河北省衡水市武强中学2024-2025学年高一年级下学期期末考试数学试题

武强中学2024--2025学年度下学期期末考试 高一数学试题 出题人：郝敬先 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则的面积是（    ）    A．6 B．10 C．12 D．24 2．已知点，，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．在中，内角的对边分别为，则（    ） A． B． C． D．1 4．在中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，若，则角A的大小为（    ） A． B． C． D． 5．底面圆周长为，母线长为4的圆锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 6．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为（   ） A． B． C． D． 8．在中，，点E在上，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分） 9．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（    ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台轴截面面积为 D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为 11．已知的内角所对的边分别为，则（    ） A． B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则的形状能唯一确定 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．复数的虚部为 ． 13．已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为 ． 14．已知满足，若在方向上的投影向量为，则 ． 四、解答题（共77分） 15．（本小题13分）已知，. (1)求； (2)若在复平面内对应的向量分别为，且，求实数的值. 16．（本小题15分）如图，在四边形ABCD中，，，，，. (1)求及AD的长度； (2)求BC的长度. 17（本小题15分）．如图，在直三棱柱中，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)若 求直三棱柱的体积和表面积； 18．（本小题17分）在锐角中，角的对边分别为，，，已知且． (1)求角A的大小； (2)若，求的面积； (3)求的取值范围． 19．（本小题17分）如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上． (1)求证：平面平面； (2)当，且为的中点时，求与平面所成的角的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年5月13日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C B C D B C ABC CD 题号 11 答案 AB 1．C 【分析】根据直观图与斜二测画法的定义求解. 【详解】由题可知，为直角三角形，且，如图：    由斜二测画法知，所以. 故选：C. 2．A 【分析】设点的坐标为，根据平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标. 【详解】点、，且， 设点的坐标为，则， 所以，，，求得，，故点的坐标为， 故选：A． 3．C 【分析】利用三角函数诱导公式及定义法求向量数量积． 【详解】解：中，内角，，的对边分别为，，，，，， 则， 故选：C． 4．B 【解析】利用垂直的数量积为0与余弦定理求解即可. 【详解】因为,所以, 即,所以因为,故 故选：B． 【点睛】本题主要考查了向量垂直与数量积的运用以及余弦定理求角度的问题,属于基础题型. 5．C 【分析】作圆锥与其内切球的轴截面，利用直角三角形求出内切球的半径，再计算内切球的体积. 【详解】由题意可知，圆锥的母线，底面半径， 根据题意可作圆锥与其内切球的轴截面如图所示： 根据圆锥和球的对称性可知，球的截面为圆，即为等腰的内切圆， 即，，，， 在中，，由，，则， 在中，，即， 可得，解得，即内切球的半径， 故内切球体积为. 故选：C. 6．D 【分析】设复数为标准式，利用复数相等，可得复数，结合复数的除法，可得答案. 【详解】设，则， 即，解得， 所以. 故选：D. 7．B 【分析】连结，，根据题中条件，得到异面直线与所成角即为直线与所成角，进而可求出结果. 【详解】 连结，，因为在正方体中，M，N分别为的中点， 所以， 因此，异面直线与所成角即为直线与所成角，即，显然为. 故选：B 8．C 【分析】利用向量的线性运算将用与表示出来，再利用向量共线定理的推理即可得解. 【详解】因为，所以， 则 ， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C 9．ABC 【分析】利用复数的四则运算法则进行运算，分别判断各项的真假. 【详解】因为，所以，A正确． ，B正确， ，则，C正确， ，D不正确． 故选：ABC 10．CD 【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断BC选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项． 【详解】如图①，作交于E，则， 则，则圆台的高为，故A错误； 圆台的轴截面面积为，故B错误，C正确； 将圆台的一半侧面展开，如图②，设P为的中点，由圆台补成圆锥，圆台对应的圆锥的一半侧面展开为扇形， 可得大圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥侧面展开图的圆心角为， 连接，可得，，则， 所以沿着该圆台表面从点C到中点的最短距离为，故D正确． 故选：CD． 11．AB 【分析】应用正弦定理及边角关系判断A、B、D；由余弦定理易得为锐角，而角和角是否为锐角无法确定，即可判断C. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，则，故B正确； 由余弦定理，可知为锐角， 但无法判断角和角是否为锐角，不一定为锐角三角形，故C错误； 由正弦定理得，即，又，所以，所以或，故D错误. 故选：AB 12．5 【分析】利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，可得出该复数的虚部. 【详解】因为复数， 所以该复数的虚部为5． 故答案为：5. 13． 【分析】利用等体积计算即可. 【详解】因平面，则为三棱锥的高， 则， 由平面，平面，则， 在直角中，，同理， 则等腰的底边上的高为，则, 设点C到平面的距离为，则， 得 故答案为：. 14． 【分析】利用投影向量的定义求出，再利用数量积的运算律求解. 【详解】由在方向上的投影向量为，得，则，而， 于是，所以. 故答案为： 15．(1)， (2) 【分析】（1）由复数的四则运算代入计算，即可得到结果； （2）由向量垂直的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以 因为，所以. （2）由（1）可知，则， ，因为，所以， 解得. 16．(1) (2) 【分析】（1）运用平方关系求出，， 由于， 借助和角公式求出即可．再用正弦定理求出即可； （2）在中，由正弦定理求出，再用余弦定理求出即可. 【详解】（1）因为，，，， 所以，， 由于，又，∴， ∴， 则 ， ∴， 所以. 在中，由正弦定理得， 所以，所以. （2）在中，由正弦定理得，可得，解得. 由于，， 在中，由余弦定理可得 . 17．(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）取的中点，连接，只需证为平行四边形，由此，进而可证平面； （2）由题干条件可知底面为等腰直角三角形，且直棱柱高为1，利用三棱柱的体积和表面积公式即可算出答案. 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 因为为的中点， 所以，， 因为四边形为平行四边形，为的中点， 所以且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为，即，由勾股定理的逆定理可知， 且在直三棱柱中，为高，由三棱柱的体积公式可得体积， 表面积为5个面面积之和. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换运算求解； （2）先利用余弦定理求得，进而可求面积； （3）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数的有界性运算求解. 【详解】（1）因为， 且，则，可得， 整理得，所以. （2）由余弦定理，即， 解得或（舍去）， 所以的面积. （3）由正弦定理，可得， 则 ， 因为为锐角三角形，且，则，解得， 则，可得， 则， 所以的取值范围为. 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证平面，再根据线面垂直证明面面垂直；（2）先构造出直线与平面所成的角，再根据三角形的边角关系求角. 【详解】（1）设，连接，如图： 四边形是正方形，所以. 因为底面，底面，所以. 又，，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）由1知平面于， 为与平面所的角， ，分别为、的中点， ，， 又底面， 底面，底面，， 在中，， ，即与平面所成的角的大小为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$