼呢？ 任务： (1)图1中拼成的大正方形的边长为______，图2和图3中拼成的大正方形的边长为______； (2)请参考材料中图2或图3的剪拼方法，解决问题2． 要求：①在图4中画出剪切线并在图中仿照图2或图3标出相应线段的长度； ②在图4右侧画出拼接成的大正方形的示意图及其内部的拼接线． 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了图形的拼接，勾股定理，正确拼接是解答本题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）仿照图2或图3的拼接方法解答即可． 【详解】（1）图1中拼成的大正方形的边长为， 图2和图3中拼成的大正方形的边长为． 故答案为：，； （2）如图所示， 或 或 39．（23-24八年级下·山西大同·阶段练习）小乐是一个善于思考的学生，学习完“二次根式”和“勾股定理”后，他发现可以有多种方法求的面积，以下是他的数学笔记，请认真阅读并完成任务 题目：已知在中，，，，求的面积． 思路1：可以利用八年级下用课本16页“阅读与思考”中的海伦-秦九韶公式求的面积 海伦公式：；其中 秦九韶公式： 思路2：可以利用勾股定理在正方形网格中构造三角形，求的面积． (1)请根据思路1的公式，求的面积． (2)请你结合思路2，在如图所示的网格中，（正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点）完成下列任务． ①画出，要求三个顶点都在格点上； ②结合图形，写出面积的计算过程，以及边上的高． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】二次根式的应用、勾股定理与网格问题、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了二次根式运算，勾股定理，海伦-秦九韶公式； （1）将，，代入秦九韶公式进行计算，即可求解； （2）①按要求作图，即可求解；②过作于点，由三角形面积公式可求出，即可求解； 理解公式，能根据公式进行正确运算是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：①如图所示，即为所求． ②过作于点， 由题意得：， ， 边上的高为： ． 40．（23-24八年级上·山西临汾·期末）如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，当点运动到点A时运动结束，设出发的时间为秒．      (1)出发1秒时，求的长； (2)当点在边上运动时，通过计算说明能否把的周长平分； (3)当点在边上运动时，请直接写出能使成为等腰三角形的运动时间． 【答案】(1)的长为 (2)P在上运动时不能把的周长平分； (3)当t的值为秒或3秒或秒时，为等腰三角形 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出，再求出和，根据勾股定理即可求得的长； （2）由勾股定理求出，由题意得出方程，解方程求出t，即可得出结论； （3）当点Q在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当时（图1），则，可证明，则，则，从而求得t； ②当时（图2），则，易求得t； ③当时（图3），过B点作于点E，则求出，，即可得出t． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴； （2）解：由勾股定理得：， 根据题意得：，，， 若能把的周长平分，则， 即， 解得：， 此时， ∴不合题意， ∴点Q在边上运动时，不能把的周长平分； （3）解：①当时，如图1所示    则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； ②当时，如图2所示：    则， ∴（秒）； ③当时，如图3所示：    过B点作于点E， 则， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， 由上可知，当t的值为秒或3秒或秒时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质、一元一次方程的应用，注意方程思想、分类讨论思想的应用． 1．（23-24八年级下·山西忻州·期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，，2 D．5，11，13 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 根据勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A．，不是直角三角形，故此选项不符合题意， B．，不直角三角形，故此选项不符合题意， C．，是直角三角形，故此选项符合题意， D．，不是直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）有下列说法： ①一个直角三角形的两条直角边长分别为，，则它的斜边长是； ②一个直角三角形的两边长分别是，，则它的第三条边长是； ③“一个三角形的三条边长分别是，，．因为，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理．其中，正确的个数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】根据勾股定理及其逆定理一一判断，即可得到答案． 【详解】解：①， 一个直角三角形的两条直角边长分别为，，则它的斜边长是，正确； ②一个直角三角形的两边长分别是，， 它的第三条边长为或，错误； ③“一个三角形的三条边长分别是，，．因为，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理，正确， 正确的个数是2， 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理得逆定理，并能计算推论是解题关键． 3．（23-24八年级下·山西大同·期末）下列不能判定△ABC是直角三角形的是（   ） A．a2＋b2－c2＝0 B．a∶b∶c＝3∶4∶5 C．∠A∶∠B∶∠C＝3：4∶5 D．∠A＋∠B＝∠C 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可． 【详解】解：A.由，可得，故是直角三角形，不符合题意； B.可设，，，则，能构成直角三角形，不符合题意； C. ，所以∠C最大，，故不是直角三角形，符合题意； D.，，故是直角三角形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 4．（23-24八年级上·山西长治·期末）开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯.如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺.上地毯至少需要的长度为（    ） A．8米 B．7米 C．6米 D．5米 【答案】B 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，以及利用平移可知地毯的长为的和，解题的关键是能熟练掌握勾股定理以及数形结合的方法； 先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：是直角三角形，， ， 如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为， 故选：B． 5．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，过两点作直线，分别交于两点，已知厘米，则 厘米． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】连接，求出，由线段垂直平分线的性质结合等边对等角得出，从而得出，由含角的直角三角形的性质结合勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， ∵中，，， ∴， 由作图可得：垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 6．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，矩形的边在数轴上，其中点A，B分别表示数，2，，以点B为圆心，长为半径作弧交数轴于点P，则点P表示的数为 ． 【答案】/ 【知识点】勾股定理与无理数 【分析】根据勾股定理求出，，再利用数轴上两点间距离即可求出点P． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点P表示的数为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数与数轴的关系，在数轴上表示无理数，其中利用距离求点是解题的关键． 7． （23-24八年级下·山西临汾·期末）弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解． 【详解】解：如图， ∵大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， ∴， ∴， ∴直角三角形的面积是， 又∵直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理以及完全平方式，运用了恒等的变形的解题方法．正确根据图形的关系求得和的值是关键． 8．（23-24八年级下·山西忻州·期末）如图，在中，，等边的顶点在线段上，顶点在的延长线上．若，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、二次根式的乘法 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算；如图，过点作于点，则．证明，再进一步解答即可； 【详解】解：如图，过点作于点，则． ， ， ， ． 在中，，， ， 为等边三角形， ． 在中，． ； 故答案为： 9．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 米． 【答案】1.6 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】过点D作DE⊥AB于E，则CD=BE，DE=BC=1.2米，由勾股定理得出AE=0.9（米），则BE=AB-AE=1.6（米），即可得出答案． 【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示： 则CD=BE，DE=BC=1.2米=米， 在Rt△ADE中，AD=1.5米=米， 由勾股定理得：AE= =0.9（米）， ∴BE=AB-AE=2.5-0.9=1.6（米）， ∴CD=BE=1.6米， 故答案为：1.6． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 10．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米（D处）时，求滑杆顶端A下滑多少米（E处）. 【答案】梯子下滑0.5米. 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】由题意可知滑杆AB与AC、CB正好构成直角三角形，同理DE与CE、CD正好构成直角三角形，故可用勾股定理进行计算． 【详解】解：设AE的长为x米，依题意得CE=AC-x， ∵米，米，， ∴， ∴米， ∵米， ∴在中，， ∴，，即米， 答：梯子下滑0.5米. 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 11．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1），如图（2），已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 【答案】消防车从原处向着火的楼房靠近的距离为 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】在Rt中，根据勾股定理得到和，于是得到结论． 【详解】解：在Rt中, ，，（m）， （m）， 在Rt中， ，，（m）， （m）， （m）， 答：消防车从原处向着火的楼房靠近的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 12．（23-24八年级下·山西朔州·期末）某中学计划实施空地绿化工程，负责人王老师将一块四边形空地绿化费用的预算任务交给了“求知”小组，该小组的同学把“空地绿化的合理预算”作为一项课题研究，利用课余时间完成了实践调查报告． 研究课题 空地绿化的合理预算 研究目的 学会运用勾股定理及其逆定理解决生活实际问题 测量工具 测角仪、卷尺 研究方式 走访调研、实地勘察测量 研究方案及测量数据 测量示意图： 相关数据及说明： ①在四边形中，； ②多次测量并求取平均值后的相关长度如图所示； ③测量示意图中代表实际距离； ④每平方米的绿化费用为60元． 计算结果 …… 请根据调查报告，计算绿化这块空地所需的费用． 【答案】绿化这块空地所需的费用为元 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，且，利用两个直角三角形面积的和求出四边形的面积，再用面积乘以每平方米的绿化费用即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，    ∵ ∴ ∴， ∵， ∴是直角三角形，且， ∵图中代表实际距离， ∴，，，， ∴四边形的面积为：， ∴（元）． ∴绿化这块空地所需的费用为元． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理及其逆定理 题型概览 题型01 利用勾股定理求线段长 题型02 勾股定理与格点问题 题型03 利用勾股定理求面积 题型04勾股定理的证明 题型05 勾股定理的实际应用 题型06勾股定理的逆定理 题型07 勾股定理与最短路径问题 题型08 勾股定理的综合题 利用勾股定理求线段长题型01 1．（13-14八年级上·江苏扬州·阶段练习）一个直角三角形的模具，其中两边长分别为4cm、3cm，则第三条边长为(  ) A．5cm B．4cm                       C．cm D．5cm或cm 2．（13-14八年级下·山西吕梁·期末）矩形的两边长分别是3和5，则它的对角线长是（    ） A．4 B．6 C． D．7 3．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）勾股定理在《九章算术》中的表述是“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦．”即（为“勾”，为“股”，为“弦”），若“勾”为3，“股”为5，则“弦”最接近的整数是 ． 4．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，在中，，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，连接交于点F，则的长为 ． 5．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，直线l上有正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和16，则正方形b的边长为 ． 6．（23-24八年级上·山西太原·期末）在中，，，．以为底在内部作等腰，连接，若，则的长为 ． 勾股定理与格点问题题型02 7．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处．长为（    ）    A．4.5 B． C． D． 8．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图,在△ABC中，三边a、b、c的大小关系是( ) A．a<b<c B．c<a<b C．c<b<a D．b<a<c 9．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD＋∠CBE的度数为 ．    10．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形． (1)画一个三边长分别为4，，的三角形； (2)画一个腰长为的等腰直角三角形． 11．（24-25八年级上·山西晋中·期末）下面是小宇同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 借助图形构造无理数通过近段时间学习《勾股定理》和《实数》，我发现给定单位长度1，一些无理数可以借助图形构造出来，如图1，“蜗螺线”与几何中的勾股定理相结合，给出了我们构造无理数的方法．                    但是我发现，借助网格和数轴构造无理数更简便． 如图2所示的网格中，每个小正方形的边长均为单位长度1，为格点三角形，，其中线段的长为无理数．点D，E，F为格点，，以点E为圆心，长为半径画弧交网格线于点G，连接，，其中线段的长为无理数． 如图3所示的数轴中，点P，Q分别表示和1，作，且，以点P为圆心，长为半径画弧与数轴正半轴交于点M，则点M表示的数为无理数． 任务： (1)图1中，中无理数有______个； (2)图2中，线段的长分别是______，______； (3)图3中，点M表示的数为______； (4)请在图4的数轴上找出对应的点． 利用勾股定理求面积题型03 12．（23-24八年级上·山西运城·期末）如图，这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（    ）    A．169 B．144 C．30 D．25 13．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·山西长治·期末）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦.如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为 . 15．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）在校园内有一块四边形形状的草坪如图所示，我们把它记作四边形，数学兴趣小组的同学想知道它的面积，身边只有一把卷尺，同学们量得，，，．当同学们不知道该如何求面积时，组长有意提议量量的长度，他们量得，问题得到了解决．你知道他们是如何解决问题的吗？请接着完成任务。 勾股定理的证明题型04 16．（24-25八年级上·山西晋城·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明的是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·全国·期末）2002年国际数学家大会在北京召开，如图①是大会会标，会标中央图案是经过艺术处理的，它标志着中国古代数学的成就．如图②是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（  ） A．三角形内角和定理 B．三角形全等 C．勾股定理 D．轴对称图形 18．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是证明了勾股定理和对勾股算术算法进行了推广．书中的证明方法是将4个三边长分别为，，的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线，用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图2，延长交_____①_____于点． 用两种不同的方法表示五边形的面积： 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则_____②_____． 方法二：将五边形看成是由_____③_____，正方形，，拼成，则． 根据面积相等可以得到_____④_____，即．         　 则下列说法错误的是（    ） A．①代表 B．②代表 C．③代表正方形 D．④代表 19．（23-24八年级下·山西忻州·期末）勾股定理现约有500多种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，在中国周朝的商定提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，古埃及人用“结绳法”在金字塔等建筑的拐角处作出直角；“普林顿322”的古巴比伦泥板上记载了很多勾股数；公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了勾股定理．下面图例中，不能证明勾股定理的是（    ） A．   B．   C．   D．   20．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，将四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”．设直角三角形较长直角边长为x，较短直角边长为y．已知，大正方形边长为5，则小正方形的面积为（　　） A．9 B．6 C．4 D．3 21．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行证明． 定理表述 （1）请根据图①中的直角三角形叙述勾股定理．（用文字或符号语言） 尝试证明 （2）以图①中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，为高的直角梯形（如图②），请你利用图②，验证勾股定理． 拓展延伸 （3）利用图中②的直角梯形，我们可以证明，请将证明步骤补充完整． ∵，______， 在直角梯形中，______（填“＜”或“＞”或“＝”），即______，， ∴ 勾股定理的实际应用题型05 22．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图是一块长方形草坪，是一条被踩踏的小路，已知米，米．为了避免行人继续踩踏草坪（走线段），小梅分别在A，B处各挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 23．（24-25八年级上·山西长治·期末）松松学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为12m；（）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为15m；③松松身高为1.6m，若松松同学想使风筝沿方向下降4m，则他应该往回收线（   ）米． A．2 B．5 C．5.4 D．3.6 24．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，学校有一块直角三角形菜地，，．为方便劳作，准备在菜地中间修建一条小路．测量发现，，，，则的长为（    ） A．3m B．4m C．5m D．6m 25．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图1，在综合实践小组测量旗杆高度的活动中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了1米，如图2，当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好落到点处，经过测量此时绳子底端到旗杆底部的距离是5米，则旗杆的高度为 米    26．（23-24八年级下·山西大同·期末）消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．如图，已知云梯最多能伸长到 ，消防车高．某次任务中，消防车在A处将云梯伸长至最长，消防员从 高的处救人后，消防车需到达B处使消防员从24m高的处救人，求消防车从A处向着火的楼房靠近的距离． 27．（23-24八年级下·山西忻州·期末）综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米． ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米． ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米． 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长． (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 28．（23-24八年级上·山西临汾·期末）2023年7月5号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，台风中心沿监测点与监测点所在的直线由西向东运动，已知点为一大型农场，在处测得农场在北偏东方向上，且，相距，在处测得农场在北偏西方向上，且，相距． (1)求监测点与监测点之间的距离． (2)农场会受此次台风的影响吗？说明理由． 勾股定理的逆定理题型06 29．（23-24八年级下·山西大同·期末）下列长度的三条线段不能构成直角三角形的是（    ） A．5，12，13 B．，， C．1，1， D．7，24，25 30．（24-25八年级上·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（   ） A． B．C．D． 31．（24-25八年级上·山西晋城·期末）下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．， ， C．， ， D．，， 32．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，下列三角形的顶点都在格点上，则下列三角形中是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24八年级下·山西临汾·期末）△ABC的三边为a，b，c且（a＋b）（a﹣b）＝c2，则该三角形是（    ） A．锐角三角形 B．以c为斜边的直角三角形 C．以b为斜边的直角三角形 D．以a为斜边的直角三角形 勾股定理与最短路径问题题型07 34．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中长，宽，高，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点A爬行到点B，它需要爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级上·山西晋城·期末）春节是中国人最盛大、最热闹、最重要的传统节日．在春节期间为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱体的A处缠绕到圆柱体的B处（点A在下底面，点B在上底面，点B在点A的正上方），若圆柱体底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为 ． 36．（23-24八年级下·山西运城·期末）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 勾股定理的综合题题型08 37．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14． (1)求证：是的平分线． (2)若，求线段的长． 38．（23-24八年级上·山西太原·期末）阅读与思考 下面是小亮写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2023年9月12日天气：晴 正方形的剪拼与无理数 今天在数学课上同学们利用准备好的两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接），得到了一个大的正方形，在老师的引导下认识了无理数． 我在课堂上是按照图1所示的方法进行剪拼的，课后我有了进一步的思考： 问题1：能否利用一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形？ 对于上面的问题我进行了尝试并找到了图2和图3两种剪拼的方法： 问题2：一个边长为1和一个边长为3的正方形也能剪拼出一个大正方形吗？如果能，该如何剪拼呢？ 任务： (1)图1中拼成的大正方形的边长为______，图2和图3中拼成的大正方形的边长为______； (2)请参考材料中图2或图3的剪拼方法，解决问题2． 要求：①在图4中画出剪切线并在图中仿照图2或图3标出相应线段的长度； ②在图4右侧画出拼接成的大正方形的示意图及其内部的拼接线． 39．（23-24八年级下·山西大同·阶段练习）小乐是一个善于思考的学生，学习完“二次根式”和“勾股定理”后，他发现可以有多种方法求的面积，以下是他的数学笔记，请认真阅读并完成任务 题目：已知在中，，，，求的面积． 思路1：可以利用八年级下用课本16页“阅读与思考”中的海伦-秦九韶公式求的面积 海伦公式：；其中 秦九韶公式： 思路2：可以利用勾股定理在正方形网格中构造三角形，求的面积． (1)请根据思路1的公式，求的面积． (2)请你结合思路2，在如图所示的网格中，（正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点）完成下列任务． ①画出，要求三个顶点都在格点上； ②结合图形，写出面积的计算过程，以及边上的高． 40．（23-24八年级上·山西临汾·期末）如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，当点运动到点A时运动结束，设出发的时间为秒．      (1)出发1秒时，求的长； (2)当点在边上运动时，通过计算说明能否把的周长平分； (3)当点在边上运动时，请直接写出能使成为等腰三角形的运动时间． 1．（23-24八年级下·山西忻州·期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，，2 D．5，11，13 2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）有下列说法： ①一个直角三角形的两条直角边长分别为，，则它的斜边长是； ②一个直角三角形的两边长分别是，，则它的第三条边长是； ③“一个三角形的三条边长分别是，，．因为，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理．其中，正确的个数是 （    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山西大同·期末）下列不能判定△ABC是直角三角形的是（   ） A．a2＋b2－c2＝0 B．a∶b∶c＝3∶4∶5 C．∠A∶∠B∶∠C＝3：4∶5 D．∠A＋∠B＝∠C 4．（23-24八年级上·山西长治·期末）开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯.如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺.上地毯至少需要的长度为（    ） A．8米 B．7米 C．6米 D．5米 5．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，过两点作直线，分别交于两点，已知厘米，则 厘米． 6．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，矩形的边在数轴上，其中点A，B分别表示数，2，，以点B为圆心，长为半径作弧交数轴于点P，则点P表示的数为 ． 7． （23-24八年级下·山西临汾·期末）弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，那么的值是 ． 8．（23-24八年级下·山西忻州·期末）如图，在中，，等边的顶点在线段上，顶点在的延长线上．若，则 ． 9．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 米． 10．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米（D处）时，求滑杆顶端A下滑多少米（E处）. 11．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1），如图（2），已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 12．（23-24八年级下·山西朔州·期末）某中学计划实施空地绿化工程，负责人王老师将一块四边形空地绿化费用的预算任务交给了“求知”小组，该小组的同学把“空地绿化的合理预算”作为一项课题研究，利用课余时间完成了实践调查报告． 研究课题 空地绿化的合理预算 研究目的 学会运用勾股定理及其逆定理解决生活实际问题 测量工具 测角仪、卷尺 研究方式 走访调研、实地勘察测量 研究方案及测量数据 测量示意图： 相关数据及说明： ①在四边形中，； ②多次测量并求取平均值后的相关长度如图所示； ③测量示意图中代表实际距离； ④每平方米的绿化费用为60元． 计算结果 …… 请根据调查报告，计算绿化这块空地所需的费用． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$