专题7 三角形中的倒角模型（6大题型） 期末专项训练 2024～2025学年北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题7】 三角形中的倒角模型（6大题型） 【核心知识点总结】 A字模型 A字模型扩展：老鹰抓小鸡模型 图例 结论 8字模型 8字模型扩展：角平分线模型 图例 结论 飞镖模型 飞镖模型扩展：角平分线模型 图例 平分，平分 结论 双垂直模型 高分模型 图例 平分 结论 向内翻折 向外翻折 图例 结论 双内角平分线型 双外角平分线型 图例 平分，平分 平分，平分 结论 内外角平分线型 图例 平分，平分 结论 【技巧总结】 1. 方程思想：已知角度比例或折叠对称关系时，设未知数建立方程 2. 几何模型拆解：将复杂图形（如“飞镖”“8”字）拆分为基本三角形处理 3. 辅助线技巧：作平行线转移角度（同位角、内错角）；构造等腰三角形或角平分线创造等角关系 4. 分类讨论：射线位置不唯一或动态旋转导致多解可能时。 【易错点】 1. 模型误用：混淆“飞镖模型”与普通外角定理，导致公式错误 2. 多解遗漏：SSA情形或角平分线位置不唯一时未全面讨论，在题目无图形时，主动考虑锐角/钝角可能性 【例1】基本几何模型应用 【典例】如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】根据平角的定义求出，再利用三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：如图 ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 【变式1】如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案． 【详解】解：如下图标记， ， ， ， 又， ， ， ， 故选C． 【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键． 【变式2】如图， ． 【答案】720°/720度 【分析】连接DH，利用三角形外角性质得∠1=∠A+∠F，∠2=∠3+∠5，再利用四边形内角和等于360°即可求解． 【详解】解：如图，连接DH， ∵∠1=∠A+∠F，∠2=∠3+∠5，∠1+∠2+∠B+∠C=360° ∴∠A+∠F+∠3+∠5+∠B+∠C=360°， ∵∠4+∠6+∠E+∠G=360°， ∴∠A+∠F+∠3+∠5+∠B+∠C +∠4+∠6+∠E+∠G=720°， ∵∠3+∠4=∠BHG，∠5+∠6=∠ADE， ∴∠A+∠F+∠B+∠C+∠E+∠G+∠BHG+∠ADE=720°， 故答案为：720°． 【点睛】本题考查四边形内角和，三角形外角性质，将所求角转化成三角形与四边形的内角，利用四边形内角和定理和三角形外角性质求解是解题的关键． 【变式3】如图①，在 中，与的平分线相交于点P． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数是或或或 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键． （1）在中，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，，求出，再在中，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据三角形外角性质得出，，求出，根据角平分线的定义得出，，求出，根据三角形内角和定理求出即可； （3）根据角平分线的定义得出，，根据三角形外角性质得出，求出，求出，分为四种情况：①，②，③，④，再求出答案即可． 【详解】（1）， ， 点是和的角平分线的交点， ，， ， ； （2），， ， 点是和的角平分线的交点， ，， ， ； （3）延长得射线， 为的外角的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， ， ， 即， ， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么分为四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，； ④，则，， 综合上述，的度数是或或或． 【例2】角平分线综合问题 【典例】如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 【答案】61° 【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答． 【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°， ∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°， ∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°， ∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°， ∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF， ∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF， ∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°， ∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°， ∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°， 故答案为：61°． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键． 【变式1】如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解； （2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解． 【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF=， ∵， ∴， ∴； （2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA， ∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP， ∠C+∠CBP=∠P+∠PDF， ∴∠A+∠C=2∠P， ∵∠A=42°，∠C=38°， ∴∠P=（38°+42°）=40°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键． 【变式2】如图，在中，、分别平分，，的延长线交外角的角平分线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到，，，即可得出答案． 【详解】解：∵为外角的平分线，平分， ∴， 又∵是的外角， ∴， 即，故①正确； ∵、分别平分，， ∴， ∴ ，故④错误； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴，故②错误、③正确； 综上，正确的有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义． 【变式3】如图，中， (1)若、的三等分线交于点、，请用表示、； (2)若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得，再由、的三等分线交于点、，可得再根据三角形的内角和定理，即可求解； （2）根据三角形的内角和定理可得，再由、的等分线交于点、，可得再根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵、的三等分线交于点、， ∴ ∴， ； （2）解：∵， ∴， ∵、的等分线交于点、， ∴ ∴， ． 【点睛】本题主要考查了有关角平分线三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理，并利用类比思想解答是解题的关键． 【例3】折叠对称问题 【典例】如图所示，将长方形纸片沿折痕折叠，点、的对应点分别为、，线段交线段于点，若，则的度数是 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，由折叠性质可知：，再根据得，再根据角度和差即可求解． 【详解】解：由折叠性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片（），他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，折叠的性质，先证明，由平行线的性质得到，，由平角定义得到，由轴对称的性质得到：，，，求出，由直角三角形的性质求出，由对顶角的性质得到，即可求出从而得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ， ，， 由折叠的性质得，，， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在点处，折痕为．点为射线上一点，连接，将长方形纸片的另一角沿折叠，使得点落在点处（折痕为）．若，则 ． 【答案】108或72 【分析】本题考查了折叠的性质，角的计算，熟练掌握折叠变换的性质并采用分类讨论的数学思想是解题的关键．由折叠的性质可推出，，再分两种情况讨论，①当在的外部，则，求得，则；②当在的内部，则，求得，则，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，，， ，， ①当在的外部，如图 ，且， ， ， ∴； ②当在的内部，如图 ，且， ， ， ． 故答案为：108或72． 【变式3】如图，在中，，，，的平分线交于点E，且．将沿折叠使点C与点E恰好重合，①；②点E到AC的距离为8；③；④，以上结论正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质可判断①；根据角平分线的性质可判断②；由折叠的性质及和角关系、三角形内角和可判断③；由，得，即可判断④． 【详解】解：∵，，， ∴； 故①正确； 如图，过点E作，垂足分别为F，H， ∵平分， ∴； ∵，， ∴平分， ∴, 即点E到AC的距离为8； 故②正确； 由折叠知，； ∵， 同理，， ∴ ； 故③正确； ∵， 即， ∴， ∴； 故④正确； 综上，正确的有4个； 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，折叠的性质，三角形内角和，高相等的两个三角形面积的比等于底边的比，掌握以上知识是解题的关键． 【例4】动态旋转问题 【典例】已知，点F是线段上一点，满足，是内的一条射线，满足． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，点P在线段上且，线段与交于点Q． ①_______； ②将绕着点Q以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止旋转，则在旋转过程中，当的边与的某一边平行时，t的值为_______． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或4或9 【分析】本题考查平行线的判定和性质，几何中角度的计算等知识点，综合性强，难度较大，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据等角的余角相等，推出，即可得出结论； （2）①根据求解即可；②分，，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①∵，， ∴； 故答案为： ②当时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图： 则：， ∴； 当时，如图，则：， ∴， ∴； 综上：的值为或4或9． 故答案为：3或4或9 【变式1】如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为___________度． (2)继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由． (3)在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点按每秒的速度旋转，当直角三角板的边所在的直线恰好平行于直角三角板的一边时，直接写出此时三角板绕点的运动时间的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的值为或或或或 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是分类讨论． （1）根据的度数就是旋转的角度求解即可； （2）由图3可知，，，则可求解； （3）分情况讨论：①当时；②当时；③当时；④当时；分别求出旋转的度数，再除以旋转速度便可得时间． 【详解】（1）解：， 落在射线上时，旋转的角度是， 三角板旋转的角度为， 故答案为：； （2），理由如下： 由图3可知，，， ， 即； （3）①当时，或， 或； ②当时，， ； ③当时，， ， ； ④当时，， ； 综上所述，的值为或或或或． 【变式2】已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)①或；②，，， 【分析】（1）根据题意可得，由平行线的性质可得，再结合角平分线的定义，角的和差关系，可得的度数． （2）①根据题意分成在内部时，在外部时两种情况分别讨论，结合角平分线的定义，一元一次方程即可求解． ②当时，分成两种情况和当时，分成两种情况，共四种情况分别讨论，结合平行线的性质，邻补角，一元一次方程的应用，三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵，，三角板中含， ∴， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． （2）解：①若在内部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ； 若在外部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ， 综上，或． ②当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； 当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； ∴当边与三角板的一条直角边平行时，的值为，，，． 【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，角平分线的定义，一元一次方程的应用，三角形内角和的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式3】综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】操作判断： 迁移探究： 拓展应用：不变， 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，过拐点构造平行线是解题的关键： [操作判断]：过点E作，则，从而，，进而可得与的数量关系； [迁移探究]：对顶角相等，结合（1）中结论进行求解即可； [拓展应用]：过点E作，可证，设，则，，然后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】［操作判断］：如图1，过点E作 ， ，， ∵ ∴ 故答案为： ［迁移探究］：如图2，由（1）可知： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ［拓展应用］：不变， 理由如下：过点E作 ， ， 设，则， 、分别平分、 ， 【例5】平行线结合问题 【典例】如图，在三角形中，点，分别在边，上，连接，，点在上，连接，，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 延长交于点，由，得到，推出，得到，推出，得到，即可得到． 【详解】解：如图，延长交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】如图，，点E是延长线上一点，． (1)证明：∵， ∴______（______）. ∵， ∴（______）， ∴______（______）， ∴； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等 (2)的度数为 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线定义， （1）根据“两直线平行，同位角相等”得，再根据可得，然后根据“两直线平行，内错角相等”得，则答案可得； （2）先根据“内错角相等，两直线平行”得，根据“两直线平行，同旁内角互补”得，再根据角平分线定义求出，此题可解． 【详解】（1）证明：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴； 故答案为：；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等； （2）解：∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 【变式2】已知直线，点为平面内一点，，垂足为． (1)如图①，过点作的平行线，若，则的度数为________； (2)如图②，过点作交直线于点．求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，点，在线段上，连接，，，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【分析】本题考查平行线的性质与应用、角平分线的性质、方程思想等知识，学会添加辅助线，掌握相关知识是解题关键． （1）根据平行线的性质及直角三角形的性质证明即可； （2）过点B作，根据同角的余角相等得出，再根据平行线的性质得到，即可得到； （3）过点B作，根据角平分线的定义得出，设，，可得，再根据，得到，据此计算得出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图2，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，； （3）解：如图3，过点B作， ∵平分，平分， ∴，， 由（2）知， ∴，设，， 则，，， ， ∴， ∵，， ∴， 中，由得 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】【知识初探】（1）王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平； ②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王芳说，就是的平行线． 王芳同学只写了部分证明过程就有事离开，请你帮她把证明过程补充完整； 证明：由折叠可知： 又∵ ∴ …… 【深入探究】（2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）； 【拓展延伸】（3）王伟同学改变直线和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点B，C，K，F分别在线段上），再画出和的角平分线所在的直线交于点G，请求出的度数． 【答案】（1）见解析（2）（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： （1）折叠推出，进而得到，即可得出结论； （2）作，得到，推出，即可得出结果； （3）分交点在的上方和下方，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠可知： 又∵ ∴ 同理，， ∴， ∴； （2）作，则：， ∴，， ∴， ∵，（正方形的一个内角为90度）， ∴； （3）当点在直线的下方时，如图：过点作，则：， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， 由（2）可知：， ∴； 当点在上方时，如图，作，则：， 则：， ∴， ∵分别平分和， ∴， 由（2）知：， ∴； 综上：或． 【例6】分类讨论问题 【典例】体验与实践 【解题呈现】如图，在中，，P为底边上的中点，，，点D、E为垂足，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为F，则有． 某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即，所以， 而①式化为：可得． 【探究与实践】如图，已知：等腰三角形中，． (1)P为底边上的任意一点，自P向两腰所在的直线做垂线，点E、F为垂足．求证：等于定值； (2)若点P在底边的延长线上时，情况如何？ 【答案】(1)见解析 (2)若P在的延长线上，；若P在的延长线上，则有． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，灵活运用材料中的结论是解题的关键． （1）连接，过点C做腰线的垂线，垂足为D，然后根据三角形的面积解题即可； （2）连接，过点C做腰线的垂线，垂足为D，根据解答即可． 【详解】（1）连接，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为D， 则为三角形的高， ， ①， 而， ①式化为：， 可得． 因为三角形在边上的高为定值，即为定值，所以等于定值． （2）若P在的延长线上，连接，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为D， 则为三角形的高， ， ， 而，所以， 可得． 同理，若P在的延长线上，则有． 【变式1】以直线上一点为端点作射线使，将一个直角三角形的直角顶点放在处（注：）． (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则______； (2)如图2，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，则______； (3)如图3，将三角板绕点逆时针转动到某个位置时，若恰好，求的度数．（分情况讨论） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据互余的性质计算的大小即可． （2）根据得，结合恰好平分，得到，根据得到根据解答即可． （3）根据，设，则．分在内部和内部两种情况解答即可． 本题考查了角的平分线的定义，互余，方程的思想，分类思想，熟练掌握解方程，角的平分线的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （3）解：∵， 设，则． ①如图1，在内部时， ∵，，， ∴， 解得， ∴． ∴； ②如图2，在的内部时，如图2， ∵，，， ∴， ∴， 解得， ∴． ∴； 综上所述，的度数为或． 【变式2】的两外角平分线交于点． (1)如图1，若，则的度数为__________． (2)如图2，过点作直线，分别交射线于点，若设，，则与的数量关系是__________． (3)在（2）的条件下，将直线绕点转动． ①如图3，当直线与线段没有交点时，试探索与，之间的数量关系，并说明理由． ②当直线与线段有交点时，试问①中与，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)①，见解析；②不成立，或 【分析】（1）由三角形内角和定理可得，从而可得，再由角平分线的定义可得，最后由三角形内角和定理可得，进行计算即可； （2）由（1）可得由（1）可得，再由代入进行计算即可； （3）①根据（1）中的结论，以及平角的定义，即可得到答案；②分两种情况进行讨论：根据（1）中的结论，以及平角的定义，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ，， ， 和分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， 由（1）可得， ， ， 即． （3）解：①当直线与线段没有交点时，， 理由如下： ∵，， ∴， 即； ②当直线与线段有交点时，①中与，之间的数量关系不成立，需分两种情况讨论： a．如图1，当在线段上，在射线上时，， ∵，， ∴， 即， b．如图2，当在射线上，在线段上时，， ∵，， ∴， 即． 【变式3】如图，，定点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线、之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论；如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为________． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则________°． ②猜想与的数量关系，并说明理由． ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【答案】(1)（1）， (2)①150；②与的数量关系为，理由见解析；③ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，图形规律问题． （1）如图1，过点作，证得，然后根据平行线的性质证得结论，如图2，过点作，证得，然后根据平行线的性质证得结论； （2）①如图3，过点作，过点作，然后根据平行线的性质得到，，由，，分别平分和，即可求得结论； ②同①即可求得结论； ③由（2）②知，进而，，由规律即可求得结论． 【详解】（1）如图1，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 如图2，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）①如图3，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∵，分别平分和， ∴ ∴； ②由（1）可知，， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； ③由（2）②知， 同理可证：， ， …… ， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题7】 三角形中的倒角模型（6大题型） 【核心知识点总结】 A字模型 A字模型扩展：老鹰抓小鸡模型 图例 结论 8字模型 8字模型扩展：角平分线模型 图例 结论 飞镖模型 飞镖模型扩展：角平分线模型 图例 平分，平分 结论 双垂直模型 高分模型 图例 平分 结论 向内翻折 向外翻折 图例 结论 双内角平分线型 双外角平分线型 图例 平分，平分 平分，平分 结论 内外角平分线型 图例 平分，平分 结论 【技巧总结】 1. 方程思想：已知角度比例或折叠对称关系时，设未知数建立方程 2. 几何模型拆解：将复杂图形（如“飞镖”“8”字）拆分为基本三角形处理 3. 辅助线技巧：作平行线转移角度（同位角、内错角）；构造等腰三角形或角平分线创造等角关系 4. 分类讨论：射线位置不唯一或动态旋转导致多解可能时。 【易错点】 1. 模型误用：混淆“飞镖模型”与普通外角定理，导致公式错误 2. 多解遗漏：SSA情形或角平分线位置不唯一时未全面讨论，在题目无图形时，主动考虑锐角/钝角可能性 【例1】基本几何模型应用 【典例】如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 【变式1】如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】如图， ． 【变式3】如图①，在 中，与的平分线相交于点P． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【例2】角平分线综合问题 【典例】如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 【变式1】如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【变式2】如图，在中，、分别平分，，的延长线交外角的角平分线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 【变式3】如图，中， (1)若、的三等分线交于点、，请用表示、； (2)若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，． 【例3】折叠对称问题 【典例】如图所示，将长方形纸片沿折痕折叠，点、的对应点分别为、，线段交线段于点，若，则的度数是 ． 【变式1】如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片（），他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则 ． 【变式2】如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在点处，折痕为．点为射线上一点，连接，将长方形纸片的另一角沿折叠，使得点落在点处（折痕为）．若，则 ． 【变式3】如图，在中，，，，的平分线交于点E，且．将沿折叠使点C与点E恰好重合，①；②点E到AC的距离为8；③；④，以上结论正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例4】动态旋转问题 【典例】已知，点F是线段上一点，满足，是内的一条射线，满足． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，点P在线段上且，线段与交于点Q． ①_______； ②将绕着点Q以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止旋转，则在旋转过程中，当的边与的某一边平行时，t的值为_______． 【变式1】如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为___________度． (2)继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由． (3)在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点按每秒的速度旋转，当直角三角板的边所在的直线恰好平行于直角三角板的一边时，直接写出此时三角板绕点的运动时间的值． 【变式2】已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 【变式3】综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【例5】平行线结合问题 【典例】如图，在三角形中，点，分别在边，上，连接，，点在上，连接，，，若，求的度数． 【变式1】如图，，点E是延长线上一点，． (1)证明：∵， ∴______（______）. ∵， ∴（______）， ∴______（______）， ∴； (2)若平分，，求的度数． 【变式2】已知直线，点为平面内一点，，垂足为． (1)如图①，过点作的平行线，若，则的度数为________； (2)如图②，过点作交直线于点．求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，点，在线段上，连接，，，平分，平分，若，，求的度数． 【变式3】【知识初探】（1）王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平； ②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王芳说，就是的平行线． 王芳同学只写了部分证明过程就有事离开，请你帮她把证明过程补充完整； 证明：由折叠可知： 又∵ ∴ …… 【深入探究】（2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）； 【拓展延伸】（3）王伟同学改变直线和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点B，C，K，F分别在线段上），再画出和的角平分线所在的直线交于点G，请求出的度数． 【例6】分类讨论问题 【典例】体验与实践 【解题呈现】如图，在中，，P为底边上的中点，，，点D、E为垂足，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为F，则有． 某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即，所以， 而①式化为：可得． 【探究与实践】如图，已知：等腰三角形中，． (1)P为底边上的任意一点，自P向两腰所在的直线做垂线，点E、F为垂足．求证：等于定值； (2)若点P在底边的延长线上时，情况如何？ 【变式1】以直线上一点为端点作射线使，将一个直角三角形的直角顶点放在处（注：）． (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则______； (2)如图2，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，则______； (3)如图3，将三角板绕点逆时针转动到某个位置时，若恰好，求的度数．（分情况讨论） 【变式2】的两外角平分线交于点． (1)如图1，若，则的度数为__________． (2)如图2，过点作直线，分别交射线于点，若设，，则与的数量关系是__________． (3)在（2）的条件下，将直线绕点转动． ①如图3，当直线与线段没有交点时，试探索与，之间的数量关系，并说明理由． ②当直线与线段有交点时，试问①中与，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系． 【变式3】如图，，定点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线、之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论；如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为________． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则________°． ②猜想与的数量关系，并说明理由． ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 学科网（北京）股份有限公司 $$