2025年九年级数学中考复习反比例函数中K的几何意义小专题

2025年九年级数学中考复习反比例函数中K的几何意义小专题 1．如图1，点是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为． (1)求的值． (2)若过点的直线与轴交于点，如图2． ①求证：． ②与的平方差是不是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，轴于点，反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)延长OA到点，使得，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接OE，求的面积． 3．如图，过点且与y轴平行的直线与反比例函数和的图像分别交于A、B两点，若P是y轴上任意一点，求的面积． 4．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象分别交于C，D两点，点，点B是线段的中点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出当x取什么值时，． 5．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 6．在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且． (1)若，则的长为________，的面积为________； (2)若点的横坐标为，且，当时，求的值． 7．在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，轴于点，且．    (1)求反比例函数的解析式； (2)说明点是否在反比例函数的图象上，若在坐标系中有一点，求的面积． 8．如图，点、在反比例函数的图象上，轴，轴，垂足分别为、，与相交于点． (1)根据图象直接写出、的大小关系，并通过计算加以验证； (2)结合以上信息，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的值． 条件①：四边形的面积为2； 条件②： 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 9．如图，O为坐标原点，反比例函数的图象交直线于和B． (1)求A和B两点的坐标； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的x的取值范围． 10．如图，正方的边在x轴的正半轴上，点，反比例函数的图象分别交于点E，F，已知 (1)求反比例函数的解析式． (2)连接 求的面积． 11．如图，在中，，点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，轴于点C．    (1)已知点D是左侧一点，连接，，若四边形为菱形，则点D是否在反比例函数的图象上？请说明理由； (2)在（1）的条件下，若菱形的面积为4，求k的值． 12．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D． (1)求一次函数的解析式； (2)对于反比例函数，当时，写出x的取值范围； (3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S△BDP＝S△ODA，请求出点P的坐标． 13．如图，，关于原点对称，为反比例函数图象上异于的一个点．过作垂直于轴于点． (1)若的坐标为，则的坐标为______； (2)若的面积为，则的值为______； (3)在（）的条件下，若的纵坐标为，求的面积． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，过点A作轴于点P，连接，且．    (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P的坐标为，求直线的函数表达式． 15．如图，反比例函数(k≠0)的图象与一次函数的图象交于点A，，轴于点C，已知．    (1)求反比例函数与一次函数解析式； (2)请直接写出不等式的解集． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级数学中考复习反比例函数中K的几何意义小专题》参考答案 1．(1) (2)①证明见解析；②是定值， 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点一定满足反比例函数解析式是解题的关键． （1）设，得到即可得到； （2）①根据题意得到，求出，得到，即可得到结论； ②是定值，由题得，继而得到，即，由（1）知，得到． 【详解】（1）解：设． 轴， ． ， ， ． ， ． （2）①证明：设． 点在直线上， ． ． 当时，， ． ． ． ． ②解：是定值． 设． 轴， ∴在中，， ，， ， ． ∴． 由（1）知， ． 2．(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，掌握值的几何意义，是解题的关键： （1）解直角三角形，求出的长，进而求出点坐标，待定系数法求出值即可； （2）根据中点坐标公式，求出点坐标，进而求出，值的几何意义，得到，分割法求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵轴于点， ∴， ∴， ∴； （2）∵延长OA到点，使得， ∴为的中点， ∵， ∴， ∵，交反比例函数的图象于点， ∴，， ∴， ∴的面积． 3． 【分析】本题考查了反比例函数中比例系数k的几何意义：在反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．如图，连接，，记与x轴的交点为C，依据轴，可得与的面积相等，再根据反比例函数和的图像分别交于A、B两点，即可得到，，而得出的面积为． 【详解】解：如图，连接，，记与x轴的交点为C， ∵轴， ∴与的面积相等， 又∵反比例函数和的图像分别交于A、B两点， ∴，， ∴， ∴的面积为． 4．(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等． （1）把点的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作轴于，证明得的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）联立方程求得的坐标，然后根据即可求得的面积； （3）根据图象即可求得时，自变量的取值范围． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ； 如图，作轴于，则， ， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， 、在的图象上， ， 解得，， 一次函数的解析式为； （2）解：由， 解得或， ， ； （3）解：∵与交于，两点， ∴由图可得，当或时，． 5．(1) (2) 【分析】（1）联立正比例函数与反比例函数，解方程组可得，图形结合分析，再根据，由此即可求解； （2）把点代入反比例函数解析式可得，则，根据点关于原点对称可得，再根据平行四边形的性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得，，， 根据图形可得，， ∴， ∵轴， ∴，点到的距离为， ∵， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为，且点在反比例函数图象上， ∴，即， ∵轴， ∴， ∵正比例函数与反比例函数交于点， ∴点关于原点对称， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，解一元二次方程的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的性质是解题的关键． 6．(1)；1 (2) 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及两点间的距离公式， （1）由和的值可得出点A的坐标，利用勾股定理即可求出的长度，由点B在反比例函数图像上，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出的面积； （2）根据反比例函数图像上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式即可求出、的长度，由即可得出关于的方程，解之即可求出值，再根据即可确定值． 【详解】（1）解：∵，， ∴点， ∴， ． ∵点B在反比例函数的图像上， ∴． 故答案为；1． （2）解：∵A，B两点在函数的图像上， ∴，， ∴，． ∵， ∴， 解得：或． ∵， ∴． 7．(1) (2)点在反比例函数的图象上，的面积为5 【分析】本题主要考查反比例函数的性质和其几何意义， 根据已知的点坐标和三角形的面积即可求的k值； 采用代入法即可求得点C是否在反比例函数上，结合点得位置即可求得，和点A到线段的距离，即可求得面积． 【详解】（1）解：∵点， ∴， 解得：， 则反比例函数的解析式； （2）解：∵点， ∴当时，， 则点在反比例函数的图象上， ∵点和点， ∴线段轴，， ∵点A到线段的距离为2， ∴的面积， 即的面积为5． 8．(1)，见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． （1）根据反比例函数的性质即可得，再将点、代入反比例函数的解析式分别求出的值，由此即可加以验证； （2）选择条件①：先根据矩形的判定与性质可得，再根据点A，B的坐标可得，从而可得，，利用待定系数法求解即可得；选择条件②：先求出，再根据矩形的判定与性质可得，从而可得，代入可得，然后根据即可得． 【详解】（1）； 验证如下： 当时，；当时，， ，， 即. （2）选择条件①四边形的面积为2，求解如下： 轴，轴，， 四边形是矩形. ， ，. ，， ，解得， ， 将点代入得：. 选择条件②，求解如下： ，. ，，，， 轴，轴，， 四边形是矩形， ，， ， ， 又， ， 由（1）可知，， ， 解得 9．(1)， (2) (3)或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）将A点坐标代入，即可求得A的坐标，再把点A代入反比例函数，即可求出k，进而可求出点B； （2）过点A作x轴的垂线且，由即可求解； （3）根据x不等于0，把不等式两边同除，再根据反比例函数和一次函数图象的交点即可求解； 【详解】（1）解：将A点坐标代入得， 将A点坐标带入得； 联立和得， 解得或， 所以； （2）解：过点A作x轴的垂线且， 则， 因为点A，B在反比例函数上， 所以， 所以． （3）解：明显不在不等式的解集里，所以， 不等式两边同除得 所以要求的解集，即求的解集， 由图可知解集为或． 10．(1) (2) 【分析】题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，求得点的坐标是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，，而，则，可得到E点坐标为，从而确定； （2）首先求得F的坐标，然后根据，利用梯形的面积公式即可求得． 【详解】（1）解：∵正方的边在x轴的正半轴上，点， ∴，， ∵ ∴， ∴E点坐标为， ∵的图象经过点， ∴ ∴反比例函数的解析式为； （2）解：连接，作于P， ∵， 把代入，求得， ∴ ∵， ∴． 11．(1)点D在反比例函数的图象上，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数综合题，待定系数法求函数的解析式，菱形的性质，反比例函数的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）过点B作于H，延长到D，使，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形，设点，得到，推出在反比例函数的解析式为，求得，，，根据反比例函数点的坐标特征即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，根据菱形的面积公式得到，由于在反比例函数的图象上，于是得到． 【详解】（1）解：存在．理由如下： 过点B作于H，延长到D，使，    ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 设点， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴在反比例函数的解析式为， ∵点B在y轴上，轴于点C， ∴，，， 当时，， ∴点D在反比例函数的图象上； （2）∵，，四边形是菱形， ∴，， ∵菱形的面积为4， ∴ ∴， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴． 12．(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查二次函数性质，一次函数性质，图形的面积等，解题的关键在于利用反比例函数得出交点坐标，从而求出一次函数解析式，以及懂得观察图象，获取图象信息，从而得到自变量的取值范围，以及利用割补法求面积． （1）利用反比例函数求出交点A、点B的坐标分别为，，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式． （2）当时，即为B点右侧图象，观察图象，从而得出此段图象对应的自变量的取值范围为． （3）先求出的面积为1，从而确定的面积为，再通过点P的不同的位置，设点P的坐标为，根据图形面积列出方程，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，﹣2； ∴A，B； 把A、B的坐标代入得； 解得； ∴一次函数的解析式为． （2）∵； 由图象可知，当时，． （3）∵一次函数为； ∴D； ∵A， ∴； ∴， 设点P的坐标为： ，； ∴，； 当P在直线下方时，如图1，则； ； 解得； ∴点P． 当P在直线AB的上方时，如图2，则； ； 解得； ∴点P； 综上可得：点P的坐标为： 或 ． 13．(1)； (2)； (3)． 【分析】()根据关于原点对称的性质求解即可； ()利用待定系数法求解； ()求出直线的解析式，可得直线交轴一点， 再利用分割法求出的面积； 此题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）∵点与关于原点对称， ∴点， 故答案为：； （2）∵，的面积为， ∴，解得：， 故答案为：； （3）∵的图象过， ∴， ∵若的纵坐标为， ∴点， 设直线解析式为，与轴交于点，如图， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∴点， ∴， ∴． 14．(1) (2) 【分析】（1）由，可求，由图象即可求解； （2）求出的坐标，再根据反比例函数的对称性可求出的坐标，从而可求解． 【详解】（1）解：， ， 反比例函数的图像位于第一，三象限内， ， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：当时，， ， 由对称性得：， 设直线的函数表达式为，则有 ， 解得：， 直线的函数表达式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数的几何意义、反比例函数的性质，掌握性质及解法，理解的含义是解题的关键． 15．(1)反比例函数解析式为，一次函数的解析式为 (2)或 【分析】（1）根据，求出k的值，确定反比例函数的解析式，进而求出点B的坐标，再根据待定系数法求出一次函数的解析式； （2）先求出点A的坐标，再根据图象，直观得出当时，求x的取值范围． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把两点坐标代入得：， ∴ ∴代入一次函数解析式得：， 解得∶， ∴一次函数的解析式为， 综上所述：反比例函数解析式为，一次函数的解析式为． （2）将，联立得： 解得：或 ∴ 由图象可知，当时，x的取值范围为或 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数k的几何意义是求函数解析式的关键，待定系数法是求函数解析式的基本方法． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$