专题04探索规律-2024-2025学年六年级数学下学期期末备考真题分类汇编(（浙江专版）

专题04 探索规律-2024-2025学年六年级数学下学期期末备考真题分类汇编(（浙江专版） 一、选择题 1．（2024·浙江杭州·小升初真题）如图，五角星中AB长3cm。一只小蚂蚁由点A开始爬，按ABCDEA…的顺序不断循环爬行。当小蚂蚁爬了2021cm时，它停在（    ）。 A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上 2．（2024·浙江金华·小升初真题）如图所示，图①中的多边形（边数为12）是由等边三角形“扩展”而来的，图②中的多边形是由正方形“扩展”而来的，……，以此类推，则由正边形“扩展”而来的多边形的边数为（                ）。 A． B． C． D． 3．（2024·浙江宁波·小升初真题）如图所示的程序框图，若输入x的值是16，则第一次输出的结果是8，接着将8作为输入值，第二次输出的结果是4，…则第2024次输出的结果是（    ）。 A．1 B．2 C．4 D．8 4．（2024·浙江温州·小升初真题）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（    ）。 A．13＝3＋10 B．25＝9＋16 C．36＝15＋21 D．49＝18＋31 5．（2024·浙江金华·小升初真题）正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，……，以此类推，根据以上操作，若要得到53个正方形，需要操作的次数是（    ）。 A．12 B．13 C．14 D．15 二、填空题 6．（2023·浙江杭州·小升初真题）瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据、、、，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按这种规律写出的第7个数是( )。 7．（2023·浙江金华·小升初真题）下图三角形中的4个数是按一定规律填写的。则图中的( )；( )。如果用字母公式表示这个位置的数，则( )。 8．（2024·浙江温州·小升初真题）观察，，，，…这一列数的规律，这列数从左到右第100个数是 。 9．（2023·浙江金华·小升初真题）将化成小数并求出小数点后第2018位上的数字( )。 10．（2024·浙江湖州·小升初真题）一些小球按如图的方式堆放，第8堆有( )个小球。 …… 11．（2023·浙江宁波·小升初真题）按一定的规律写数：1、2、﹣3、4、5、﹣6、7、8、﹣9…，当写完第100个数停下来时，写的数中一共有( )个正数，( )个负数。 12．（2024·浙江台州·小升初真题）小华用边长是1厘米的正方形分别摆出如图的图形。按照规律，第5个图形有( )个正方形，周长是( )厘米。 13．（2024·浙江台州·小升初真题）用小棒按照如图的方式来搭图形，搭1个梯形需要5根小棒，那么第4个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。 14．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…，叫作三角形数，它有一定的规律性，则第100个三角形数和第98个三角形数的差为 。 15．按下面用小棒摆正六边形。摆4个正六边形需要( )根小棒；摆10个正六边形需要( )根小棒；摆n个正六边形需要( )根小棒。 三、判断题 16．（2023·浙江湖州·小升初真题）像这样用小棒摆下去，第100个图案需要301根小棒。( ) 17．（2024·浙江宁波·小升初真题）1＋3＋5…＋13＋15＋13＋11…＋3＋1＝113。( ) 18．（2024·浙江台州·小升初真题）0.9，0.99，0.999，…在这列数中每一项越来越大，越来越接近1。( ) 19．（23-24六年级下·浙江温州·期末）……，第103个图形是。( ) 20．（22-23六年级下·浙江金华·期末）在中，从“1”到“15”的和是64．( ) 四、解答题 21．（23-24六年级下·浙江宁波·期末）下面图形都是由边长0.5厘米的正方形拼成的。请画出图形⑤，并把下表补充完整。 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 面积/平方厘米 0.25 0.75 1.5 周长/厘米 2 4 6 22．（2023·浙江宁波·小升初真题）找规律，并计算。 观察下列两组等式： 第一组：；；。 第二组：；；；。 回答下列问题： （1）我发现的规律：两个分数的（    ）相同，并且等于分母之（    ），则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）根据这个规律计算： ①；     ②若，则正整数m等于（    ）。 23．（2023·浙江台州·小升初真题）判断推理． 三角形个数 1个 2个 3个 4个 … 小棒的根数 3根 5根 7根 9根 … 观察图形和表格，如果要摆100个三角形，需要多少根小棒？要摆n个三角形，需要多少根小棒？ 24．（2024·浙江台州·小升初真题）将一些小圆点按一定的规律摆放,所得到的图形依次为第1个图形、第2个图形、第3个图形、第4个图形.如下图所示,各个图形的小圆点个数依次是6个、10个、16个、24个…… 第1个图形    第2个图形    第3个图形      第4个图形 (1)第8个图形一共有多少个小圆点? (2)已知连续两个图形的小圆点的个数差是100个．这两个图形分别是第个______图形和第个______图形. 25．（23-24六年级下·浙江温州·期末）（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律？ （2）如果长方形中最上面一个数字用表示，最下面一个数字可以怎样表示？ （3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是200，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来。 26．（22-23六年级下·浙江温州·期末）用同样规格的黑白两种颜色的正方形，按如图的方式拼图，请根据图中的信息完成下列的问题． （1）图②中用了　 　块黑色正方形，图③中用了　 　块黑色正方形； （2）按如图的规律继续铺下去，那第n个图形要用　 　块黑色正方形； （3）如果有足够多的白色正方形，能不能恰好用完90块黑色正方形，拼出具有以上规律的图形？如果可以请明它是第几个图形；如果不能，说明你的理由． 第6页，共6页 第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 《专题04 探索规律》参考答案 1．D 【分析】用爬行距离÷每段距离＝爬行段数，根据周期问题的解题方法，爬行段数÷总段数，根据余数确定在哪条线段即可。确定周期后，用总量除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数格周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续计算。 【详解】2021÷3≈674（段） 周期AB、BC、CD、DE、EA 674÷5＝134（圈）……4（段） 当小蚂蚁爬了2021cm时，它停在线段DE上。 故答案为：D 【点睛】解答周期问题的关键是找出周期。 2．B 【分析】由题意可知：等边三角形“扩展”而来的多边形的边数为12＝3×（3＋1），正方形“扩展”而来的多边形的边数为20＝4×（4＋1），正五边形“扩展”而来的多边形的边数为30＝5×（5＋1），正六边形“扩展”而来的多边形的边数为42＝6×（6＋1），…所以正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n＋1），据此解答即可。 【详解】根据分析可知，正n边形“扩展”而来的多边形的边数为：n（n＋1）。 故正确答案为：B 【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，注意观察总结出规律，并能正确应用，解答此题的关键是判断出正n边形“扩展”而来的多边形的边数与n的关系。 3．C 【分析】把x＝16代入运算程序中计算，判断结果的奇偶性，再把结果作为输入值，以此类推得到一般性规律，即可得出结果。 【详解】把x＝16代入得：×16＝8，8是偶数； 把x＝8代入得：×8＝4，4是偶数； 把x＝4代入得：×4＝2，2是偶数； 把x＝2代入得：×2＝1，1是奇数； 把x＝1代入得：1＋3＝4，4是偶数； … 通过结果发现，结果按照4、2、1、4、2、1…的规律排列 （2024－1）÷3 ＝2023÷3 ＝674……1 则第2024次输出的结果是4。 故答案为：C 4．C 【分析】根据“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21、28、36、45…，“正方形数”的规律为1、4、9、16、25、36、49…，且任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，据此逐项判断即可。 【详解】A．13＝3＋10，3和10不是相邻的“三角形数”，不符合题意； B．25＝9＋16，9和16都不是“三角形数”，不符合题意； C．36＝15＋21，15和21是相邻的“三角形数”，且36是“正方形数”，符合题意； D．49＝18＋31，18和31都不是“三角形数”，不符合题意。 因此等式中，符合这一规律的是：36＝15＋21。 故答案为：C 5．B 【分析】由题意可知，第1次：分别连接各边中点如图2，得到4＋1＝5个正方形； 第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2＋1＝9个正方形…… 以此类推，根据以上操作，则第n次得到4n＋1个正方形，由此规律代入求得答案即可。 【详解】第1次：得到4×1＋1＝5（个）正方形； 第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2＋1＝9（个）正方形…… 设第n次得到53个正方形。 4n＋1＝53， 解：4n＋1－1＝53－1 4n＝52 4n÷4＝52÷4 n＝13 故答案为：B 【点评】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键。 6． 【分析】由前面四个数可知，分子是序数与2的和的平方，分母比分子小4，可得第7个数。 【详解】由题目可得：＝；＝；＝；＝； 所以第7个数为：＝。 【点睛】本题考查了数字排列的规律，关键是要从前面的几个数找出规律从而进行解答。 7． 120 15 A×B－13 【分析】此题为找规律题型，通过观察各图形之间的数字变化规律，根据题意找出规律：13×3＝39，39－26＝13；5×12＝60，60－47＝13；6×12＝72，72－59＝13；M×8＝N，N－107＝13；以此解答。 【详解】通过规律可知：N＝13＋107＝120；M＝120÷8＝15；如果用字母公式表示这个位置的数，则A×B－13。 【点睛】此题主要考查学生根据给出的图形数字规律，用含有字母的式子表示的能力。 8． 【分析】观察，，，，这列数可知，分子是从1开始的连续奇数，第100个奇数是2×100－1＝199； 第二个分母＝2＋3＝5，第三个分母＝2＋（3－1）×3＝8、…，所以第100个分母＝2＋（100－1）×3＝299；据此解答 【详解】由分析得： 分子是从1开始的连续奇数，第100个奇数是2×100－1＝199； 第100个分母为：2＋（100－1）×3＝299； 所以第100个数是 故答案为： 【点睛】本题考查了数字排列的规律，关键是要根据出题目已给出的数字找出排列的规律。 9．8 【分析】根据分数化小数的方法，直接用分子÷分母，找到商的循环节，数一数循环节有几个数，用2018÷循环节的位数，然后看余数，余数是几，第2018位上的数字就是循环节的第几个数。 【详解】＝5÷13＝0.384615384615…… 2018÷6＝336……2 所以小数点后第2018位上的数字是8。 【点睛】本题考查了分数化小数、循环小数及周期问题，解答周期问题的关键是找出周期。 10．45 【分析】第一堆个；第二堆3层个；第三堆4层个；那么第8堆有个，第堆有，然后利用高斯求和公式计算。 【详解】由图可知： （个 故答案为：45。 【点睛】主要考查通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。 11． 67 33 【分析】将写的这一组数中每三个数分为一组，每组中前两个数为正数，后一个数为负数；用100除以3所得商为一共有几组数，余数为每组中的第几个数，最后用所得商乘2再加上这个余数，就是所有正数的个数，用100减去正数的个数，所得差即为负数的个数。 【详解】100÷3＝33（组）……1（个） 余数为1，最后一个数在第34组的第1个，可知为正数。 正数：2×33＋1 ＝66＋1 ＝67（个） 负数：100－67＝33（个）。 因此写的数中一共有67个正数，33个负数。 12． 25 28 【分析】由图可知，第1个图有1层，有1个正方形，周长是4厘米； 第2个图有2层，有4个正方形，周长是10厘米； 第3个图有3层，有9个正方形，周长是16厘米； 以此类推，正方形的个数＝层数×层数，周长＝6×层数－2，据此解答。 【详解】5×5＝25（个） 6×5－2 ＝30－2 ＝28（厘米） 则第5个图形有25个正方形，周长是28厘米。 13． 17 （4n＋1）/（1+4n） 【分析】通过观察图形可知，第一个图形由5根小棒搭成，以后增加4根小棒就可增加一个图形，由此搭n个这样的图形需（4n＋1）根小棒；据此解答即可。 【详解】第4个图形需要： 4×4＋1 ＝16＋1 ＝17（根） 搭第n个图形需要（4n＋1）或（1＋4n）根小棒。 用小棒按照如图的方式来搭图形，搭1个梯形需要5根小棒，那么第4个图形需要17根小棒，搭第n个图形需要（4n＋1）或（1＋4n）根小棒。 14．199 【分析】根据体验可知，第二个数比第一个是大2，第三个数比第二个数大3；第四个数比第三个数大4；以此类推，可以得到：第n个数比第n－1个数大n，据此解答。 【详解】根据分析可知，第100个三角形数比第99个数大100；第99个三角形数比第98个数大99；第100个三角形数和第98个三角形数的差为： 100＋99＝199 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…，叫作三角形数，它有一定的规律性，则第100个三角形数和第98个三角形数的差为199。 15． 21 51 5n＋1 【分析】观察图形可知，摆1个正六边形需要6根小棒，摆2个正六边形需要（5×2＋1）根小棒，摆3个正六边形需要（5×3＋1）根小棒，摆4个正六边形需要（5×4＋1）根小棒……则摆n个正六边形需要（5×n＋1）根小棒，据此解答即可。 【详解】5×4＋1 ＝20＋1 ＝21（根） 5×10＋1 ＝50＋1 ＝51（根） 5×n＋1＝（5n＋1）根 摆4个正六边形需要21根小棒；摆10个正六边形需要51根小棒；摆n个正六边形需要（5n＋1）根小棒。 16．√ 【分析】规律：每多1个正方形就多3根小棒； 第1个图形里共有4根小棒，即3×1＋1； 第2个图形里共有7根小棒，即3×2＋1； 第3个图形里共有10根小棒，即3×3＋1； 第4个图形里共有13根小棒，即3×4＋1； …… 第n个图形里需要的小棒数为：3n＋1。 【详解】根据分析可知，第n个图形里需要的小棒数为：3n＋1，当n＝100时， 3n＋1 ＝3×100＋1 ＝300＋1 ＝301（根） 即第100个图形需要301根小棒。 故答案为：√ 17．√ 【分析】1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，…据此可知，从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方，所以1＋3＋5…＋13＋15＝82，1＋3＋5…＋13＝72，据此解答。 【详解】1＋3＋5…＋13＋15＋13＋11…＋3＋1 ＝（1＋3＋5…＋13＋15）＋（13＋11…＋3＋1） ＝82＋72 ＝64＋49 ＝113 所以原题干说法正确。 故答案为：√ 18．√ 【分析】观察这列数，后面的数比前一位多一位小数，并且多的位数上是9。所以这列数是无限扩大的，并无限靠近1的。据此解题。 【详解】根据分析得，0.9，0.99，0.999，…在这列数中每一项越来越大，越来越接近1。这种说法是正确的。 故答案为：√ 【点睛】本题考查了数字排列的规律，有一定观察总结能力是解题的关键。 19．× 【分析】每4个图形一循环，计算第103个图形是第几组循环零几个图形，即可得出其形状，进而判断即可。 【详解】103÷4＝25（组）……3（个） 第103个图形是。所以原题说法错误。 故答案为：×。 【点睛】解答此题的关键是先找到规律，再根据规律求解。 20．√ 【分析】在1+3+5+7+9+…中首先求出“15”是第几项（由于项数比较少，可能用数的方法），由于相邻两数的差是1，所以项数等于（未项一首项）÷2+1，据即可求15是第几项；前n项和的计算公式是（未项+首项）×，根据公式可求出和，根据计算结果进行判断. 【详解】在1+3+5+7+9+…中，从“1”到数“15”的项数为：（15-1）÷2+1=14÷2+1=7+1=8；和为：（15+1）× =16×4=64 因此，在1+3+5+7+9+…中，从“1”到数“15”的和是64，原题的说法正确。 故答案为：√. 【点睛】此题项数较少，写出所有项，通过计算即可得到正确的结果.如果项数较多，只能先总结出求项数、前n项和公式解答。 21．见详解 【分析】（1）根据分析可知，是图形几，这个图形最高的一列就有几个小正方形，所以图形⑤最右边一列有5个小正方形，向左依次递减，据此画出图形即可。 （2）求出图形④和图形⑤分别有几个小正方形，再用数量乘一个小正方形的体积即可；图形④的周长相当于是边长是（0.5×4）厘米的正方形的周长；图形⑤的周长相当于是边长是（0.5×5）厘米的正方形的周长；根据正方形周长的公式求出周长即可。 【详解】 （1）如图： （2）个数的规律：图①的个数：1，面积：1×0.25＝0.25（平方厘米）； 图②的个数：1＋2＝3，面积：3×0.25＝0.75（平方厘米）； 图③的个数： 1＋2＋3 ＝3＋3 ＝6 面积：6×0.25＝1.5（平方厘米）； 图 n 的个数：1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）÷2，面积：n（n＋1）÷2×0.25（平方厘米）； 图④的个数： 4×（4＋1）÷2 ＝4×5÷2 ＝20÷2 ＝10 面积：10×0.25＝2.5（平方厘米）； 图⑤的个数： 5×（5＋1）÷2 ＝5×6÷2 ＝30÷2 ＝15 面积：15×0.25＝3.75（平方厘米）； 周长的规律：图①的周长：4×0.5＝2厘米； 图②的周长：4×1＝4厘米； 图③的周长：4×1.5＝6厘米； 图 n 的周长：4×n×0.5＝2n厘米 图④的周长：4×2＝8厘米； 图⑤的周长：5×2＝10厘米； 如表： 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 面积/平方厘米 0.25 0.75 1.5 2.5 3.75 长/厘米 2 4 6 8 10 【点睛】此题是考查数形结合探索规律的问题，根据前几个图形的分析，归纳出规律，是解决此题的关键。 22．（1）分子，和 （2）① ②19 【分析】（1）观察算式可知，若两个分数的分子相同，且分母之和等于分子，所以这两个分数的和等于它们的积； （2）①根据（1）中发现的规律进行计算即可； ②根据规律可知＝，然后根据发现的规律求出m的值即可。 【详解】（1）我发现的规律：两个分数的分子相同，并且等于分母之和，则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）① ② ＝ ＝ 所以6＋m＝25 m＝19 【点睛】本题考查算式的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 23．摆100个三角形，需要201根小棒，要摆n个三角形，需要2n+1根小棒． 【详解】试题分析：搭第一个图形需要3根火柴棒，结合图形，发现：后边每多一个图形，则多用2根火柴． 解答：解：：搭第100个图形，需要小棒： 3+2×（100﹣1）=3+198=201（根）； 则要搭n个三角形时，需要小棒： 3+2（n﹣1）=2n+1（根）． 答：摆100个三角形，需要201根小棒，要摆n个三角形，需要2n+1根小棒． 点评：此题考查了规律型中的图形变化问题，要能够从图形中发现规律：搭第n个图形，需要3+2（n﹣1）=2n+1（根）． 24．(1)76个 (2)49，50 【详解】(1)观察图形可得 第1个图形中有个4+1×2=6小圆点 第2个图形中有4+2×3=10个小圆点 第3个图形中有4+3×4=16个小圆点 第4个图形中有4+4×5=24个小圆点 通过总结可得,第8个图形有4+8×9=76个小圆点: (2)第n个图形中,小圆点的个数为:4+n(n+1)=(n²+n+4)个． 第n-1个图形中,小圆点的个数为:4+(n-1)n=(n²-n+4)个． 它们的差是:2n=100,所以n=50 所以这两个图形分别是第50个和第49个图形． 25．（1）每相邻两个之间相差10； （2）； （3）35、45、55、65。 【分析】（1）观察上下相邻的数之间的大小关系，得出规律； （2）长方形中一共有4个数，最上面和最下面之间相差30，据此列式； （3）设小丽圈出的第一个数字为，下面的数依次是a＋10、a＋20、a＋30，根据四个数相加等于200，列出方程，求出第一个数，再分别求出下面的数即可。 【详解】（1）我发现圈出的4个数，每相邻两个之间相差10。 （2）最下面一个数字可以用表示。 （3）解：设小丽圈出的第一个数字为。 4＋60＝200 4＝140 ，，。 答：她圈的是35、45、55、65。 【点睛】本题考查了数字的排列规律和列方程解决问题，关键是发现数表中的规律。 26．（1）7，10；（2）3n+1;（3）3n+1． 【详解】分析：（1）观察如图可直接得出答案； （2）认真观察题目中给出的图形，结合问题（1），通过分析，即可找到规律，得出答案； （3）根据问题（2）中总结的规律，列出算式3n+1=90，如果结果是整数，则能够拼出具有以上规律的图形，否则，不能． 解答：解：（1）观察如图可以发现，图②中用了7 块黑色正方形，在图③中用了10 块黑色正方形； 故答案为7；10； （2）在图①中，需要黑色正方形的块数为3×1+1=4； 在图②中，需要黑色正方形的块数为3×2+1=7； 在图③中，需要黑色正方形的块数为3×3+1=10； 由此可以发现，第几个图形，需要黑色正方形的块数就等于3乘几，然后加1． 所以，按如图的规律继续铺下去，那么第n个图形要用3n+1块黑色正方形； 故答案为3n+1． （3）假设第n个图形恰好能用完90块黑色正方形，则3n+1=90， 解得：n=， 因为n不是整数，所以不能． 故答案为3n+1． 点评：此题主要考查了图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，通过分析、思考，总结出图形变化的规律，属于难题． 答案第2页，共13页 答案第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$