精品解析：重庆市开州初中教育集团2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

开州初中教育集团2024—2025下八年级期中测试 数学试卷 命题人：谢群 审题人：唐小英 （注：全卷共三个大题，24个小题，满分150分；用120分钟完成．） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色签字笔完成． 一、选择题：（共10小题，满分40分，每小题4分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请用2B铅笔，将正确答案的代号填涂在答题卡上）． 1. 下列各组线段 中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 5，12，13 D. 4，6，7 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A，22+32=13≠42，不符合题意； 选项B，32+42=25≠62，不符合题意； 选项C，52+122=169=132，符合题意； 选项D42+62=52≠72，不符合题意． 由勾股定理的逆定理可得，只有选项C能够成直角三角形， 故选C． 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 3. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 4. 计算﹣×的结果在（ ） A. 0至1之间 B. 1至2之间 C. 2至3之间 D. 3至4之间 【答案】A 【解析】 【分析】先将原式化简，再估算的值的范围即可求解； 【详解】解：原式= = ∵ ∴ 故选：A． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算及无理数的估算，掌握相关运算法则是解题的关键． 5. 如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离． 【详解】解：，，； 根据勾股定理，得：； ∴； ∴橡皮筋被拉长了2. 故选：A． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，理解被拉长部分并转化为几何线段计算是解题的关键． 6. 下列命题正确的是（　　） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 D. 有一个角是直角的菱形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定方法逐个判断即可． 【详解】解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形是梯形，不是平行四边形，故本选项不符合题意； B、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项不符合题意； C、对角线互相平分且互相垂直的四边形才是菱形，故本选项不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识点，掌握基本判定定理是解此题的关键． 7. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑩个图案中正方形的个数为（ ） A. 32 B. 33 C. 37 D. 41 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形的变化规律得出第个图形中有个正方形即可． 【详解】解：由题知，第①个图案中有个正方形， 第②个图案中有个正方形， 第③个图案中有个正方形， 第④个图案中有个正方形， …， 第个图形中有个正方形， ∴第⑩个图案中正方形的个数为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第个图形中有个正方形是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是OB上一点，将沿AC折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，，再求出AB=5，可得，然后在中，由勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ∵点A的坐标是，点B的坐标是， ∴OA=3，OB=4， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴点． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，图形的折叠，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 9. 如图，在正方形中，点在边上，是边上的中点，平分．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，延长，相交于点，证明，得到，又根据平行线的性质和角平分线的定义可得，即得到，设，则，，利用勾股定理求出，即可求出的长，正确作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，延长，相交于点， ∵正方形，， ∴，， ∴， ∴，， ∵是边上的中点， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故选：． 10. 有依次排列的2个整式：，，将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，得到第3个整式，称为第一次操作；将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，得到第4个整式，称为第二次操作；将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，得到第5个整式，称为第三次操作，……，以此类推，下列说法： ①第六次操作得到的整式为； ②第20个整式中含项的系数的2倍与第21个整式中含项的系数之差为1； ③第2024个整式和第2025个整式中含项的系数之和等于． 其中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律，找到系数之间的规律是解题的关键． 先计算出三次操作的所有整式，然后找出规律进行判断即可． 【详解】解：第1个整式：， 第2个整式：， 第一次操作：得第3个整式：， 第二次操作：得第4个整式：， 第三次操作：得第5个整式：， 第四次操作：得第6个整式：， 第五次操作：得第7个整式：， 第六次操作：得第8个整式：． 故①正确． 由此规律可知，当n为偶数时，第n个整式中含项的系数的2倍与第个整式中含项的系数之差为；当n为奇数时，第n个整式中含项的系数的2倍与第个整式中含项的系数之差为1． 第n个整式与第个整式x项的系数和为． ∴第20个整式中含项的系数的2倍与第21个整式中含项的系数之差为． 故②不正确． 第2024个整式和第2025个整式中含项的系数之和等于． 故③错误． 故选：B． 二、填空题（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式加减法，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先将化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】x≥3 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得：x—3≥0， 解得：x≥3， 故答案为：x≥3 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 13. 已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为_____． 【答案】或##或4 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为3和5， ∴①当5是此直角三角形的斜边时， 设另一直角边为， 则； ②当5是此直角三角形的直角边时， 设斜边为， 则． 综上所述， 故答案为：4或． 14. 如图，矩形ABCD中，AD＝6，∠CAB＝30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】首先根据题意作A关于直线CD的对称点E，作EP⊥AC于P，交CD于点Q，再根据三角函数计算即可. 【详解】 解：作点A关于直线CD的对称点E，作EP⊥AC于P，交CD于点Q． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∴DQ⊥AE， ∵DE＝AD， ∴QE＝QA， ∴QA+QP＝QE+QP＝EP， ∴此时QA+QP最短（垂线段最短）， ∵∠CAB＝30°， ∴∠DAC＝60°， 在RT△APE中，∵∠APE＝90°，AE＝2AD＝12， ∴EP＝AE•sin60°＝12× ＝6 ． 故答案为6． 【点睛】本题主要考查最短线段问题和三角函数的计算，关键在于做辅助线,构造直角三角形. 15. 若关于的二次根式有意义，且为整数，若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的所有的值的和为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的可得，再根据分式的解为正数，可得，确定的取值范围，当时的情形除外，求得所有正数解，再求其和即可 【详解】①二次根式有意义． ② 解得 综合①②： a为整数 ，其和为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，分式方程的解法，不等式的整数解，解题的关键是综合运用以上知识． 16. 若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是 _________；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是16，且十位数字与个位数的和能被4整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为 _________． 【答案】 ①. 1001 ②. 5379 【解析】 【分析】根据最小的正整数是1，最大的一位数是9解答；根据题意得到：，是正整数），，联立方程组，解答即可． 【详解】解：取最小的正整数1，取最小的整数0， 则，，． 最小的“交替数”是1001； 根据题意知：，是正整数），， ，且，， 或或， 解得（舍去）或或， ． ， 或， 是正整数）， 或8或12或16， 或或或或或或或， 解得或或或或或或或（舍去）， ，，，，即5313； 或，，，，即5335； 或，，，，即5357； 或，，，，即5379； 或，，，，即4004； 或，，，，即4026； 或，，，，即4048； 故所有的“交替数”是5313或5335或5357或5379或4004或4026或4048， 最大的“交替数”为5379， 故答案为：1001，5379． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键． 三、解答题〖本大题共8题，第17题共16分，第（1）（2）小题各4分，第（3）小题8分；19-24每题10分，共86分〗解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算 （1） （2） （3）先化简，再求值：其中． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、0指数与负整数指数幂，也考查了分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先化简二次根式、计算负整数和0指数幂、去绝对值，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的乘方和乘法，再计算加减； （3）先根据分式的混合运算法则化简，再代值计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 当时， 原式． 18. 如图，四边形是平行四边形，是其对角线. （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，分别交，，于点，，；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证四边形是否为菱形. 解：四边形为菱形.证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴①______________， ∴. ∵②______________， ∴，，③______________. 在与中， ∴， ∴⑤______________， ∴， ∴四边形是菱形. 【答案】（1）见解析 （2）①；②垂直平分，③；④；⑤ 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，菱形的判定； （1）根据线段垂直平分线的作图步骤作图即可； （2）先根据，得到，再根据线段垂直平分线的性质得到，，再证得到于是可判断四边形是菱形． 【小问1详解】 解：如图，为所求， 【小问2详解】 证明：如图，连接，， 四形边是平行四边形， ， ， 为的垂直平分线， ，，， 在与中，， ， ， ， 四边形是菱形． 故答案为：①；②垂直平分，③；④；⑤． 19. 若、都是实数，且，求的立方根． 【答案】 3 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，立方根，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键．根据算术平方根的非负性，得，得到，继而得到，得到，计算即可． 【详解】解：由题意可知，， ， ， ， ，即的立方根为． 20. 四边形中，，，且，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证≌，得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理得，，再由平行四边形的性质得，，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 平行四边形的周长． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 21. 在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距120海里． （1）求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）； （2）求救助船、分别以30海里/小时，20海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达． 【答案】（1）海里 （2）救助船先到达 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、实数的混合运算的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于，则，由题意得：海里，，，先解直角三角形求出的长，再解直角三角形即可得出答案； （2）分别求出救助船、所花时间，比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，作于，则， ， 由题意得：海里，，， 在中，（海里）， 在中，（海里）， ∴收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离海里； 【小问2详解】 解：∵救助船、分别以30海里/小时，20海里/小时的速度同时出发， ∴救助船所花时间为（小时），救助船所花时间为， ∵， ∴救助船先到达． 22. 为响应垃圾分类的要求，营造干净整洁的学习生活环境，创建和谐文明的校园环境．綦江区某中学准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用21000元购买A种垃圾桶的组数是用15750元购买B种垃圾桶的组数的2倍． （1）求A、B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元； （2）该学校计划用不超过8000元的资金购买A、B两种垃圾桶共20组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？并计算出在这种情况下购买垃圾桶的实际费用． 【答案】（1）A种垃圾桶每组的单价为300元，B种垃圾桶每组的单价为450元． （2）最多可以购买B种垃圾桶13组,此时所需费用为7950元． 【解析】 【分析】（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元，由题意：用21000元购买A种垃圾桶的组数是用15750元购买B种垃圾桶的组数的2倍．列出分式方程，解方程即可； （2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（20﹣y）组，由题意：该学校计划用不超过8000元的资金购买A、B两种垃圾桶共20组，列出一元一次不等式，解不等式，求其最大值即可． 【小问1详解】 解：设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元， 依题意得：＝2×， 解得：x＝300， 经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意， ∴x+150＝300+150＝450． 答：A种垃圾桶每组的单价为300元，B种垃圾桶每组的单价为450元． 【小问2详解】 解：设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（20﹣y）组， 依题意得：300（20﹣y）+450y≤8000， 解得：y≤， 又∵y为正整数， ∴y的最大值为13． 此时所需费用为：300×（20﹣13）+450×13=7950（元） 答：最多可以购买B种垃圾桶13组,此时所需费用为7950元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；理解题意确定不等关系，正确列出一元一次不等式． 23. 阅读理解： 材料1：平方差公式，当，时，有．在二次根式的一些运算或化简中，若能灵活运用公式，可使计算或化简变得简单． 如， 材料2：如图1，在中，，点是的中点，于交于，若，，求的值． 解：设，则，解得，． 问题解决： （1）化简：； （2）如图2，在中，，，若，求的值； （3）如图3，在等腰中，，，，则 ． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和解含角的直角三角形，熟练掌握二次根式的分母有理化是关键． （1）利用平方差公式分母有理化即可； （2）作的垂直平分线交于点，交于点，利用外角性质得到，解直角三角形得到，代入计算即可； （3）作，垂足为，利用（2）的结论得到，根据三角形面积底乘高计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：如图，作的垂直平分线交于点，交于点， ， ， ， ， ，， ， ； 【小问3详解】 解：如图，作，垂足为， ，， ，， 由（2）可知：， ． 故答案为：． 24. 已知在正方形中，点E是对角线上一点． （1）如图1连接，若，，求出的长． （2）如图2，过点E作于点E，交于点F，点G、H分别在，上（不与端点重合），连接，，若，，求证：． （3）如图3，在（1）的条件下，线段上有一动点M，当的值取得最小时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，延长，交于，连接，， ， ， 由（1）知：， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，可求得和的长，进而得出和的长，进而得出的长，进一步得出结果； （2）延长，交于，连接，，可证得，从而，进而证明，从而，从而得出，进一步得出结论； （3）作，作于，作于，交于，作于，可推出，从而，从而得出当点在处时，最小，可得出，进而得出，设，则，，从而得出，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：如图1，连接， 四边形是正方形， ∴，，，，， ， ，，， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3， 作，作于，作于，交于，作于， ， ， 当点在处时，最小， ，， ， ， 设，则，， ， ， 当的值取得最小时，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开州初中教育集团2024—2025下八年级期中测试 数学试卷 命题人：谢群 审题人：唐小英 （注：全卷共三个大题，24个小题，满分150分；用120分钟完成．） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色签字笔完成． 一、选择题：（共10小题，满分40分，每小题4分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请用2B铅笔，将正确答案的代号填涂在答题卡上）． 1. 下列各组线段 中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 5，12，13 D. 4，6，7 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 4. 计算﹣×的结果在（ ） A. 0至1之间 B. 1至2之间 C. 2至3之间 D. 3至4之间 5. 如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 6. 下列命题正确的是（　　） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 D. 有一个角是直角的菱形是正方形 7. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑩个图案中正方形的个数为（ ） A. 32 B. 33 C. 37 D. 41 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是OB上一点，将沿AC折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点在边上，是边上的中点，平分．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 有依次排列的2个整式：，，将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，得到第3个整式，称为第一次操作；将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，得到第4个整式，称为第二次操作；将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，得到第5个整式，称为第三次操作，……，以此类推，下列说法： ①第六次操作得到的整式为； ②第20个整式中含项的系数的2倍与第21个整式中含项的系数之差为1； ③第2024个整式和第2025个整式中含项的系数之和等于． 其中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. 计算：________． 12. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 13. 已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为_____． 14. 如图，矩形ABCD中，AD＝6，∠CAB＝30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是_____． 15. 若关于的二次根式有意义，且为整数，若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的所有的值的和为________． 16. 若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是 _________；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是16，且十位数字与个位数的和能被4整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为 _________． 三、解答题〖本大题共8题，第17题共16分，第（1）（2）小题各4分，第（3）小题8分；19-24每题10分，共86分〗解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算 （1） （2） （3）先化简，再求值：其中． 18. 如图，四边形是平行四边形，是其对角线. （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，分别交，，于点，，；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证四边形是否为菱形. 解：四边形为菱形.证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴①______________， ∴. ∵②______________， ∴，，③______________. 在与中， ∴， ∴⑤______________， ∴， ∴四边形是菱形. 19. 若、都是实数，且，求的立方根． 20. 四边形中，，，且，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的周长． 21. 在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距120海里． （1）求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）； （2）求救助船、分别以30海里/小时，20海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达． 22. 为响应垃圾分类的要求，营造干净整洁的学习生活环境，创建和谐文明的校园环境．綦江区某中学准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用21000元购买A种垃圾桶的组数是用15750元购买B种垃圾桶的组数的2倍． （1）求A、B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元； （2）该学校计划用不超过8000元的资金购买A、B两种垃圾桶共20组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？并计算出在这种情况下购买垃圾桶的实际费用． 23. 阅读理解： 材料1：平方差公式，当，时，有．在二次根式的一些运算或化简中，若能灵活运用公式，可使计算或化简变得简单． 如， 材料2：如图1，在中，，点是的中点，于交于，若，，求的值． 解：设，则，解得，． 问题解决： （1）化简：； （2）如图2，在中，，，若，求的值； （3）如图3，在等腰中，，，，则 ． 24. 已知在正方形中，点E是对角线上一点． （1）如图1连接，若，，求出的长． （2）如图2，过点E作于点E，交于点F，点G、H分别在，上（不与端点重合），连接，，若，，求证：． （3）如图3，在（1）的条件下，线段上有一动点M，当的值取得最小时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $