精品解析：山东烟台市招远第二中学2025-2026学年高三下学期第四次评测数学试题

山东烟台市招远第二中学2025-2026学年高三下学期第四次评测数学试题 （考试用时：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得或或三种情况，分别讨论即可. 【详解】因为，所以或或三种情况， 当时，；当时，；当时，. 故选：D. 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得到，进而求出和，代入即可求出答案. 【详解】由题意得，则，， 所以. 故选：C. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求解不等式，，再根据充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】由，得，解得； 由，得. 因为，推不出， 所以“”是“”成立的必要不充分条件. 4. 某学习小组共有6人，其中男生4人、女生2人，在一次考试中男生得分的平均数为、方差为，女生得分的平均数为、方差为9，则该小组这次考试的总体方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算总体平均分，再计算组内和组间加权方差，最后相加求出总体方差． 【详解】总共6人，总体平均数：， 男生方差，女生方差，以人数为权重，则组内加权方差为： ； 各组均值与总体均值的偏差的加权平均为：； 故该小组这次考试的总体方差为：． 5. 设抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，，则l的斜率是（ ） A. ±1 B. C. D. ±2 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到，可求得，做在直角三角形中，可求得，结合斜率的定义进行求解即可 【详解】下图所示为l的斜率大于0的情况． 如图，设点A，B在C的准线上的射影分别为，，，垂足为H． 设，，则． 而，所以， l的斜率为．同理，l的斜率小于0时，其斜率为． 另一种可能的情形是l经过坐标原点O，可知一交点为，则， 可求得，可求得l斜率为， 同理，l的斜率小于0时，其斜率为． 故选：D 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的定义，再利用任意角的正弦函数值求解 【详解】当时，，故当时，有周期. 故. 而 故选： 7. 已知是边长为6的等边三角形，点D是AB的中点，点G是线段CD上一点，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，由三点共线，求得，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】因为为的中点，， 因为三点共线，可得，解得，即， 又因为是边长为6的等边三角形， 所以 . 故选：A. 8. 已知，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先进行同构，得到，设函数，利用导数分析函数的单调性，分情况讨论的大小关系，各项逐一验证即可. 【详解】由题意知，因为， 两边同时取以为底的对数，得，，即， 令，则，令，得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，所以或； ，使得，所以或； ，使得，所以或． 当，时，B成立； 当时，C成立； 当（或）时，D成立； 由于B、C、D均可能成立，故选A． 故选：A 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的是（　　） A. 若直线l：与圆O：相交，则点在圆O的外部 B. 直线被圆所截得的最长弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆O：的切线只有一条，则切线方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用点到圆心的距离大于该圆的半径即可求解，对于 B，通过求出直线恒过的圆内定点，确定过该定点的最短弦长为，对于C，将距离条件转化为圆必须与两条特定的平行直线均产生交点，从而推导出圆的半径必须大于圆心到较远平行线的距离，对于D，由点在圆上即可确定切线的斜率，进而使用点斜式方程即可求解. 【详解】对于A，圆O的圆心为，半径， 其圆心到直线的距离为， 即到圆心的距离，所以点在圆O的外部，A正确， 对于B，整理直线得，令，解得，则直线过定点， 已知圆心为，半径，则， 所以定点在圆内， 经过圆内一点的最长弦即为该圆的直径，长度为， 最短弦长为与垂直的弦，其长度为，故B错误， 对于C，圆上的点到直线的距离为1，则有， 即这些点位于两条平行线上，即， 整理得或， 这两条直线到原点的距离分别为和， 要使圆上有4个不同的点满足条件，则两条直线都应与圆交于两点， 则有，故C错误， 对于D，由题意得在圆上，且，所以过的切线的斜率， 所以切线方程为，整理得，故D正确. 10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则符合条件的有且仅有一个 B. 若，则是等边三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】由余弦定理解得第三边长可判断A；由余弦函数的值域可判断B；利用等式变形为边长间关系可得C；先由正弦定理边化角和平方关系得到，再结合余弦型函数的单调性可得D. 【详解】由余弦定理得，即，解得，故符合条件的有两个，A错误； 由于，所以， 故0，整理得，所以为等边三角形，B正确； 因为，所以，，所以是锐角三角形，C正确； 由正弦定理及，得， 所以，即， 显然，， 函数在，上单调递增，且当时，，当时，， 由，可得，是等腰三角形，D正确． 11. 如图，已知侧棱长为的直三棱柱中，，，为的中点．则下列说法正确的是（ ） A. 当时，异面直线与成角的余弦值是 B. 当时，直线与平面成角的余弦值是 C. 的最大值是 D. 三棱锥体积的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】连接，利用余弦定理即可判断A；证明平面，即可得到为直线与平面成角，即可判断B；取的中点，连接、，求出的最大值，即可判断C；过点作交于点，即可证明平面，再由锥体体积公式及C选项判断D. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，所以，又，，所以； 对于A：当时，又，所以为等边三角形， 所以，连接，则，又， 所以为异面直线与成角，所以， 即异面直线与成角的余弦值是，故A正确； 对于B：当时，由余弦定理， 即，解得或（舍去）， 所以，即，又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以为直线与平面成角，又，所以， 则，所以直线与平面成角的余弦值是，故B错误； 对于C：取的中点，连接、，则且， 又平面，所以平面，因为平面，所以， 由余弦定理，即， 所以，则，当且仅当时取等号， 因为，所以 ， 所以，又，所以， 所以的最大值是，故C正确； 对于D：过点作交于点，因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又， 所以， 由C可知，所以，当且仅当时取最大值，故D正确. 故选：ACD 三．填空题（满分15分，每小题5分） 12. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用切化弦思想及逆用和角的余弦公式求解. 【详解】在中，由，得， 整理得， 而，则，又是锐角，所以. 13. 机场为旅客提供的圆锥形一次性纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为，旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，该椭圆的离心率等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，即可根据相似求解，进而根据椭圆方程求解，，即可由离心率公式求解. 【详解】如图，设，因，故，又， 由余弦定理，，即， 设椭圆中心为O，作圆锥的轴截面AMN，与底面直径BC交于E，与椭圆交于P，Q， 连AE交BD于G，以点O为原点，DB为x轴，建立直角坐标系． 则，又由得， 从而，则得， 不妨设椭圆方程为，把和点P坐标代入方程，解得， 则，故． 故答案为： 14. 我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则__________；__________（用含的式子表示，）. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时，范数为奇数，则的个数为偶数，即的个数为、，根据乘法原理和加法原理得到；在维向量中，范数为奇数，则的个数为奇数，即的个数为、、、、，根据乘法原理和加法原理结合二项式定理可求得的表达式. 【详解】当时，范数为奇数，则的个数为偶数，即的个数为、， 根据乘法原理和加法原理得到. 在维向量中，范数为奇数，则的个数为奇数， 即的个数为、、、、， 根据乘法原理和加法原理得到， ， ， 两式相减得到. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：本题考查了向量的新定义，乘法原理，加法原理，二项式定理，数列的通项公式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用和的展开式求数列通项是解题的关键，需要灵活掌握. 四．解答题（共5小题，满分77分） 15. 已知数列满足，且对任意的，都有. （1）令，证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式及数列的前项和. 【答案】（1） 因为，即， 又，即， 又，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）， 【解析】 【分析】（1）由递推公式可得，即，结合等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出的通项，即可得到的通项公式，再由分组求和法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 所以 . 16. 如图，已知正四面体的底面与正四棱锥的一个侧面重合． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别取棱BC，DE的中点G，H，连接FG，GH，AH，结合正方形的性质利用线面垂直的判定定理证明，进而证明，从而利用线面垂直的性质定理得； （2）通过线面垂直的性质定理得GH，BC，GM两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的平面角的余弦值. 【小问1详解】 如图，分别取棱BC，DE的中点G，H，连接FG，GH，AH， 因为已知正四面体的底面与正四棱锥的一个侧面重合． 所以所有棱长均相等，所以，， 又为正四棱锥，所以底面BCDE为正方形，所以， 由，平面， 所以平面，因为，所以平面， 由，，且，平面， 故平面，所以平面FGH与平面AHG重合， 即平面，而，所以，所以． 【小问2详解】 由（1）可知，在平面AFGH中，，， 所以四边形AFGH为平行四边形，所以． 取棱AF的中点M，连接GM，AG，可得， 因为GM在平面AFGH中，所以，可得， 由平面，而平面， 得，则GH，BC，GM两两垂直． 设棱长为a，则，， 以G为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设平面BCF的一个法向量为， 则即， 令，则，，即平面BCF的一个法向量为， 又平面BCD的一个法向量为，， 因为二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 17. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）设有3个不同的零点. （i）求的取值范围； （ii）若成等差数列，求该数列的公差. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程， （2）（i）由题意得有三个零点，进而构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而可求a的取值范围；（ii）根据零点的意义，结合等差数列的性质计算即可求解． 【小问1详解】 当时，，则. 又，所以 故曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 （i）当时，无零点，故. 令，可得. 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 由， 当时，， 当时，， 故有3个不同的零点，即函数的图象有3个交点， 故，解得.故a的取值范围是. （ii）由（i）可知， 所以， 则①，②. 设该等差数列的公差为， 即. 由①可得，得， 由②可得，得， 所以，化简得， 解得（负值舍去），即公差. 18. 已知双曲线 的离心率为2，点(6，4)在C上，A、B为双曲线的上、下顶点，P为C上支上的动点 (点P 与A不重合)，直线BP和直线. 交于点N ，直线NA交C的上支于点Q. （1）求C的方程; （2）探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由； （3）设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围. 【答案】（1） （2）直线过定点 （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率和点在上得到方程组，求出，求出双曲线方程； （2）设：，与联立，得到两根之和，两根之积，计算出，设，则，即，从而代入两根之和，两根之积，求出，得到直线过定点； （3）由正弦定理求出，设：，与联立，得到两根之和，两根之积，并结合根的判别式求出，求出，得到. 【小问1详解】 ，点在上， 故， 又， ，， 的方程为. 【小问2详解】 斜率存在，设：，与联立消去得： ，设，， 则， ，， 又， 设，则，，则，则， ， ， ， 即， 化简得， ， （舍去）， 因为当时，，故点与重合，不合题意， ：直线过定点； 【小问3详解】 在中，根据正弦定理得：，为外接圆的半径， 在中，根据正弦定理得：，为外接圆的半径， ， ，故， 由于，分别为和的外接圆面积， 故， 则， 设：，与联立消去得：， 设，，则， ，， 又结合图像可知 解得： ，， 因为，所以，，， . 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 19. 某网购平台上有101个商家，其编号分别为0，1，2，…，100，已知每个商家均已获得n（n为正整数）位顾客的评价（好评或差评），其中编号为的商家获得任一顾客好评的概率均为. 假设顾客给予评价时互不影响． （1）记编号为50的商家获得的好评率（好评数与评价人数之比）为X，求随机变量X的数学期望． （2）在平台上等可能地随机选择一个商家，求其好评率超过的概率． （3）在平台上等可能地随机选择一个商家，发现其好评数为，现有第位顾客对其给予评价，求该商家仍能获得该顾客好评的概率．据此分析：如果仅考虑已有的评价，在好评率相同但评价人数不同的商家中应如何选择，以尽可能地获得更好的购物体验？ 参考公式：若，为非负整数，为正整数，当较大时，在计算中取． 【答案】（1） （2）为奇数时概率为，为偶数时概率为 （3），好评率高于时，选评价人数多的商家；好评率低于时，选评价人数少的商家；好评率等于时，选哪个都一样 【解析】 【分析】（1）先求出二项分布的数学期望，再应用数学期望性质计算求解； （2）先分析每个商家好评率超过50%的概率，再运用全概率公式得到概率表达式，再利用参考公式进行变形得到结果； （3）采用与（2）中相似的分析得到相关事件的概率表达式，再运用条件概率公式求解，最后分类讨论得出更好的购物体验. 【小问1详解】 编号为50的商家，每个顾客好评概率为50%，即，n 位顾客的好评数服从二项分布 ， 因为好评率，所以. 【小问2详解】 设“等可能地选择一个商家，其好评率超过”为事件，显然每个商家被选择的概率为 ， “好评率超过”即好评数，每位商家的好评数服从二项分布， 所以第个商家的好评数的概率为， 由全概率公式有， 交换求和次序得， 再利用参考公式可得， 若为奇数，满足的为从到的整数，有项，； 若为偶数，满足的为从到的整数，有项，. 【小问3详解】 设“等可能地选择一个商家，发现其好评数为”为事件，采用与（2）中类似的分析， 每个商家被选择的概率为 ，第个商家好评数为的概率为， 所以， 设“第位顾客给予商家好评”为事件， 则 由条件概率公式可知所求概率为 ， 设好评率，则上式可以转化为， 若好评率高于，即时，随 n 的增大而增大，所以应选评价人数多的商家； 若好评率低于，即时，随 n 的增大而减小，所以应选评价人数少的商家； 若好评率等于，即时，恒为，选哪个都一样. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东烟台市招远第二中学2025-2026学年高三下学期第四次评测数学试题 （考试用时：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分必要条件 4. 某学习小组共有6人，其中男生4人、女生2人，在一次考试中男生得分的平均数为、方差为，女生得分的平均数为、方差为9，则该小组这次考试的总体方差为（ ） A. B. C. D. 5. 设抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，，则l的斜率是（ ） A. ±1 B. C. D. ±2 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是边长为6的等边三角形，点D是AB的中点，点G是线段CD上一点，满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的是（　　） A. 若直线l：与圆O：相交，则点在圆O的外部 B. 直线被圆所截得的最长弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆O：的切线只有一条，则切线方程为 10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则符合条件的有且仅有一个 B. 若，则是等边三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形 11. 如图，已知侧棱长为的直三棱柱中，，，为的中点．则下列说法正确的是（ ） A. 当时，异面直线与成角的余弦值是 B. 当时，直线与平面成角的余弦值是 C. 的最大值是 D. 三棱锥体积的最大值是 三．填空题（满分15分，每小题5分） 12. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则______． 13. 机场为旅客提供的圆锥形一次性纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为，旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，该椭圆的离心率等于_______． 14. 我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则__________；__________（用含的式子表示，）. 四．解答题（共5小题，满分77分） 15. 已知数列满足，且对任意的，都有. （1）令，证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式及数列的前项和. 16. 如图，已知正四面体的底面与正四棱锥的一个侧面重合． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 17. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）设有3个不同的零点. （i）求的取值范围； （ii）若成等差数列，求该数列的公差. 18. 已知双曲线 的离心率为2，点(6，4)在C上，A、B为双曲线的上、下顶点，P为C上支上的动点 (点P 与A不重合)，直线BP和直线. 交于点N ，直线NA交C的上支于点Q. （1）求C的方程; （2）探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由； （3）设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围. 19. 某网购平台上有101个商家，其编号分别为0，1，2，…，100，已知每个商家均已获得n（n为正整数）位顾客的评价（好评或差评），其中编号为的商家获得任一顾客好评的概率均为. 假设顾客给予评价时互不影响． （1）记编号为50的商家获得的好评率（好评数与评价人数之比）为X，求随机变量X的数学期望． （2）在平台上等可能地随机选择一个商家，求其好评率超过的概率． （3）在平台上等可能地随机选择一个商家，发现其好评数为，现有第位顾客对其给予评价，求该商家仍能获得该顾客好评的概率．据此分析：如果仅考虑已有的评价，在好评率相同但评价人数不同的商家中应如何选择，以尽可能地获得更好的购物体验？ 参考公式：若，为非负整数，为正整数，当较大时，在计算中取． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $