1.2 常用逻辑用语（3大考点+5大题型）（讲义+精练）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

1.2　常用逻辑用语 目录 01 课表要求 2 02 落实主干知识 3 一、充分条件与必要条件 3 二、全称量词和存在量词 3 三、常用二级结论 4 03 探究核心题型 5 题型一：充分、必要条件的判定 5 题型二：利用充分条件与必要条件关系求参 5 题型三：含量词的命题的否定 6 题型四：含量词的命题的真假判断 7 题型五：利用命题的真假求参 7 04 好题赏析（一题多解） 8 05 数学思想方法 9 ①数形结合 9 ②转化与化归 9 ③分类讨论 10 06 课时精练（真题、模拟题） 11 基础过关篇 11 能力拓展篇 13 1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 2、理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定. 一、充分条件与必要条件 1、定义 如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件． 2、从逻辑推理关系上看 p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充要条件 且 p是q的充分不必要条件 且 是的必要不充分条件 且 是的既不充分也不必要条件 且 3、大小关系（设包含的对象分别组成集合） ①若，则是的充分条件 ②若，则是的必要条件 ③若，则是的充分不必要条件 ④若，则是的必要不充分条件 ⑤若，则是的充要条件 二、全称量词和存在量词 1、全称量词与存在量词的概念 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示. 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示. 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某些、某个、有些、某些等 2、全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对中任意一个，有成立 存在中一个，有成立 简记 ， ， 否定 ， ， 三、常用二级结论 1、从集合与集合之间的关系上看 设． （1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 简记：“小大”． （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件． 题型一：充分、必要条件的判定 【例1】（2025·广东深圳·二模）在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题总结】 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据，是否成立进行判断. (2)集合法：根据，成立对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止. 【变式1-1】（2025·河南开封·二模）设，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（2025·陕西渭南·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二：利用充分条件与必要条件关系求参 【例2】（2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题总结】 求参数问题的解题方法：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. 【变式2-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·吉林延边·一模）若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：含量词的命题的否定 【例3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【解题总结】 含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论. 【变式3-1】（2025·河北保定·一模）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）命题，的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-3】（2025·甘肃庆阳·模拟预测）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 题型四：含量词的命题的真假判断 【例4】（2025·湖北宜昌·二模）已知命题，，命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【解题总结】 判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假. 【变式4-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【变式4-2】（2025·河北唐山·一模）已知命题；命题．则（    ） A．和都是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．和都是假命题 【变式4-3】（2025·陕西西安·二模）已知命题；命题，则（   ） A．p和都是真命题 B．和都是真命题 C．p和q都是真命题 D．和q都是真命题 题型五：利用命题的真假求参 【例5】（2025·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题总结】 由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围. 【变式5-1】（2025·辽宁·一模）若命题“”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·重庆·模拟预测）已知命题，若是假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ①数形结合 1．“”是“圆不经过第三象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知命题，为假命题，则a的取值范围为     A． B． C． D． 3．在中，，点P在边BC上，则“”是“P为BC中点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ②转化与化归 4．若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知x，y是实数，则“”是“”是的    A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件．则“”表示的数字是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 ③分类讨论 7．设甲：“函数在单调递增”，乙：“”，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．“R，使”的一个充分不必要条件是      A． B． C． D．或 基础过关篇 1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4．（2025·北京昌平·二模）设数列是公比不为1的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·北京·二模）设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·陕西咸阳·三模）已知，且：关于的不等式无解；：直线的斜率非负，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2024年北京高考数学真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2024年天津高考数学真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2023年天津高考数学真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 10．（2025·全国·模拟预测）“”是“圆截直线所得弦长为2”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2025·辽宁·三模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2025·全国·模拟预测）已知等比数列的公比为，甲：数列是递增数列，乙：，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 13．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义新运算：，设，命题，则（ ） A．，且为假 B．，且为假 C．，且为真 D．，且为真 14．（多选题）（2025·甘肃金昌·模拟预测）在中，，，，则“有唯一解”的充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 15．（多选题）（2025·河南·三模）若，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 16．（多选题）下列四个结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．命题“任意，则”的否定是“存在，则”． D．“”是“”的必要不充分条件 17．（多选题）（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值可以是（    ） A．1 B． C．2 D．4 18．（2025·辽宁·模拟预测）已知命题“，”的否定为真命题，则的取值范围为 ． 19．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：，，则命题p的否定为 ． 20．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 21．已知，则是的条件 .（在充分不必要､必要不充分､充要､既不充分也不必要中选一个正确的填入） 能力拓展篇 22．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 23．（2025·北京东城·二模）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 24．（多选题）（2025·高三·湖南·开学考试）设，则使得“”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2　常用逻辑用语 目录 01 课表要求 3 02 落实主干知识 4 一、充分条件与必要条件 4 二、全称量词和存在量词 4 三、常用二级结论 5 03 探究核心题型 6 题型一：充分、必要条件的判定 6 题型二：利用充分条件与必要条件关系求参 7 题型三：含量词的命题的否定 9 题型四：含量词的命题的真假判断 10 题型五：利用命题的真假求参 11 04 好题赏析（一题多解） 13 05 数学思想方法 15 ①数形结合 15 ②转化与化归 17 ③分类讨论 18 06 课时精练（真题、模拟题） 21 基础过关篇 21 能力拓展篇 28 1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 2、理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定. 一、充分条件与必要条件 1、定义 如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件． 2、从逻辑推理关系上看 p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充要条件 且 p是q的充分不必要条件 且 是的必要不充分条件 且 是的既不充分也不必要条件 且 3、大小关系（设包含的对象分别组成集合） ①若，则是的充分条件 ②若，则是的必要条件 ③若，则是的充分不必要条件 ④若，则是的必要不充分条件 ⑤若，则是的充要条件 二、全称量词和存在量词 1、全称量词与存在量词的概念 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示. 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示. 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某些、某个、有些、某些等 2、全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对中任意一个，有成立 存在中一个，有成立 简记 ， ， 否定 ， ， 三、常用二级结论 1、从集合与集合之间的关系上看 设． （1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 简记：“小大”． （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件． 题型一：充分、必要条件的判定 【例1】（2025·广东深圳·二模）在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】在四边形中，若，则四边形为平行四边形， 若，则平行四边形为菱形，但不一定为正方形， 四边形是正方形时，必有，即有， 故“”是“四边形是正方形”的必要不充分条件. 故选：B. 【解题总结】 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据，是否成立进行判断. (2)集合法：根据，成立对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止. 【变式1-1】（2025·河南开封·二模）设，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，当时，满足，但是不符合，故不是的一个充分条件，故A错误； 对于B，，即，即，所以是的必要不充分条件，故B错误； 对于C，，即，故是的充要条件，故C错误； 对于D，，即，，故是的一个充分不必要条件，故D正确. 故选：D 【变式1-2】（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，充分性成立； 设，则有满足， 此时有，不满足，故必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1-3】（2025·陕西渭南·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由可知，或，，此时， 即“”“”； 但当时，取，，此时， 即“” “”， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 题型二：利用充分条件与必要条件关系求参 【例2】（2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， 因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集, 可得，等号不同时成立，结合，解得， 所以的取值范围为， 故选：B 【解题总结】 求参数问题的解题方法：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. 【变式2-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，即， 则或，即， 又是的必要不充分条件，则或，即或. 则的取值范围为. 故选：B 【变式2-2】（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A 【变式2-3】（2025·吉林延边·一模）若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由＂＂的充分不必要条件是＂＂， 得，但， 所以． 故选：B. 题型三：含量词的命题的否定 【例3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知： 命题“”的否定是“”. 故选：D 【解题总结】 含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论. 【变式3-1】（2025·河北保定·一模）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以为“”. 故选：A. 【变式3-2】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）命题，的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】，的否定是，. 故选：A 【变式3-3】（2025·甘肃庆阳·模拟预测）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】命题“”的否定是“”. 故选:D. 题型四：含量词的命题的真假判断 【例4】（2025·湖北宜昌·二模）已知命题，，命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【解析】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，不妨取，由，则命题为真命题，因此，和都是真命题. 故选：B. 【解题总结】 判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假. 【变式4-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【解析】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，由可得或，则命题为真命题， 因此，和都是真命题. 故选：B. 【变式4-2】（2025·河北唐山·一模）已知命题；命题．则（    ） A．和都是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．和都是假命题 【答案】B 【解析】对于命题，因为当时，，故命题是假命题； 对于命题，当时，，故命题是真命题. 故选：B. 【变式4-3】（2025·陕西西安·二模）已知命题；命题，则（   ） A．p和都是真命题 B．和都是真命题 C．p和q都是真命题 D．和q都是真命题 【答案】C 【解析】当时，成立，所以为真命题； 因为，当且仅当，即时等号成立， 而，所以为真命题, 所以都是假命题. 故选：C 题型五：利用命题的真假求参 【例5】（2025·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可得，命题“”的否定， 即命题“”真命题， 根据二次函数的性质可得，应有， 解得. 故选：C. 【解题总结】 由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围. 【变式5-1】（2025·辽宁·一模）若命题“”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为“”是假命题，所以“”是真命题； 即a要小于等于的最小值，又当时，，故. 故选：C 【变式5-2】（2025·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题. 对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于. 因为恒成立，所以，即，解得. 故选：A. 【变式5-3】（2025·重庆·模拟预测）已知命题，若是假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是假命题，则命题为真命题， 所以 又，当且仅当时取等号， 所以， 故选：B. 1．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C ①数形结合 1．“”是“圆不经过第三象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B  【解析】圆，即， 则圆心为，半径为，且，即， 圆心在第一象限，圆心到原点的距离为， 要圆不经过第三象限，则，解得， 综上圆C不经过第三象限时， 所以“”是“圆不经过第三象限”的必要不充分条件． 故选： 2．已知命题，为假命题，则a的取值范围为     A． B． C． D． 【答案】D  【解析】由题意知，， 令，则， 作出函数的图象如图所示， 若，则直线与函数的图象没有公共点， 数形结合可知， 所以a的取值范围为 故选： 3．在中，，点P在边BC上，则“”是“P为BC中点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B  【解析】 在直角三角形ABC中，若P为BC中点，由直角三角形的性质可得成立，即必要性成立， 构造矩形ABDC，其中O为矩形对角线的交点， 则， 点P在边BC上，且， ，则，则P不一定与O重合，即充分性不成立， 故“”是“P为BC中点”的必要不充分条件， 故选： ②转化与化归 4．若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C  【解析】若“，使得成立”是假命题， 即“，使得成立”是假命题， 故，恒成立， 令，， 根据对勾函数的性质知：在递增， 所以， ， 故选： 5．已知x，y是实数，则“”是“”是的    A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D  【解析】若，满足，此时，所以不是的充分条件， 反过来，若，满足，此时，所以也不是的必要条件， 所以”是“”的既不充分也不必要条件． 故选： 6．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件．则“”表示的数字是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 【答案】C  【解析】 因为此数为小于5的正整数，所以 因为是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，所以，，故且，解得，故“”表示的数字是1或故选 ③分类讨论 7．设甲：“函数在单调递增”，乙：“”，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A  【解析】对于甲：若，则，不合题意； 若，则， 因为，则，且， 可知在内不是单调递减函数 所以函数在不是单调递增，不合题意， 若，因为，则，且 因为函数在单调递增，则，解得； 综上所述：甲等价于“” 又因为是的真子集，所以甲是乙的充分不必要条件． 故答案为： 8．若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D  【解析】 由得或，即不等式的解集为或， 由得， 若，则不等式的解为，此时不等式的解集为， 若，则不等式的解集为或， 若，不等式的解集为或， 若“”是“”的必要不充分条件， 则， 则当时，不满足条件． 当时则满足，即，得， 当时，则满足，得，得 综上实数a的取值范围， 故选： 9．“R，使”的一个充分不必要条件是      A． B． C． D．或 【答案】C  【解析】若R，使， 当时：有解； 当时：开口向上有解， 当时：满足 综上：， 则“R，使”的一个充分不必要条件是， 故选 基础过关篇 1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【解析】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【解析】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 4．（2025·北京昌平·二模）设数列是公比不为1的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若“数列为递减数列”，易得， 若“对任意的正整数，”， ， 当时，由，得， 解得：或， 若，则，此时，与已知矛盾； 若，则，由指数函数单调性可知单调递减； 当时，由，得， 解得：或， 若，则，此时，与已知矛盾； 若，则，由指数函数单调性可知单调递减； 综上可知：若，可判断数列为递减数列， 所以“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的充要条件， 故选：C 5．（2025·北京·二模）设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若与共线，则存在实数，使得，即， 由于平面向量与不共线，所以且，故， 因此“与共线”是“”的充要条件， 故选：C 6．（2025·陕西咸阳·三模）已知，且：关于的不等式无解；：直线的斜率非负，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】对于：关于的不等式无解， 则，即， 对于：直线的斜率非负， 即，得， 所以，但， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 7．（2024年北京高考数学真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 8．（2024年天津高考数学真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 9．（2023年天津高考数学真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 10．（2025·全国·模拟预测）“”是“圆截直线所得弦长为2”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得，即，解得或3， 所以“”是“圆截直线所得弦长为2”的充分不必要条件. 故选：A． 11．（2025·辽宁·三模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若，则满足，但不满足，故无法得到； 若，则满足，但不满足，故无法得到， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 12．（2025·全国·模拟预测）已知等比数列的公比为，甲：数列是递增数列，乙：，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】D 【解析】如时，等比数列是递增数列，公比，由甲不能推出乙； 当时，如，时，，不是递增数列， 乙不能推出甲，所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件， 故选：D． 13．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义新运算：，设，命题，则（ ） A．，且为假 B．，且为假 C．，且为真 D．，且为真 【答案】D 【解析】因为，且， 则，， 可得，即命题为假命题， 所以，且为真命题. 故选：D. 14．（多选题）（2025·甘肃金昌·模拟预测）在中，，，，则“有唯一解”的充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由正弦定理可得，即． 对于A，当时，，可得，故得，解唯一，故A正确； 对于B，当时，，因，则，角有两解，解不唯一，故B错误； 对于C，当时，则，则，故，则，解唯一，故C正确； 对于D，当时，，因，则，角有两解，解不唯一，故D错误. 故选：AC． 15．（多选题）（2025·河南·三模）若，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】，故“”是“”的充要条件，故A错误； 由得能推出， 反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 由可得， 故，反之不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 易知“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：BCD. 16．（多选题）下列四个结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．命题“任意，则”的否定是“存在，则”． D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】CD 【解析】A. 取，不满足，故A错误； B. 取符合题意，但，故B错误； C.全称命题的否定：任意改存在，则后改否定，故C正确； D.若 ，则不一定成立，例如； 若，则成立，故D正确. 故选：CD. 17．（多选题）（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值可以是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】BC 【解析】由题意得，解得，则BC符合题意. 故选：BC. 18．（2025·辽宁·模拟预测）已知命题“，”的否定为真命题，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意得“，”为真命题， 所以在区间内有解， 又知在区间内单调递增，所以， 故的取值范围为． 故答案为： 19．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：，，则命题p的否定为 ． 【答案】 【解析】命题p：，的否定为：， 故答案为： 20．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题，为真命题， 所以，对， 又在上的最小值为， ， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 21．已知，则是的条件 .（在充分不必要､必要不充分､充要､既不充分也不必要中选一个正确的填入） 【答案】必要不充分 【解析】， 当时，，解集不是，舍去， 当时，，解得. 综上：. 因为，所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 能力拓展篇 22．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件.故选：C 23．（2025·北京东城·二模）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】充分性：因为，所以或， 当时，或，， 当时， 或，， 可得或，所以充分性不成立， 必要性：若， 当为偶数时，设，则， 则，满足， 当为奇数时，设，则， 则，满足， 所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 24．（多选题）（2025·高三·湖南·开学考试）设，则使得“”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由题意可得，函数单调递增，故， 对于A，，故“”是“”的充要条件，故A错误； 对于B，由得，能推出，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，由可得，故，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，或，故“”是“”的充分不必要条件，故D正确， 故选：BCD． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $$