精品解析：河北省武强中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

2023-2024学年河北省衡水市武强中学高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数除法与加法运算求解得，再求共轭复数及其虚部. 【详解】解：， 所以其共轭复数为，其虚部为 故选：B 2. 一组数据为6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36，则这组数据的一个四分位数是15，则它是（ ） A. 15%分位数 B. 25%分位数 C. 50%分位数 D. 75%分位数 【答案】B 【解析】 【分析】先将数据从小到大排列，然后逐个分析判断即可. 【详解】解：将数据从小到大排序为：6，7，15，36，39，40，41，42，43，47，49， 对于A，因为，所以15%分位数为7，所以A错误， 对于B，因为，所以25%分位数为15，所以B正确， 对于C，因为，所以50%分位数为40，所以C错误， 对于D，因为，所以75%分位数为43，所以D错误， 故选：B 3. 如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则判断． 【详解】由斜二测画法的规则可知，该平面图形为直角梯形，又因为第一象限内的边平行于y′轴， 故选：C. 4. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，不变的数字特征是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数，平均数，方差，极差的定义进行判断，得到答案. 【详解】A选项，9个数据从小到大进行排列，，故中位数为， 去掉后，的中位数为，A正确； B选项，原数据的平均数为， 去掉后，的平均数为， 则， 由于的正负不确定，无法确定平均数是否改变，B错误； C选项，同平均数一样，方差也无法确定是否改变，C错误； D选项，若，则极差不改变， 若或，此时极差变小，D错误. 故选：A． 5. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面（ ） （1） （2） （3） （4） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 详解】（1）且相交，则成立，不相交则不一定成立，故（1）错误； （2），故（2）正确； （3），则也有可能异面，故（3）错误； （4）或，故（4）错误； 综上可得，只有（2）正确． 故选：B 6. 已知某个数的平均数为，方差为，现加入一个新数据，此时这个数的平均数为，标准差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平均数和方差公式计算即得解. 【详解】设个数为， 则平均数为，即， 方差， 即， 加入新数据4之后，则这8个数的平均数为 ， 方差为 所以标准差. 故选：A． 7. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案. 【详解】如图，设，则， 由题意，即，化简得， 解得（负值舍去）. 故选：C. 【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 8. 已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意， 得，为等边三角形， 由正弦定理可得， ，根据球的截面性质平面， ， 球的表面积. 故选：A 【点睛】 本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部是 B. C. 复数z的共轭复数是 D. 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算可得，再利用复数的概念、复数的模、共轭复数的概念以及复数的几何意义逐一判断即可. 【详解】， 对于A，复数z的虚部是，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，复数z的共轭复数是，故C正确； 对于D，，在复平面内，对应点的坐标为， 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限，故D正确. 故选：CD 10. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB的中点．则下列结论正确的是（ ） A. 与EF相交 B. 平面DEF C. EF与所成的角为 D. 点到平面DEF的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用异面直线的位置关系，线面平行的判定方法，利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断． 【详解】对选项A，由图知平面，平面，且由异面直线的定义可知与EF异面，故A错误； 对于选项B，在直三棱柱中， ． ，F分别是AC，AB的中点， ， ． 又平面DEF，平面DEF， 平面故B正确； 对于选项C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 则0，，0，，2，，0，，2，，0，，0，，0，，1，． 1，，0，． ，，． 与所成的角为，故C正确； 对于选项D，设向量y，是平面DEF的一个法向量． 0，，1，， 由，即，得 取，则，0，， 设点到平面DEF的距离为d． 又2，， ， 点到平面DEF的距离为，故D正确． 故选：BCD 【点睛】本题主要考查异面直线的位置关系，线面平行的判定，异面直线所成角以及点到面的距离，还考查思维能力及综合分析能力，属难题． 11. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下统计图，则下列四个选项正确的是（ ）． A. 54周岁及以上参保人数最少 B. 18～29周岁人群参保总费用最少 C. 丁险种更受参保人青睐 D. 30周岁及以上的人群约占参保人群的80％ 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据统计图逐个分析判断即可. 【详解】由参保人数比例图可知，54周岁及以上参保人数最少，30周岁及以上的人群约占参保人群的80％，故A，D正确； 由参保险种比例图可知，丁险种更受参保人青睐，故C正确； 由不同年龄段人均参保费用图可知，18～29周岁人群人均参保费用最少，约为4000元，但是这类人所占比例为20％，设参保总人数为a，则18～29周岁人群参保总费用约为元，而54周岁及以上参保人群参保总费用约为6000×8％（元），，故B错误． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将一钢球放入底面半径为的圆柱形玻璃容器中，水面升高，则钢球的半径是______. 【答案】3 【解析】 【分析】 设球的半径为cm，由球的体积等于水面升高的体积，即可列方程求钢球半径. 【详解】由题意知：水面升高的体积等于钢球的体积，设钢球的半径为cm，则： ，解得：， 故答案为：3 13. 表示虚数单位，则_____． 【答案】0 【解析】 【分析】由虚数单位的乘方的周期性求解即可. 【详解】表示虚数单位，则，，， 则， 故答案为：0 14. 在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，1，那么这组数据的方差最大的时候被污损了两个数据分别是_______和_____． 【答案】 ①. 19 ②. 1 【解析】 【分析】利用平均数和方差的定义列式，借助二次函数求出最大值即得. 【详解】设这组数据最后2个分别是：， 依题意，，则， 这组数据的方差， 当且仅当时取等号，此时， 所以这组数据的方差最大的时候被污损了两个数据分别是19，1． 故答案为：19；1 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若，且，求实数的值； （2）若为纯虚数，且，求复数的模． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入求出，利用复数相等可得答案； （2）根据为纯虚数求出，代入，再求可得答案． 【小问1详解】 若，则， ∵，∴， 可得； 【小问2详解】 ＝＝＝， ∵为纯虚数，∴，可得， ， ∴， ∴． 16. 某电视台为宣传安徽，随机对安徽15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“皖江城市带有哪几个城市？”统计结果如图表所示： 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率 第1组 [15，25） a 0.5 第2组 [25，35） 18 x 第3组 [35，45） b 0.9 第4组 [45，55） 9 0.36 第5组 [55，65） 3 y （1）分别求出a，b，x，y的值； （2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组人数 【答案】（1）依次为5，27，0.9，0.2 （2）第2、3、4组人数依次为2人，3人，1人 【解析】 【分析】（1）由第4组的数据可求出第4组的总人数，再结合频率分布直方图可求出的值，然后根据频率分布直方图和表中的数据可求出a，b，x，y的值； （2）根据分层抽样定义结合表中的数据求解即可. 【小问1详解】 由频率表中第4组数据知，第4组总人数为， 由频率分布直方图知， ∴， ， ， ． 【小问2详解】 第2，3，4组回答正确的共有人． 利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为： 第2组：人， 第3组：人， 第4组：人． 17. 如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积． 【答案】（1）见详解；（2）18 【解析】 【分析】（1）先由长方体得，平面，得到，再由，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立； （2）先设长方体侧棱长为，根据题中条件求出；再取中点，连结，证明平面，根据四棱锥的体积公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为在长方体中，平面； 平面，所以， 又，，且平面，平面， 所以平面； （2）[方法一]【利用体积公式计算体积】 如图6，设长方体的侧棱长为，则． 由（1）可得．所以，即． 又，所以，即，解得． 取中点F，联结，因为，则，所以平面， 从而四棱锥的体积： ． [方法二]【最优解：利用不同几何体之间体积的比例关系计算体积】 取的中点F，联结．由（Ⅰ）可知， 所以．故． 【整体点评】(2)方法一：利用体积公式计算体积需要同时计算底面积和高，是计算体积的传统方法； 方法二：利用不同几何体之间的比例关系计算体积是一种方便有效快速的计算体积的方法，核心思想为等价转化. 18. 某市对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45])，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人． （1）求x； （2）求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数)； （3）以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对一带一路的认知程度，并谈谈你的感想． 【答案】（1）100；（2）32；（3）20%分位数为91；平均数为94.3；答案见解析． 【解析】 【分析】（1）求出频率，利用频率即可得解； （2）利用百分位数的定义即可求解； （3）利用百分位数的定义及平均数的定义计算可得解，再作出评价和感想. 【详解】（1）第一组频率为0.01×5＝0.05，所以． （2）由题图可知年龄低于30岁的所占比例为，年龄低于35岁的所占比例为， 所以抽取的x人的年龄的分位数在内， 由，所以抽取的x人的年龄的分位数为32． （3）把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列：88，90，92，92，95，96，96，97，98，99， 计算，所以这10人成绩的分位数为， 这10人成绩的平均数为 评价：从百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高． 感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可． 【点睛】关键点点睛：本题考查频率，频数，总数的关系及第百分位数的计算，理解第百分位数的定义及应用是解题的关键，考查学生的计算能力，属于一般题. 19. 如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立； （2）分析可知二面角的平面角为，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，可得出直线与平面所成角为，计算出、的长，即可求得的正弦值，即为所求. 【小问1详解】 是矩形， ，又平面，平面， 平面， ，平面，平面，平面， 又，BC，平面，平面平面， 平面，平面． 【小问2详解】 ，，即为二面角的平面角， ，又，平面，平面，平面， 又平面，平面平面， 作于，连接，因平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为，因为，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年河北省衡水市武强中学高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据为6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36，则这组数据的一个四分位数是15，则它是（ ） A. 15%分位数 B. 25%分位数 C. 50%分位数 D. 75%分位数 3. 如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（ ） A. B. C. D. 4. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，不变的数字特征是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 5. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面（ ） （1） （2） （3） （4） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 已知某个数的平均数为，方差为，现加入一个新数据，此时这个数的平均数为，标准差为，则（ ） A. B. C. D. 7. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部是 B. C. 复数z共轭复数是 D. 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限 10. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB中点．则下列结论正确的是（ ） A. 与EF相交 B. 平面DEF C. EF与所成的角为 D. 点到平面DEF的距离为 11. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下统计图，则下列四个选项正确的是（ ）． A. 54周岁及以上参保人数最少 B. 18～29周岁人群参保总费用最少 C. 丁险种更受参保人青睐 D. 30周岁及以上的人群约占参保人群的80％ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将一钢球放入底面半径为的圆柱形玻璃容器中，水面升高，则钢球的半径是______. 13. 表示虚数单位，则_____． 14. 在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，1，那么这组数据的方差最大的时候被污损了两个数据分别是_______和_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若，且，求实数的值； （2）若为纯虚数，且，求复数的模． 16. 某电视台为宣传安徽，随机对安徽15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“皖江城市带有哪几个城市？”统计结果如图表所示： 组号 分组 回答正确人数 回答正确人数占本组的频率 第1组 [15，25） a 0.5 第2组 [25，35） 18 x 第3组 [35，45） b 0.9 第4组 [45，55） 9 0.36 第5组 [55，65） 3 y （1）分别求出a，b，x，y的值； （2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组人数 17. 如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积． 18. 某市对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45])，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人． （1）求x； （2）求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数)； （3）以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对一带一路的认知程度，并谈谈你的感想． 19. 如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$