精品解析：安徽省蚌埠市固镇县第二中学2024-2025学年高二下学期第二次段考数学试题

固镇二中24~25学年度第二学期第二次段考 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章~第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 书架上有3本不同的数学书，4本不同的物理书，图书管理员从中任取2本，则不同的取法种数为（ ） A. 7 B. 12 C. 21 D. 42 2 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，为的导函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知离散型随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中的常数项为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 7. 两批同种规格的产品，第一批占，次品率为，第二批占，次品率为.将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是次品的概率为（ ） A. 0.036 B. 0.044 C. 0.966 D. 0.956 8. 某校提供了3个兴趣小组供学生选择，现有5名学生选择参加兴趣小组，若这5名学生每人选择一个兴趣小组且每个兴趣小组都有人选，则这5名学生不同的选择方法有（ ） A. 270种 B. 180种 C. 150种 D. 90种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则满足不等式的的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 设离散型随机变量的分布列为 2 3 4 0.3 0.4 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知某品牌一种型号的LED灯的使用寿命X（单位：小时）服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） 参考数据：若，则，． A. 该型号LED灯平均使用寿命是60000小时 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______. 13. 某天文兴趣小组开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为________．（用数字作答） 14. 已知函数在定义域内单调递增，则实数m的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学生想在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目. （1）若任意选择三门课程，求不同选法总数； （2）若物理和历史不能同时选，求不同的选法总数. 16. 已知函数． （1）求函数的极大值； （2）求函数在区间上的最小值． 17. 在一个不透明的箱子里有8个大小相同的小球，其中5个黑球，3个红球.从中不放回地依次摸出3个小球. （1）求前两次摸出的球均为黑球的概率； （2）记表示摸出的小球中红球的数量，求的分布列及其数学期望. 18. 某学校门口设置了限时停车场，制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟免费，超过15分钟但不超过30分钟收费5元，超过30分钟但不超过45分钟收费15元，超过45分钟但不超过60分钟收费30元，超过60分钟必须离开停车场.甲､乙两位家长相互独立地来该停车场停车，且甲､乙的停车时间的概率如下表所示： 停车时间/分钟 甲 乙 （1）求甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率； （2）设甲所付停车费用为，乙所付停车费用为，在的条件下，求的概率. 19. 已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为. （1）求的值； （2）证明：对； （3）已知数列的前项和，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 固镇二中24~25学年度第二学期第二次段考 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章~第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 书架上有3本不同的数学书，4本不同的物理书，图书管理员从中任取2本，则不同的取法种数为（ ） A. 7 B. 12 C. 21 D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类加法原理以及组合数的概念，可得答案. 【详解】由题可知不同的取法的种数为. 故选：C. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率的公式求解，即可得出答案. 【详解】由条件概率公式可得， . 故选：B. 3. 已知函数，为导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导数的运算法则即可判断. 【详解】由，得． 故选：D． 4. 已知离散型随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点分布可得，再结合已知即可得. 【详解】离散型随机变量服从两点分布，则， 又，所以. 故选：A. 5. 函数的单调递增区间为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，解不等式即可求解. 【详解】由题意可知函数的定义域为，， 令，得，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 6. 的展开式中的常数项为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二项展开式的通项中令计算可得. 【详解】展开式的通项为， 令，解得， 所以的展开式中的常数项为． 故选：C． 7. 两批同种规格的产品，第一批占，次品率为，第二批占，次品率为.将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是次品的概率为（ ） A. 0.036 B. 0.044 C. 0.966 D. 0.956 【答案】B 【解析】 【分析】利用全概率公式即可求解. 【详解】设事件为“取到的产品是次品”，为“取到的产品来自第批”， 则，，，， 由全概率公式，可得. 所以这件产品是次品的概率为. 故选：B. 8. 某校提供了3个兴趣小组供学生选择，现有5名学生选择参加兴趣小组，若这5名学生每人选择一个兴趣小组且每个兴趣小组都有人选，则这5名学生不同的选择方法有（ ） A. 270种 B. 180种 C. 150种 D. 90种 【答案】C 【解析】 【分析】把问题转化为先把5名同学分为3组，再把这3组同学分配给3个兴趣小组即可解决. 【详解】先将5名学生分成三组，每组人数有1，1，3或2，2，1两种情况， 则不同的分组方法有，再由这3组学生选取3个兴趣小组，不同的选法有种， 由分步乘法计数原理可知这5名学生不同的选择方法有种． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则满足不等式的的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】AB 【解析】 【分析】求出列出不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 即，又， 所以或4. 故选：AB. 10. 设离散型随机变量的分布列为 2 3 4 0.3 0.4 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据分布列的性质得出.进而根据期望方差公式得出的值，根据对应关系，得出的值. 【详解】对于A、B项，由表格可得，所以. 则， .故A正确，B错误； 对于C、D项，因为，，， 所以，，.故C错误，D正确. 故选：AD. 11. 已知某品牌的一种型号的LED灯的使用寿命X（单位：小时）服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） 参考数据：若，则，． A. 该型号LED灯的平均使用寿命是60000小时 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正态分布的性质，计算可判断结论. 【详解】因为使用寿命X（单位：小时）服从正态分布， 所以，可得该型号LED灯的平均使用寿命是60000小时，故A正确； 所以，故B错误； 由，可得，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用赋值法求解即可. 【详解】在中， 令，得. 故答案为： 13. 某天文兴趣小组开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为________．（用数字作答） 【答案】2880 【解析】 【分析】相邻问题排列，先将4名女生排在一起，作为一个整体再与剩下男生全排列可得. 【详解】先将4名女生排在一起，有种方法，再将4名女生作为一个整体和4名男生排列，有种方法，故4名女生相邻的站法种数为． 故答案为：2880. 14. 已知函数在定义域内单调递增，则实数m的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】通过分离参数，将问题转化为求新函数的最小值，进而确定参数的取值范围. 【详解】，因为函数在定义域内单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，则，令，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以，所以，即实数m的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学生想在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目. （1）若任意选择三门课程，求不同的选法总数； （2）若物理和历史不能同时选，求不同的选法总数. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用组合数来求解即可 （2）利用间接法，结合组合数来求解即可. 【小问1详解】 在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目， 若任意选择三门课程，则不同的选法总数有种； 【小问2详解】 在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目， 若物理和历史不能同时选，则不同的选法总数有种. 16. 已知函数． （1）求函数的极大值； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1）极大值为24； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用导函数分析函数的单调性，从而求得极大值； （2）利用（1）中分析所得函数的单调性，比较极小值和端点值的大小，得出最小值. 【小问1详解】 由，得， 令，得或． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以当时，取到极大值， 所以函数的极大值为24． 【小问2详解】 由（1）可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 又， 所以在区间上的最小值为． 17. 在一个不透明的箱子里有8个大小相同的小球，其中5个黑球，3个红球.从中不放回地依次摸出3个小球. （1）求前两次摸出的球均为黑球的概率； （2）记表示摸出的小球中红球的数量，求的分布列及其数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）求出每次为黑球的概率，在相乘即可； （2）写出随机变量的所有取值，再求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】 由题意，前两次摸出的球均为黑球的概率； 【小问2详解】 由题意，可取， 则， ， ， ， 所以分布列为 . 18. 某学校门口设置了限时停车场，制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟免费，超过15分钟但不超过30分钟收费5元，超过30分钟但不超过45分钟收费15元，超过45分钟但不超过60分钟收费30元，超过60分钟必须离开停车场.甲､乙两位家长相互独立地来该停车场停车，且甲､乙的停车时间的概率如下表所示： 停车时间/分钟 甲 乙 （1）求甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率； （2）设甲所付停车费用为，乙所付停车费用为，在条件下，求的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由分布列性质求得，再由独立事件乘法公式及互斥事件加法公式即可求解； （2）求得的概率，再由条件概率公式即可求解； 【小问1详解】 由题意可得：， 所以， 甲所付停车费用小于乙所付停车费用有以下情况： 甲，乙或或，概率为：； 甲，乙或，概率为：； 甲，乙，概率为：； 所以甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率为： 【小问2详解】 有以下情况： 甲，乙；概率为：； 或甲，乙；概率为：； 或甲，乙；概率为：； 所以, 所以 19. 已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为. （1）求的值； （2）证明：对； （3）已知数列前项和，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）运用即可求解，再进行检验即可； （2）通过构造新函数，研究其单调性来证明不等式； （3）先根据和的关系求出，再结合前面的结论进行放缩得到，进而结合等比数列求和证明不等式即可. 【小问1详解】 由，得， 因为函数的极值点为0，所以，解得， 此时，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以0是函数的极值点，满足题意，即. 【小问2详解】 令， 则， 因为，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在唯一，使得， 即，， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则 ， 当且仅当，即或时等号成立，但，所以等号不成立， 所以，即． 【小问3详解】 证明：当时，， 当时，，满足上式， 所以． 由（2）知对，即， 取，则， 所以，即， 所以 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$