精品解析：青海西宁市第二中学优质教育集团2026届高三第二学期考前自测数学试卷

西宁市第二中学优质教育集团2025-2026学年第二学期 高三年级数学学科三模考试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. 5 B. C. D. 1 2. 某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行数学实习活动，现将他们分配到高一年级的1，2，3三个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（ ） A. 30种 B. 90种 C. 150种 D. 180种 3. 命题“ ”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据：） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知向量在向量上的投影向量为，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 6. 如图，圆柱的轴与一平面所成角为，该平面截圆柱侧面所得的图形为椭圆，此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表： 月份 1 2 3 4 5 销售额万元 1.8 2.2 2.8 3.1 根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为，则（ ） A. 变量与正相关 B. C. 样本数据的下四分位数为1.8 D. 当时，的预测值为4.1万元 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则（ ） A. B. C. 直线是图象的一条对称轴 D. 将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合 11. 函数的图象（如图）称为牛顿三叉戟曲线，则（ ） A. 的极小值点为 B. 当时， C. 过原点且与曲线相切的直线仅有2条 D. 若，，则的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，，则______． 13. 已知正数x，y满足，则的最小值为______. 14. 抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），向上的点数为1记为事件，抛掷次后事件发生奇数次的概率记为，则______，______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的公差，且满足，，记是数列的前项和，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 16. 如图，四边形为直角梯形，且．点满足平面. （1）若为上靠近点的三等分点，证明：平面； （2）若，点满足，求直线与平面所成角的余弦值． 17. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 18. 平面直角坐标系中，动点P到点的距离与它到直线的距离之比为． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过点M的直线l与轨迹C交于A，B两点，且点A在第一象限，点，与的面积之比为，求的内切圆半径． 19. 已知函数. （1）若，求证：当时， （2）若有两个不同的极值点且. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市第二中学优质教育集团2025-2026学年第二学期 高三年级数学学科三模考试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. 5 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，求得，根据模的求法，即可得答案. 【详解】复数， 所以. 故选：D. 2. 某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行数学实习活动，现将他们分配到高一年级的1，2，3三个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（ ） A. 30种 B. 90种 C. 150种 D. 180种 【答案】C 【解析】 【分析】先得到分配方案有或，分两种情况，结合排列组合知识得到答案 【详解】由已知可得5个人分三个班，每班至少1人，则可能的分配方案有或， 若分配方案为，则分配方案有种， 若分配方案为，则分配方案有种， 则不同分配方式共有种． 3. 命题“ ”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】不等式等价于，解得. 找充分不必要条件，即找集合的真子集，仅 C选项是原解集真子集. 4. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据：） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得. 【详解】设经过个小时才能驾驶，则即. 由于在定义域上单调递减，. 他至少经过4小时才能驾驶. 故选：D. 5. 已知向量在向量上的投影向量为，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据计算投影向量的公式及，求得，再利用数量积的运算律即可得答案. 【详解】，∴, , 故选：A. 6. 如图，圆柱的轴与一平面所成角为，该平面截圆柱侧面所得的图形为椭圆，此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆柱底面圆的半径为R，则，利用截面与底面成角求出，再求得，从而可得结果. 【详解】设圆柱底面圆的半径为R，则短轴长，所以， 圆柱的轴与一平面所成角为， 所以椭圆的长轴长为， 所以， 离心率为， 故选：D 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件求出与的和、差、积，再利用立方差公式来计算的值． 【详解】已知，将等式两边同时平方可得． 根据完全平方公式展开得． 因为，所以，移项可得，则．  因为，且，所以与异号，又因为在上，所以．  ，由于，，则． 因为，，所以，那么．  根据立方差公式． 因为，，，所以．  的值为． 故选：C． 8. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数与的单调性，判断函数的最值的情况即可. 【详解】分析函数及其导函数的图象，可知虚线表示的是的图象，实线表示的是的图象. 并且当时，；当时，. 对函数，， 因为，在上恒成立，所以在上恒成立. 即函数在上单调递增，无最值； 对函数，， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得最大值，为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表： 月份 1 2 3 4 5 销售额万元 1.8 2.2 2.8 3.1 根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为，则（ ） A. 变量与正相关 B. C. 样本数据的下四分位数为1.8 D. 当时，的预测值为4.1万元 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据回归系数，可判定A正确；根据回归直线方程经过样本中心，列出方程，求得的值，可判定B正确；根据百分位数的计算方法，可判定C错误；根据回归直线方程，求得预测值，可判定D正确. 【详解】对于A，由回归直线方程，可得 ， 所以变量与正相关，所以A正确； 对于B，因为回归直线方程经过样本中心， 因为，所以， 又由 ，解得，所以B正确； 对于C，将样本数据的数据排序为：， 由 ，则样本数据的下四分位数为第个数据，所以C不正确； 对于D，当时，，所以的预测值为万元，所以D正确. 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则（ ） A. B. C. 直线是图象的一条对称轴 D. 将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由图数据得边长，根据周期求出；对B，由点坐标求出；对C，代入验证最值；对D，由图象变换可得. 【详解】对于A：如图，因为为等边三角形，且高为，则其边长为， 由图知，函数的周期满足，解得，故，A正确； 对于B：因为点的坐标为，所以， 所以，由，解得， 又，所以，B错误； 对于C：由上知，而时，， 故直线是图象的一条对称轴，C正确； 对于D：将的图象向左平移个单位长度，可得，D正确. 故选：ACD. 11. 函数的图象（如图）称为牛顿三叉戟曲线，则（ ） A. 的极小值点为 B. 当时， C. 过原点且与曲线相切的直线仅有2条 D. 若，，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对函数求导，由导数确定极小值点即可判断选项A；按与的大小化简即可判断选项B；设切点坐标，由导数的几何意义求出切点坐标即可判断选项C；化简，并将转化为一新变量的函数，求其最小值即可判断选项D. 【详解】由函数知，，求导得：， 对于A选项：，，则的极小值点为，A不正确； 对于B选项：时，，时， 时，，即时，恒有，B正确； 对于C选项：设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为， 而切线过原点，则有，解得，即过原点且与曲线相切的直线有一条，C不正确； 对于D选项：时，， ，令，则， ，时，时， 函数在上递增，在上递减，时 即有最小值3，的最小为，D正确. 故选：BD 【点睛】结论点睛：区间D上的可导函数f(x)的导函数为，则函数f(x)在x0(x0∈D)处的切线方程为：. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求出集合、，利用交集的定义可得集合. 【详解】因为，且函数在上为增函数， 当时，，即， 因此. 故答案为：. 13. 已知正数x，y满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，再结合基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 14. 抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），向上的点数为1记为事件，抛掷次后事件发生奇数次的概率记为，则______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用独立重复试验的概率公式计算；分析与的递推关系建立递推式，通过构造等比数列的方法求解通项公式，进而代入计算. 【详解】每次抛骰子，事件发生的概率，不发生的概率为； 抛2次，发生奇数次即恰好发生1次，由二项分布概率公式：， 次中发生奇数次，可分为两种情况：① 前次发生偶数次，第次发生； ② 前次发生奇数次，第次不发生， 因此：， 所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的公差，且满足，，记是数列的前项和，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程，解方程即可； （2）利用退一相减法可得，再利用分组求和的方法可得. 【小问1详解】 由题意得， 解得或（舍）， ， 即数列的通项公式是； 【小问2详解】 ①， 当时，，得， 当时，②， 由①②得，， 化简得，，即， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ， ， ． 16. 如图，四边形为直角梯形，且．点满足平面. （1）若为上靠近点的三等分点，证明：平面； （2）若，点满足，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设与交于点，由，线线平行判定线面平行； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，计算平面的一个法向量，由线面角的正弦等于方向向量与法向量的余弦的绝对值计算即可. 【小问1详解】 如图，设与交于点，连接， 因为，，所以， 所以，所以为上靠近点的三等分点， 又因为为上靠近点的三等分点，所以在中，， 而平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 因为，，所以， 又因为平面，，则以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， ， ， ， 从而， 因为，所以， 所以点的坐标为，， 设平面的一个法向量为， 则即 则，令，可得， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，为锐角， 则， . 17. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【答案】（1）； （2）分布列见解析，期望为，方差为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望的方差. 【小问1详解】 设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. 【小问2详解】 依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 18. 平面直角坐标系中，动点P到点的距离与它到直线的距离之比为． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过点M的直线l与轨迹C交于A，B两点，且点A在第一象限，点，与的面积之比为，求的内切圆半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出动点，由题意列出等式，再化简得到轨迹方程. （2）首先判断斜率存在和不存在的情况，斜率存在时设出直线l的方程，然后将直线方程与轨迹C的方程联立，利用韦达定理得到纵坐标的和与积，结合面积关系求出参数；再求出三角形的面积和周长，进而解出三角形内切圆半径. 【小问1详解】 设动点P的坐标为，由题意可得， 即，化简得， 即动点P的轨迹C的方程为； 【小问2详解】 设，，点A在第一象限，则，， 若直线l的斜率不存在，由椭圆对称性可知与的面积之比为1，不符合题意； 故直线l的斜率必存在且不为0，可设直线l的方程为， 联立，得：， 直线l经过椭圆内一点，必有， ∴， 由于点，与的面积之比为， 故，即，即， 则，则， 结合，可得， 化简得，结合，则，故， 故，则， 又为椭圆的两焦点， 的面积为, 的周长为 ， 设的内切圆半径为r，则， 即，故. 19. 已知函数. （1）若，求证：当时， （2）若有两个不同的极值点且. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 【答案】（1）见解析 （2）（i）（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导判断函数的单调性即可求解最值证明， （2）根据极值点可得韦达定理，根据一元二次方程根的分布即可求解的范围，利用，消去，进而看做关于的函数，构造，利用导数求解函数的单调性，即可求解最值判断，结合对数与指数的单调性即可求解. 【小问1详解】 时， 则，故在单调递减， 故，故时，， 【小问2详解】 （i）， 由于有两个不同的极值点且， 故是的两个不相等的正实数根， 故，解得， 故 （ii）由于，所以，故， 由于，故， ， 令， 故， 当时，，故在单调递增， 故， 由于故， 因此， 故. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $