精品解析：四川省江油中学2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题

江油中学2023-2024学年度下期2022级半期考试 数学试题 满分：150 时间：120分钟 考生须知： 1.本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟. 2.答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题）.答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 函数的导函数是（ ） A B. C. D. 2. 已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 3. 已知函数（是的导函数），则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 在数列中，若，，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列、满足，且，是函数的两个零点，则（ ）. A. 4 B. 12 C. 6 D. 8 7. 已知函数在内单调递增，则实数a的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 8. 设、、，则（ ）. A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分.） 9. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 10. 在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则下列结论一定成立的是（ ） A. 方程有唯一实数根 B. 区间上单调递增 C. D. 若且，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在等差数列中，若，则______. 13. 函数单调递增区间是__________. 14. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 等差数列中，，． （1）求的通项公式； （2）设，记为数列前项的和，若，求． 16. 已知函数在时取得极值． （1）求实数的值； （2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 17. 突破技术封锁、打破国外技术垄断，实现高水平科技自立自强，正是企业坚持独立自主一种重要体现.我国某企业为突破技术难题，组织多个科研团队，加大对某项电子产品的研发投入.已知该项电子产品年产量不低于1万件且不高于8万件，根据以往数据显示，每年研发投入固定费用为万元，每生产万件增加投入万元，且生产的都能销售完，预计2024年销售收入（单位：万元）与销量（单位：万件）之间满足关系式. （1）写出该企业2024年的利润（单位：万元）关于该产品的销量的函数解析式； （2）该产品2024年的销量目标定为多少万件时，该企业能从中获利最大?最大利润为多少? 18. 设数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为恒成立，求实数的最小值． 19. 设函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）当时，设，且轴，求两点间最短距离； （3）若时，函数的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江油中学2023-2024学年度下期2022级半期考试 数学试题 满分：150 时间：120分钟 考生须知： 1.本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟. 2.答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题）.答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 函数的导函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的运算法则即可求解. 【详解】. 故选：B 2. 已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质计算即可. 【详解】因为等比数列的各项均为正数，公比，且满足， 所以，则. 故选:A． 3. 已知函数（是的导函数），则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过对求导，结合赋值法求得，从而求得，再求结果即可. 【详解】由函数，可得， 令，可得，解得， 则，所以. 故选：A. 4. 在数列中，若，，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推关系可得数列的周期，从而可求的值. 【详解】因为，，故，，， 故为周期数列且周期为3，而，故， 故选：C. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性即可得到函数的大致图象. 【详解】易知，因为，令，得，或， 则时，，时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 所以选项A符合题意, 故选：A. 6. 已知数列、满足，且，是函数的两个零点，则（ ）. A 4 B. 12 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由题意有是方程的两根，得，由，利用即可求得，进而得即可求解. 【详解】由题意有是方程的两根，所以， 由，得，， ，， 所以. 故选：D. 7. 已知函数在内单调递增，则实数a的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，转化为在上恒成立，设，求得，得到函数的单调性与最小值，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为在内单调递增， 即在上恒成立，即在上恒成立， 设，可得， 令，即，解得，在单调递增， 令，即，解得，在单调递减， 所以，当时，，所以， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 8. 设、、，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要通过对数函数的单调性以及构造函数利用导数判断函数单调性的方法，来比较、、的大小. 【详解】∵，在内单调递增，∴，∴， 令，定义域为， ， 当时，，∴在内单调递减，∴， 即，即，∴，∴. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分.） 9. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】BC 【解析】 【分析】借助图象的正负即可得原函数的单调性及极值点，逐项判断即可得. 【详解】由图可知，当时，， 当时，， 故在、上单调递增，在、上单调递减， 在、处取得极大值，在取得极小值 故A错误，B正确，C正确，D错误. 故选：BC. 10. 在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等积数列的定义求得通项公式，即可判断可选项. 【详解】对于A，由题可知，对任意的，， 则对任意的，，所以，，故，A对； 对于B，，所以，由A可知，，所以，B对； 对于C，，C错； 对于D，因为，所以，D对. 故选：ABD. 11. 已知函数定义域为，其导函数为，且满足，，则下列结论一定成立的是（ ） A. 方程有唯一实数根 B. 在区间上单调递增 C. D. 若且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出，然后讨论的单调性，即可判断A，B，C选项；对于D选项，使用基本不等式并结合的最小值即可验证. 【详解】设，则，所以恒为常数. 又由于，故. 所以，即. 对于A，由于，故对有，对有. 从而在上递减，在上递增，故，所以方程没有实数根，故A错误； 对于B，前面已经证明在上递增，故B正确； 对于C，前面已经证明，所以，故C正确； 对于D，若，，则， 故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造合适的新函数，从而求出已知函数的表达式. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在等差数列中，若，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据等差数列的下标和性质即可求解. 【详解】在等差数列中，， 所以，则. 故答案为： 13. 函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域，以及导函数，根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可写出单调增区间. 【详解】因为，则其定义域为， ，令， 即可得，解得， 结合函数定义域可知，函数的单调增区间为. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用导数求解函数单调性，属基础题；本题的易错点是没有注意到函数的定义域. 14. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据零点将问题转化为有两个交点，构造函数，由导数求解函数的单调性，即可结合图象求解. 【详解】由有两个零点，故有两个实数根， 记，则， 当和时， ， 当时，， 故在单调递减，在单调递增， 作出函数的图象如下： 由图象可知：当或时，直线与的图象有两个交点， 故实数的取值范围 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 等差数列中，，． （1）求的通项公式； （2）设，记为数列前项的和，若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由基本量法求出等差数列的公差，再求其通项公式； （2）由等比数列前项和公式求得，列方程可求． 【小问1详解】 设的公差为，由题设得 因为，所以，解得， 故. 【小问2详解】 由（1）得，因为，， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以， 由得，解得. 16. 已知函数在时取得极值． （1）求实数的值； （2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，即可得解； （2）对于任意的恒成立，只需要即可，利用导数求出函数的最小值即可. 【小问1详解】 易知， 依题意，解得， 此时， 当或时，；当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在时取得极值， 所以； 【小问2详解】 由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增； 所以， 由题意可得，解得， 所以的取值范围为. 17. 突破技术封锁、打破国外技术垄断，实现高水平科技自立自强，正是企业坚持独立自主的一种重要体现.我国某企业为突破技术难题，组织多个科研团队，加大对某项电子产品的研发投入.已知该项电子产品年产量不低于1万件且不高于8万件，根据以往数据显示，每年研发投入固定费用为万元，每生产万件增加投入万元，且生产的都能销售完，预计2024年销售收入（单位：万元）与销量（单位：万件）之间满足关系式. （1）写出该企业2024年的利润（单位：万元）关于该产品的销量的函数解析式； （2）该产品2024年的销量目标定为多少万件时，该企业能从中获利最大?最大利润为多少? 【答案】（1）， （2）2024年的销量目标定为3万件时，该企业能从中获利最大，最大利润为17万元 【解析】 【分析】（1）根据利润的含义即可由销售额减去投入求解， （2）求导，由单调性即可求解最值. 【小问1详解】 由题意得，生产该产品的投入为万元， 所以， 其中. 【小问2详解】 ， 令，得或3， 当时，，在单调递增； 当时，在单调递减， 当时，取得最大值. 该产品2024年的销量目标定为3万件时，该企业能从中获利最大，最大利润为17万元. 18. 设数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，得到，再利用累积法，即可求出结果； （2）根据（1）中结果得到，利用裂项相消法得到，即可求出结果. 【小问1详解】 因为①，所以当时，②， 由①②得到，整理得到， 又，所以，得到， 所以当时，， 当，满足，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 因为，且，所以是关于的递增数列，由恒成立，得到， 所以实数的最小值为. 19. 设函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）当时，设，且轴，求两点间的最短距离； （3）若时，函数的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）代入，求出，再利用导数的意义求出切线的斜率，最后由点斜式写出切线方程即可； （2）由题意可得，令求导分析单调性得到最小值即可； （3）令，求导后再次构造函数，分析的单调性，结合题意得到实数的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，，则， ，则， 所以函数在点处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，且轴，由， 得：， 所以． 令， 令，上单调递增， 故，则在上单调递增， 所以时，的最小值为， 所以. 【小问3详解】 令， ， 设为的导数，则， 因为在时恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 因此函数在上单调递增，在上恒成立， 当时在上单调递增，即， 故当时，恒成立， 当时，，又因为在上单调递增，总存在， 使得在区间上，导致在上单调递减，而， 所以当时，，这与在恒成立矛盾， 所以不符合题意， 综上所述，的取值范围是． 【点睛】关键点点睛： （1）本题第二问关键在于能从已知得到，再构造函数求导得到最小值； （2）本题第三问关键在于二次构造函数求导分析单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$