精品解析：江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高一下学期期中调研数学试卷

2024-2025学年第二学期六校联合体期中调研 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数满足，则的虚部为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的除法化简复数，由此可得出复数的虚部. 【详解】，，因此，复数的虚部为. 故选：B. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量数量积的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得， 由可得，即，解得. 故选：C 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简求值. 详解】由题意，. 故选：C. 4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则角的值是（ ） A B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】运用正弦定理即可求出，进而可求的值. 【详解】由正弦定理可得， 即， 因为，所以， 所以， 所以或， 故选：D 5. 已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，则由题意可得，求出，从而可求出高，进而可求出圆锥的体积 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，则，解得， 则该圆锥的高， 故该圆锥的体积为， 故选：A. 6. 如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，，长米，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求出，再利用直角三角形边角关系求解即得. 【详解】在中，，，则， 由正弦定理得，则， 中，，所以. 故选：D 7. 三棱锥所有棱长都为2，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接CF，取CF的中点O，连接EO，BO，得出（或其补角）是异面直线BE与PF所成的角，根据长度关系求出（或其补角）的余弦值即可. 【详解】连接CF，取CF的中点O，连接EO，BO， ∵E是PC的中点， ∴EO∥PF， ∴（或其补角）是异面直线BE与PF所成的角. 设三棱锥P－ABC的所有棱长为2， 则, 则， 则， 在中，由余弦定理得 ， ∴异面直线BE与PF所成角的余弦值为. 【点睛】关键点睛：解题的关键是正确找出异面直线所对应的夹角，然后再解三角形. 8. 已知为的重心，过的直线分别与边交于点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设条件，利用表示，根据平面向量基本定理得出系数间的关系式，利用三角形面积公式得出所求比值为，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 如图，延长交于点，因为为的重心，所以点是的中点， 则， 因为三点共线，所以可设， 设，则， 所以，即， 又因为为的重心，所以， 所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 设为复数，下面四个命题中，真命题的是（ ） A. 若互为共轭复数，则为实数 B. 对于复数，若，则 C. 对于复数，若，则 D. 复数z满足，则的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的乘法可判断A的正误，根据反例可判断BC的正误，根据复数的几何意义可判断D的正误. 【详解】设. 对于A，因为互为共轭复数，故， 故，故A正确； 对于B， 取， 则，同理， 但，故B错误； 对于C，仍取，则， 当不成立，故C错误； 对于D，由可得对应的点为圆周上的动点， 且该圆圆心为，半径为1，故的最大值为， 故D正确； 故选：AD. 10. 在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且（），定义：，称“”为“关于的弦函数”，对于“关于x的弦函数”，下列说法正确的是（ ） A. 该函数为周期函数，且最小正周期为 B. 该函数的图象关于原点对称 C. 该函数的图象关于直线对称 D. 若，则该函数的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可得，利用辅助角公式得，利用周期公式判断A，利用代入检验法判断BC，求出函数的值域后判断D. 【详解】由三角函数的定义可得， 故， 对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， 故函数的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，时，，故， 故，故函数的值域为，故D正确； 故选：ACD. 11. 如图，正方体 的棱长为1，动点在线段 上，分别是的中点，则下列结论中正确的是（   ） A. B. 当为中点时， C. 存在点，使得平面平面 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，直接使用中位线的性质即可证明；对于B，使用等腰三角形的中线性质即可证明；对于C，使用反证法即可否定结论；对于D，直接计算出三棱锥的体积即可验证. 【详解】对于A，由于分别是的中点，故. 而，所以，故A正确； 对于B，当是的中点时，由于，故，而，所以，故B正确； 对于C，假设平面平面，则两平面没有公共点，从而两直线没有公共点，又由于两直线都在下底面内，故. 而，这意味着和重合，矛盾，故C错误； 对于D，设到平面的距离和到直线的距离分别为和，则，从而三棱锥的体积，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于C选项对线面平行和线线平行定义的运用. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知、为锐角，，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由求出，利用正切和角公式求出，结合、为锐角，得到. 【详解】因为，为锐角， 则，， 可得， 且、为锐角，则，所以. 故答案为：. 13. 在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过且过的平面与面的交线平行于即为，由此能求出过点的平面截该正方体所得的截面的周长． 【详解】正方体中，分别是棱的中点， ． 平面平面， 平面， 由正方体的棱长为4， 所以截面是以为腰，为上底，为下底的等腰梯形， 故周长为． 故答案为：. 14. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积，若且，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】由正弦定理边化角得出，再结合三角形面积公式得出，由余弦定理即可求得的值，即可求解． 【详解】， 因为，所以， 由， 由余弦定理得，， 因为，所以，则， 设，整理得，，解得或（大于1，舍去）， 所以， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在边长为2的等边中，，点是的中点，设. （1）用表示; （2）求. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的加减的三角形法则和线性运算可得. （2）利用数量积的运算律转化即可. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 . 16. 如图，在三棱柱中，底面ABC，，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过证得，且，证得平面，进而证得； （2）设与的交点为，连结，由三角形的中位线定理得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. 【小问1详解】 证明：由底面，且底面，所以， 又因为，，且平面， 所以平面， 因为，所以． 【小问2详解】 证明：设与的交点为，连结， 因为是的中点，是的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面． 17. “堆云积雪，芳华绝代”，春天的南京，是玉兰花的盛宴.清凉山公园，灵谷寺，朝天宫，总统府……处处繁花似锦，处处风姿卓越，处处雅致茂盛.除白玉兰外，南京还有黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰.已知扇形的半径为米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在线段上，且. （1）当米时，求的长； （2）问：点在什么位置时，白玉兰种植区的面积最大，并求出此时的最大值. 【答案】（1）米 （2）当位于的中点时，的面积最大，最大值为平方米 【解析】 【分析】（1）因为能得出的度数，在里用余弦定理列出关于的方程，求解方程并根据确定. （2）设，由平行得，在用正弦定理求出，进而得到面积表达式.把面积表达式化简为含三角函数的形式，根据三角函数性质求最大值，确定值，得出的位置. 【小问1详解】 由，故 ， 在中，由余弦定理可得： . 即，即 . 解得，因为，所以 答：长为米.. 【小问2详解】 设，， 由，故，又， 在中，由正弦定理得，，即， 则， 令 ， 当，即时，， 所以 ， 此时位于的中点. 答：当位于的中点时，的面积最大，最大值为平方米. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求A； （2）若为锐角三角形，求的取值范围； （3）设点E为边BC上一点，若，且，求的值. 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）由正弦边角关系，将已知条件化为，再应用余弦定理求角的大小； （2）由（1）得，再由正弦定理及三角恒等变换有，结合求范围； （3）法一：设，则，应用正弦定理得，得到，最后由求结果； 法二：由，并应用向量数量积的运算律化简求值. 【小问1详解】 由正弦边角关系得，整理得， 由余弦定理得， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 因为， 又为锐角三角形，则，得到， 所以，则， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 法一：设，则，， 在中，①，在中，②， 又， ①②得，，即， 即，解得， 所以， 因为， 则， 即， 化简得，即. 法二：， 又， 则 ， 化简得， 所以. 19. 如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点在棱上，直线平面. （1）求的值； （2）若，求三棱锥的体积； （3）设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围. 【答案】（1）2; （2）; （3）. 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，由线面平行性质定理得到，再由线段成比例可得； （2）取的中点，的中点，连接，，，由面面垂直的性质定理得到平面，然后由三角形的面积公式和棱锥的体积公式可得； （3）先由线面垂直的性质定理和判定定理得到，设，得到，再过作交于，连接，得到，然后由余弦定理和三角函数值求出的表达式，再由函数的单调性可得. 【小问1详解】 连接交于，连接. 因为直线平面，平面， 平面平面， 所以， 因为，，所以根据相似的性质可得. 则. 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接，，. 因为是边长为6的等边三角形，则，. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. ，， 由（1）可知，，所以. 【小问3详解】 因为平面，平面，所以，. 又因为，分别为，的中点，所以， 而，所以，又，平面， 则平面，又平面，得， 所以是二面角的平面角，即. 设，则，得. 过作交于，连接，由于平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角，即. ，，. 因为， 在中，根据余弦定理，， 所以， 则. 因为，所以. 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期六校联合体期中调研 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数满足，则的虚部为（ ）． A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则角的值是（ ） A B. C. 或 D. 或 5. 已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，，长米，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 7. 三棱锥所有棱长都为2，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为的重心，过的直线分别与边交于点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 设为复数，下面四个命题中，真命题的是（ ） A. 若互为共轭复数，则为实数 B. 对于复数，若，则 C 对于复数，若，则 D. 复数z满足，则的最大值为 10. 在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且（），定义：，称“”为“关于的弦函数”，对于“关于x的弦函数”，下列说法正确的是（ ） A. 该函数为周期函数，且最小正周期为 B. 该函数的图象关于原点对称 C. 该函数的图象关于直线对称 D. 若，则该函数的值域为 11. 如图，正方体 的棱长为1，动点在线段 上，分别是的中点，则下列结论中正确的是（   ） A B. 当为中点时， C. 存在点，使得平面平面 D. 三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知、为锐角，，，则_________. 13. 在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为________． 14. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积，若且，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在边长为2的等边中，，点是的中点，设. （1）用表示; （2）求 16. 如图，在三棱柱中，底面ABC，，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面． 17. “堆云积雪，芳华绝代”，春天的南京，是玉兰花的盛宴.清凉山公园，灵谷寺，朝天宫，总统府……处处繁花似锦，处处风姿卓越，处处雅致茂盛.除白玉兰外，南京还有黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰.已知扇形的半径为米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在线段上，且. （1）当米时，求的长； （2）问：点在什么位置时，白玉兰种植区的面积最大，并求出此时的最大值. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求A； （2）若为锐角三角形，求取值范围； （3）设点E为边BC上一点，若，且，求的值. 19. 如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点在棱上，直线平面. （1）求的值； （2）若，求三棱锥的体积； （3）设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$