精品解析： 2025年四川省宜宾市翠屏区中考二模数学试题

宜宾三江新区2025年春期九年级第二次诊断性考试 数学 （考试时间：120分钟，全卷满分：150分） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．（注意：在试题卷上作答无效） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义； 根据相反数的定义作答即可； 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，负整数指数幂积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键； 据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】A．，原式计算错误，故本选项不符合题意； B．，原式计算错误，故本选项不符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算正确，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 圆心角为，半径为的扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形面积公式直接计算即可求解，掌握扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 4. 将“弘扬五四精神”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体的表面上，与“弘”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 扬 B. 四 C. 精 D. 神 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查正方体相对面上字．根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答． 【详解】解：与“弘”字所在面相对面上的汉字是“精”， 故选：C． 5. 如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，正多边形的内角，圆周角定理，连接，求出的度数，根据四边形的内角和为360度求出的度数，圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， 连接， 由题意，得：， ∴， ∴； 故选B． 6. 如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点射入，经过地板反射到天花板上形成光斑．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为，当时，光斑移动的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，矩形的性质与判定，解直角三角形的应用；设中午和下午某时刻光线与地板的交点分别为，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，则四边形是矩形，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，设中午和下午某时刻光线与地板的交点分别为，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，则四边形是矩形，则， ∵， ∴， 根据对称性可得， ∴ 故选：B． 7. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设雀每只两，燕每只两，根据“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”可列出方程组，从而可得答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为： ． 故选：D． 8. 关于的不等式组的整数解仅有个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由不等式组的解的情况求参数的取值范围，先求出不等式组的解集，根据解的情况列出关于的不等式，解不等式即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组的整数解仅有个， ∴， 解得， 故选：． 9. 如图，一次函数（）的图象交轴、轴于两点，与反比例函数（，）的图象相交于点，，，．点是线段上任意一点，过点作轴平行线，交反比例函数的图象于点，连接．当面积最大时，点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，二次函数的性质，锐角三角函数函数等，过点作轴于点，由可得，由锐角三角函数得，即得，，进而可得，即可得反比例函数解析式为，再求得一次函数解析式，设，则，即得，由三角形面积公式得到，最后根据二次函数的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于点，则轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵，， ∴，， 把，代入得， ， 解得， ∴一次函数解析式， 设，则， ∴， ∴， ∵点是线段上任意一点， ∴， ∴当时，的面积最大， ∴， 故选：． 10. 如图，在中，点分别为边上的两动点，，若，，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，两点之间相等最短，勾股定理等，过点作，并使得，过点作的延长线于点，连接，可证，可得，即得，即得到的最小值为线段的长，由为等腰直角三角形可得，得到，最后利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键 【详解】解：如图，过点作，并使得，过点作的延长线于点，连接，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为线段的长， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 11. 如图，中，，，点为内一点，连接，且．若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等，把绕点顺时针旋转得到，延长交于点，可证四边形是正方形，可得，，进而得到是等腰直角三角形，即得，得到，再在中，利用勾股定理可得，即得，即得到，，最后根据计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，把绕点顺时针旋转得到，延长交于点， 则，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， 即， ∵的面积为， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 12. 关于抛物线（是常数），以下结论： ①若此抛物线与轴只有一个公共点，则； ②若此抛物线与坐标轴只有一个公共点，则； ③若点，在抛物线上，则； ④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于． 其中结论正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由可判断①；由可判断②；利用二次函数的性质可判断③；由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标为，即得抛物线的顶点所在的直线为，即得到直线与直线平行，结合图形，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可判断④，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：①若此抛物线与轴只有一个公共点， 则， 解得，故①错误； ②若此抛物线与坐标轴只有一个公共点， 则， 解得，故②正确； ③∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小， ∴点关于对称轴的对称点坐标为， ∵， ∴，故③错误； ④∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点所在的直线为， ∴直线与直线平行， 如图，设直线与轴交于点，过点作直线于点，则，， ∴是等腰直角三角形， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点到直线的距离都等于，故④正确； 综上，结论正确的有个， 故选：． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）请将答案直接填在答题卡对应题目中横线上．（注意：在试题卷上作答无效） 13. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案： 14. 若一组数据，，，，，的众数为，则这组数据的中位数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数，熟练掌握一组数据的众数和中位数的求法是解题的关键．利用一组数据，，，，，的众数为，求得的值，再利用中位数的定义求解即可． 【详解】解：∵一组数据，，，，，的众数为， ∴， ∴这组数据是，，，，，， ∵从小到大排列后最中间的两个数是，， ∴中位数是， 故答案为：． 15. 分式方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以得，， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 16. 若一个自然数，其中a与b都是两位数，a与b的十位数字相同，个位数字之和为6，则称自然数n为“理想数”，将自然数n分解成的过程，称为“理想分解”．如，所以168是“理想数”．若把一个“理想数”n进行“理想分解”，即，a与b的和记为，a与b的差的绝对值记为，，当能被3整除时，满足条件的n的最小值是__________． 【答案】1088 【解析】 【分析】本题考查了新定义、最值和整除，设a的个位数为y，则b的个位数为，求出 、，的表达式，通过分析讨论即可求得最值； 【详解】设两位a的个位数为y，十位数为x，则两位数b的个位数为． ，， ， 令 ，即 ，得 ， ，此时， ， ∵使得n的值最小， ∴只有x最小，y是满足条件， ①当，时，，不能被3整除，舍去； ②当，时，，不能被3整除，舍去； ③当，时，，不能被3整除，舍去； ④当，时，，不能被3整除，舍去； ⑤当，时，，不能被3整除，舍去； ⑥当，时，，不能被3整除，舍去； ⑦当，时，，能被3整除， 故，； 则， 故答案为：1088． 17. 如图，在中，，点分别是边上的动点，满足，，且四边形的面积为，则面积的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等，过点作于，于，可证，可得，即得点在的角平分线上，可知当时，最短，此时的面积最小，由全等三角形的性质可得，又由得，再证明，可得为等边三角形，，解直角三角形求出可得，即可得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，于，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵于，于， ∴点在的角平分线上， 当时，最短，此时面积最小， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴为等边三角形，， ∴， 设，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴面积的最小值是， 故答案为：． 18. 如图，在平行四边形中，，，，P为边上一点（不与A、D重合），Q为平面内一点，且，以为边作，使斜边，平分，交于点F，连结，在点P、Q的运动过程中，的最大值与最小值的差为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据，得出点的运动轨迹是以为圆心，2为半径的圆，根据，，，得出，可得，在中，，得出，，根据平分，得出，如图，过点作交的角平分线于点，连接．根据，得出，同理根据，得出，即可，证明得出，求出，即可得点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，根据点与圆特征得出的最大值与最小值的差是的直径． 【详解】解：∵， ∴点的运动轨迹是以为圆心，2为半径的圆， ∵，，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 如图，过点作交的角平分线于点，连接． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 根据图象可得的最大值与最小值的差， ∴的最大值与最小值的差是的直径． 故答案为：． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，圆外一点到圆上的最大值和最小值，直角三角形的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是正确做出辅助线，确定点的运动轨迹，难度较大，属于填空压轴题． 三、解答题：（本大题共7个小题，共78分．）解答中应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（注意：在试题卷上作答无效） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值，算术平方根，二次根式的运算，零指数幂，实数的性质，还考查了分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用特殊角的三角函数值，算术平方根，零指数幂，实数的性质进行化简，再进行加减即可； （2）利用分式的混合运算法则化简即可． 小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，分别以的边、向外作等边三角形、等边三角形，和相交于点M． （1）求证：． （2）求． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（）根据等边三角形性质得出，，，求出，根据证即可； （）根据全等求出，在中根据三角形的内角和定理和，即可求出答案； 本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的综合运用，熟练掌握这些知识，学会运用数形结合的思想是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（）知：， ∴， ∴， ∴在中， ； ∴ 21. 某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题： 分组 频数 A： a B： 18 C： 24 D： b （1）n的值为　　　　　，a的值为　 　，b的值为　 　； （2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为　 　°； （3）竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率． 【答案】（1）60，6，12 （2）补全频数分布直方图见解析，144 （3）恰好抽到甲、乙两名同学的概率为 【解析】 【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出n的值，即可求出a、b的值； （2）由（1）的结果补全频数分布直方图，再由乘以“C”所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 故答案为：60，6，12； 【小问2详解】 解：补全频数分布直方图如下： ； 扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为， 故答案为：144； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为． 【点睛】此题主要考查了树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22. 某校综合实践小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图所示． （1）如图，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式表示． （2）该综合实践小组前往江北烈士陵园测量革命烈士纪念碑的高度（碑顶到水平地面的距离）．该小组利用自制简易测角仪在点分别测得碑顶的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求革命烈士纪念碑的高．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （）过点向下的箭头延长与过点的水平延长线相交于点，根据直角三角形两锐角互余即可求解； （）设， 由可得，即得，再解即可求解； 【小问1详解】 解：如图，过点向下的箭头延长与过点的水平延长线相交于点，则， ∴， 即； 【小问2详解】 解：设， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 即， 解得， 即， 答：革命烈士纪念碑的高为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数相交于点和点，的延长线交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）点是线段上一点．连接，交反比例函数在第一象限的图象于点，连接，当的值最小时，求的值． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）把代入，可得反比例函数解析式，再求解，再利用待定系数法求解的解析式即可； （2）根据函数图象可得：当或时，反比例函数图象位于一次函数图象上方，从而可得答案； （3）如图，过分别作轴的平行线，交过与轴平行的平行线交于，的交点为，的交点为，可得，求解，求解直线为，可得，即，可得，同理：，可得，判断，当最小，最小，可得：，（舍去），再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， 把，代入得， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可得，当或时，反比例函数图象位于一次函数图象上方， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：如图，过分别作轴的平行线，交过与轴的平行线交于，的交点为，的交点为， ∴， ∴， ∵的延长线交反比例函数的图象于点，， ∴， 设直线为， ∴， ∴，即， ∴，解得：， 同理：， 解得：， ∴ ， ∵在线段上，当重合时， 同理可得：， 当重合时， 同理可得：， ∴， 当最小，最小， ∵， ∴， ∴此时， 解得：，（舍去）， ∴，， 同理可得：直线为， ∴， ∴， 同理可得直线为：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数，一次函数的解析式，利用函数图象解不等式，平行线分线段成比例定理，坐标与图形面积，一元二次方程根与系数的关系，作出合适的辅助线是解本题的关键． 24. 如图，锐角内接于，平分，交于点，交于点，平分，连接并延长交于点． （1）求证：是的切线． （2）若平分，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）连接，设，则，由角平分线的定义和圆周角定理可得，，由等腰三角形的性质可得，进而可得，即可求证； （）利用角平分线的定义和圆周角定理可证，即得，由可得，可得，利用余角性质得，即得，得到，进而得，再由可得，最后利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， 设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点C，且． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）在直线下方抛物线上是否存在一点D，使得的面积最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点E、F分别是射线、上的动点（如图），点P为线段的中点，且，求的最大值． 【答案】（1） （2）存在， （3）的最大值为4 【解析】 【分析】（1）先得出，结合，得，再把点、点代入，得，即可作答． （2）依题意，设，再把点、点代入，求出直线的解析式，整理得，，结合二次函数的图象性质进行分析计算，即可作答． （3）先在中，，即，证明，得，故，整理得的最大值即的最大值，在中，点T所对的边是，且，则点T的运动轨迹在的外接圆上，且在优弧上运动，当经过的外接圆的圆心时，即为的外接圆的直径时，有最大值，即可作答． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点、点， ∴， ∵与y轴交于点C，且， ∴， 即， 把点、点代入， 得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：依题意，过点D作直线轴，交于一点，连接， ∵点D在直线下方抛物线上， ∴设， 设直线的解析式， 把点、点代入， 得， 解得， ∴直线的解析式， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴开口向下， 在对称轴为直线时，有最大值， 把代入， 得， ∴， 【小问3详解】 解：依题意，延长至点G，使得，连接，在延长线上取点T，使得，连接，如图所示： ∵点，， ∴， 在中，， 即， ∵点P为线段的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值即的最大值， ∵，， ∴， 在中，点T所对的边是，且， 则点T的运动轨迹在的外接圆上， 另一方面，点T又在射线上，即点T是的外接圆与射线的交点， ∴当经过的外接圆的圆心时，即为的外接圆的直径时，有最大值， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴的最大值为4． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，解直角三角形的相关运算，倍长中线法证全等，勾股定理，圆周角定理，求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾三江新区2025年春期九年级第二次诊断性考试 数学 （考试时间：120分钟，全卷满分：150分） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．（注意：在试题卷上作答无效） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 圆心角为，半径为的扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 将“弘扬五四精神”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体的表面上，与“弘”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 扬 B. 四 C. 精 D. 神 5. 如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处点射入，经过地板反射到天花板上形成光斑．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为，当时，光斑移动的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 关于的不等式组的整数解仅有个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数（）的图象交轴、轴于两点，与反比例函数（，）的图象相交于点，，，．点是线段上任意一点，过点作轴平行线，交反比例函数的图象于点，连接．当面积最大时，点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在中，点分别为边上的两动点，，若，，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，，，点为内一点，连接，且．若的面积为，则的面积为（ ） A B. C. D. 12. 关于抛物线（是常数），以下结论： ①若此抛物线与轴只有一个公共点，则； ②若此抛物线与坐标轴只有一个公共点，则； ③若点，在抛物线上，则； ④无论为何值，抛物线顶点到直线的距离都等于． 其中结论正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）请将答案直接填在答题卡对应题目中横线上．（注意：在试题卷上作答无效） 13. 分解因式：__________． 14. 若一组数据，，，，，的众数为，则这组数据的中位数是__________． 15. 分式方程的解是______． 16. 若一个自然数，其中a与b都是两位数，a与b的十位数字相同，个位数字之和为6，则称自然数n为“理想数”，将自然数n分解成的过程，称为“理想分解”．如，所以168是“理想数”．若把一个“理想数”n进行“理想分解”，即，a与b的和记为，a与b的差的绝对值记为，，当能被3整除时，满足条件的n的最小值是__________． 17. 如图，在中，，点分别是边上的动点，满足，，且四边形的面积为，则面积的最小值是______． 18. 如图，在平行四边形中，，，，P为边上一点（不与A、D重合），Q为平面内一点，且，以为边作，使斜边，平分，交于点F，连结，在点P、Q运动过程中，的最大值与最小值的差为__________． 三、解答题：（本大题共7个小题，共78分．）解答中应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（注意：在试题卷上作答无效） 19. 计算： （1） （2） 20. 如图，分别以的边、向外作等边三角形、等边三角形，和相交于点M． （1）求证：． （2）求． 21. 某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题： 分组 频数 A： a B： 18 C： 24 D： b （1）n的值为　　　　　，a的值为　 　，b的值为　 　； （2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为　 　°； （3）竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率． 22. 某校综合实践小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图所示． （1）如图，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式表示． （2）该综合实践小组前往江北烈士陵园测量革命烈士纪念碑的高度（碑顶到水平地面的距离）．该小组利用自制简易测角仪在点分别测得碑顶的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求革命烈士纪念碑的高．（参考数据：，，） 23. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数相交于点和点，的延长线交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）点是线段上一点．连接，交反比例函数在第一象限的图象于点，连接，当的值最小时，求的值． 24. 如图，锐角内接于，平分，交于点，交于点，平分，连接并延长交于点． （1）求证：是的切线． （2）若平分，，，求长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点C，且． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）在直线下方抛物线上是否存在一点D，使得的面积最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点E、F分别是射线、上的动点（如图），点P为线段的中点，且，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $