河北衡水中学2025-2026学年高一下学期期末综合素质评价数学试题

2025-2026学年度高一年级下学期期末综合素质评价 数学学科答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B C D C C A BCD ACD 题号 11 答案 ACD 11．ACD 【详解】对A：如图：    当点位于边上时，因为平面，所以，故A正确； 对B：如图：    当时，点轨迹为矩形，其中分别为，中点，所以动点轨迹的周长为：，故B错误； 对C：如图：    当平面时，点轨迹是正六边形，其中均为棱的中点，故C正确； 对D：如图：    当点在侧面上运动，且满足时，点轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧，则即为二面角的平面角，所以当与的中点重合时，二面角取得最大值，此时，因为，所以.故D正确. 故选：ACD 12．2. 13．# 14． 由题可知， 故该圆锥侧面展开图的圆心角，则连接可得， 又由题知，如图建立平面直角坐标系    则，由两点之间线段最短可得， 所以， 故答案为： 15．（1）由题意可得， 解得；----------4分 （2）由题意可知样本中分数在的频率为， 因为样本中分数在内的学生有6名，所以全校随机抽取的人数；----------8分 （3）样本中分数在的频率为， 所以样本中分数在内的学生有名.----------13分 16．（1）依题意，所用玻璃面积是一个长方体的侧面积加上其下底面积，再减去圆柱底面积的差的2倍，然后加上圆柱的侧面积， 因此所求面积为 ， 所以需要平方米的玻璃.----------7分 （2）由圆柱体距离鱼缸底部，得注水至0.3米时，圆柱体刚好注至一半的体积， ， 所以需要立方米的水.----------15分（分步写的注意给步骤分） 17．（1）解：在△ABC中，， 因为，，，所以.----------7分 （2） 解：由（1）知，， 所以，----------10分 在中，，由正弦定理可得，即， 解得.----------15分 18（1）如图1，在梯形ABCD中，取边AB的中点，连接CF． 因为，所以， 所以四边形AFCD是平行四边形，所以， 因为，所以，所以，----------2分 因为，且，所以， 所以，----------4分 因为平面平面PAC，且， 所以平面----------5分 （2）如图2，取棱AC的中点，连接PG， 由（1）可知平面PAC，且平面ABC，则平面平面ABC， 因为，且为线段AC的中点，所以， 因为平面平面，平面，所以平面， 则为三棱锥的高，----------7分 因为，所以，则 故三棱锥的体积．----------10分 （3）假设存在满足条件的点． 如图2，作，垂足为，作，垂足为． 由（2）可知平面平面ABC，又，且平面平面， 所以EH平面ABC， 因为平面ABC，所以， 因为，且平面，，所以平面EHK． 因为平面EHK，所以， 则为二面角的平面角．----------13分 设，则． 因为，且，所以，则． 易证，则，故．----------14分 由题意可得，则． 因为平面ABC，且平面ABC，所以， 所以， 则，解得，故．----------16分 因为在棱PC上，所以，所以假设不成立，即不存在点，使得二面角的余弦值为．----------17分 19．【详解】（1）设球的半径为，则，解得， 设的外接圆半径为，则， 因为四点共面，可知的外接圆圆心为， 取的中点，连接， 可知为等边三角形，则，----------2分 ， 又因为，则， 且，则，则，----------4分 因为，平面，则平面， 且平面，所以平面平面.----------5分 （2）若，则，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，且平面，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即，则， 在中，由余弦定理可得， 可知为钝角，且， 则，----------8分 设球心到平面的距离为， 因为，则，解得， 所以球心到平面的距离为.----------10分 （3）方法一：过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，且平面，则， 可知直线与平面所成角为，----------12分 设，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即则， 则，----------14分 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值.----------17分 方法二： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度高一年级下学期期末综合素质评价 数学学科 主命题人：张宝玲其他命题成员：张丽 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本愿共8小愿，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个项中，只有一项是符合恩 目要求的。) 1.已知复数：满足正+1=2i,则日=（() A.5 B.25 C.4 D.8 2.在。ABC中，D是边BC的中点，E是边AC上靠近点A的三等分点，设AB=a,AC=B, 则ED=() A.a+6 6 2 B.a-6 62 C.+8 。.+5 6 3.一个正方体的展开图如图所示，若将它还原为正方体，则() A. BD//EF B.EF//AB C.BCI/EF D.AB⊥BC 4.某校高一有500名学生，为了培养学生良好的数学素养，学校要求高一学生从《九章算术) (数书九章)（缀术）《海岛算经)中选一本阅读，其中有200人选（九章算术），150人选 (数书九章)，100人选（缀术），50人选《海岛算经)，若按选书种类进行分层，用分层 随机抽样的方法抽取50名学生分享读后感，则选（九章算术）和（数书九章）的学生抽取的 人数共有() A.25 B.30 C.35 D.50 高一数学试题第1页 5.已知MBC的内角(AC的对边分别为ac,者品gC·则：8C是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 6.如图点C在圆锥P0的底面圆O上，AB是直径AB=8,∠BAC=30°，圆锥的母线与定 面成的角为60，则点A到平面PBC的距高为() B 5B.26 A. c 0. 7.三校柱ABC-AB,C,中，E是按CC的中点，D是梭BC上一点，BD=1DC,若ABI平 面ADE,则实数1的值为() D A司 B.1 C.2 D.4 8在体积为的三按锥A-BCD中，4CLAD,BCLBD,平面4CD1平面BCD,24cD-子， ∠BCD=子，若点，B,C,D春在球0的表面上侧则球O的表面积为《) A.12π B.16π C.32π D.48x 二、多项选择题（本愿共3小题，每小愿6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，) 共3页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 9为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了 100名学生，将他们的身高划分成了A,B,C,D,E五个层次，根据抽样结果得到如下统计 图，则样本中() 女生身高情况频数分布直方图 男生身高情况扇形统计图 个人数 12 B 10 40% 8 15% 6 C D 42 25% 15% ABCDE身高层次 A.身高在A层次中的女生人数比男生多 B.身高在B层次中的人数最多 C.身高在D层次的女生占女生人数的比例超过15% D.身高在E层次中的男生有3人 10.在aABc中，sinS- ,BC=1,AC=5,则() 25 A.AB=25 B.。MBC的面积为月 C.△4BC外接圆直径是55 D.△ABC内切圆半径是35 11如图，点P是梭长为2的正方体ABCD-ABCD的表面上一个动点，F是线段AB,的中点， 则() D A.存在点P使得AP⊥AC B.若点P满足AP⊥BF,则动点P的轨迹长度为2W5 C.若点P满足PF/1平面A,C,D时，动点P的轨迹是正六边形 D.当点P在侧面BBCC,且满足FP=√时，二面角 A-CD-P的最大角的正切值为2 第Ⅱ卷（共92分) 三、填空题（本题共3小题每小题5分，共15分：） 12.已知向量ā=（1,3)，6=(m,6),若a5,则m= 13.如图，在三梭锥P-ABC中，D,E分别为PB,PC的中点， 记三梭锥E-ABD的体积为Y,三梭锥P-ABC的体积为，则 火：y3= 14.如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩， 其高为√5，底面圆直径AB=2,且点A满足AB=2BC现在A点 处固定一枚无线电信标，且在C点有一微型无人机（视为一点）· 点Q在母线PB上，无人机先在空中以直线航迹从点C飞行到Q 处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到A点，设飞行路径总长度为S则 信标 B 无人机 S2的最小值为 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.某校从全枚随机抽取n名学生参加奥运知识竞赛，并根据这n名学生的竞赛成绩（总分为 100分)绘制频率分布直方图（如图所示），其中分数在[50,60)内的学生有6名. 频宝 0.028 组距 0.022 0.018 0.004 0405060708090100分数 (1)求a (2)求n (3)样本中分数在[40,50)内的学生有几名 CS扫描全能王 碰3亿人都在用的扫描APp 16.小明设计了一款无盖鱼缸如图，它是由两个完全一样的长方体通过一个半径为.1米， 长度为0.3米的圆柱形玻璃管水平连通的 0.5m 0.5m 0.2m Im (1)小明至少需要多少平方米的玻璃（不考虑损耗)？ (2)小明欲将鱼缸注水至0.3m的高度，需要多少立方米的水？ 17,在△4BC中，AB=12,AC=3V6,BC=5V6,点D在边BC上，且ZADC=60· (1)求cosC的值： (2)求线段AD的长 18.如图1，在等腰梯形ABCD中，AB/CD,AB=2AD=2DC=4,将△ACD沿边AC翻折， 使点D翻折到点P,连接PB,得到三棱锥P-ABC,如图2，其中PB=√2AP B 图1 图2 (1)证明：BC⊥平面PAC (2)求三棱锥P-ABC的体积. B试问在侧棱PC上是否存在一点E,使得二面角E-AB-C的余弦值为5？若存在，求出 19 CE的长度；若不存在，请说明理由」 高一数学试题第子页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 厚 19.在三棱锥P-ABC中，∠ABC=120°，AB=BC=4,PA⊥PB, 在表面积为64π的球O的球面上，且A,B,C,0四点共面， (1)证明：平面PAB⊥平面ABC; (2)当PA=PB时，求球心O到平面PBC的距离： (3)求直线CP与平面ABC所成角的正弦值的最大值。 共3页 三校锥P-ABC的各顶点均 千网加阳月开 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP