专题8 三角形中角度的复杂计算（5大题型） 期末专项训练 2024～2025学年 北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题8】 三角形中角度的复杂计算（5大题型） 【核心知识点总结】 1. 三角形内角和定理 （1） 定理内容：任意三角形三个内角之和为180° （2） 应用场景：已知两角求第三角 2. 外角定理 （1） 定理内容：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且外角与相邻内角互补 （2） 关键提示：外角常用于间接求角或构造方程。 3. 特殊三角形性质 （1） 等腰三角形：两底角相等 （2） 等边三角形：每个角均为60° （3） 直角三角形：两锐角互余 4. 重要线段性质 （1） 高线：垂直对边，形成直角三角形 （2） 中线：平分对边，分割面积为1:1 （3） 角平分线：平分内角，构造等角关系 【技巧总结】 1. 基本导角步骤 步骤1：标记已知角，明确目标角 步骤2：优先利用内角和、外角定理转化关系 步骤3：涉及等腰/直角时，立即应用特殊性质 2. 复杂图形拆解：将叠加图形（如星形、燕尾形）拆分为单一三角形处理 3. 方程思想：角度关系复杂时，设未知数列方程求解 4. 辅助线常用方法： （1） 作平行线转移角度（同位角、内错角相等） （2） 构造等腰三角形创造等角关系。 5. 折叠问题：折叠前后对应角相等，结合内角和与外角定理。 【易错点】 1. 混淆外角与内角关系：外角定理需强调“不相邻”条件，通过图形标注强化记忆 2. 忽略等腰三角形对称性：刻意练习非标准位置的等腰三角形 3. 多解问题遗漏：题目未给图形时，注意角度可能为锐角或钝角 【例1】几何模型应用 【典例】如图，，且，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 利用全等三角形的性质结合三角形内角和定理以及三角形外角的性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】如图，已知，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】，，（其中一个即可）． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴添加，或其中一个，即可推出， 故答案为：，，（其中一个即可）． 【变式2】如图，已知，点C，D，E，F共线．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明． 利用证明，利用全等三角形的性质和三角形内角和定理，逐个判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∵，， 又∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵，无条件能证明是等边三角形，即不能证明，故④错误， ∴①、②、③正确，④错误． 故答案为：①②③． 【变式3】已知点C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F． (1)如图1，求证：； (2)若，则 ； (3)如图2，若，则 ．（用含a的式子表示） 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质等； （1）由可判定，即可得证； （2）由全等三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解； （3）由全等三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解； 掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中 ， （）； （2）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【例2】折叠问题 【典例】综合与实践 学习了平行线之后，小林同学通过折纸的方式，可以过直线外一点画这条直线的平行线．如图1，点为纸片上直线外一点． 下面是具体操作过程： 第一步：如图2，沿过点的直线翻折，使直线在折痕两侧的部分落在同一条直线上，得到折痕； 第二步：如图3，展开纸张，画出折痕，继续沿过点的直线翻折，使折痕在新折痕两侧的部分落在同一条直线上，得到新折痕； 第三步：如图4，展开纸张，画出新折痕； 此时新折痕与直线平行． 请根据上面的材料，完成下列任务： (1)第一步操作得到的折痕与直线的位置关系是___________； (2)关于新折痕与直线平行的依据，下列说法正确的是___________（填序号即可）． ①同位角相等，两直线平行②两直线平行，同位角相等③对顶角相等 (3)如图5，于点于点是直线上两点（点位于点左侧），连接，其中，，求的度数． 【答案】(1) (2)① (3) 【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行线的判定与性质； （1）由对折可得折痕与直线所夹的角为，从而可得答案； （2）由对折可得，，从而可得答案； （3）先求解，再证明，结合平行线的性质可得答案. 【详解】（1）解：第一步操作可得折痕与直线所夹的角为， ∴得到的折痕与直线的位置关系是， 故答案为：； （2）解：由题意得：，， ∴可以利用同位角相等，两直线平行得到：， 故答案为：① （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴. 【变式1】折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质，提升推理能力的一种有效的方法． (1)如图①，四边形是长方形纸片，，折叠纸片，折痕为，和交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）中折叠的基础上，再将纸片折叠，使得经过点E，折痕为．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质； （1）由平行线的性质结合轴对称的性质可得答案； （2）由平行线的性质证明，结合折叠的性质可得，从而可得结论； 【详解】（1）解： ． 理由：∵， ∴． 由折叠可知，， ∴． （2）解：． 理由：∵， ∴． 由折叠可知，， ∴， ∴． 【变式2】学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． (1)如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则________（用含α的式子表示）． (2)如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． (3)如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)①；②； (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得，，，由平行线的性质得，推出，即可得出． （3）根据，，得出，根据平行线的性质得出，根据，可以得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】在“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，发现可以有多种方式找到符合要求的直线．如图1，在纸上画上一条直线，在直线外取一点，过点作直线与平行． 【方法一】利用三角板 （1）将两个含有角的三角板如图2放置，三角板①的直角边与重合且保持不动，将三角板②沿三角板①的斜边推动，直至经过点，画直线，这样做的依据是：__________________ 【方法二】折纸法 （2）第一步：过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图3），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平，则的度数为______； （3）第二步：再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图4），记折痕为，再将纸片展开铺平（如图5），则得到直线．请你根据以上折纸过程，证明：． 【思维拓展】 （4）通过其他折纸方式找到符合要求的直线，使得．请画出示意图，并简要写出操作步骤．（要求：画出两种符合题意的示意图，并简要写出操作步骤，即可得满分） 【答案】方法一：内错角相等，两直线平行；方法二：见解析；思维拓展：见解析 【分析】本题考查平行线的判定，折纸问题，解题的关键是掌握平行线的判定方法，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据内错角相等两直线平行，可判断； （2）根据折叠的性质可知，可求得，进而求得，根据角之间的等量关系，可判断； （3）方法1：如图，过点折叠纸片，使得点的对应点落在线段上，记折痕为直线m，将纸片展开铺平，再将直线m对折，使得线段经过点P，折痕为直线n，直线a即为所求；方法2：过点和点的直线折叠纸片，使得与重合，将纸片展开铺平，再将线段对折，使得点和点重合，记折痕与的交点为，再将纸片展开铺平，则得到直线． 【详解】解：方法一，利用三角板： 如图，， ∴，即内错角相等，两直线平行； 方法二：折纸法 如图3，根据折叠的性质可知， 又， ∴， ∴． 故答案为：； 如图4，根据折叠的性质可知， 又， ∴， ∴， ∴； 思维拓展： 方法1：如图，过点折叠纸片，使得点的对应点落在线段上，记折痕为直线m，将纸片展开铺平，再将直线m对折，使得线段经过点P，折痕为直线n，直线a即为所求． 方法2：如图， 过点和点的直线折叠纸片，使得与重合，将纸片展开铺平，再将线段对折，使得点和点重合，记折痕与的交点为，再将纸片展开铺平，则得到直线． 【例3】动态旋转问题 【典例】如图1所示，将一把含角的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)在图1中________°，________°； (2)如图2所示，现把三角板绕点逆时针旋转，当点恰好落在边上时，若比大，求的值； (3)如图1所示放置的三角板，现将射线绕点以的速度逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以的速度顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线，均停止转动，设旋转时间为．当时，直接写出旋转时间的值． 【答案】(1)120，90 (2)n的值是8； (3)12或48 【分析】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． （1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）根据比大列方程，计算可求解； （3）分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∵， ∴，， ∴； 故答案为：120，90； （2）解：∵比大， ∴， 解得， ∴n的值是8； （3）解：存在，理由如下： 如图：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图： ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为12或48． 【变式1】如图，直线，一副三角尺，中，，，，． (1)若将三角尺如图①摆放，当平分时，则______． (2)若将三角尺和三角尺如图②摆放，的顶点恰好落在直线上，三角尺的一边在直线上，且边与边在同一直线上，作和的平分线交于点，求的度数． (3)若图③中三角尺固定，将三角尺绕点顺时针方向旋转（如图③），旋转到边与直线首次重合时停止旋转，在这旋转的过程中，当边与三角尺的一边平行时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或． 【分析】（1）根据得平分得，再根据得，然后根据即可求解； （2）过点作交于，过点作，设，，由角平分线性质得，，证明，则，，，，进而得，，再根据角平分线性质得，则，由此得，结合，由此可得到答案； （3）根据题意分三种情况讨论，分别根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：平分， ； （2）解：过点作交于，过点作，如图2所示： 设， 平分 ， ，， ， ，，， 平分 ； （3）解：分三种情况： 当时，如图， 此时， ， ∵ ∴ ∴； ②当时，如图， ， ； ③当时，如图， 延长交于，延长交于， ， ， ∴； 综上所述，的度数为或或． 【点睛】本题考查了图形的旋转变换及其性质，平行线的性质，三角形内角和定理，理解图形的旋转变换及其性质，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 【变式2】如图1，已知直线，点A在直线上，点B在直线上． (1)如图1，点C在直线、之间，连接、，若，，则的度数为______； (2)如图2，点C在直线的上方，平分，平分，延长与交于点D，若，，求的度数： (3)如图3，点C在直线的上方，，，平分交于点F，将绕着点A以每秒的速度逆时针方向旋转得，旋转时间为t秒；同时将射线绕着点B以每秒的速度顺时针方向旋转得射线，当射线与射线首次重合时，和射线同时停止转动，在旋转过程中，作的角平分线，作的角平分线，请直接写出当时t的值． 【答案】(1)64 (2) (3)18或90 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平行线的判定与性质． （1）依据题意，过C作，又因为，从而，可得，又由，，最后可得，进而得解； （2）依据题意，平分，求出，根据角平分线的性质，平行线的性质，求解； （3）分情况讨论，列出关于t的式子，进行求解． 【详解】（1）解：过C作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：64； （2）解：∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， 过D作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：分两种情况进行讨论： ①当位于与之间时，如图①， 由得：， ∵，经过时间t， 有， 则 而， ∴， 又∵，平分， ∴， 而， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 则， 解得：； ②当位于下方时，如图②， ∵， ∴， 经过时间， 同理：， 则， 而， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 解得， 综上：或90． 【变式3】如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当落在射线上时，运动停止．设旋转时间为t（s）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当的角平分线与的角平分线平行时t的值． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于利用方程思想解决问题． （1）利用平行线的性质，以及角平分线的定义求解，即可解题． （2）①首先证明，由此构建方程求解，即可解题． ②分两种情形：当当转到之前时，构建方程即可解决问题．当落在射线上时返回，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：①如图， 当转到之前时 ， ， ， ， ， ， 当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时 在旋转过程中，若边，t的值为或； ②当转到之前时 绕点B旋转，平分的角平分线， ， ； 绕点E旋转，平分 ， 当时 ∵ ∴ 即 解得：； 当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时 如图 ，， 当时 ， ∵ ∴， ∵ 即 解得：； 【例4】与平行线结合 【典例】如图，在等腰中，顶角，过点作的平行线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：∵在等腰中，顶角， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则两平行线与间的距离为（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，角平分线的性质，求平行线间的距离等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点作，交于点，交于点，根据平行线的性质可证得，由角平分线的性质可得，，进而可求得两平行线与间的距离． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， ， ， ， ， ，即， 由此可知，即为两平行线与间的距离， 是的平分线， 且，， ， 是的平分线， 且，， ， ， 两平行线与间的距离是， 故选：C． 【变式2】（1）如图1，在四边形中，平分交的延长线于点，． 求证：． （2）在四边形中，点为边上的一点，连接，沿折叠三角形，得到三角形． ①如图2，当点落在的延长线上时，且，，若，求的度数； ②如图3，当点落在射线的下方时，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）①20°；②见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，折叠的性质，过拐点作平行线是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的判定证明即可； （2）①利用折叠的性质，结合平行线的性质求解即可； ②过点作，过点作，利用折叠的性质先证，再根据平行线的判定和性质证，最后根据邻补角的性质即可得证． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ． （2）①解：沿折叠三角形，得到三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ②证明：过点作，过点作， ∴， ∴，，， ∵沿折叠三角形，得到三角形， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ． 【变式3】问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是____________． A．    B．    C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是____________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 类比探究：（2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． （3）拓展延伸：如图3，四边形中，，E是的中点， ①若四边形的面积为m，求证：的面积为． ②若，则、、三者之间的数量关系为______． 【答案】（1）①B；②（2）27（3） 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，平行线的性质，垂直平分线的性质． （1）①由是中线得到，又，，通过“”可证．据此可解答； ②由，，根据三角形的三边关系有，即，又，因此； （2）延长至，使得，可证得，得，，，可知，得，结合，可证，即可证得，再由即可求解； （3）①延长交于，证明，得，，可知，再结合，即可证明结论； ②由①可知，则，，结合题意可知，可得垂直平分，进而可得． 【详解】解：（1）①∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B； ②解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）延长至，使得， ∵是中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）①延长交于， ∵， ∴，， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； ②由①可知，则，， ∵， ∴，即， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：． 【例5】角平分线与高线综合 【典例】如图， 在中，是的角平分线，是中边上的高，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查的是角平分线的定义，高的定义及三角形内角和定理．先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出度数，由可求出，再由三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】如图，在中，为的角平分线，为的高，与相交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义、对顶角相等的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理． 由三角形的内角和可求得，再由角平分线求得，再结合是高，从而可求的度数，由对顶角相等可得，即得解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】如图，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形高、中线、角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键．根据三角形高、中线、角平分线的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A.∵是的中线， ∴， ∴，故该选项错误，符合题意； B. ∵是的角平分线， ∴，故该选项正确，不符合题意； C. ∵是的中线， ∴，即，故该选项正确，不符合题意；     D. ∵是的高， ∴，故该选项正确，不符合题意． 故选：A． 【变式3】【发现】（1）如图1，在中，，，是角平分线，是高，求及的度数； 【探究】（2）如图2，在中，，是角平分线，动点在线段上（不与点，重合），，垂足为．求的度数；（用含的式子表示） 【拓展】（3）将【探究】中“动点的线段上”改为“动点在射线上”．其余条件不变，分别作平分，平分，且所在的直线与射线交于点，直接写出的度数．（用含的式子表示） 【答案】（1），；（2）；（3）的度数为或． 【分析】（1）根据三角形的内角和求出，再进一步利用角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线）即可得到解答； （2）根据已知得到，利用三角形内角和定理求得，利用三角形的外角性质得到，据此求解即可求得答案； （3）分两种情况讨论，①当点在射线上且在外时，②当点在线段上时，同（2）计算即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）①当点在射线上且在外时，    ∴， 由（2）可得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②当点在线段上时， 由①得， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义和高的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的定义． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题8】 三角形中角度的复杂计算（5大题型） 【核心知识点总结】 1. 三角形内角和定理 （1） 定理内容：任意三角形三个内角之和为180° （2） 应用场景：已知两角求第三角 2. 外角定理 （1） 定理内容：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且外角与相邻内角互补 （2） 关键提示：外角常用于间接求角或构造方程。 3. 特殊三角形性质 （1） 等腰三角形：两底角相等 （2） 等边三角形：每个角均为60° （3） 直角三角形：两锐角互余 4. 重要线段性质 （1） 高线：垂直对边，形成直角三角形 （2） 中线：平分对边，分割面积为1:1 （3） 角平分线：平分内角，构造等角关系 【技巧总结】 1. 基本导角步骤 步骤1：标记已知角，明确目标角 步骤2：优先利用内角和、外角定理转化关系 步骤3：涉及等腰/直角时，立即应用特殊性质 2. 复杂图形拆解：将叠加图形（如星形、燕尾形）拆分为单一三角形处理 3. 方程思想：角度关系复杂时，设未知数列方程求解 4. 辅助线常用方法： （1） 作平行线转移角度（同位角、内错角相等） （2） 构造等腰三角形创造等角关系。 5. 折叠问题：折叠前后对应角相等，结合内角和与外角定理。 【易错点】 1. 混淆外角与内角关系：外角定理需强调“不相邻”条件，通过图形标注强化记忆 2. 忽略等腰三角形对称性：刻意练习非标准位置的等腰三角形 3. 多解问题遗漏：题目未给图形时，注意角度可能为锐角或钝角 【例1】几何模型应用 【典例】如图，，且，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【变式2】如图，已知，点C，D，E，F共线．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 【变式3】已知点C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F． (1)如图1，求证：； (2)若，则 ； (3)如图2，若，则 ．（用含a的式子表示） 【例2】折叠问题 【典例】综合与实践 学习了平行线之后，小林同学通过折纸的方式，可以过直线外一点画这条直线的平行线．如图1，点为纸片上直线外一点． 下面是具体操作过程： 第一步：如图2，沿过点的直线翻折，使直线在折痕两侧的部分落在同一条直线上，得到折痕； 第二步：如图3，展开纸张，画出折痕，继续沿过点的直线翻折，使折痕在新折痕两侧的部分落在同一条直线上，得到新折痕； 第三步：如图4，展开纸张，画出新折痕； 此时新折痕与直线平行． 请根据上面的材料，完成下列任务： (1)第一步操作得到的折痕与直线的位置关系是___________； (2)关于新折痕与直线平行的依据，下列说法正确的是___________（填序号即可）． ①同位角相等，两直线平行②两直线平行，同位角相等③对顶角相等 (3)如图5，于点于点是直线上两点（点位于点左侧），连接，其中，，求的度数． 【变式1】折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质，提升推理能力的一种有效的方法． (1)如图①，四边形是长方形纸片，，折叠纸片，折痕为，和交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）中折叠的基础上，再将纸片折叠，使得经过点E，折痕为．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由． 【变式2】学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． (1)如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则________（用含α的式子表示）． (2)如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． (3)如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系． 【变式3】在“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，发现可以有多种方式找到符合要求的直线．如图1，在纸上画上一条直线，在直线外取一点，过点作直线与平行． 【方法一】利用三角板 （1）将两个含有角的三角板如图2放置，三角板①的直角边与重合且保持不动，将三角板②沿三角板①的斜边推动，直至经过点，画直线，这样做的依据是：__________________ 【方法二】折纸法 （2）第一步：过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图3），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平，则的度数为______； （3）第二步：再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图4），记折痕为，再将纸片展开铺平（如图5），则得到直线．请你根据以上折纸过程，证明：． 【思维拓展】 （4）通过其他折纸方式找到符合要求的直线，使得．请画出示意图，并简要写出操作步骤．（要求：画出两种符合题意的示意图，并简要写出操作步骤，即可得满分） 【例3】动态旋转问题 【典例】如图1所示，将一把含角的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)在图1中________°，________°； (2)如图2所示，现把三角板绕点逆时针旋转，当点恰好落在边上时，若比大，求的值； (3)如图1所示放置的三角板，现将射线绕点以的速度逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以的速度顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线，均停止转动，设旋转时间为．当时，直接写出旋转时间的值． 【变式1】如图，直线，一副三角尺，中，，，，． (1)若将三角尺如图①摆放，当平分时，则______． (2)若将三角尺和三角尺如图②摆放，的顶点恰好落在直线上，三角尺的一边在直线上，且边与边在同一直线上，作和的平分线交于点，求的度数． (3)若图③中三角尺固定，将三角尺绕点顺时针方向旋转（如图③），旋转到边与直线首次重合时停止旋转，在这旋转的过程中，当边与三角尺的一边平行时，请直接写出的度数． 【变式2】如图1，已知直线，点A在直线上，点B在直线上． (1)如图1，点C在直线、之间，连接、，若，，则的度数为______； (2)如图2，点C在直线的上方，平分，平分，延长与交于点D，若，，求的度数： (3)如图3，点C在直线的上方，，，平分交于点F，将绕着点A以每秒的速度逆时针方向旋转得，旋转时间为t秒；同时将射线绕着点B以每秒的速度顺时针方向旋转得射线，当射线与射线首次重合时，和射线同时停止转动，在旋转过程中，作的角平分线，作的角平分线，请直接写出当时t的值． 【变式3】如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当落在射线上时，运动停止．设旋转时间为t（s）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当的角平分线与的角平分线平行时t的值． 【例4】与平行线结合 【典例】如图，在等腰中，顶角，过点作的平行线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则两平行线与间的距离为（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【变式2】（1）如图1，在四边形中，平分交的延长线于点，． 求证：． （2）在四边形中，点为边上的一点，连接，沿折叠三角形，得到三角形． ①如图2，当点落在的延长线上时，且，，若，求的度数； ②如图3，当点落在射线的下方时，求证：． 【变式3】问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是____________． A．    B．    C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是____________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 类比探究：（2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． （3）拓展延伸：如图3，四边形中，，E是的中点， ①若四边形的面积为m，求证：的面积为． ②若，则、、三者之间的数量关系为______． 【例5】角平分线与高线综合 【典例】如图， 在中，是的角平分线，是中边上的高，求的度数． 【变式1】如图，在中，为的角平分线，为的高，与相交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】【发现】（1）如图1，在中，，，是角平分线，是高，求及的度数； 【探究】（2）如图2，在中，，是角平分线，动点在线段上（不与点，重合），，垂足为．求的度数；（用含的式子表示） 【拓展】（3）将【探究】中“动点的线段上”改为“动点在射线上”．其余条件不变，分别作平分，平分，且所在的直线与射线交于点，直接写出的度数．（用含的式子表示） 学科网（北京）股份有限公司 $$