精品解析：四川省江油中学2023-2024学年高一下学期期中检测数学试题（A卷）

江油中学2023-2024学年度下期2023级半期考试 数学试题（A卷） 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. （ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 单位向量的模都相等 B. 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C. 方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D. 两个有共同起点而且模相等向量，其终点必相同 4. 下列命题中正确是（　　） A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B. 棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C. 棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D. 棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 5. 把函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，BC边上的高等于,则（　　） A. B. C. D. 7. 已知内角，，的对边分别是，，，且，则的形状是（ ） A 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 8. 在中，内角的对边分别为，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题5分，共20分，错选不得分，漏选得2分） 9. 计算下列各式，结果为的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，则（ ） A. B. C. D. 11. 要得到函数的图象，不能将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度，再把图象上的各个点的纵坐标扩大到原来的2倍 B. 向右平移个单位长度，再把图象上的各个点的纵坐标缩小到原来的 C. 向右平移个单位长度，再把图象上的各个点的纵坐标扩大到原来的2倍 D. 向左平移个单位长度，再把图象上的各个点的纵坐标缩小到原来的. 12. 在中，角的对边分别为，则下列对的个数的判断正确的是（ ） A 当时，有两解 B. 当时，有一解 C. 当时，无解 D. 当时，有两解 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 已知复数满足，则的模为___________． 14. 在中，已知是x的方程的两个实根，则________． 15. 已知向量，则与的夹角为__________． 16. 某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile;在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile.货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是__________nmile. 四、解答题（17题10分，18—22题每题12分，共70分．解答题应写出必要的文字说明和演算步骤） 17. 已知向量，. （1）当k为何值时，与垂直？ （2）若，，且三点共线，求的值. 18. 已知函数． （1）求的最小正周期和的单调递减区间； （2）当时，求函数的值域及取得最小值时x的值． 19. 在锐角中，内角，，所对边分别为，，，． （1）求角； （2）设是角的平分线，与边交于，若，，求，； 20. 已知是三边长且，的面积. （1）求角； （2）求的周长. 21. 如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东方向. （1）求点D到塔底B的距离； （2）若在点C测得塔顶A的仰角为，求铁塔高. 22. 在锐角中，角所对边的边长分别为，且. （1）求角； （2）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江油中学2023-2024学年度下期2023级半期考试 数学试题（A卷） 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，化解复数，并结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】复数，所以复数对应的点为，为第一象限的点. 故选：A 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式和两角差的正弦公式直接求解即可. 【详解】. 故选：C. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 单位向量的模都相等 B. 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C. 方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D. 两个有共同起点而且模相等的向量，其终点必相同 【答案】A 【解析】 【分析】利用单位向量的定义可判定A ；利用共线向量的定义可判定B；利用平面向量的定义可判定C、D. 【详解】对于A，因为单位向量的模长为1，故A正确； 对于B，因为方向相同或相反的向量是共线向量，故B错误； 对于C，向量是具有方向和大小的量，模有大小，但方向不能比大小，故C错误； 对于D，有共同起点，模长相等但方向不同的向量，终点不相同，故D错误. 故选：A 4. 下列命题中正确的是（　　） A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B. 棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C. 棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D. 棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合棱柱的几何结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，如图所示满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确； 对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B不正确； 对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确； 对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D正确. 故选：D. 5. 把函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象平移变换写出解析式后判断. 【详解】由题意新函数解析式为. 故选：A． 6. 在中，，BC边上的高等于,则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设 ,故选C. 考点：解三角形 7. 已知的内角，，的对边分别是，，，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理可得三角形的形状. 【详解】因为，不妨设，， 则为最大角，由余弦定理可得， 即为钝角，所以是钝角三角形. 故选：C 8. 在中，内角的对边分别为，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理解三角形即可. 【详解】， 所以. 故选：D 二、多选题（每小题5分，共20分，错选不得分，漏选得2分） 9. 计算下列各式，结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由两角和与差的正弦，正切公式，二倍角的余弦公式对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，因为， 可得， 所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 10. 已知点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意，根据平面共线向量的坐标表示判断A，根据模的坐标表示判断B，根据数量积的坐标表示判断C，根据垂直关系的向量表示判断D. 【详解】A：，则，所以，故A正确； B：，则，所以，故B正确； C：，则，故C错误； D：，则，所以，故D正确. 故选：ABD 11. 要得到函数的图象，不能将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度，再把图象上的各个点的纵坐标扩大到原来的2倍 B. 向右平移个单位长度，再把图象上的各个点的纵坐标缩小到原来的 C. 向右平移个单位长度，再把图象上的各个点的纵坐标扩大到原来的2倍 D. 向左平移个单位长度，再把图象上的各个点的纵坐标缩小到原来的. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先利用辅助角公式，把化成，再结合三角函数的图象变换进行判断即可. 【详解】因为. 对A：将的图象向左平移个单位，得， 再把图象上的各个点的纵坐标扩大到原来的2倍，得，得不到. 对B：将的图象向右平移个单位，得， 再把图象上的各个点的纵坐标缩小到原来的，得，得不到. 对C：将的图象向右平移个单位，得， 再把图象上的各个点的纵坐标扩大到原来的2倍，得，得不到. 对D：将的图象向左平移个单位，得， 再把图象上的各个点的纵坐标缩小到原来的，得. 故选：ABC 12. 在中，角的对边分别为，则下列对的个数的判断正确的是（ ） A. 当时，有两解 B. 当时，有一解 C 当时，无解 D. 当时，有两解 【答案】AC 【解析】 【分析】由正弦定理对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】对于A，由正弦定理得，即，所以， 又因为，所以或，有两解，故A正确； 对于B，由正弦定理得，无解，故B错误； 对于C，由正弦定理得，无解，故C正确； 对于D，由正弦定理得， 又，所以为锐角，此三角形只有一解，故D错误. 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 已知复数满足，则的模为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，由题意建立方程解出a，b，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】设，则， 由，得， 则，解得，所以， 所以. 故答案为： 14. 在中，已知是x的方程的两个实根，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据根与系数关系可得，，再由三角形内角和的性质及和角正切公式求，即可得其大小. 【详解】由题设，，， 又，且， ∴. 故答案为：. 15. 已知向量，则与的夹角为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用平面向量的夹角的坐标公式直接求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 16. 某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile;在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile.货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是__________nmile. 【答案】 【解析】 【分析】先在中，利用正弦定理求得AD，再在中，利用余弦定理求解. 【详解】在中，， 由正弦定理得， 在中，由余弦定理得， ， 所以. 故答案为： 四、解答题（17题10分，18—22题每题12分，共70分．解答题应写出必要的文字说明和演算步骤） 17 已知向量，. （1）当k为何值时，与垂直？ （2）若，，且三点共线，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量垂直的坐标表示求解即可. （2）利用平面向量共线的坐标表示求解即可. 【小问1详解】 易知，， 若与垂直，则，即，解得， 故当时，与垂直. 【小问2详解】 若三点共线，则与共线， 由题意得，， 可得，解得， 故的值为. 18. 已知函数． （1）求的最小正周期和的单调递减区间； （2）当时，求函数的值域及取得最小值时x的值． 【答案】（1）； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期，解方程可得出函数的对称中心坐标；解不等式，可得出函数的单调递减区间； （2）由，计算出的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的的值，从而得值域. 【小问1详解】 ， 所以，函数最小正周期为. 解不等式， 解得. 因此，函数的单调递减区间为； 【小问2详解】 当时，， 当时，即当时，函数取得最大值，最小值为， 当时，即当时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数的值域为． 19. 在锐角中，内角，，所对边分别为，，，． （1）求角； （2）设是角的平分线，与边交于，若，，求，； 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）方法一：由余弦定理代入计算，即可得到结果；方法二：由正弦定理的边角互化代入计算，即可得到结果； （2）分别在中与中，结合正弦定理代入计算，即可得到，再由余弦定理代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 法一：在锐角中，， 由余弦定理得，化简得， 可得，又，得． 法二：在锐角中，，由正弦定理得， 即， 可得， 又，，得，又，得． 【小问2详解】 在中，由正弦定理有， 在中，由正弦定理有， 因为是角的平分线，故， 又，故， 所以， 设，， 在中，由余弦定理，有， 解得，所以（负值舍去）， 所以，． 20. 已知是三边长且，的面积. （1）求角； （2）求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理得到，求出； （2）根据面积公式求出，结合，得到，进而得到，求出周长. 【小问1详解】 由余弦定理得， 因为，所以； 【小问2详解】 由三角形面积公式得，即，解得， 故，又，故， 所以， 故，即， 故的周长为. 21. 如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东方向. （1）求点D到塔底B的距离； （2）若在点C测得塔顶A的仰角为，求铁塔高. 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理可求出的长； （2）利用正弦定求得，再解直角三角形求得. 【小问1详解】 由题意可知，，故， 在中， 由正弦定理， 得，即， 所以（米）. 因此点D到塔底B的距离为米； 【小问2详解】 在中， 由正弦定理， 得， 得 ， 在中，， 所以铁塔高为米. 22. 在锐角中，角所对边的边长分别为，且. （1）求角； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知结合正弦定理可得结果； （2）根据为锐角三角形求出，利用两角差的正弦公式及辅助角公式化简，根据正弦函数性质可得结果. 【小问1详解】 ， ， 又， ，. 【小问2详解】 由（1）可知，，且为锐角三角形， 所以，， 则， 因为， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$