精品解析：2025年四川省成都市第七中学初中学校中考三模数学试题

成都七中初中学校2025届九下第三次诊段检测 数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．考生必须在答题卡上作答，答在试题卷、草稿纸上无效． 3．在答题卡上作答时，考生需首先准确填写自己的姓名、准考证号，并用2B铅笔准确填涂好自己的准考证号．A卷的第Ⅰ卷为选择题，用2B铅笔填涂作答；A卷的第Ⅰ卷以及B卷中横线及框内上注有“▲”的地方，是需要考生在答题卡上作答的内容或问题，用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．请按照题号在各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一．选择题（共8小题，满分32分） 1. －的绝对值是：（ ） A. － B. C. －6 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点－到原点的距离是，所以﹣的绝对值是， 故选B． 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上边看，大正方形内的是两个小正方形． 故选：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，乘法公式，积的乘方，幂的乘方，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原运算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选B． 4. 已知点与关于原点对称，则a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点坐标之间的关系求解． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴a=－2，b=－1． 故选：C． 【点睛】本题的解题关键是掌握对称点的坐标规律，关于原点对称的两个点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 5. 已知一组数据2，2，3，2，x，1的平均数是2，那么这组数据的中位数是（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平均数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．根据平均数的计算公式先求出的值，再根据中位数的定义即可得出答案． 【详解】解：根据题意知：， 解得：， 则这组数据为2，2，3，2，2，1， 将数据重新排列为1、2、2、2、2、3， 所以中位数为， 故选：C. 6. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，于点E．若，则边AB的长是（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形性质和，可证得： ，由对应线段成比例即可求得． 【详解】解：∵矩形ABCD，， ∴ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或者 （舍） ． 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，同角的余角相等，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 7. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两？（注：明代当时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设有人，银子有两，可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题目中的两种分银情况建立方程组，每人分7两剩余4两，即总银两数等于分出的两加上剩余4两；每人分9两差8两，即总银两数比需要的两少8两，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：每人分7两，剩余4两，总银两数等于分出的两加上剩余的4两，即，变形后为， 每人分9两，差8两，总银两数比需要的两少8两，即， 将两个方程组合，得到． 故选：A． 8. 如图，在中，用尺规作的平分线，交于点G，若，，则的长为（ ） A. 18 B. C. D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，也考查了平行线的性质、平行四边形的性质和菱形的判定与性质．利用基本作图得到平分，，再证明得到，连接，交于点O，如图，接着证明四边形为菱形，所以，，，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：由作图痕迹得到平分，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，交于点O，如图， ∵， 而， ∴四边形为菱形， ∴，，， 在中，， ∴． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二．填空题（共5小题，满分20分） 9. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 10. 分式方程的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程后检验，即可得到原方程的解. 【详解】解： 方程两边同乘最简公分母，得， 展开得， 移项合并同类项得， 解得. 经检验，当时，， 因此是原分式方程的解. 11. 已知扇形的半径是，圆心角是，则该扇形的弧长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式是，代入即可求出弧长． 【详解】解：∵扇形的半径是，圆心角是， ∴该扇形的弧长是：； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是扇形的弧长公式的运用，熟记弧长公式是解题的关键． 12. 盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了概率公式以及分式的值，熟练掌握概率公式是解题的关键．由概率公式得，整理得，再代入所求分式计算即可． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为（－2，4），是的中点，是上的一点，当三角形的周长最小时，点的坐标是______． 【答案】## 【解析】 【分析】作点A关于轴的对称点，连接与轴交于点，可知此时的周长最小，再由A（－2，4）可得（2，4），求出直线的表达式即可得到点的坐标． 【详解】解：如图，作点A关于轴的对称点，连接与轴交于点，则此时AE＋DE＝＋DE的值最小，即的周长最小． ∵A（－2，4）， ∴（2，4）， ∵是的中点， ∴D（－1，0）， 设直线表达式是， 代入（2，4），D（－1，0），得， 解得：， 直线表达式是， 点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查轴对称—最短路线问题，一次函数的应用，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边． 三．解答题（共5小题，满分48分） 14. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）5；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算和解一元一次不等式组等知识点，能根据实数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解（2）的关键． （1）先化简二次根式，然后根据零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值进行计算，再算乘法，最后算加减即可； （2）先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是． 15. 某中学为了了解本校学生对排球、篮球、毽球、羽毛球和跳绳五项“大课间”活动的喜欢情况，随机抽查了部分学生进行问卷调查（每名学生只选择一项），将调查结果整理并绘制成如图所示不完整的统计图表．请结合统计图表解答下列问题：抽样调查学生喜欢大课间活动人数的统计表 项目 人数 A排球 6 B篮球 m C毽球 10 D羽毛球 4 E跳绳 18 （1）本次抽样调查的学生有_____人；m的值为_____； （2）求扇形统计图中，喜欢毽球活动的学生人数所对应圆心角的度数为_____； （3）全校有学生1800人，估计全校喜欢跳绳活动的学生人数为_____； （4）若喜欢跳绳的同学中有两男两女是校绳操队队员，现要从他们四人中随机抽取两人代表学校去参加区级比赛，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名男生的概率． 【答案】（1）50；12 （2） （3）648人 （4） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体． （1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得本次调查的学生人数；用总人数减去其它组人数即可求出B组的人数，即m的值； （2）用乘以本次调查中C组的人数所占的百分比，即可得出答案； （3）根据用样本估计总体，用1800乘以样本中E组的学生人数所占的百分比，即可得出答案； （4）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽到两名男生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的学生有：（人）， ， 故答案为：50；12； 【小问2详解】 解：， 即喜欢毽球活动的学生人数所对应圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：全校1800名学生中喜欢跳绳活动的有648人； 故答案为：648人； 【小问4详解】 解：将2名男生记为A、B，2名女生分别记为C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到两名男生的结果有：，，共2种， ∴恰好抽到两名男生的概率为． 16. 如图，监控摄像头D固定在与构成的支架上，与地面垂直，，若该摄像头的可视角为的平分线，且，点在同一直线上，过点D作为垂足． （1）求 的度数； （2）求摄像头的最远可视点G与支架底部A之间的距离．（精确到）参考数据：（） 【答案】（1） （2）摄像头的最远可视点G与支架底部A的距离约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据题意可得：，从而可得，进而可得，再利用角平分线的定义可得，最后根据垂直定义可得：，从而可得，进而可得； （2）在中，利用含 30 度角的直角三角形的性质可得，从而可得，求得，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 由题意得：， ， ， ， ∵为的平分线，， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：由题意得：， ， ， ， ， ， 在中，， ， 摄像头的最远可视点G与支架底部A的距离约为． 17. 如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，且DH是⊙O的切线，连接DE交AB于点F，连接BE． （1）求证：DC＝DE； （2）若AE＝4，．求： ①BE的长； ②的值． 【答案】（1） 证明：连接OD， ∵DH⊥AC，且DH是⊙O的切线， ∴∠ODH＝∠DHA＝90°， ∴OD∥CA， ∴∠C＝∠ODB， ∵OD＝OB， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠OBD＝∠C， ∵∠OBD＝∠DEC， ∴∠C＝∠DEC， ∴DC＝DE； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接OD，BE，利用切线的性质和平行线的性质求得∠C＝∠DEC，即可求证； （2）①通过证明△AFE∽△OFD，利用相似三角形的性质可得OD＝6，再用勾股定理即可求解；②在Rt△AEB中，求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）可知：OD∥AC，∴∠AEF＝∠ODF， 又∵∠AFE＝∠OFD， ∴△AFE∽△OFD， ∴， ∵AE＝4， ∴OD＝6， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∴； ∴BE的长为； ②在Rt△AEB中，， ∵∠BDF＝∠BAE， ∴． 【点睛】此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理等知识，解题的关键是作出合适的辅助线，灵活利用相关性质进行求解． 18. 如图，在平面直角坐标系中， 直线分别与y轴、x轴相交于点 A，，过点A的直线与双曲线交于C，D两点（点C在点D的右侧）． （1）求a的值及线段的长； （2）过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，若，求k的值及的面积； （3）将直线沿y轴翻折得到新直线，新直线与x轴相交于点G，再将的图象沿着直线翻折，翻折后的图象交直线于点M，N（点M在点N左侧），当与相似时，求k的值． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）将代入直线中，可得的值，再由勾股定理求长； （2）如图1所示，由题意可得，又两点在双曲线上，故设．可得直线的表达式为，又在直线上，故，从而，所以双曲线的表达式为，再根据的面积求解即可； （3）先求出直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，先根据折叠画出双曲线图象沿着直线翻折后得到的图形，如图所示，再根据相似三角形的性质，得出，得出，设，则，求出，得出点的坐标，再求出折叠前的坐标，代入得出即可答案． 【小问1详解】 解：将代入直线中，得，故， ∴直线的表达式为． 令，则，即， 所以， 故． 【小问2详解】 解：如图1所示， 由题意可得， 故的横坐标为的纵坐标为， 又因为两点在双曲线上， 故设． 设直线的表达式为， 则，解得：， 由待定系数法可得直线的表达式为， 又因为在直线上， 故，解得：， 所以双曲线的表达式为， 的面积 ． 【小问3详解】 解：∵，，关于轴对称的点坐标为，， 设直线沿轴翻折得到的新直线解析式为， 代入，得：，解得：， ∴直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，则， 的图象沿着直线翻折后如图所示， 是公共角， 根据图象，当△AOM与相似时，只有一种情况， 当时，有， ， ， 点M在直线上， ∴设，则， 解得：， ， 点关于直线的对称点为，即， 根据折叠可知：在原反比例函数上的对应点为， 将代入可得：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，三角形的面积，一次函数的图象和性质，图象的几何变换性质，解直角三角形，相似三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，方程思想，熟练掌握以上内容是解题关键． B卷（共50分） 一．填空题（每小题4分，共20分） 19. 如果m，n是一元二次方程的两个实数根，那么的值是____． 【答案】11 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程根的定义定义、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键 先将一元二次方程化为一般形式，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到以及方程的解可得，然后对变形后代入计算即可解答． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，即的两个不相等的实数根， ∴ ∴ ∴ ． 故答案为：11． 20. 如图，相交于点E，若，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质与等腰三角形、三角形外角定理的应用，掌握全等三角形的对应边、对应角相等，结合等腰三角形性质和外角定理求解角度是解题的关键． 利用全等三角形的性质得到边和角的关系，再结合等腰三角形的性质和三角形外角定理求出的度数． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 21. 如图，点E是线段 的黄金分割点，且．分别以，为边长在的同侧作正方形和，延长，分别交，于G，H，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在四边形内的概率为，针尖落在四边形的概率为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义、正方形的性质以及概率公式，设，由黄金分割点的定义得，，再由概率公式和正方形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得：四边形为正方形， 设， ∵点E是线段的黄金分割点，且， ∴，， ∴， 故答案为：． 22. 若二次函数 图象的顶点在一次函数的图象上，则称为的伴随函数，如：是的伴随函数．若是的伴随函数，则________；若函数的伴随函数与x轴两个交点间的距离为4，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求出二次函数的顶点坐标，再把求得的顶点坐标代入一次函数解析式求得p；根据函数与x轴两个交点间的距离为4，列出n的方程求得n，再求出二次函数的顶点坐标，再将其顶点坐标代入一次函数解析式中求得m，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴其顶点坐标为， ∵是的伴随函数， ∴在一次函数的图象上， ∴， ∴； 设函数与x轴两个交点的横坐标分别为，，则，， ∴， ∵函数与x轴两个交点间的距离为4， ∴， 解得，， ∴函数为：， ∴其顶点坐标为， ∵是的伴随函数， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题是一个新定义阅读题，主要考查了新定义，二次函数的性质，一次函数的性质，求二次函数与x轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，关键是根据新定义，求出二次函数的顶点坐标，代入一次函数中便可得结果． 23. 如图，在中，，，点E在直线上，，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是正确做出辅助线；过点作且，连接，证明，进而证明三点共线，作，连接，同理可得，进而证明四边形是正方形，根据得出即在为直径的圆上运动，进而根据求一点到圆上一点的距离的最值问题，即可求解． 【详解】解：如图，过点作且，连接， ∵， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴三点共线， 作，连接， 同理可得 ∴，且 连接，取的中点，连接 ∴，即在为直径的圆上运动， ∵， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∵，则四边形是菱形 ∵，则四边形是正方形 ∴ 在中， ∴当运动到上时，此时取得最小值，最小值为 故答案为：． 二．解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进500元A种娃娃和购进400元B种娃娃数量相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． （1）每个A种娃娃和每个B 种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元 （2）购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是元，根据购进500元A种娃娃和购进400元B种娃娃数量相同，列出分式方程，解方程并检验即可； （2）设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，利用进货总价进货单价购进数量，结合进货总价不超过1700元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，利用总利润每个的销售利润销售数量（购进数量），可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ， 答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元； 【小问2详解】 解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃， 根据题意得：， 解得：， 设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）． 答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元． 25. 如图1，抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过．，两点，交x轴于另一点B． （1）求抛物线的解析式； （2）P在直线上方抛物线上，作轴，交线段于点D，作轴，交抛物线于另一点E，若，求点P的坐标； （3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点，直线分别与x，y轴交于E，F两点，与新抛物线交于P、Q两点，作的垂直平分线交y轴于点N，若，设．问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）点坐标为或 （3）是定值， 【解析】 【分析】（1）将对称轴，点的坐标代入关系式，即可求出答案； （2）先根据待定系数法求出直线，再表示出点，，进而求出，再根据点，关于对称轴对称，表示，然后根据，列出方程，再分当和当时，分别求出的值，进而得出答案； （3）先求出平移后的解析式为，再设直线的关系式，即可表示出，，进而得出，然后联立，求出，，再连接，，过作轴，作，作，可得是等腰直角三角形，再根据，可得，再根据坐标和线段之间的关系得，可得，的关系式，进而得出答案． 【小问1详解】 解：抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过．，两点， ， 解得：， 解析式为：； 【小问2详解】 解：设直线，代入，，得， 解得：，， 直线． 点在抛物线上，点在上， 设，． 在直线上方， ， 轴， ，关于对称轴对称， ， ， ，即． ①当时，， 解得：，， 在上方， ， ， ； ②当时，， 解得：（舍），， ； 综上：P点坐标为或． 【小问3详解】 解：平移后的解析式为：， 设， ，，，， ， 联立，得， ，， 连接，，过作轴，作于，作于， 根据垂直平分线可得，，， ∵， ∴， 、都是等腰直角三角形， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∴， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即， 整理，得， ，， ， ∴． 【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等，构造辅助线是解题的关键． 26. 如图1，菱形中，，边长为8，点E是边上一动点，且，将沿翻折，点B的对应点为． （1）连接，探究与（点A、C、B'三点不共线）的数量关系， 并证明你的结论； （2）如图2，若点M为中点，当时，连接，求的值； （3）如图3，动点P、Q在线段上，且，连接，与的角平分线交于点F，过点F作的垂线，垂足为点H，求的最大值． 【答案】（1）， 证明如下： 设交于， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设交于，由菱形的性质可得，，则可证明是等边三角形，得到，由折叠的性质可得，则，根据三角形外角的性质可得，，则可证明，进而得到； （2）由三线合一定理得到，求出，得到，由勾股定理得，则；延长交于H，由折叠的性质可得，证明，得到，证明是的中位线，得到，则； （3）过点E作交直线于T，设点M为的中点，连接，由菱形的性质得到，由（2）可得，则（平行线间间距相等），可求出；由角平分线的性质可得点F到的距离都等于的长，根据，可得，则要使的值最大，那么的值要最小，根据，，得到当最小时，能同时取得最小值，进一步可推出当点E与点M重合，点P与点A重合时，能同时取得最小值，则，，据此计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形，点M为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得； 如图所示，延长交于H， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，过点E作交直线于T，设点M为的中点，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 由（2）可得， ∴（平行线间间距相等）， ∵， ∴； ∵与的角平分线交于点F，且， ∴由角平分线的性质可得点F到的距离都等于的长， ∵， ∴， ∴， ∴要使的值最大，那么的值要最小， ∵， ， ∴当最小时，能同时取得最小值， ∵， ∴点E在线段上运动， ∴当点E与点M重合时，此时点A与点T重合，则此时有最小值，最小值为0， 又∵当点P与点A重合时，有最小值，最小值为0， ∴当点E与点M重合，点P与点A重合时，能同时取得最小值， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，三角形中位线定理等等，解（2）的关键在于作出辅助线构造相似三角形求出的长，解（3）的关键在于把求的最大值，转换乘求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都七中初中学校2025届九下第三次诊段检测 数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．考生必须在答题卡上作答，答在试题卷、草稿纸上无效． 3．在答题卡上作答时，考生需首先准确填写自己的姓名、准考证号，并用2B铅笔准确填涂好自己的准考证号．A卷的第Ⅰ卷为选择题，用2B铅笔填涂作答；A卷的第Ⅰ卷以及B卷中横线及框内上注有“▲”的地方，是需要考生在答题卡上作答的内容或问题，用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．请按照题号在各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一．选择题（共8小题，满分32分） 1. －的绝对值是：（ ） A. － B. C. －6 D. 6 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点与关于原点对称，则a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 已知一组数据2，2，3，2，x，1的平均数是2，那么这组数据的中位数是（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 6. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，于点E．若，则边AB的长是（ ） A. B. C. 4 D. 6 7. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两？（注：明代当时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设有人，银子有两，可列方程组是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，用尺规作的平分线，交于点G，若，，则的长为（ ） A. 18 B. C. D. 24 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二．填空题（共5小题，满分20分） 9. 因式分解：__________． 10. 分式方程的解是__________． 11. 已知扇形的半径是，圆心角是，则该扇形的弧长为________． 12. 盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ______________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为（－2，4），是的中点，是上的一点，当三角形的周长最小时，点的坐标是______． 三．解答题（共5小题，满分48分） 14. （1）计算：； （2）解不等式组：． 15. 某中学为了了解本校学生对排球、篮球、毽球、羽毛球和跳绳五项“大课间”活动的喜欢情况，随机抽查了部分学生进行问卷调查（每名学生只选择一项），将调查结果整理并绘制成如图所示不完整的统计图表．请结合统计图表解答下列问题：抽样调查学生喜欢大课间活动人数的统计表 项目 人数 A排球 6 B篮球 m C毽球 10 D羽毛球 4 E跳绳 18 （1）本次抽样调查的学生有_____人；m的值为_____； （2）求扇形统计图中，喜欢毽球活动的学生人数所对应圆心角的度数为_____； （3）全校有学生1800人，估计全校喜欢跳绳活动的学生人数为_____； （4）若喜欢跳绳的同学中有两男两女是校绳操队队员，现要从他们四人中随机抽取两人代表学校去参加区级比赛，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名男生的概率． 16. 如图，监控摄像头D固定在与构成的支架上，与地面垂直，，若该摄像头的可视角为的平分线，且，点在同一直线上，过点D作为垂足． （1）求 的度数； （2）求摄像头的最远可视点G与支架底部A之间的距离．（精确到）参考数据：（） 17. 如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，且DH是⊙O的切线，连接DE交AB于点F，连接BE． （1）求证：DC＝DE； （2）若AE＝4，．求： ①BE的长； ②的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中， 直线分别与y轴、x轴相交于点 A，，过点A的直线与双曲线交于C，D两点（点C在点D的右侧）． （1）求a的值及线段的长； （2）过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，若，求k的值及的面积； （3）将直线沿y轴翻折得到新直线，新直线与x轴相交于点G，再将的图象沿着直线翻折，翻折后的图象交直线于点M，N（点M在点N左侧），当与相似时，求k的值． B卷（共50分） 一．填空题（每小题4分，共20分） 19. 如果m，n是一元二次方程的两个实数根，那么的值是____． 20. 如图，相交于点E，若，则的度数是______． 21. 如图，点E是线段 的黄金分割点，且．分别以，为边长在的同侧作正方形和，延长，分别交，于G，H，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在四边形内的概率为，针尖落在四边形的概率为，则________． 22. 若二次函数 图象的顶点在一次函数的图象上，则称为的伴随函数，如：是的伴随函数．若是的伴随函数，则________；若函数的伴随函数与x轴两个交点间的距离为4，________． 23. 如图，在中，，，点E在直线上，，，则的最小值为________． 二．解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进500元A种娃娃和购进400元B种娃娃数量相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． （1）每个A种娃娃和每个B 种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？ 25. 如图1，抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过．，两点，交x轴于另一点B． （1）求抛物线的解析式； （2）P在直线上方抛物线上，作轴，交线段于点D，作轴，交抛物线于另一点E，若，求点P的坐标； （3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点，直线分别与x，y轴交于E，F两点，与新抛物线交于P、Q两点，作的垂直平分线交y轴于点N，若，设．问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由． 26. 如图1，菱形中，，边长为8，点E是边上一动点，且，将沿翻折，点B的对应点为． （1）连接，探究与（点A、C、B'三点不共线）的数量关系， 并证明你的结论； （2）如图2，若点M为中点，当时，连接，求的值； （3）如图3，动点P、Q在线段上，且，连接，与的角平分线交于点F，过点F作的垂线，垂足为点H，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $