课时分层检测(14)对数与对数函数-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

课时分层检测（十四） 对数与对数函数 二、多项选择题 44 …0 知识过关0… 7.函数y=loga(x十c)(a,c为常数，其中a>0,且 一、单项选择题 a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是 1.函数y=√1og0.5(4x-3)的定义域为 A.[1,+o∞) [ c(川 D.(0,别 2.若函数y=f(x)是函数y=ar(a>0,且a≠1)的 反函数，且f(2)=1,则f(x)等于 ( A.a>1 B.0<c<1 A.log2x 2 C.0<a<1 D.c>1 C.logx D.2x-2 x2-4x,x≤0， 8.已知函数f(x)= 3.若log,0.8<log,0.8<0,则x1与x2的关系正 若x1<x2< l0g2x,>0 确的是 ( x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则 A.0<x2<x1<1 B.0<x1<x2<1 下列结论正确的是 () C.1<x1<x2 D.1<x2<x1 A.x1+x2=-4 4.(2025·广州调研)对数函数y=logx(a>0,且 B.x3x4=1 a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一坐标 C.1<x4<4 系内的图象可能是 D.0<x1x2x3x4≤2 火 三、填空题 9.(2025·南京模拟)若函数y=4+log(2x-1) (a>0,且a≠1)的图象恒过点A,则点A的坐标 5.(2024·通化模拟)设a=1og0.14,b=1og5o4,则 为 ( )10.已知函数f(.x)满足f(xy)=f(x)+f(y),且当 A.2ab<2(a+b)<ab x>y时，f(x)<f(y),请你写出一个符合上述 B.2ab<a+b<4ab 条件的函数∫(x)= C.ab<a+b<2ab 11.函数f(x)=log2√(·log√2(2x)的最小值 D.2ab<a+b<ab 为 6.(2025·南通质检)函数fx)=1log影千·1og(4)12.已知函数)y=f(x),若在定义域内存在实数x, 的最小值为 使得f(-x)=-f(x),则称函数y=f(x)为定义 9 A. B.-2 域上的局部奇函数.若函数f(x)=log3(x十m)是 [一2,2]上的局部奇函数，则实数的取值范围 3 D.0 是 258 四、解答题 :14.(2024·上海卷)已知函数f(x)=logax(a>0, 13.已知f(x)=log号(x2-ax+5a). a≠1) (1)若a=2,求f(.x)的值域： (1)若函数f(x)的图象过点(4,2)，求不等式 (2)若f(x)在(1，十∞)上单调递减，求a的取 f(2x-2)<f(x)的解集； 值范围。 (2)若存在x使得f(x+1),f(ax),f(x+2)依 次成等差数列，求实数a的取值范围. 0 能力拓展。 15.(多选)(2025·北京四中模拟)已知函数f(x) =lnx十ln(2-x),则 ( A.f(x)在(0,2)上单调递增 B.f(x)在(0,2)上的最大值为0 C.f(x)的图象关于直线x=1对称 D.f(x)的图象关于点(1,0)对称 16.已知函数f(x)=logar-(a)-loga2(a>1) 有两个零点，则实数a的取值范围是 2593.A[由a=2子=1，b=3寸=5，c=25= √5，所以b<a<c.故选A.] 4,D[函数y=2在R上是增函数，而函数 f(x)=2x在区间(0,1)上单调递减， 间(0,1)上单调递减，因此号≥1，解得 a≥2， 所以a的取值范围是[2，十∞).] 5.A[:函数y=x21在(0，十∞)内单调递 减，.a-1<0,即a<1,a>0且a≠1,1 ∴.0<a<1,y=a是减函数，又a3x+1> 1 ax3x+1<-2x,x<-月，即xe (,-吉）门 :1 6.C[令g(x)=2x-2x,定义域为R, 且g(-x）=-g(x), 所以函数g(x)是奇函数，且是增函数， 因为f(x)=g(x)+1,f(a2)+f(a-2)>2, 则g(a2)十g(a-2)>0,即g(a2)>-g(a-2), 又因为g(x)是奇函数， 所以g(a2)>g(2-a), 又因为g(x)是增函数，所以a2>2-a, 解得a<-2或a>1, 故实数a的取值范围是（一∞，一2）U(1,十∞.]1 7.BCr当+1 表示过点M, y)与点A(1,-1)的直线 14 的斜率k.M(x1,y1)是y= 1 ex在x∈[0,1)图象上的动 点，如图，B(1,e),则k∈ A(1.-1) (一∞，一2]，只有B,C 满足.7 2 8.ACD[因为f(x)=a+2r十x∈R)是奇 函数，所以f(0)=0,即a十1=0，解得a= -1,A正确；因为y=2x十1为增函数，且 2 )=2十1>1，所以y2十为减函数，所 以f(x)是减函数，B不正确，C正确；因为 f(x)是奇函数，所以不等式f(21十1)+I f(t一5)0等价于不等式f(2t+1)≤ f(5一t),因为f(x)是减函数，所以21十1≥ 5t,解得心3，D正确.故选A,C,D, [原式-（合）(）-14+ 2×3÷）】 =2-1+8+(23×32)=81.] 10.ex(答案不唯一)[，f(x十1)=f(x)f1) 是加变乘， ∴，考虑指数函数类型， 又(x)<0,∴f(x)是减函数， ∴.f(x)=er满足要求.] 1. [设2r=t,0≤x≤2，则1≤t≤4， y=4÷-3×2+5=2-3+5= 4-302+分 :15 故当1=1，即=0时，画领有最大值号.] 12[-号0）：-+m-1是宠又 在[一1,1门上的“倒戈函数”， .存在x0∈[一1,1满足f(一x0)=· -f(xo）, ∴.3-x十m-1=-3-m十1， ∴.2n=-3x-32十2， 构造函数y=-35-3十2∈[-1,1]，16 令1-3[合] 令f(x)=e2十x,则原等式为f(1一2n)= f(n一1)，显然函数f(x)为增函数， 则y=一 于是1-2m=n一1，即2m+1=2, -+2=2-（+）在[ 而n>0,n>0, 1上单调递增，在(1,3]上单调递减， 因此”十⊥=+2十”=”+m十1 21 ,∴.当1=1时，函数取得最大值0， ≥2√m 5 当1=3 或=3时，函数取得最小值 当且仅当兴=兴，即m=n= 时取 3 4 3 等号， [音 所以当m=一号时 ,卫十上取得最小 又：m≠0，一3 ≤2m<0,. 2 值号] 3 n<0.] 课时分层检测（十四） 解(1)因为f(x)=2r, !1.C[函数y=√/1og,5(4.x-3)的定义战满 所以g(x)=f2.x)-f(x+2)=22x-2r+2. (4x-3>0. x> 3 因为f(x)的定义域是[0,3] log0.5(4x-3)≥0， 即 4’解得 所以0≤2x≤3， (x1, 10x+2≤3 解得0x≤1. ∠x1 4 即g(x)定义域为[0,1]. (2)g(x)=(2x)2-4×2x=(2x-2)2-4. 故函数的定义城为（1门 因为x∈[0,1]，所以22∈[1,2]， 2.A[函数y=a2(a>0,且a≠1)的反函 所以当2x=2即x=1时，g(x)取得最小 数是 值一4： f(x)=1ogx,又f(2)=1,即1og2=1, 当2x=1即x=0时，g(x)取得最大值 所以a=2.故f(x)=log2x.] -3 3.C[因为logx0.8<1ogz0.8<0, 解(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇 所以1bg0.8x2<log0.8x1<0=1og.81, 函数， 又因为y=log0.8x在(0，十o∞)上单调递减， 所以f(0)=0,即8- b+1 =0,所以a=1, 所以1<x1<x2· 4.A[若0<a<1,则函数y=logar在(0， 又因为f(一x)=一f(x), 十o∞)上单调递减，又函数y=(a-1)x2一x a 的图象开口向下，对称轴为直线x= 所以一 2 _a-2x 6+ b+2 2(a-)<0,则对称轴在y轴左侧，故C,D 错误；若a>1,则函数y=logx在(0，十∞) 将a=1代入，整理得·2十1什2 2x-12x-1 上单调递增，又函数y=(a-1)x2-x的图 1 当x≠0时，有b·2x十1=b十2r, 象开口向上，且对称轴为直线x一2(4- 即(b-1)(22-1)=0, >0,则对称轴在y轴右侧，故B错误，A 又因为当x≠0时，有2一1≠0， 正确.] 所以b一1=0，所以b=1. 5.D[因为a=log.14,b=1og04, 经检验符合题意，所以a=1,b=1. 所以a<0,b>0,所以ab<0, 1 (2)由(1)知，函数f(x)= 1-2 十 a =log0.1+lcg450-1og45∈(1,2)， 1+2 -1+2)+2--1+十2 2 即1<1+1 2 b 1+2x 所以2ab<a+b<ab.] 因为y=1+22为增函数，且1+2r>0, :6.A[由题意知f(x)的定义域为(0，十∞)， 则函数f(x)是减函数. 所以f(x)=(-2+log2x)(1+1og2x)= (3)因为存在t∈[0,4]，使f(k十2)十f(41 22)<0成立，且函数f(x)是定义在R上的 (log2 x)2-log2x-2= (1gx-） 奇函数， 9≥- 9 所以不等式可转化为f(k十2)<f(22 ,当x=√2时，函数取得最小值. 4 41), 故选A. 又因为函数f(x)是减函数， 7.BC[由图象可知0<a<1,令y=0得 所以k+2>22-41,所以k>t2-41, log(x十c)=0,x十c=1,x=1-c,由图象 令g(t)=2-4r=(t-2)2-4, 知0<1-c1,.0<c<1.] 由题意可知，问题等价转化为k>g(t)mn, 8.AB[函数f(x)= j-x2-4x,x≤0，的图 又因为g(t)mn=g(2)=一4，所以k>一4， 即实数k的取值范国为（一4，十∞）. 象如图所示， C[当K=2时，由f(x)=2> y=f(x) 2 得-1<x<1,由f(x)=2≤ 1 ,得 x≤-1或x≥1，f片(x)= 2,x≥1， ,-1<x<1,…f片(x)的单调递增区间 设f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t,则 2 01. 2r,x-1, 则直线y=t与函数y=f(x)图象的4个交 为(-∞，-1).] 点横坐标分别为x1x2,x3,工4 [由el-2m+2-2m=e"-1+,得 对于A,函数y=一x2一4x的图象关于直 线x=一2对称，则x1十x2=一4，故A e-2m+(1-2m)=e-1+(-1), 正确： 465 对于B,由图象可知|lox3|=|1og2x4|,且： 第2步：通过对数运算分离出a2 0x31<x4, 即log.(ax)2=loga[(x十1)(x十2)]，由 3.A Ce-2-log 2-10g39-logs 2-log 所以一1og2x3=log2x4,即1og2(x3x4)=0, f(x)=logx是单调函数得(ax)2=(x+1 >1og34=21og32=b,即c>b. 所以x3工4=1，故B正确： 1D(z+2,得u2-2+3x+2-2X(L)2+ a-c=1og23+log2-2>2√J1og23×log32 对于C,由图象可知log2x4∈(0,4)，则1< x -2=2-2=0,所以a>c,所以b<c<a.] x4<16,故C错误： 对于D,由图象可知一4<x1<一2， 3x+1>0 ,4.A[因为3x=4=10, 则x=1og310>log9=2,1=1og44<y 当x≤0时，f(x)=-x2-4x=-(x十2)2+4， 第3步：运用函数的单调性求范围 1og410<1og416=2,即1<y2,所以x 所以x1x2x3x4=x1(-4-x）=-x号- y>1, 设1=1，则>0，a2-212+31+1在t>0 4x1=-(x1+2)2+4=f(x1)∈(0,4)，故 从而x=logy<logx=1,所以x>y>名.] 时有解，设g(t)=22+31+1,则g(t)在；5.A[a-31og3=3 1og22-log3>1, 10g23 D错误.] 9.(1,4)[令2x-1=1,可得x=1,当x=11 (0,十∞)上单调递增，故g(t)>1,即a2> 时，y=4,所以函数图象恒过点(1,4)，门 1,得a>1. D=- 1og+16= 1×1og316_ 1 10.log号x(答案不唯一)[对于函数f(x)= ∴.a的取值范围是(1，十∞). 15.BC[f(x)=lnx+ln(2-x),定义域为 1og33 1og÷x, f(x)+f(y)=log÷x+log号y=log÷(xy)= (0,2),f(x)=ln[x(2-x)]=ln(-x2+ log342 1og3=log34>1.0<c=log43<1, f(xy), 2x),令t= -x2+2x,y=In t,t= 且当x>y时，f(x)<f(y), -x2十2x,x∈(0,2)在(0,1)上单调递增，1 在(1,2)上单调递减，.f(x)在(0,1)上单调 logz 3-log 4-g3g4-(1g 3)2-Ig 2lg 4 所以函数f(x)=log5x满足条件.] lg 2 lg 3 1g21g3 递增，在(1,2)上单调递减，故A不正确； 1g2>0,lg4>0,1g2≠lg4, 1.一子[依题意得f(x)=之1og2x·(2+ fx)mx=f(1)=0,故B正确；：f(1十x)= 1g21g4<lg2+lg4) =(1g8)2< ln(1+x)+ln(1-x),f(1-x)=ln(1 2 2log2r)=(log2x)2+log2x=(log2 x+ x)+ln(1+x),.f(1+x)=f(1-x), (1g3)2, ,,f(x)的图象关于直线x=1对称，故C! 故1og23-log34>0,∴.a>b, 号)->-子当1-- 1 ，即x 正确，D不正确.] ∴.a>b>c,故选A.] 16.(1,e)[由题知，x>0, !6.B[由指数与对数运算可得：24十log2a= 号时等号成立，所以画数的最小值 ()-logr-a)-log.2-log, 4+21og4b=22助+1ogb,又因为2必+1ogb< 226+log,26=226+1+logb,Ep 2+log2 a< 令1=受，>0， 22b十10g22b,令f(x)=2+1og2x,由指，对 函数单调性可得f(x)在(0，十∞)内单调递 12.(2,W5][因为f(x)=log3(x+m)是 则y=log。t与y=a的图象在(0，十o∞)上 增，由f(a)<f(2b)可得：a2b,所以选B.] [一2,2]上的局部奇函数， 有两个交点， !7.D[令f(x)=(18-x)lnx,x≥8， 所以x十m>0在[一2,2]上恒成立， 又y=logt与y=a互为反函数，所以交 所以n-2>0,即m>2, 点在直线y=t上， 则f'(x)=-lnx十 81 由局部奇函数的定义，存在x∈[一2,2]， 设y=logt,y=a的图象与直线y=t相 使得log3(-x十m)=一log3(x十n), f(x)=-l1nx+18-1在[8，十oo)上单调 切时，切点坐标为(n,n),n>0, 即log(-x十m)+log3(x十m)-log3(m2- aIa=l解得m=e, 递减，且f(8)--n8+号-1-5 4 -ln8< x2)=0,所以存在x∈[-2,2]， 则{mlna 使得m2-x2=1,即n2=x2十1， (am =log m, 4 -In. 1-2<0, 又因为x∈[-2,2]，所以x2+1∈[1,5]， =1,所以a=e>1, 所以m2∈[1,5]，即∈[5，-1U1,5, 所以f(x)=-1hx+18-1<0在[8， 综上，m∈(2，√5.] 所以当a=e时，y=logt和y=a只有 十∞)上恒成立， 一个交点，如图1： 13.解(1)当a=2时，f(x)=log(x2-2x 故f(x)=(18-x)lnx在[8，十∞)上单调 +10), 当a>e时，y=logt和y=a无交点，如 递减， 令t=x2-2x+10=(x-1)2+9, 图2； 所以f(8)>f(9)>f(10), 当1<a<e时，y=logt和y=a有两个 即10ln8>9ln9>8ln10,即ln810>ln99> ∴.t9,f(x)≤log59=-2, ∴，f(x)的值域为（一o∞，一2]， 交点，如图3. In 108 所以810>99>108，即a>b>.] (2)令u=x2-a.x+5a, :y=log片u为减函数，f(x)在(1，十o∞)上 8.BCD[因为y=1.7严为增函数， 所以1.72.5<1.73，故A不正确； 单调递减， u=x2-a.x+5a在(1，十∞）上单调 图 2- 递增， 图2 图3 -（合）w-(合）为成画数 综上，a的取值范国为(1，e).] 解得一 ≤a<2 所以()>（合）】 =2京，故B正确： 课时分层检测（十五） (1+4a≥0， 因为1.70.3>1，而0.93.1∈(0,1). 山的取值范西是【一子2] 1.C[:a=g十=-g41=g4,6= 所以1.70.3>0.93.1，故C正确： 14.解(1)第1步：代入求a lg号=-g21=g2,c=lg31-1g3, 因为y(号)广为减数，所以（号）< ,f(x)的图象过点(4,2)，.l0g4=2,解 得a=2. 且f(x)=lgx在(0，十∞)上是增函数， 第2步：研究函数单调性解不等式 ∴.lg4>lg3>lg2,即a>c>b.故选C.] () f(x)-log2x,显然其在定义域(0，十∞) 2.D[法一因为函数f(x)=1.01是增函 数，且0.6>0.5>0， 又y=x言在(0，十∞)上单调递增， 上单调递增， 12x-2>0 所以1.016>1.01.5>1，即b>a>1； 由f(2x-2)<f(x)有 x>0,解得1 因为函数g(x)=0.6是减函数，且0.5>0， 所以（号）<() 2x-2x 所以0.60.5<0.60=1，即c<1. 1x<2 综上，b>a>c. 所以（号）<（号）<()，D .原不等式的解集为《x1r2}. 法二因为函数f(x)=1.012是增函数， 正确. (2)第1步：由等差数列得方程 且0.6>0.5，所以1.0106>1.010.5，即b>a； ,f(x+1),f(a.x),f(x+2)依次成等差 因为函数h(x)=x0.5在(0，十∞)上单调 9.BC[由1og影m=号，可得m=2>1, 数列， 递增， 因为(2宁)6<(3宁)6，所以2立<3宁， .2f(a.x)=f(x+1)+f(x+2), 且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即 2loga (ax)=loga (x+1)+log.(x+2), a>c. 则a-lgm-子<lg3宁--0，A错 3 x>0,a>0,且a≠1， 综上，b>a>c.] 误，B正确： 466