精品解析：湖南省岳阳市2024—2025学年下学期4月八年级期中考试数学试卷

2025年4月期中考试试卷 数学 温馨提示： 1．本试卷共三道大题，26道小题，满分120分，考试时量120分钟； 2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图案中，只是中心对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形以及中心对称的定义，结合所给图形进行判断即可．． 【详解】解：A、只是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、只是中心对称图形，故本选项符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 一个七边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和，根据边形的内角和为求解，即可解题． 【详解】解：一个七边形的内角和等于， 故选：B． 3. 已知∠A，∠B为直角△ABC两锐角，∠B＝54°，则∠A＝（　　） A. 60° B. 36° C. 56° D. 46° 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形中，两锐角互余计算即可． 【详解】解：∵∠A，∠B为直角△ABC两锐角， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相互垂直的四边形是平行四边形 B. 对角线相等且相互垂直的四边形是菱形 C. 四条边相等的四边形是正方形 D. 对角线相等且相互平分的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题与定理、平行四边形的判定、特殊的平行四边形的判定，根据平行四边形的判定、特殊的平行四边形的判定进行逐一判断即可． 【详解】解：A、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故原命题是假命题； B、对角线相等且相互垂直的四边形是正方形，故原命题是假命题； C、四条边相等的四边形是菱形，故原命题是假命题； D、对角线相等且相互平分的四边形是矩形，故原命题是真命题； 故选：D． 5. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D；若DC=3，AB=8则△ABD的面积是(    ) A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】首先过点D作DE⊥AB于E，由在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，根据角平分线的性质，即可求得DE的长，又由三角形面积的求解方法，即可求得答案． 【详解】过点D作DE⊥AB于E， ∵∠C=90°， ∴DC⊥BC， ∵BD平分∠ABC， ∴DE=CD=3， ∴S△ABD=AB×DE=×8×3=12． 故选B． 【点睛】此题考查了角平分线的性质与三角形的面积问题．此题比较简单，解题的关键是掌握角平分线的性质，求得△ABD的高． 6. 点P（2，﹣5）到x轴、y轴的距离分别为（　　） A. 2、5 B. 2、﹣5 C. 5、2 D. ﹣5、2 【答案】C 【解析】 【分析】求得﹣5的绝对值即为点P到x轴的距离，求得2的绝对值即为点P到y轴的距离． 【详解】解：∵|﹣5|=5，|2|=2， ∴点P到x轴的距离为5，到y轴的距离为2． 故选C． 【点睛】本题考查了点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值． 7. 已知A和B两点的坐标分别是（1，3）和（1，﹣3），则（　　） A. 点A和B关于x轴对称 B. 点A和B关于y轴对称 C. 点A和B关于原点对称 D. 以上说法都不对 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而判断得出答案． 【详解】解：∵A和B两点的坐标分别是（1，3）和（1，-3）， ∴A和B两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点A和B关于x轴对称． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键． 8. 顺次连结任意四边形四边中点，所得的图形是一个矩形，则四边形一定是 （ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线互相垂直的四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，根据矩形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图，设点，，，分别是四边形各边的中点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴ ∴原四边形一定是对角线互相垂直的四边形． 故选：D． 9. 如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是（ ） A. 28 B. 14 C. 10 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据D，E，F分别是，，的中点，可判定四边形是平行四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形的周长． 【详解】解：D，E，F分别是，，的中点， 、分别是的中位线， ，且，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形的周长为： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，判定出四边形是平行四边形是解决本题的关键． 10. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中正确结论有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°． ∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°． 在Rt△ABE和Rt△ADF中，AE =AF，AB=AD，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）． ∴BE=DF．故结论①正确． 由Rt△ABE≌Rt△ADF得，∠BAE=∠DAF， ∴∠DAF+∠DAF=30°．即∠DAF=15°．故结论②正确． ∵BC=CD，∴BC－BE=CD－DF，CE=CF． ∵AE=AF，∴AC垂直平分EF．故结论③正确． 设EC=x，由勾股定理，得EF=，CG=，AG=， ∴AC=．∴AB=．∴BE=． ∴BE+DF．故结论④错误． ∵，， ∴．故结论⑤正确． 综上所述，正确的有4个， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 在中，，，是边上的中线，则的长是______． 【答案】5 【解析】 【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线， ∴CD=AB=5， 故填5． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 12. 如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的边数与对角线条数的关系，解题的关键是熟练掌握边形从一个顶点出发的对角线最多可画的条数为． 根据边形从一个顶点出发的对角线最多可画的条数为，求出多边形的边数即可． 【详解】解：∵多边形从一个顶点出发的对角线最多可画9条， ∴， ∴多边形的边数为：． 故答案为：12． 13. 已知直角三角形的三边分别为，，，则_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理．解题的关键是熟练掌握勾股定理和分类讨论．分边长为的边为直角边和斜边两种情况，进行求解即可． 【详解】解：当边长为的边为斜边时，； 当边长为的边为直角边时，； 故答案为：或． 14. 通过平移把点A(2，－1)移到点A′(2,2)，按同样的平移方式，点B(－3,1)移动到点B′，则点B′的坐标是________． 【答案】（-3，4） 【解析】 【分析】根据已知条件找到平移规律：横坐标不变,纵坐标加3,即可解题. 详解】解：把点A（2，-1）移到点A’（2，2），只需要将点A向上平移3个单位长度,即横坐标不变,纵坐标加3, ∴点B’的坐标是（-3，4）. 【点睛】本题考查了点的平移,属于简单题,找到平移规律是解题关键. 15. 如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点，若，，则的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及中位线定理，直角三角形斜边的中线的性质等知识，根据三角形中位线求出，在中，利用勾股定理求得的长，在中，利用勾股定理求得的长，根据直角三角形斜边的中线的性质可求，从而求出周长． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵点O是的中点，E为的中点， ∴， ， 在中，，， 根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得， 10． ∵四边形是矩形， ∴， ∵点O是的中点， ∴． ∴周长为， 故答案为：． 16. 如图，在正方形的外侧，作等边，则____． 【答案】##15度 【解析】 【分析】判断是顶角为的等腰三角形，求出的度数即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握正方形和等边三角形的性质及其应用． 17. 如图，，，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据含角的直角三角形的性质、勾股定理求出的长，过点作于点，再根据角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解：由题意可知，平分， ， ， ， 在中，，， ， 如图，过点作于点， ， 则的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 18. 如图，菱形的周长为，，，分别是、上的动点，则的最小值为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识．连接，作于，利用证明，得，当点、、共线，的最小值为的长，再求出的长即可． 【详解】解：连接，作于， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 当点、、共线，的最小值为的长， ∵菱形的周长为，则， ∵，则 ∴ ， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（第19题6分，第20、21、22、23、24题每题8分，第25、26题每题10分，共66分） 19. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC， 求证：四边形ABED是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来证明，题中已经给了一组平行的对边，只需要证明另一组对边平行即可． 【详解】证明：∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠DEC， ∴AB∥DE， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，能够根据题中所给的条件选择合适的判定方法时解决本题的关键． 20. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）点A坐标______；点B到坐标原点的距离______． （2）请在图中画出关于y轴对称的图形； （3）求的面积． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，勾股定理．关于轴对称的点的坐标特征，利用网格求三角形的面积，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系即可得到点的坐标，再根据勾股定理求出点B到坐标原点的距离； （2）根据关于轴对称的点的坐标特征画出图形即可； （3）利用网格进行计算即可． 【小问1详解】 解：点A坐标为：，点坐标为：， 故点B到轴的距离为，到轴距离为， 故点B到坐标原点的距离为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：画出关于y轴对称， 故， 【小问3详解】 解：． 21. 如图，在中，于点，，，，求的长． 【答案】21 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，在三角形中，利用勾股定理求出，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，由求出的长． 【详解】解：在中，于点，，， ∴在中，， 在中，， ∴． 22. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，将矩形沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，求CE的长． 【答案】3 【解析】 【分析】在△ABF中，利用勾股定理可求得BF的长，进而可求得CF长；由折叠的性质可得DE=EF，在△CEF中，利用勾股定理建立方程，可求得CE长． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=90°，AD=BC=10，CD=AB=8． ∵△AEF是△ADE翻折得到的， ∴AF=AD=10，EF=DE， ∴BF=6， ∴FC=4， ∵FC2+CE2=EF2， ∴42+CE2=（8-CE）2， 解得CE=3． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握翻折前后的对应的线段相等及矩形的性质． 23. 如图，点，分别在的边，上，，连接，．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形． （1）你添加的条件是______（填序号）； （2）添加了条件后，请证明为菱形． 【答案】（1）① （2）见解析 【解析】 【分析】（1）添加合适的条件即可； （2）证，得，再由菱形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 解：添加的条件是（或）． 故答案为：①（或③）． 【小问2详解】 证明：（添加的条件是） ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为菱形． （添加条件） ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 24. 如图， 在中， ， 为中线， 延长至点， 使， 连结， 点为的中点， 连结． 若 ， 求的长: 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长度，结合题意知线段是的中位线，则． 【详解】解：在中，，， ∵为中线， ∴． ∵为中点，， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 25. 如图所示，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接，． （1）用t的代数式表示： ， （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）， （2）四边形AEFD能够成为菱形， （3）当t或20时，为直角三角形 【解析】 【分析】（1）根据点运动，含角的直角三角形的性质即可求解； （2）先证明四边形为平行四边形，如果四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，则，列方程求出即可； （3）当为直角三角形时，有三种情况：①当时，如图3，②当时，如图4，③当不成立；分别找一等量关系列方程可以求出的值． 【小问1详解】 证明：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：四边形能够成为菱形，理由是： 由（1）得：， ， ， 四边形为平行四边形， 若为菱形，则， ，， ， ， ， 当时，四边形能够成为菱形； 【小问3详解】 解：分三种情况： 当时，如图3， 则四边形矩形， ， ，， ， ， 当时，如图4， 四边形为平行四边形， ， ， 在中，，， ， ， 则， ， 当不成立； 综上所述：当为或20时，为直角三角形． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形、菱形、矩形的性质和判定，也是运动型问题，难度不大，是常出题型；首先要表示出两个动点在时间时的路程，弄清动点的运动路径，再根据其运动所形成的特殊图形列式计算；同时，所构成的直角三角形因为直角顶点不确定，所以要分情况进行讨论． 26. 综合与实践﹣﹣图形变换中的数学问题． 问题情境： 如图1，在Rt△ABC中，AB＝5，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°．将△ABC沿AC翻折得到△ADC，然后展平，两个三角形拼成四边形ABCD． （1）求证：四边形ABCD是正方形． 初步探究： （2）将△ABC从图1位置开始绕点B按逆时针方向旋转角度α（0°＜α＜90°），得到△EBF，其中点A，C对应点分别是点E，F，连接AE，FC并分别延长，交于点M．试猜想线段AM与FM的数量关系和位置关系，并说明理由． 深入探究： （3）如图3，连接DE，当DE∥CM时，请直接写出CM的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）AM⊥FM且AM＝FM；理由见解析；（3）CM＝． 【解析】 【分析】（1）先证明△ABC是等腰三角形，再根据翻折的性质可证明四边形ABCD是菱形，进而可证明四边形ABCD是正方形． （2）根据旋转性质得△ABC≌△EBF，进而可证明△ABE≌△CBF，△ACM≌△FEM，利用全等三角形性质可得AM⊥FM且AM＝FM． （3）取AC的中点G，连接EG，BG，先证明△BAG≌△BEG，利用全等三角形性质可证得BG⊥AE，利用面积法建立方程求出AE，再运用勾股定理即可求得CM． 【详解】解：（1）∵∠ABC＝90°，∠BAC＝45°， ∴∠BCA＝90°﹣45°＝45°， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵△ABC沿AC翻折得到△ADC， ∴△ABC≌△ADC， ∴AD＝AB，CD＝BC， ∴AB＝AD＝CD＝BC， ∴四边形ABCD是菱形， ∵∠B＝90°， ∴四边形ABCD是正方形． （2）由旋转可知，△ABC≌△EBF， ∴AB＝BE，BC＝BF，AC＝EF，∠ABE＝∠CBF＝α， 在△ABE和△CBF中，， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴∠AEB＝∠BFC，AE＝CF， ∵AB＝BC， ∴AB＝BE＝BC＝BF， ∴∠BCF＝∠BFC， ∴∠AEB＝∠BCF， ∵∠BEF＝∠ACB＝45°，∠AEB＝∠BCF， ∴180°﹣（∠AEB+∠BEF）＝180°﹣（∠BCF+∠ACB）， ∴∠FEM＝∠ACM， 在△ACM和△FEM中，， ∴△ACM≌△FEM（AAS）， ∴AM＝FM，∠MAC＝∠MFE， ∵∠DAC＝∠DCA＝45°， ∴∠MAC＝45°﹣∠DAM，∠MCA＝45°+∠MCD， ∴∠DAM＝∠MCD， ∴∠MAC+∠ACM＝45°﹣∠DAM+45°+∠MCD＝90°， ∴∠M＝90°， ∴AM⊥FM， 故答案为：AM⊥FM且AM＝FM． （3）取AC的中点G，连接EG，BG， ∵DE∥CM， ∴∠DEM＝∠M＝90°， ∵AG＝GE＝，AB＝BE， 在△BAG和△BEG中，， ∴△BAG≌△BEG（SSS）， ∠BEG＝∠BAG＝90°，∠GBA+∠GBE＝， ∵∠EBA＝α， ∴∠EAB＝， ∴∠ABG+∠BAE＝+＝90°， ∴BG⊥AE， ∵AB＝5，AG＝， ∴BG＝， ∴AE•＝×2×5× ， 解得：AE＝2， 设CM＝ME＝x， 在Rt△ACM中，x2+（x+2）2＝（5）2， ∵x＞0， ∴x＝， 故CM＝． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，折叠的性质，旋转变换性质，正方形判定等知识，熟练掌握翻折、旋转性质，利用三角形全等是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年4月期中考试试卷 数学 温馨提示： 1．本试卷共三道大题，26道小题，满分120分，考试时量120分钟； 2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图案中，只是中心对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 2. 一个七边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知∠A，∠B为直角△ABC两锐角，∠B＝54°，则∠A＝（　　） A. 60° B. 36° C. 56° D. 46° 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相互垂直的四边形是平行四边形 B. 对角线相等且相互垂直的四边形是菱形 C. 四条边相等的四边形是正方形 D. 对角线相等且相互平分四边形是矩形 5. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D；若DC=3，AB=8则△ABD的面积是(    ) A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 6. 点P（2，﹣5）到x轴、y轴的距离分别为（　　） A. 2、5 B. 2、﹣5 C. 5、2 D. ﹣5、2 7. 已知A和B两点的坐标分别是（1，3）和（1，﹣3），则（　　） A. 点A和B关于x轴对称 B. 点A和B关于y轴对称 C. 点A和B关于原点对称 D. 以上说法都不对 8. 顺次连结任意四边形四边中点，所得的图形是一个矩形，则四边形一定是 （ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线互相垂直的四边形 9. 如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是（ ） A. 28 B. 14 C. 10 D. 7 10. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中正确结论有（ ）个． A 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 在中，，，是边上的中线，则的长是______． 12. 如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是________． 13. 已知直角三角形的三边分别为，，，则_________． 14. 通过平移把点A(2，－1)移到点A′(2,2)，按同样的平移方式，点B(－3,1)移动到点B′，则点B′的坐标是________． 15. 如图所示，O是矩形对角线的中点，E为的中点，若，，则的周长为___________． 16. 如图，在正方形的外侧，作等边，则____． 17. 如图，，，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的面积为______． 18. 如图，菱形的周长为，，，分别是、上的动点，则的最小值为__． 三、解答题（第19题6分，第20、21、22、23、24题每题8分，第25、26题每题10分，共66分） 19. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC， 求证：四边形ABED是平行四边形． 20. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）点A坐标______；点B到坐标原点的距离______． （2）请在图中画出关于y轴对称的图形； （3）求的面积． 21. 如图，在中，于点，，，，求的长． 22. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，将矩形沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，求CE的长． 23. 如图，点，分别在的边，上，，连接，．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形． （1）你添加的条件是______（填序号）； （2）添加了条件后，请证明为菱形． 24. 如图， 在中， ， 为中线， 延长至点， 使， 连结， 点为的中点， 连结． 若 ， 求的长: 25. 如图所示，在中，，，，点从点出发沿方向以速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接，． （1）用t的代数式表示： ， （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 26. 综合与实践﹣﹣图形变换中的数学问题． 问题情境： 如图1，在Rt△ABC中，AB＝5，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°．将△ABC沿AC翻折得到△ADC，然后展平，两个三角形拼成四边形ABCD． （1）求证：四边形ABCD是正方形． 初步探究： （2）将△ABC从图1位置开始绕点B按逆时针方向旋转角度α（0°＜α＜90°），得到△EBF，其中点A，C的对应点分别是点E，F，连接AE，FC并分别延长，交于点M．试猜想线段AM与FM的数量关系和位置关系，并说明理由． 深入探究： （3）如图3，连接DE，当DE∥CM时，请直接写出CM长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$