精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学2024-2025学年高一下学期5月期中数学试题

集宁二中2024-2025学年第二学期高一年级期中考试 数学试卷 命题人：索明稳；审题人：高一数学组 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 复数（其中为虚数单位）在复平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. （ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量,若,则等于 A. B. C. 8 D. 6. 已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角所对的边分别为，已知，，则 A. B. C. D. 8. 正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（ ） A. B. C. D. 19 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C. D. 10. 已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 11. 在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则的面积为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为_____. 13. 在中，，，分别是角，，所对的边，且，是方程的两个根，，则______． 14. 函数（）的部分图象（点在图象上）如图所示，则的解析式为_____． 四、解答题（共77分） 15. 已知，复数． （1）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； （2）若z满足，，求的值． 16. 已知，. （1）若，，且、、三点共线，求的值. （2）当实数为何值时，与垂直? 17. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点. （1）求证：∥平面； （2）求三棱锥的体积. 18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）设，． （i）求的值； （ii）求的值． 19. 已知函数. （1）求的最小正周期及对称轴、对称中心； （2）求单调递增区间； （3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集宁二中2024-2025学年第二学期高一年级期中考试 数学试卷 命题人：索明稳；审题人：高一数学组 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 复数（其中为虚数单位）在复平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘法和复数的几何意义可得答案. 【详解】因为，在复平面上对应的点位于第二象限， 故选：B. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】由题意可得， 故选：D 3. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用全称量词命题与存在量词命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 可得命题，的否定是：，. 故选：A 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过特殊角三角函数值即可求解. 【详解】. 5. 已知平面向量,若,则等于 A. B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求出向量的坐标，进而可得. 【详解】,所以， 故选：D. 【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的模，是基础题. 6. 已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方体的内切球、外接球的半径与正方体边长关系可求解. 【详解】设正方体的边长为， 则正方体内切球的半径为，内切球的体积等于，解得， 所以正方体的体对角线等于， 所以正方体外接球的半径等于，则外接球的表面积等于， 故选:B. 7. 在中，内角所对的边分别为，已知，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理得 选B. 8. 正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（ ） A. B. C. D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】正四棱台补成正四棱锥，根据长度比例关系结合锥体的体积运算求解即可. 【详解】将正四棱台补成正四棱锥，如图所示： 因为，可知为相应棱的中点， 则，可得， 所以该棱台的体积. 故选：B. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据幂函数和反比例函数的图象与性质依次判断可. 【详解】对于A，为其定义域上的增函数，是奇函数，故A正确； 对于B，为其定义域上的增函数，是奇函数，故B正确； 对于C，为奇函数，但只在和上分别为增函数， 不是整个定义域上的增函数，故C错误； 对于D，为偶函数，故D错误. 故选：AB. 10. 已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】解不等式求得：，利用充分不必要条件的概念计算即可. 【详解】由，解得. 要满足题意，只需在的子集中确定即可， 显然和都是命题成立的充分不必要条件. 故选：AB. 11. 在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由时，，故为等腰三角形，可判断；由正弦定理边化角代入可证明，判断；由余弦定理得是钝角，可判断；由三角形的面积公式计算即可，判断. 【详解】对于，因为在中，， 所以当时，，故为等腰三角形，故正确； 对于，由正弦定理，得， 所以，故正确； 对于，由余弦定理得， 又因为是中的一个内角，所以， 所以是钝角三角形，故错误； 对于，，故正确. 故选：. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式求解即得. 【详解】函数的意义，则，解得， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 13. 在中，，，分别是角，，所对的边，且，是方程的两个根，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数之间的关系，结合余弦定理进行求解即可． 【详解】由题意得，又已知， 则由余弦定理，得， 所以． 故答案为：． 14. 函数（）的部分图象（点在图象上）如图所示，则的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由最值得，再由和分别解出和，从而得到的解析式. 【详解】因为最小值是，所以， 因为，所以，因为，所以， 所以， ，所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知，复数． （1）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； （2）若z满足，，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出复数对应点的坐标，进而列出不等式组求解. （2）利用给定条件，结合复数相等求出，再利用复数除法及模的意义求解. 【小问1详解】 复数在复平面内对应的点为， 由z在复平面内对应的点位于第四象限，得，解得， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 依题意，， 又，则，解得， ， 所以. 16. 已知，. （1）若，，且、、三点共线，求的值. （2）当实数为何值时，与垂直? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出、的坐标，由、、三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值； （2）依题意可得，根据数量积的坐标表示计算可得． 【小问1详解】 因为，， 所以，， 因为、、三点共线， 所以， 所以，解得. 【小问2详解】 因为， ， 又与垂直， ，解得． 17. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点. （1）求证：∥平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1） 连接，设，连接， 在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点， 又因为为的中点，则， 因为平面，平面，所以∥平面. （2） 【解析】 【分析】（1）做辅助线，可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）利用转换顶点法，根据面积公式求，结合锥体的体积公式运算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 在中，，E为的中点，， 可得， 所以. 18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）设，． （i）求的值； （ii）求的值． 【答案】（1） （2） ； 【解析】 【分析】根据余弦定理化简求出角. 根据已知条件套用余弦定理求. 根据二倍角，两角和与差公式代入求解即可. 【小问1详解】 因为得； 即，得； 所以，因为； 所以. 【小问2详解】 ，则. ，则，. 所以. 19. 已知函数. （1）求的最小正周期及对称轴、对称中心； （2）求单调递增区间； （3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），对称轴为，对称中心为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及两角和的正弦公式化简，再由正弦函数的性质计算可得； （2）结合正弦函数的性质计算可得； （3）由的范围求出的范围，即可求出函数的值域，从而得解. 【小问1详解】 因为 ， 即，所以的最小正周期， 令，解得，故对称轴为； 令，解得，故对称中心为. 【小问2详解】 令， 解得，所以单调递增区间为； 【小问3详解】 当时，，所以， 则在上的值域为， 因为不等式恒成立，所以，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $