2025年中考数学二轮专题考点：抛物线的旋转、平移、对称

2025年中考数学二轮专题考点：抛物线的旋转、平移、对称 1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)为线段上方抛物线上一动点，当的面积最大时，在线段上有一动点，线段上有一动点，求的最小值； (3)如图2，将原抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线恰好经过点，新抛物线与轴在右边的交点是点，连接为轴右边的新抛物线上一动点，过点作轴于点，在轴上是否存在点，满足？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图1，已知二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，且经过． (1)求该二次函数的表达式； (2)如图2，点为该抛物线的顶点，将此抛物线沿射线方向平移，点平移后的对应点为，记，若要使轴，求的值； (3)如图3，设点为该抛物线在第三象限内图象上的一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点，求的最大值． 3．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点D在抛物线上，其横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点M，求线段的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到抛物线．在（2）的条件下，当线段的值最大时，连接．过点A的直线交抛物线于E，F两点（点E在点F的上方），过点E作直线平行于直线交抛物线于另一点Q，连接．求证：直线必过一定点． 4．已知如图1，平面直角坐标系中，为原点，经过点的抛物线交轴正半轴于点，与直线有两个交点，，它们的横坐标为，，且． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)如图2，将抛物线的顶点平移到原点，得新抛物线，直线交抛物线于点，（点横坐标小于），若与的交点为，过点作轴平行线交抛物线于点，试说明直线总经过定点，并求这个定点的坐标． 5．如图，抛物线与x轴交于点，点，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P在直线上方抛物线上运动，K是线段的动点，过点P作，轴于点F，求的最大值时，的最大值； (3)将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线与y轴交于点，点B的对应点为，点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点A到y轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点M，使得，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 6．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，过点作轴，交抛物线于点，抛物线的顶点为，与轴交于点，连接． （1）直接写出的长． 当时，解答以下问题． （2）求抛物线的函数表达式． （3）嘉嘉说：可由先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，请对这一说法说明理由． （4）问题拓展： 若将直线沿平移，使其经过点且与抛物线交于点，求点的坐标． 如图，在轴上点的上方有一点，过点且与平行的直线分别交抛物线，于点，点分别在轴的两侧．若，请直接写出此时点的坐标． 7．如图1，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 8．在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，顶点为的抛物线经过点，，且与轴交于点，（点在点的左侧） (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线对称轴上存在一点，当的周长最小时，直接写出点坐标； (3)当时，，求的值； (4)平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线上移动，在平移的过程中，当抛物线与线段有公共点时，求抛物线顶点的横坐标的取值范围． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式 (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，点是轴上的一动点，连接，当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； (3)点E坐标为，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线是否存在点，满足，若存在，直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 10．如图，直线与坐标轴交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与x轴交于点A，连接AC． (1)求抛物线y1的解析式； (2)如图1，点D是直线上方抛物线上的一点，过点D作交于点E，连接，求的最大值； (3)如图2，只将图1中的抛物线向右平移两个单位长度得到新抛物线与x轴正半轴的交点为F，连接，点G是抛物线第二象限上的一点，连接．若，请求出点G的坐标． 11．如图1，抛物线的图象经过． (1)求c的值及抛物线的顶点坐标； (2)当时，求出的最大值与最小值的和： (3)如图2，将抛物线向右平移m个单位，再向上平移个单位得到新的抛物线，点N为抛物线与的交点．设点N到x轴的距离为n，直接写出n关于m的函数关系式，及当n随m的增大而减小时，m的取值范围． 12．如图，抛物线经过点与轴交于点和，与轴交于点． (1)求的面积； (2)抛物线向左平移个单位向上平移个单位，得到新的抛物线，的顶点为，满足，求的值． 13．综合运用：如图，抛物线与轴交于和两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，直线经过点． (1)求直的函数表达式； (2)是位于直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，连接．求△面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线与原抛物线相交于点是新抛物线对称轴上的一个动点，为平面内一点，若以为顶点的四边形是以为边的菱形，求出符合条件的点的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，M是抛物线对称轴上一动点，过点P作轴交抛物线对称轴于点E，作于点G，求当取最大值时的最大值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接，在平移后的抛物线上是否存在一点N，使，若存在，请求出点N的横坐标． 15．抛物线与x轴交于点A，B（点A在B的左边），与y轴交于点C． (1)直接写出点A，B，C坐标； (2)如图（1），连接，过抛物线第四象限上一点D作交延长线于E，若直线平分线段，求点D坐标； (3)如图（2），将抛物线向左平移使其顶点在y轴上，得到新抛物线L；过原点的直线交新抛物线L于点M，N，点P是y轴上一点，连接，当时，，求P点坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学二轮专题考点：抛物线的旋转、平移、对称》参考答案 1．(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，将直线向上平移，直至直线与抛物线只有一个交点时，此时的面积最大，联立解析式，根据根的判别式求出点的坐标，作点关于的对称点，作，垂线段最短，得到的最小值即为的长，求解即可； （3）根据平移规则，求出平移后的抛物线的解析式，进而求出点的坐标，求出，得到，进而得到点在一三象限或二四象限的角平分线上，联立角平分线的解析式与新的抛物线的解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为直线，把代入，得：， ∴， 把直线向上平移，直至直线与抛物线只有一个交点时，此时的面最大， 设平移后的解析式为， 令，整理，得：， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，轴，，， ∴， ∵轴， ∴， 作点关于的对称点，交于点，连接，则：垂直平分，， ∵为上的动点， ∴当时，的值最小， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为：； （3）存在， ∵， 设平移后的解析式为：， ∵平移后的解析式经过点， ∴， 解得：或（舍去）； ∴， ∴点是由点向右平移一个单位得到的， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ 当在轴上方时，则：， ∴，即：点在一三象限的角平分线上，即：在直线上， 联立，解得：或（舍去）； ∴； 当点在轴下方时，则：， ∴，此时点在轴正半轴， ∴， ∴点在二四象限的角平分线上，即在直线上， 联立，解得：或（舍去）； ∴； 综上：或． 2．(1) (2) (3) 【分析】（1）直接把把代入二次函数，解得，即可作答． （2）先把解析式化为顶点式得，再求出直线的解析式为，运用平移的性质，则点平移后得到点．因为且轴，，解得．即可作答． （3）先得出点的坐标为，点的坐标为．再求出直线的解析式为：．设点的坐标为，则点的坐标为．则，因为 ，则，整理得．故，因为，当时，有最大值． 【详解】（1）解：依题意，把代入二次函数， 得， 得． 二次函数解析式为． （2）解：由（1）得， 则 ， ∵点为该抛物线的顶点， ， 设直线的解析式为， 把代入， 得， 解得， 直线的解析式为， ∵此抛物线沿射线方向平移，点平移后的对应点为， 记，即如果抛物线向右平移个单位长度，则向上平移个单位长度， ∴把代入得， 点平移后得到点， 又∵， 当轴时，可得， 解得． （3）解：如图所示，过点作轴于点， 把代入，得， ∴点的坐标为， 把代入， 得， 整理得， ∴，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， 则直线的解析式为：， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ， ， 即， ， ， 当时，有最大值． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的线段综合，待定系数法求二次函数的解析式，平移的性质，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．(1) (2)线段的最大值为，此时点P的坐标为 (3)见解析 【分析】（1）将点，代入中，得二元一次方程，解方程即可； （2）过点P作轴交于点N，求出，则当最大时，也最大，用待定系数法求出直线的表达式为，设，，得，利用二次函数的性质求最值，进而可得答案； （3）根据二次函数平移的性质得拋物线的表达式为，令，，利用待定系求法求出直线的表达式为，再根据直线过点得，依次求得直线、、的解析式，当时，，即可得出结论． 【详解】（1）解：将点，代入中， 得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点P作轴交于点N， 在中，令得， 点C的坐标为， 点B的坐标为， ， ， 轴， ， ， ， 则当最大时，也最大， 设直线的表达式为， ， 解得， 直线的表达式为， 设，， ， 当时，最大，最大为， 则， 线段的最大值为，此时点P的坐标为； （3）证明：， 将抛物线平移后得到拋物线的表达式为，如图所示， 令，， 设直线的表达式为， 把，两点代入， 得， 解得， 则直线的表达式为， 直线过点， ， ， 点D在抛物线上，且其横坐标为， ， 由（2）知，得直线的表达式为， ，且， 直线的表达式为， 当时， 解得（舍去），， ， 设直线的表达式为， 把，代入， 得， 解得， 直线的表达式为， ， 直线的表达式为， 当时，， 直线必过定点． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，平移的性质，一次函数的性质． 4．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）联立抛物线与直线，得到，解得，结合题意进而得到，即，求出，进而得到；即可得到，求出直线的解析式，过点C作x轴的垂线，交于点，求出点E的坐标，根据的面积为代入数据即可解答； （3）由（1）知抛物线的解析式为，将抛物线的顶点平移到原点，得新抛物线的解析式为，联立直线与新抛物线的解析式，求出，联立直线与的解析式，求出点的横坐标为，进而得到，再求出直线的解析式为，即当时，，直线总经过定点． 【详解】（1）解：根据题意，将点，代入抛物线， 则， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：联立抛物线与直线，得到， 解得，， ∵抛物线与直线有两个交点，，它们的横坐标为，，且， ∴，， ∴， ∴； ∴直线， ∴，则， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 过点C作x轴的垂线，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）解：由（1）知抛物线的解析式为，顶点坐标为， 将抛物线的顶点平移到原点，得新抛物线的解析式为， 联立直线与新抛物线的解析式，得， 解得， 联立直线与的解析式，得， 解得， ∴点的横坐标为， ∵轴，交抛物线于点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 联立， 整理得， ∴， ∴，， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴直线总经过定点． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数与二次函数综合运用，图形的面积计算，一元二次方程根与系数关系，抛物线的平移变换等，熟练掌握待定系数法和根与系数关系是解题关键． 5．(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据顶点式，设抛物线的解析式为：，把点代入即可求解； （2）根据题意可得，是等腰直角三角形，并求出直线的解析式为：，设与交于点，可得是等腰直角三角形，则，设，则，，且，，，进而得，作关于的对称点连接，则设，则，利用勾股定理及三角形的三边关系即可得解； （3）根据抛物线的平移可得，，，并求出直线的解析式，分类讨论：第一种情况，过点作，交抛物线与点，运用待定系数法求出直线的解析式，再联立新抛物线为方程组即可求解；第二种情况，作，交抛物线与点，接触直线的解析式为，联立抛物线为方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴设抛物线的解析式为：， 把点代入可得，， 解得，， ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为：， ∵点，点． ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 如图所示，设与交于点， ∵轴， ∴，且， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则，，且， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴， 如图，作关于的对称点连接，则设 ∵，，． ∴ 解得， ∴， ∴ ∵ ∴由三角形的两边之差小于第三边可得， ∴的最大值时，的最大值为； （3）解：存在点，点的横坐标为或，理由如下， ∵抛物线， ∴将原抛物线沿轴向右平移个单位长度，新抛物线的解析式为：， 令，则，令，则，得， ∴，， ∵点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半， ∴，且， 把代入得，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 新抛物线图像如图所示， 第一种情况，过点作，交抛物线与点，则， ∴设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为：， 联立新抛物线与直线为方程组得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴； 第二种情况，作，交抛物线与点，交直线于点， ∴， 设，且，， ∴，， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立抛物线与直线为方程组得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），， ∴； 综上所述，存在点，使得，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与图形的综合，勾股定理，三角形的三边关系，二次函数的平移，等腰三角形的性质，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数最值问题，函数平移的性质，等腰三角形的性质，二次函数与二元一次方程组求解交点等知识的综合运用是解题的关键． 6．（）；（）抛物线的函数表达式为；（）理由见解析；（）点的坐标为；点． 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系等知识，掌握二次函数的性质是解题的关键． （）根据二次函数的性质即可求解； （）把点代入即可求解； （）由（）知，抛物线，即顶点的坐标为，抛物线，即顶点的坐标为，然后比较即可； （）先求出所在直线的函数表达式为，可设平移后过点的直线的函数表达式为，将点代入上式，得，解得，则有平移后过点的直线的函数表达式为，然后联立求解即可； 设经过点的直线为在第二象限与抛物交于点，联立由，得，则有，，由，故，然后代入求解即可． 【详解】解：（）∵抛物线与轴交于点，与轴交于点， ∴，抛物线对称轴为直线， ∵点关于对称轴对称， ∴点的坐标为， ∴， 故答案为：； （）将点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （）理由：由（）知，抛物线， 即顶点的坐标为， 抛物线， 即顶点的坐标为， ∵点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度可到点，且这两条抛物线开口大小、方向均相同， ∴可由先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到； （）∵点，， 设所在直线的函数表达式为， ∴，解得：， ∴所在直线的函数表达式为， 则可设平移后过点的直线的函数表达式为， 将点代入上式，得，解得， ∴平移后过点的直线的函数表达式为， 联立，得，解得 ，， ∴点的坐标为； 如图，设经过点的直线为在第二象限与抛物交于点， ∵，， ∴， ∴由平移的性质可知，，两点的横坐标之差的绝对值为， ∴，两点的横坐标之差的绝对值为， 由，消去，得， 设，两点的横坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点． 7．(1) (2)， (3)或或或 【分析】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，利用平移的性质解决问题是解本题的关键． （1）把和代入求解即可． （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大即可解答． （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当为矩形一边时，且点D在x轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时， 解得： ∴ 设直线的解析式为，把，点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线上方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ； （3）解：∵ 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线， ∴， 的对称轴为. ∵，， ∴， 如图：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作轴于点F， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点； 如图：当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，的对称轴为与x轴交于点F， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点； 当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或. 综上，存在点或或或，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形． 8．(1) (2)点坐标为 (3)或 (4)或 【分析】（）根据矩形的性质求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）连接，可得点关于对称轴对称，即得，进而得到的周长，可知当三点共线时，的值最小，此时的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，再把代入求出即可得到点坐标； （）根据二次函数的性质，分与两种情况，根据二次函数的分别讨论，即可求解； （）根据题意，找出顶点平移的临界点，然后进行分类讨论，分别求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点，的坐标分别为，， ∴， 把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴点关于对称轴对称， ∴， ∴的周长， ∵， ∴当三点共线时，的值最小，此时的周长最小， 把代入得，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴此时点坐标为； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点的坐标为，对称轴为直线，开口向下， 当，即时，随的增大而增大， ∵当时，， ∴时，， 即， 解得，（不合，舍去）； 当时，随的增大而减小， ∴当时，， 即， 解得，（不合，舍去）； 综上，或； （4）解：设直线的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴可设平移中的抛物线的解析式为， 当时，抛物线即，此时抛物线与线段有两个交点； 当时， ①当拋物线经过点时，有， 解得(不合，舍去)，； ②当抛物线经过点时，有， 解得(不合，舍去)，； 综上可得，； ②当且抛物线与直线有公共点时， 则即有实数根， ∴， 解得， ∴； 综上，当或时，在平移的过程中，抛物线与线段有公共点． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的几何应用，轴对称的性质，一元二次方程根的判别式等，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，利用分类讨论的思想进行分析． 9．(1)抛物线的表达式为； (2)周长的最小值为； (3)点的坐标为或． 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）利用抛物线的解析式求得点，，的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，设，则，表示的长并配方，利用二次函数的性质求得的最大值为； 取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，由轴对称可知此时最小，，再利用勾股定理解答即可得出结论； （）求得的坐标，利用待定系数法求得平移后的抛物线的解析式，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当在的上方时，如图,设交轴于，当在的下方时，如图，分别解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得： ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， ∴或， ∴，， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时，， ∴， 取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，如图， ∵点是轴上的一动点， ∴此时最小，， ∴， ∵，， ∴， ∴周长的最小值为； （3）解：由， ∵，， ∴。 ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，就是将原抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位， ∴， 分两种情况： 当在的上方时，如图,设交轴于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 同理得：的解析式为， ∴， 解得：（舍去），， ∴点的坐标为； 当在的下方时，如图， ∵， ∴， 当时，， 解得：（舍去），， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，轴对称的最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，分类讨论的思想方法，掌握知识点的应用是解题的关键． 10．(1) (2) (3) 【分析】(1)先根据一次函数求出与坐标轴的交点，再代入二次函数解析式，求解即可； (2)要想求出的最大值，把它转化成求的最大值，根据三角形面积的公式和分割法，把三角形面积变成二次函数的性质，根据二次函数的性质求出最大值即可； (3)根据相关条件先得到是等腰直角三角形，进而得到，求出点的坐标，根据待定系数法求出的解析式，进而把二次函数移动后的解析式和的解析式联立起来求解即可； 【详解】（1）解：直线与坐标轴交于B，C两点， 则点B，C坐标分别为：， 由题意得：， 解得， ∴； （2） 解：连接， ∵， ∴， ∴， 过点D作轴于点M交于点H，设，则， 则， ∴， ， ， ∴，抛物线开口向下， 当，最大值； 即的最大值； （3）解：当时，可得， ∵抛物线向右平移两个单位长度得到新抛物线与x轴正半轴的交点为F， 即， ∴， ∴， 如图，设交于点N，当时， ∴， ∴， ∴， 则点 由点N，F的坐标得，直线的解析式为：， ∴ 解得：，（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，全等三角形的判定和性质，一次函数图像的性质和二次函数的图形性质等知识点，解决此题的关键是要熟练的运用以上知识点． 11．(1)， (2) (3)， 【分析】本题主要考查二次函数的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象平移的规律及性质是解题的关键． （1）运用待定系数法即可的二次函数解析式，根据抛物线顶点式即可求解； （2）根据二次函数的性质，分别求出顶点坐标，当时的函数值，当时的函数值进行分析即可求解； （3）根据二次函数图形的平移规律得到新函数的解析式，再分类讨论：当时，；当时，；由此即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过， ∴， 解得：， ∴， ∴顶点为； （2）解：∵二次函数的顶点坐标为，图象开口向下， ∴当时，函数有最大值，最大值为， 当，随的增大而增大，当，随的增大而减小， ∴当时，，当时，， ∴当时，的最大值为，的最小值， ∴的最大值与最小值的和为； （3）解：将抛物线向右平移个单位（），再向上平移个单位得到新的抛物线， ∴， 当时，，整理得，， 又∵， ∴， ∴， 当时， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向下， 当时，，， 当时，，， 综上所述，，当时，随的增大而减小 ． 12．(1) (2) 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的平移问题． （1）分别令，先求出点的坐标，即可解答； （2）根据平移规律得到，可得到的顶点在y轴上，由，即可解答． 【详解】（1）解：抛物线经过点与轴交于点和，与轴交于点， 令，则， 解得：， 根据题意：， ； 令，则， ， ， ； （2）解：， 抛物线向左平移个单位向上平移个单位，得到新的抛物线， ， ， 的顶点在y轴上，且在点C的上方， ， ， ， ，即， 解得：． 13．(1) (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）根据抛物线解析式求与x轴，与y轴的交点，用待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）点作轴交于点，过点作于点，设，则，可得是等腰直角三角形，表示出，则，那么，再转化为二次函数求最值即可； （3）可求，结合条件得到将抛物线向左平移2个单位长度，向下平移6个单位长度，则新抛物线，求出交点．设．，，，由于以为顶点的四边形是以为边的菱形，分两种情况讨论，即和，建立方程求出，再根据对角线互相平分的性质求解． 【详解】（1）解：∵抛物线，令，则； 令，则．     解得． ∴． ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：如答图，过点作轴交于点，过点作于点． 设，则． ∴． ∵，   ∴      ∴． ∵轴， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形．    ∴， ∴， 将代入得：， ∴． ∴， ∵， ∴面积的最大值为，此时．     ∴． ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴． ∴将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线， 相当于平移了的长度，而点的水平距离为1，铅锤距离为3， ∴将抛物线向左平移2个单位长度，向下平移6个单位长度． ∵抛物线， ∴新抛物线． ∴新抛物线的对称轴为直线． 联立．      解得．        ∴． 设． ∴， ， ． ∵以为顶点的四边形是以为边的菱形， ①当时，即． 解得．     ∴． 设点的坐标为．    ∴， 即．       解得．        ∴点的坐标为； ②当时，即． 解得． ∴或． 同理可得点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，菱形的性质，两点之间距离公式，函数图象的平移等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 14．(1) (2) (3)点N的横坐标为 【分析】(1)根据抛物线，经过点，结合抛物线的对称轴是直线．后利用待定系数法确定解析式即可． （2）先确定直线的解析式为．过点P作轴于点K，交于点Q，则，确定,设，则，则；结合轴交抛物线对称轴于点E， 得到，于是，确定有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为，根据点M在抛物线的对称轴上，且点A与点B是对称点，得到，于是，根据，确定当B，P，M三点共线时，取得最大值，最大值为，解得即可． (3)先确定平移方式，确定平移后的抛物线解析式，利用旋转的性质，平行线的性质，交点坐标的计算解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，经过点， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线． ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴当时，， 故点， 又当时，， 解得， 故， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点P作轴于点K，交于点Q 则， ∵， ∴, ∴, ∴, ∴， 设，则， 则； ∵轴交抛物线对称轴于点E， ∴， ∴ ， ∵， ∴有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为， ∵点P在直线下方的抛物线上， ∴， ∴时，； 故． ∵点M在抛物线的对称轴上，且点A与点B是对称点， ∴， ∴， ∵， ∴当B，P，M三点共线时，取得最大值，最大值为， ∴． （3）解：由原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线， ∴，， 设向左平移m个单位，向下平移n个单位， 根据题意，得，， ∴先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线， ∵， ∴平移后抛物线的表达式为， ∴， ∵点F为点P平移后的对应点，连接， ∴， 以点P为中心将顺时针旋转，交抛物线于点N，M，交于点S，如图所示， 则， ∵， ∴， ∴轴， ∴点P、N、M的纵坐标都为， ∴， 解得：， ∴在平移后的抛物线上存在一点N，使得，此时点N的横坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求最值，等腰直角三角形的判定和性质，一次函数解析式确定，解方程组，抛物线的平移，旋转的应用，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键． 15．(1)A(-1，0)，B(3，0)，C(0，-3) (2) (3)P点坐标为． 【分析】（1）令和，分别求得或，，即可求解； （2）过E作轴于F，证明，求得，再利用待定系数法求得直线解析式，联立解方程组即可求解； （3）利用平移的性质求得平移后的解析式，设，，联立，求得，，在中，由勾股定理得到，在和中，利用勾股定理列式得到，再结合已知求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得或， 令，则， ∴，，； （2）解：如图（1），过E作轴于F，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵直线平分线段， ∴， ∴， ∴，， ∴； ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 将点代入得， 解得， 故直线解析式为； 联立得 解得，（舍）， 故D； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点为， ∴新抛物线L顶点为，其解析式为， 如图（2），设，，直线解析式为， 联立，消元得， ∴，， 分别过M，N分别作x轴，y轴的垂线交于点Q，轴于T，交y轴于K， 设，则，， ∵在中，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴P点坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$