专题2.4 对数与对数函数（五类重难点题型精练）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点题型】精练（新教材新高考）

专题2.4 对数与对数函数 目录●重难点题型分布 序号 题型 重难点题型1 指、对、幂的计算及化简 重难点题型2 指、对、幂的实际应用 重难点题型3 对数函数的图像与性质 重难点题型4 对数型复合函数（单调性与最值） 重难点题型5 对数函数的综合问题 重难点题型1 指、对、幂的计算及化简 1．（2025·江西·模拟预测）若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 2．（2025·天津红桥·二模）若 则 （   ） A．1 B． C． D．2 3．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知，，且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 4．（2025·宁夏吴忠·一模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2022·天津·高考真题）化简（         ） A．1 B． C．2 D． 6．（2022·浙江·高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ． 8．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 9．（2023·天津和平·二模）设，，，若，，则的最大值为 ． 10．（2024·宁夏·模拟预测）若，则 . 重难点题型2 指、对、幂的实际应用 1．（21-22高三上·江苏扬州·期末）年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（    ）（素数即质数，，计算结果取整数） A． B． C． D． 2．（2021·宁夏银川·二模）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（    ）(附：) A．10% B．20% C．30% D．40% 3．（2021·四川泸州·一模）我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了60%，则的值大约为（    ）（参考数据：） A．1559 B．3943 C．1579 D．2512 4．（2023·广东·二模）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（2020·海南海口·模拟预测）《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为N，则的整数部分为（    ） A．2566 B．2567 C．2568 D．2569 6．（2024·湖南长沙·模拟预测）（多选题）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（    ）(参考数据:) A． B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若年后，样本中氚元素的含量为，则 重难点题型3 对数函数的图像与性质 1．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·二模）已知函数在上单调递增，且，则（   ） A．4 B．16 C．32 D．64 3．（2024·宁夏·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2024·北京东城·一模）设函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（2018·重庆綦江·一模）已知函数 的零点为3，则=(   ) A．1 B．2 C． D．2017 6．（2025·上海宝山·二模）已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为 7．（2024·上海普陀·模拟预测）函数，且的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 . 8．（2024·吉林·模拟预测）已知函数，，则实数a的值为 . 重难点题型4 对数型复合函数（单调性与最值） 1．（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北·模拟预测）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·重庆·模拟预测）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·贵州安顺·模拟预测）（多选题）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B． C．在上单调递减 D．在上单调递增 7．（22-23高一上·陕西西安·期末）（多选题）已知函数，则（   ） A．函数的单调递增区间是 B．函数的值域是 C．函数的图象关于对称 D．不等式的解集是 8．（2025·海南·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 9．（2025·江西宜春·一模）已知函数在上的最小值是1，则 . 10．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知函数 （且）， 若有最小值， 则实数a的取值范围是 . 11．（2022·江西宜春·模拟预测）若，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 12．（2022·上海·模拟预测）若函数（且）有最大值，则的取值范围是 . 重难点题型5 对数函数的综合问题 1．（2025·天津·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北张家口·三模）已知函数 ，，且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河北·模拟预测）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·内蒙古通辽·三模）（多选题）已知函数(且，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的值域为 C．若，则在上单调递增 D．若，则在上单调递增 6．（2024·辽宁·二模）（多选题）关于函数，下列说法正确的有（    ） A．的定义域为 B．的函数图象关于y轴对称 C．的函数图象关于原点对称 D．在上单调递增 7．（2025·陕西·三模）已知函数，则 ． 8．（2022·浙江宁波·模拟预测）若不等式对任意的正整数恒成立，则的取值范围是 . 9．（2024·广东·模拟预测）已知满足 ，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 对数与对数函数 目录●重难点题型分布 序号 题型 重难点题型1 指、对、幂的计算及化简 重难点题型2 指、对、幂的实际应用 重难点题型3 对数函数的图像与性质 重难点题型4 对数型复合函数（单调性与最值） 重难点题型5 对数函数的综合问题 重难点题型1 指、对、幂的计算及化简 1．（2025·江西·模拟预测）若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】利用换底公式得，令，即得解出即可. 【详解】由有，令， 则， 所以， 故选：C. 2．（2025·天津红桥·二模）若 则 （   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】根据指数对数转化，再应用对数运算律计算求解. 【详解】因为 所以 则 . 故选：A. 3．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知，，且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】将条件式两边取对数，比较可得，求出答案. 【详解】由，可得，又， ，解得. 故选：A. 4．（2025·宁夏吴忠·一模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】利用对数的运算性质及换底公式逐项判断可得答案. 【详解】设，则， ∴. A. ，A错误. B. ，B错误. C.，C正确. D. ，D错误. 故选：C. 5．（2022·天津·高考真题）化简（         ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据对数的性质可求代数式的值. 【详解】原式 ， 故选：C 6．（2022·浙江·高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ． 【答案】64 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 8．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 【答案】 ； ． 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 9．（2023·天津和平·二模）设，，，若，，则的最大值为 ． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用 【分析】由已知可解得，.根据换底公式可得，.根据基本不等式得出，然后根据对数运算性质即可得出答案. 【详解】因为，所以，. 又，， 所以，. 因为，，根据基本不等式有， 当且仅当，即，时等号成立， 所以. 则， 所以的最大值为. 故答案为：. 10．（2024·宁夏·模拟预测）若，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】直接由指对互换、对数运算法则即可求解. 【详解】若，则. 故答案为：. 重难点题型2 指、对、幂的实际应用 1．（21-22高三上·江苏扬州·期末）年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（    ）（素数即质数，，计算结果取整数） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】列出对数函数模型的解析式 【分析】计算的值，即可得解. 【详解】因为， 所以，估计以内的素数个数为. 故选：B. 2．（2021·宁夏银川·二模）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（    ）(附：) A．10% B．20% C．30% D．40% 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、利用对数函数的性质综合解题 【分析】先计算和时的最大数据传输速率和，再计算增大的百分比即可. 【详解】当时，； 当时，. 所以增大的百分比为：. 故选：B. 3．（2021·四川泸州·一模）我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了60%，则的值大约为（    ）（参考数据：） A．1559 B．3943 C．1579 D．2512 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用对数函数的性质综合解题、列出对数函数模型的解析式 【解析】由题意可得的方程，再由对数的运算性质求解即可． 【详解】由题意得：， 则，， 故选：C 4．（2023·广东·二模）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】列出对数函数模型的解析式 【分析】由结合对数运算可求得的值，由于，可得出、，结合对数函数的单调性可出结论. 【详解】由题意，得， 则，因此， ，则， ，则. 故选：A. 5．（2020·海南海口·模拟预测）《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为N，则的整数部分为（    ） A．2566 B．2567 C．2568 D．2569 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】列出对数函数模型的解析式、对数的运算性质的应用 【分析】由题意，得到，结合对数的运算性质，即可判定，得到答案. 【详解】由题可知，． 因为，所以， 所以的整数部分为2567． 故选：B. 【点睛】本题主要考查了对数的有关运算及性质的应用，其中解答中认真审题，根据对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力． 6．（2024·湖南长沙·模拟预测）（多选题）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（    ）(参考数据:) A． B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若年后，样本中氚元素的含量为，则 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】指数函数模型的应用（2）、利用对数函数的性质综合解题 【分析】利用给定式子进行化简判断A，代入求值判断B，C，解方程求出，再判断D即可. 【详解】由题意得，故有， 左右同时取对数得，故得，故A错误， 当时，，故B错误， 而当时，， 得到经过年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确， 由题意得，化简得， ， 将代入其中，可得，故D正确. 故选：CD 重难点题型3 对数函数的图像与性质 1．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、指数函数的判定与求值、对数函数的概念判断与求值 【分析】根据给定条件，依次判断代入求值. 【详解】函数，则， 所以. 故选：A 2．（2025·河北邯郸·二模）已知函数在上单调递增，且，则（   ） A．4 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】对数函数的概念判断与求值、对数的运算性质的应用 【分析】根据在上单调递增，得，由即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，所以，由已知得，整理得，解得或，得（舍去）或， 故选：D. 3．（2024·宁夏·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】对数函数的概念判断与求值、由奇偶性求参数、由函数的周期性求函数值 【分析】首先根据其为奇函数，从而得，解出值，再根据其周期计算即可. 【详解】因为在上的奇函数，所以，解得， 所以， 因为，所以的周期为6， 所以. 故选：D. 4．（2024·北京东城·一模）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求对数函数的解析式、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据函数解析式，分别计算即可得解. 【详解】函数的定义域为， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于CD，当时，，故CD错误. 故选：A. 5．（2018·重庆綦江·一模）已知函数 的零点为3，则=(   ) A．1 B．2 C． D．2017 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求对数函数的解析式、求分段函数值 【分析】由函数零点的定义可得，解得，即可得函数的解析式，计算可得的值，分析可得，结合函数的解析式可得答案. 【详解】因为函数的零点为， 则有，解可得， 则函数， 则， 则， 故选：C 6．（2025·上海宝山·二模）已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为 【答案】 【难度】0.94 【知识点】指数型函数图象过定点问题、对数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质求解即可. 【详解】令，可得. 所以定点的坐标为. 故答案为：. 7．（2024·上海普陀·模拟预测）函数，且的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 . 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先由题意结合求出点A，进而由点A在直线上得，再结合基本不等式常数“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，所以函数且的图象恒过定点， 即， 又点A在直线上，故， 又，所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 8．（2024·吉林·模拟预测）已知函数，，则实数a的值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数函数的概念判断与求值、已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据分段函数的定义计算函数值后，解方程可得． 【详解】，所以，所以，解得. 故答案为： 重难点题型4 对数型复合函数（单调性与最值） 1．（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、与二次函数相关的复合函数问题、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】由复合函数的单调性得到在上单调递增，列出不等式组，解之即得参数范围. 【详解】因为在上单调递增，由函数在上单调递增， 可得在上单调递增且恒成立， ，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 2．（2025·河北·模拟预测）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据对数函数的性质可得不等式在上恒成立，利用分离参数法和基本不等式可得.再结合复合函数的单调性及二次函数的性质即可求解实数的取值范围. 【详解】由题意可知，在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立. 又由基本不等式可得，当且仅当时，取得等号， 所以. 因为函数在上单调， 所以在上单调， 由复合函数单调性可知在上单调， 所以结合二次函数的性质可得：或，解得或. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】先求函数的定义域，再求函数在定义域上的增区间即可. 【详解】解：由已知得，解得或，函数的定义域为， 因为总为增函数，要求函数的单调递增区间， 由同增异减可得即求函数在上的增区间 由二次函数的性质可得在上的增区间为， 故函数的单调递增区间是. 故选：A. 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、根据二次函数的最值或值域求参数、二次函数的图象分析与判断、对数型复合函数的单调性 【分析】根据开口向上，故需在区间上有最小值，且，从而得到不等式，求出答案. 【详解】要使函数在区间上有最大值或最小值， 由于开口向上， 故需函数在区间上有最小值，且． 该函数图像的对称轴为直线，所以， 解得， 所以，且，即实数的取值范围为． 故选：B． 5．（2022·重庆·模拟预测）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围 【分析】根据对数函数的性质可得且，则，即可求出的大致范围，再令的根为、且，，，对分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可； 【详解】解：依题意且，所以，解得或，综上可得， 令的根为、且，，， 若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去； 若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以； 故选：A 6．（2025·贵州安顺·模拟预测）（多选题）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B． C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】A选项，利用函数奇偶性的定义判断，B选项，特值代入说明不成立，C和D选项，利用复合函数的单调性判断. 【详解】要使得函数有意义，则，解得且，所以的定义域关于原点对称， 且，从而是奇函数，A正确； ，B错误； 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，C正确； 当时，， 在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，D正确. 故选：ACD 7．（22-23高一上·陕西西安·期末）（多选题）已知函数，则（   ） A．函数的单调递增区间是 B．函数的值域是 C．函数的图象关于对称 D．不等式的解集是 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的值域、对数型复合函数的单调性、判断或证明函数的对称性、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据复合函数单调性的“同增异减”原则结合对数函数和一元二次函数性质可判断A选项；由真数部分函数的值域，结合对数函数的基本性质可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；利用对数函数的单调性解不等式，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由可得或， 所以函数的定义域为， 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且函数为增函数， 所以函数的单调递增区间是，故A错； 对于B选项，由A知函数的定义域为， 当或时，函数值域为， 所以函数的值域是，故B对； 对于C选项，因为， 所以函数的图象关于对称，故C对； 对于D选项，由可得， 解得或， 所以不等式的解集是，故D错. 故选：BC. 8．（2025·海南·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【分析】令，由复合函数可知，内层函数在上为减函数，且对任意的，恒成立，即可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】令，因为外层函数为减函数，且原函数在上单调递增， 所以内层函数在上为减函数， 且对任意的，恒成立， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 9．（2025·江西宜春·一模）已知函数在上的最小值是1，则 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、对数型复合函数的单调性 【分析】分三类，，，由复合函数的单调性判断的单调性，即可求出最小值. 【详解】若，则，在上单调递增，最小值为，不符合题意； 若，则的定义域为， 且由复合函数的单调性可知在上单调递增， 则最小值为，解得，不符合题意； 若，则的定义域为， 由题意可得，则， 此时由复合函数的单调性可知在上单调递增， 则最小值为，解得，符合题意； 综上， . 故答案为： 10．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知函数 （且）， 若有最小值， 则实数a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】利用单调性确定最小值后可得． 【详解】是减函数，在时最小值是， 若，则是减函数，时，，没有最小值，不合题意， 时，是增函数，因此要使得取得最小值，则，解得， 故答案为：． 11．（2022·江西宜春·模拟预测）若，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、求对数函数的最值 【分析】分离参数，将恒成立问题转化为函数最值问题，根据单调性可得. 【详解】因为，不等式恒成立， 所以对恒成立. 记，，只需. 因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以，所以. 故答案为： 12．（2022·上海·模拟预测）若函数（且）有最大值，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、求二次函数的值域或最值 【分析】因为内函数的是开口向下的二次函数，有最大值，则外函数为增函数，且内函数的最大值为正数，由此可列出不等式组求解. 【详解】因为内函数的是开口向下的二次函数，有最大值，则外函数为增函数，且内函数的最大值为正数,所以， 解得 故答案为： 重难点题型5 对数函数的综合问题 1．（2025·天津·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、研究对数函数的单调性、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】分和两类讨论，结合换底公式及对数函数的单调性、对数的运算性质可得关于的不等式即可求解. 【详解】当时，根据对数函数的性质可知：函数在上单调递增，符合题意； 当时，由换底公式可得， 因为函数在上单调递增，且函数在上单调递增，所以. 又，所以，，所以，所以，即，解得. 综上，a的取值范围为. 故选：A. 2．（2025·河北张家口·三模）已知函数 ，，且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】结合条件根据单调性的定义可得函数在上单调递增，然后根据分段函数单调递增法则，结合导数法及单调性的性质研究每段的单调性，列不等式组求解即可. 【详解】，，且，都有即， 记， 则由单调性的定义知，函数在上单调递增， 则需满足：在上单调递增①， 在上单调递增②， 且 ③， 对于①，要使在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立， 所以，因为，所以，解得； 对于②，因为在上单调递增， 所以在上单调递增时，； 对于③，，所以； 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B 3．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较对数式的大小、比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，利用导数分析该函数在上的单调性，可得出、的大小，再利用对数函数的单调性可得出、的大小关系，即可得出合适的选项. 【详解】令，则对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递增， 所以，，即，故， 所以，，即， 又因为，即， 因此，. 故选：A. 4．（2025·河北·模拟预测）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据对数函数的性质可得不等式在上恒成立，利用分离参数法和基本不等式可得.再结合复合函数的单调性及二次函数的性质即可求解实数的取值范围. 【详解】由题意可知，在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立. 又由基本不等式可得，当且仅当时，取得等号， 所以. 因为函数在上单调， 所以在上单调， 由复合函数单调性可知在上单调， 所以结合二次函数的性质可得：或，解得或. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 5．（2025·内蒙古通辽·三模）（多选题）已知函数(且，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的值域为 C．若，则在上单调递增 D．若，则在上单调递增 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、基本不等式求和的最小值、复合函数的单调性 【分析】对于A，代值计算即可判断；对于B，根据基本不等式求解即可；对于CD，根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于A，当时，， 则，故A错误； 对于B，当时，， 当且仅当，即时等号成立， 则的值域为，故B正确； 对于C，当时，， ，， 令，则， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故C正确； 对于D，当时，， ，， 令，则， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故D正确. 故选：BCD 6．（2024·辽宁·二模）（多选题）关于函数，下列说法正确的有（    ） A．的定义域为 B．的函数图象关于y轴对称 C．的函数图象关于原点对称 D．在上单调递增 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】由对数型复合函数的定义域即可判断A，由函数的奇偶性即可判断BC，由复合函数的单调性即可判断D 【详解】因为，则，解得， 所以的定义域为，故A正确； 因为，即为奇函数， 所以的图像关于原点对称，故B错误，C正确； 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，故D正确； 故选：ACD 7．（2025·陕西·三模）已知函数，则 ． 【答案】2783 【难度】0.65 【知识点】由函数对称性求函数值或参数、指数幂的化简、求值 【分析】将化为，可得。由此采用两项并项求和，即可求得答案. 【详解】由知， 设，则， 对照系数，得，则，即， 则， 的图象关于点中心对称； 故． 即 ， 故答案为：2783 8．（2022·浙江宁波·模拟预测）若不等式对任意的正整数恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、判断指数型复合函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式 【分析】原不等式或，利用对数函数与指数函数的性质得到关于的不等式，求出对任意的正整数都成立的的取值即可. 【详解】原不等式或， 而是正整数，于是或， 当时，由成立，得； 当，时，由成立，得， 令，函数在上都为增函数，则是上的增函数， 因此要使对，成立，当且仅当时成立即可， 当时，，于是， 所以使不等式对任意的正整数恒成立，的取值范围是. 故答案为： 9．（2024·广东·模拟预测）已知满足 ，则 ． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究方程的根、指数式与对数式的互化 【分析】原方程可化为，结合函数的单调性可得，故可求目标代数式的值. 【详解】因为，故， 因为，故，所以，设 则，故在上为增函数， 故，故，且，故， 故答案为：3. 【点睛】思路点睛：对于与指数、对数都出现的代数式，注意利用同构结合新函数的单调性进行转化. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$